01 分数及其相关内容

整数与分数：数学的基石

整数是最朴素的计数工具，是数学的天然起点。从计数到测量、从算术到代数再到微积分，整数与分数共同搭建起整个数学的基础。

整数对应简单的计数，分数则用于描述部分与整体、满足测量与分割的需要。很多人学不好微积分，并非内容艰深，而是代数与分数运算的基础薄弱。

学好数学，不能只记法则、套公式，更要理解规则背后的逻辑。只记结论是易忘的“公理”，理解其中的原理才是真正掌握知识。

本章从核心的分配律出发，梳理分数与代数运算，不只讲“怎么算”，更讲清“为什么”，夯实数学底层逻辑。

分配律

分配律，全称乘法对加法的分配律，指：一个数与若干个数的和相乘，等于这个数分别与和式里的每一项相乘，再将全部所得的乘积相加。

例如： \[ 5(7+10)=(5\cdot 7)+(5 \cdot 10) \quad \text{和} \quad (b+c+d)a=ab+ac+ad \]

减法本质是加法的一种特殊形式，即 \(a + (-b) = a - b\)，因此分配律同样适用于减法： \[ (x-y-w) z=x z-y z-w z \quad \text{与} \quad 2 a(a-b+c)=2 a^{2}-2 a b+2 a c \]

提示提示

观察上面几个示例，找出左分配律和右分配律；分配律不管左右都能进行分配。

分配律是整个代数的基石，它不仅支撑着各类代数运算，也能解释许多常用的心算技巧，请看下面练习。

练习

习题 1 为了更直观理解分配律，请观察下方的图形。整个图形的面积，等于它所包含的两个矩形的面积之和。将前面这句话用包含 \(a\)、\(b\) 和 \(c\) 的代数式表达。
fig1-1

提示提示

整个图形的高为 \(a\)，它的宽是多少？

\[ 总面积 = (b + c) \cdot a \]

习题 2 请看下面这个心算技巧：
\[ 32 \times 7 = ? \]

我们可以这样想：

  1. \(32 \times 7\) 就是 \(30\) 个 \(7\) 加上 \(2\) 个 \(7\)。
  2. \(30\) 个 \(7\) 是 \(210\)，\(2\) 个 \(7\) 是 \(14\)。
  3. 因此，\(32 \times 7 = 210 + 14\)。

请解释分配律在这个计算过程中是如何发挥作用的。

\[ \begin{aligned} 32 \times 7 &= (30 + 2) \times 7 \quad&&\text{（构建可分配形式）}\\ &= 30 \times 7 + 2 \times 7 \quad&&\text{（右分配律）}\\ &= 210 + 14 = 224 \end{aligned} \]

习题 3 运用 习题 2 中的技巧，心算下列算式的结果：

  1. \(64 \cdot5\)
  2. \(82 \cdot4\)
  3. \(39 \cdot9\)
  4. \(6 \cdot42\)
  1. \((60 + 4) \times 5\)
  2. \((80 + 2) \times 4\)
  3. \((40 - 1) \times 9 \quad \text{或} \quad 39 \times (10 - 1)\)
  4. \(6 \times (40 + 2)\)

习题 4 计算 \(15\%\) 可采用如下心算方法，并解释其中用到的分配律：
求 \(32\) 的 \(15\%\)：

  1. 先求 \(32\) 的 \(10\%\)，得 \(3.20\)。
  2. 再求 \(32\) 的 \(5\%\)，得 \(1.60\)。
  3. 因此：\(3.20 + 1.60 = 4.80\)。

请用分配律解释上述计算过程。

\[ \begin{aligned} 32 \times 15\% &= 32 \times (10\% + 5\%) \quad &&\text{（构建可分配形式）} \\ &= 32 \times 10\% + 32 \times 5\% \quad &&\text{（左分配律）} \\ &= 3.2 + 32 \times (10\% \div 2) \quad &&\text{（构建便于计算的形式）} \\ &= 3.2 + 1.6 = 4.8 \end{aligned} \]

习题 5 心算下列金额的 \(15\%\)：
\(28\) 元、\(50\) 元、\(72\) 元、\(90\) 元。

  1. \(2.8 + 1.4 = 4.2\)
  2. \(5 + 2.5 = 7.5\)
  3. \(7.2 + 3.6 = 10.8\)
  4. \(9 + 4.5 = 13.5\)

习题 6 大家有时会对分配律过于滥用，试图在不适用的场景中强行使用。
例如，我们不能将乘法分配到乘法上。为了验证这一点，请举出一个反例，即找到一组具体的数字 \(a\)、\(b\)、\(c\)，使得 \(a(b \cdot c)\) 与 \(ab \cdot ac\) 不相等。

设 \(a\)、\(b\) 和 \(c\) 分别为 \(2\)、\(3\)、\(4\)。 \[ \begin{aligned} a (b \cdot c) = 2 \times 3 \times 4 = 24 \\ ab \cdot ac = 2 \times 3 \cdot 2 \times 4 = 48 \end{aligned} \]

习题 7 请举出具体的反例，证明下列结论：

  1. 乘方不能对加法进行分配。即 \((a+b)^{n} ≠a^{n}+b^{n}\)。
  2. 平方根不能对加法进行分配。即 \(\sqrt{a+b} ≠\sqrt{a}+\sqrt{b}\)。

设 \(a\)、\(b\)、\(n\)分别为\(1\)、\(2\)、\(3\)： \[ \begin{aligned} (a + b)^n = 3^3 = 27 \\ a^n + b^n = 1 + 8 = 9\\ \\ \sqrt{a + b} = \sqrt{3}\\ \sqrt{a} + \sqrt{b} = 1 + \sqrt{2} \end{aligned} \]

注记核心结论

乘法仅对加法满足分配律，并非所有运算都能对加法分配！

多项式乘法法则的本质

在代数入门时，我们就学过二项式相乘：把 \((a+b)(c+d)\) 展开成 \(ac+ad+bc+bd\)。国外的讲师常用 FOIL 缩写来记忆这个法则：First 首项相乘、Outer 外项相乘、Inner 内项相乘、Last 末项相乘。

很多人都会用这个法则，却很少明白它的原理。其实它的本质就是分配律：我们可以把其中一个二项式看作整体，再逐项分配。为了清晰展示这一点，下面例子用方框包裹被视作整体的二项式，推导如下： \[ \begin{align*} \boxed{(a+b)}(c+d) &= \boxed{(a+b)}(c+d) \\ &= \boxed{(a+b)}c + \boxed{(a+b)}d \quad &&\text{（分配整体$\boxed{(a+b)}$）} \\ &= ac+bc+ad+bd \quad &&\text{（分别分配 $c$ 和 $d$）} \end{align*} \]

由此可见，所谓的 FOIL 运算，本质上只是多次运用分配律。如果你理解了这一点，就能轻松掌握两个三项式相乘、三个二项式相乘等更复杂的运算，完全不用死记硬背。

练习

习题 8 复习并证明为什么 FOIL 法则只是分配律的一个推论。

\[ \begin{aligned} (a + b)(c + d) &= (a + b)c + (a + b)d \quad &&\text{（左分配律）} \\ &= ac + bc + (a + b)d \quad &&\text{（第一次右分配律）} \\ &= ac + bc + ad + bd \quad &&\text{（第二次右分配律）} \end{aligned} \]

习题 9 我们知道代数式 \(3x^2+4x^2\) 可化简为 \(7x^2\)，但这并非凭借感觉，而是有严谨依据。有人会错误认为 \((3x^2)(4x^2)=12x^2\)（实际为 \(12x^4\)），但运算规则并不以感觉为准。实际上，\(3x^2+4x^2=7x^2\) 的依据是分配律。请解释其中的原理。

提示

需要稍微动下脑，试着对 \(3x^2+4x^2\) 进行”逆用分配律”。

\[ \begin{aligned} 3x^2+4x^2 &= (3 + 4)x^2 \quad \text{（提取公因式）} \\ &= 7x^2 \end{aligned} \]

习题 10  

  1. 判断并说明：化简 \(x^2 x^3\) 时，有两种做法：
    • 做法 A：将指数相乘，得 \(x^6\)
    • 做法 B：将指数相加，得 \(x^5\)
      • 哪种做法是正确的？
      • 请用拆分法，严谨解释为什么正确。
  2. 化简下列各式：
    \(x^{3} x^{3}\)，\(x x^{4}\)，\(x^{4} x^{6}\)，\((2 x^{2})(3 x^{4})\)，\((-3 x^{3})(2 x)(5 x)\)

  1. 做法 B 正确。 \[ \begin{aligned} x^5 = xxxxx = xx \cdot xxx = x^2 x^3\\ \end{aligned} \]

  2. 化简：

    1. \(x^6\)
    2. \(x^5\)
    3. \(x^{10}\)
    4. \(6x^6\)
    5. \(-30x^5\)

习题 11 只用分配律（合适情况也可用 FOIL 法则），计算下列多项式的乘积：

  1. \((3x-7)(2x+4)\)
  2. \((-x+2)(-2x-3)\)
  3. \(\left(-x^{4}+3\right)\left(-2 x^{2}+6 x-1\right)\)
  4. \((x^{2}-2 x+3)(-x^{2}+2 x-7)\)
  5. \(\left(x^{3}+x^{2}-x+1\right)\left(-x^{3}+x\right)\)
  6. \((x+1)(x+2)(x+3)\)
  7. \((x-1)\left(x^{3}+x^{2}+x+1\right)\)
  8. \((x-1)\left(x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\right)\)
  9. \((x-1)(x^{99} + x^{98} + x^{97} + \cdots +x^{3}+x^{2}+x+1)\)
提示

第 6 小题分步计算，先算 \((x+1)(x+2)\)，再将结果与 \((x+3)\) 相乘。

  1. \(6x^2 - 2x -28\)
  2. \(2x^2 - x - 6\)
  3. \(2x^6 - 6x^5 + x^4 - 6x^2 + 18x - 3\)
  4. \(-x^4 + 4x^3 - 14x^2 + 20x -7\)
  5. \(-x^6 - x^5 + 2x^4 - x^2 + x\)
  6. \(x^3 + 6x^2 + 11x + 6\)
  7. \(x^4 - 1\)
  8. \(x^6 - 1\)
  9. \(x^100 - 1\)
注记

研究 习题 11 中的 7、8、9 题，推出 \(x^n + x^{n-1} + \dots + x^2 + x^1 + 1\) 等比数列和公式。 \[ \begin{aligned} &\because (x - 1)(x^n + x^{n-1} + \dots + x^2 + x^1 + 1) = (x^{n+1} - 1) \\ &\text{设 $x - 1 \neq 0$}\\ &\text{则 }x^n + x^{n-1} + \dots + x^2 + x^1 + 1 = \dfrac{x^{n+1} - 1}{x - 1} \end{aligned} \]

多项式因式分解

因式分解，本质就是分配律的逆运算（即逆用分配律，逆分配）。 例如 \(3x^2+6x-18=3(x^2+2x-6)\)，从右向左看，正是分配律保证了等式成立。

平方差公式 \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) 也是如此。 从左向右看似乎很抽象，但若从右向左，将右侧展开并与左边对比，即可证明其成立。 下面给出证明，其中将二项式视为整体的部分会用方框标出。

命题 1 对任意 \(a\) 和 \(b\)，都有 \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\)。

证明. \[\begin{align*} \boxed{(a-b)}(a+b) &= \boxed{(a-b)}(a+b) \\ &= \boxed{(a-b)}a + \boxed{(a-b)}b \quad &&\text{（分配整体 $\boxed{(a-b)}$）} \\ &= a^{2}-ab+ab-b^{2} \quad &&\text{（分别分配 $a$ 和 $b$）} \\ &= a^{2}-b^{2} \quad &&\text{（命题得证）} \end{align*}\]

平方差公式的证明，本质只是使用了三次分配律。可以说，它之所以成立，完全因为分配律。

多项式因式分解的本质，就是分配律的逆运算，所有分解都能通过展开验证。因此，因式分解的基础就是分配律。

常用多项式因式分解只需三个方法：

  1. 提取公因式
  2. 运用平方差公式
  3. 试凑并验证

前两个技巧完全是机械性的，无需过多解释。下面举一个依次使用这两个技巧的例子： \[ 2x^2-32=2(x^2-16)=2(x-4)(x+4) \]

非常简单：先提取公因式 \(2\)，再利用平方差公式分解。平方差公式使用频率极高，务必牢记。

第三个技巧（试凑法）最适合用于形如 \(ax^2+bx+c\) 的二次多项式。例如分解 \(x^2+x-12\)，可先假设形式为： \[ x^2+x-12=(x\quad)(x\quad) \]

先填两个 \(x\)，是因为其乘积 \(x\cdot x=x^2\)，与多项式首项一致。

继续猜测：因式中的常数项乘积必须等于 \(-12\)。先试 \((x-4)(x+3)\)，心算展开后一次项为 \(-x\)，不符合。调换符号为 \((x+4)(x-3)\)，验证成立，即 \[ x^2+x-12=(x+4)(x-3) \]

这就是试凑法的完整思路。多加练习即可快速形成直觉。

因式分解的计算效率依赖心算二项式乘法，本质就是 FOIL 法则与分配律。多加练习即可熟练掌握。

练习

习题 12 证明：\((a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\)。

\[ \begin{aligned} (a + b)^2 &= (a + b)(a + b) \quad &&\text{（构造可分配形式）} \\ &= a(a + b) + b(a + b) \quad &&\text{（分配律）} \\ &= a^2 + ab + ab + b^2 \quad &&\text{（分配律）} \\ &= a^2 + 2ab + b^2 \quad &&\text{（合并同类项，命题得证）} \end{aligned} \]

习题 13 证明：\((a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\)。

\[ \begin{aligned} (a - b)^2 &= (a - b)(a - b) \quad &&\text{（构造可分配形式）} \\ &= a(a - b) - b(a - b) \quad &&\text{（分配律）} \\ &= a^2 - ab - ab + b^2 \quad &&\text{（分配律）} \\ &= a^2 - 2ab + b^2 \quad &&\text{（合并同类项，命题得证）} \end{aligned} \]

习题 14 证明：\((a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\)。

\[ \begin{aligned} (a + b)^3 &= (a + b)(a + b)(a + b) \quad &&\text{（构造可分配形式）} \\ &= [a(a + b) + b(a + b)](a + b) \quad &&\text{（其中一部分进行分配）} \\ &= [a^2 + 2ab + b^2](a + b) \quad &&\text{（还是可分配形式）} \\ &= a(a^2 + 2ab + b^2) + b(a^2 + 2ab + b^2) \quad &&\text{（分配律）} \\ &= a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3 \quad &&\text{（分配律）} \\ &= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \quad &&\text{（合并同类项，命题得证）} \end{aligned} \]

习题 15 证明立方差公式：\(a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\)。

\[ \begin{aligned} (a-b)(a^{2}+ab+b^{2}) &= a(a^2 + ab + b^2) - b(a^2 + ab + b^2) \\ &= a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3 \\ &= a^3 - b^3 \end{aligned} \]

习题 16 将下列多项式分解到最简形式：

  1. \(x^{2}+6x+8\)
  2. \(x^{2}-100\)
  3. \(10 x^{2}+5 x\)
  4. \(x^{2}-7 x+10\)
  5. \(3 x^{2}-3 x-6\)
  6. \(x^{2}-25\)
  7. \(-4 x^{2}-32 x-64\)
  8. \(-15 x^{2}-30 x+45\)
  9. \(x^{4}-16\)【提示：\(x^{4}=\left(x^{2}\right)^{2}\)】
  10. \(9 x^{2}-4\)【提示：首项是一个平方数】
  11. \(81 x^{8}-1\)
  12. \(2x^{2} + 5x+ 2\)【提示：\((2x\quad)(x\quad) \text{十字相乘法}\)】
  13. \(3 x^{2}-8 x-3\)
  14. \(4 x^{2}-4 x-3\)
  1. \((x + 2)(x + 4)\)
  2. \((x - 10)(x + 10)\)
  3. \(5x(2x + 1)\)
  4. \((x - 2)(x - 5)\)
  5. \(3(x^2 - x - 2) = 3(x - 2)(x + 1)\)
  6. \((x - 5)(x + 5)\)
  7. \(-4(x^2 + 8x + 16) = -4(x + 4)(x + 4)\)
  8. \(-15(x^2 + 2x - 3) = 3(x + 3)(x - 1)\)
  9. \((x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 2^2)(x^2 + 4) = (x +2)(x-2)(x^2+4)\)
  10. \((3x^2)^2 -2^2 = (3x^2 - 2)(3x^2 + 2)\)
  11. \([(3^2x^2)^2]^2 - [(1^2)^2]^2 = (3x^2 - 1)(3x^2 + 1)(9x^4 + 1)\)
  12. \((2x + 1)(x + 2)\)
  13. \((3x + 1)(x - 3)\)
  14. \((2x+1)(2x-3)\)

习题 17 习题 12 和 习题 13 中的代数恒等式使用频率极高，务必牢记。今后见到二项式平方时，可直接使用恒等式，不必重新推导。例如展开 \((x+3)^2\)，可直接由恒等式得： \[ (x+3)^{2}=x^{2}+6x+9 \]

注记
  • \((a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\)
  • \((a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\)

请用此法快速展开下列各式：

  1. \((x+5)^{2}\)
  2. \((x-5)^{2}\)
  3. \((x+11)^{2}\)
  4. \((x-12)^{2}\)
  5. \((2 x+1)^{2}\)
  6. \((3 x-2)^{2}\)
  7. \((a+\sqrt{2})^{2}\)【提示：根据定义，\(\sqrt{2}\) 是某数平方为 \(2\) 的数，因此 \((\sqrt{2})^{2}\) 的结果是？】
  8. \((a-\sqrt{2})^{2}\)
  9. \((2 x+1/2)^{2}\)
  10. \((2 a+3 b)^{2}\)
  11. \((\sqrt{x}-1)^{2}\)
  1. \(x^{2}+10x+25\)
  2. \(x^{2}-10x+25\)
  3. \(x^{2}+22x+121\)
  4. \(x^{2}-24x+144\)
  5. \(4x^{2}+4x+1\)
  6. \(9x^{2}-12x+4\)
  7. \(a^{2}+2a\sqrt{2}+2\)（其中 \((\sqrt{2})^{2}=2\)）
  8. \(a^{2}-2a\sqrt{2}+2\)
  9. \(4x^{2}+2x+\dfrac{1}{4}\)
  10. \(4a^{2}+12ab+9b^{2}\)
  11. \(x-2\sqrt{x}+1\)

负负得正的原理

负数的运算法则用借贷思想就很容易理解：\((-1)(1)=-1\) 可理解为存在 \(1\) 笔 \(-1\) 元的债务， \(-1+1=0\) 即 \(1\) 元债务与 \(1\) 元存款抵消。

但为什么 \((-1)(-1)=1\)？用借贷解释不够严谨。更严谨、更优美的证明，完全基于分配律。

命题 2 \((-1)(-1)=1\)

证明. \[ \begin{align*} 0 &= (-1)(0) \quad &&\text{（乘法零元律：零乘任何数都得 $0$）} \\ &= (-1)(-1+1) \quad && \text{（加法逆元律：相反数相加得 $0$）}\\ &= (-1)(-1) + (-1)(1) \quad &&\text{（左分配律）} \\ &= (-1)(-1) -1 \end{align*} \]

我们已推导出 \(0=(-1)(-1)-1\)。这说明：只有 \(1\) 满足“减去 \(1\) 等于 \(0\)”。故 \((-1)(-1)=1\)，负负得正得证。

由于任何负数都可以写成 \((-1)\) 乘以一个正数的形式： \[ (-2)(-3)=(-1)(2)(-1)(3)=(2)(3)(-1)(-1)=2\times3=6 \]

这里最后一个等号的依据，正是 命题 2。

若要对任意两个负数相乘给出正式证明，可如下进行：

命题 3 (负负得正) 对任意 \(a\) 和 \(b\)，都有 \((-a)(-b)=ab\)。

证明. 设 \(-a\) 和 \(-b\) 为任意两个负数，则： \[ \begin{aligned} (-a)(-b) &= (-1)\cdot a \cdot (-1)\cdot b \quad&&\text{（负数定义：$-1$ 乘以正数）}\\ &= a\cdot b\cdot (-1)\cdot (-1) \quad&&\text{（乘法交换律：连乘顺序不重要）}\\ &= ab\cdot 1 \quad&&\text{（负负得正）}\\ &= ab \end{aligned} \]

恭喜你，现在你已经真正理解负负得正的原理。相信你也深刻体会到分配律的核心作用：它支撑着快速心算、多项式运算、因式分解，以及负负得正的底层逻辑。分配律将作为基本法则，在后续运算中持续发挥作用。

数学思维的培养，在于体会简单思想背后的强大力量。接下来我们将进入分数的学习，在此之前，请完成下面的练习。

练习

习题 18 理解除法的本质有助于掌握负数的除法：
\(10 \div 5\) 的含义是：求 \(5×?=10\)，得 \(2\)。
类似地，\(8 \div (-4)\) 的含义是：求 \(-4×?=8\)，得 \(-2\)。
除法的代数定义：若 \(x\div y=z\)，则 \(y\times z=x\)，其中 \(y\neq0\)。

  1. 解释 \((-8) \div (-4)=2\)。
  2. 证明：负数 \(\div\) 负数 \(=\) 正数。
  3. 解释 \(9 \div (-3)=-3\)。
  4. 证明：正数 \(\div\) 负数 \(=\) 负数。
  5. 负数 \(\div\) 正数的符号是什么？
  1. 求：\(-4×?=(-8)\)，得 \(2\)
  2. 设 \(-a÷-b=c\)，则 \(-b×c=-a\)，两边乘 \(-1\) 得 \(b×c=a\)，故 \(c=a/b>0\)
  3. 求：\(-3×?=9\)，得 \(-3\)
  4. 设 \(a÷-b=c\)，则 \(-b×c=a\)，两边乘 \(-1\) 得 \(b×c=-a\)，故 \(c=-a/b<0\)
  5. 负数（同理可证）

习题 19 解释为什么 \(10 \div\dfrac{1}{3}=30\)。

\(10÷\frac{1}{3}\) 即求：\(\frac{1}{3}×?=10\)，得 \(30\)。因为 \(\frac{1}{3}×30=10\)

习题 20 非零数能被 \(0\) 除吗？如果能，结果是什么？如果不能，为什么？

不可以。假设 \(a÷0=b\)，则 \(0×b=a\)。但 \(0×b=0≠a\)（\(a≠0\)），矛盾。

习题 21 \(0\) 能被非零数除吗？如果能，结果是什么？如果不能，为什么？

可以。\(0÷b=0\)，因为 \(b×0=0\)（\(b≠0\)）。

习题 22 \(0/0\) 的结果是什么？

未定义。\(0÷0\) 可等于任意数 \(c\)，因为 \(0×c=0\) 恒成立，无唯一解。

习题 23 回顾并证明为什么负负得正。

见 命题 2 证明：\((-1)(0)=0 ⇒ (-1)(-1+1)=0 ⇒ (-1)(-1)+(-1)(1)=0 ⇒ (-1)(-1)=1\)

分数的运算

分数的运算看起来规则繁多，但实际上所有法则都可以从两条基本法则推导出来：

  1. \(\dfrac{a}{b} = a \cdot \dfrac{1}{b}\)（除法等于乘以倒数）
  2. \(\dfrac{1}{m} \cdot \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{mn}\)（单位分数相乘）

掌握了这两条基本法则，再加上分配律，你就能推导出分数乘法、除法、加法和减法的所有规则。本节通过练习，帮助你熟练掌握分数运算。

练习

习题 24 给定分数的两条基本法则：

  1. \(\dfrac{a}{b} = a \cdot \dfrac{1}{b}\)（除法等于乘以倒数）
  2. \(\dfrac{1}{m} \cdot \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{mn}\)（单位分数相乘）

证明： \[ \left(\dfrac{2}{3}\right)\left(\dfrac{4}{5}\right) = \dfrac{8}{15} \] ::: {.callout-tip collapse=“true”} ## 答案 \[ \begin{aligned} \left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{4}{5}\right) &= 2\left(\frac{1}{3}\right) \cdot 4\left(\frac{1}{5}\right) \\ &= 8 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{5}\right) \\ &= 8 \cdot \frac{1}{15} = \frac{8}{15} \end{aligned} \]

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习题 25 化简下列分数：\(\dfrac{36}{48}\)，\(\dfrac{14}{42}\)，\(\dfrac{98}{100}\)。 ::: {.callout-tip collapse=“true”} ## 答案 \(\frac{3}{4}\), \(\frac{1}{3}\), \(\frac{49}{50}\)

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习题 26 化简 \(\dfrac{208 \cdot 144}{12 \cdot 104}\)，不要先计算 \(208 \cdot 144\) 和 \(12 \cdot 104\)。展示每一步并说明依据。 ::: {.callout-tip collapse=“true”} ## 答案 \[ \begin{aligned} \frac{208 \cdot 144}{12 \cdot 104} &= \frac{(8 \cdot 26) \cdot (12 \cdot 12)}{12 \cdot (4 \cdot 26)} \\ &= \frac{8 \cdot 12}{4} = 24 \end{aligned} \]

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习题 27 解释为什么 \(a\left(\dfrac{b}{c}\right)=\dfrac{ab}{c}\)。 ::: {.callout-tip collapse=“true”} ## 答案 \[ \begin{aligned} a\left(\frac{b}{c}\right) &= a \cdot b\left(\frac{1}{c}\right) \\ &= (ab)\left(\frac{1}{c}\right) = \frac{ab}{c} \end{aligned} \]

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习题 28 上述法则中最关键的词是因式。为避免混淆，让我们回顾：如果一个代数式可以写成 \(k \times (\text{某个表达式})\) 的形式，那么 \(k\) 就是该表达式的一个因式。
[例如，\(3x^2\) 是 \(6x^3y^2\) 的一个因式，因为后者可以写成 \(3x^2(2xy^2)\)。]

  1. \(2a^2b^2\) 是 \(4a^2b^2-18a^5b^3\) 的因式吗？请说明理由。
  2. 根据因式的定义，给出代数式中”项”的定义。
  3. 我们可以约去分子和分母中的公共项吗？如果能，为什么？如果不能，请举出反例。
  4. 化简：
    • \(\dfrac{a^{2} b}{a b^{2}}\)
    • \(\dfrac{3 x+3 x y}{6 x y z}\)
    • \(\dfrac{5a}{5a + 10b - 15c}\) ::: {.callout-tip collapse=“true”} ## 答案
  5. 是，\(4a^2b^2(1 - \frac{9}{2}a^3b)\)
  6. 项：表达式中通过加减连接的部分
  7. 不能，反例：\(\frac{a+b}{b} \neq \frac{a}{1}\)
  8. \(\frac{a}{b}\), \(\frac{1+y}{2yz}\), \(\frac{a}{a+2b-3c}\)

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习题 29 判断下列说法是否正确，并说明理由：

  1. \(\dfrac{3 a+a^{2}}{3 a}=1+a^{2}\)
  2. \(\dfrac{3 a+a^{2}}{3 a}=\dfrac{3+a}{3}\)
  3. \(\dfrac{6 a+6+12}{6}=a+3\)
  4. \(\dfrac{2 x+5}{10}=\dfrac{x+5}{5}\)
  5. \(\dfrac{9-x^{2}}{x^{2}+3 x}=\dfrac{3-x}{x}\)
  6. \(\dfrac{4}{12 x+8}=\dfrac{1}{3 x+2}\)
  7. \(\dfrac{2 b+3 c+4 d}{2 b+5 a}=\dfrac{3 c+4 d}{5 a}\)
  8. \(\dfrac{2 b+5 a}{2 b+3 c+4 d}=\dfrac{5 a}{3 c+4 d}\)
  9. \(\dfrac{a^{2} b^{4} c^{19}}{a b^{3} c^{20}}=\dfrac{a b}{c}\)
  10. \(\dfrac{a^{2} b^{4}}{a b^{3}+a b}=\dfrac{a b^{3}}{b^{2}+1}\)
  11. \(\dfrac{(a+b)(c+d)}{a c+a d+b c+b d}=1\)
  12. \(\dfrac{3 x-6 u x}{9 x^{2}-12 u x}=\dfrac{1-2 u}{3 x-4 u}\) ::: {.callout-tip collapse=“true”} ## 答案
  13. 错（应为 \(1+a\)）
  14. 错（应为 \(1+\frac{a}{3}\)）
  15. 对
  16. 错（应为 \(\frac{x}{5}+\frac{1}{2}\)）
  17. 对
  18. 对
  19. 错（分子分母无公因式）
  20. 错（同上）
  21. 对
  22. 错（应为 \(\frac{ab^3}{b^2+1}\)）
  23. 对
  24. 对

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习题 30 化简 \(\dfrac{98!}{100!}\)。 ::: {.callout-tip collapse=“true”} ## 答案 \[ \frac{98!}{100!} = \frac{98!}{100 \cdot 99 \cdot 98!} = \frac{1}{9900} \]

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习题 31 判断 \(\dfrac{\dfrac{a}{b}}{c}=\dfrac{a}{\dfrac{b}{c}}\) 是否成立，并说明你的结论。 ::: {.callout-tip collapse=“true”} ## 答案 不成立。左边 \(=\frac{a}{bc}\)，右边 \(=\frac{ac}{b}\)，仅当 \(c^2=1\) 时成立。

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习题 32 对任意数 \(a\)，其倒数定义为 \(\dfrac{1}{a}\)。 1. 证明”实用结论”：\(\dfrac{2}{3}\) 的倒数是 \(\dfrac{3}{2}\)。 2. 化简：\(\dfrac{1}{\dfrac{x}{y^{2}}}\)，\(\dfrac{1}{\dfrac{2 x+y}{42}}\)，\(\dfrac{1}{\dfrac{1}{a b}}\)，\(\dfrac{\dfrac{1}{b}}{c}\)。 ::: {.callout-tip collapse=“true”} ## 答案 1. \(\frac{1}{a/b} = 1 \cdot \frac{b}{a} = \frac{b}{a}\) 2. \(\frac{y^2}{x}\), \(\frac{42}{2x+y}\), \(ab\), \(\frac{1}{bc}\)

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习题 33 演示如何使用”乘以1”的技巧将 \(\dfrac{-2 x}{x-1}\) 转化为 \(\dfrac{2 x}{1-x}\)。 ::: {.callout-tip collapse=“true”} ## 答案 \[ \frac{-2x}{x-1} = \frac{-2x}{-(1-x)} = \frac{2x}{1-x} \]

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习题 34 化简： 1. \(\dfrac{x^{2}-4}{(x-4)(x+4)}\) 2. \(\dfrac{x^{2}-16}{(x-4)(x+4)^{2}}\) 3. \(\dfrac{\dfrac{x}{y}}{z}\) 4. \(\dfrac{\dfrac{a+b}{c}}{d}\) 5. \(\dfrac{\dfrac{a+b}{c}}{c d}\) 6. \(\dfrac{\dfrac{a}{b}}{c}\) 7. \(\dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}{4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}\) 8. \(\dfrac{3 a+2 b}{9 a^{2}-4 b^{2}}\) 9. \(\dfrac{3 x^{2}-15 x}{15 x-3 x^{2}}\) 10. \(\left[\left(\dfrac{a b}{c d} \cdot \dfrac{a c}{b d}\right) \div \dfrac{d^{2}}{a^{2}}\right] \dfrac{a^{4}}{d^{2}}\) 11. \(\dfrac{10 x^{2}-10 x-60}{5 x+10}\) 12. \(\dfrac{\dfrac{2 x^{2}-3 x-2}{2 x+1}}{\dfrac{x-2}{5}}\) ::: {.callout-tip collapse=“true”} ## 答案 1. \(\frac{x+2}{x+4}\) 2. \(\frac{1}{x+4}\) 3. \(\frac{x}{yz}\) 4. \(\frac{a+b}{cd}\) 5. \(\frac{a+b}{c^2d}\) 6. \(\frac{a}{bc}\) 7. \(1 \cdot 2 \cdot 3 = 6\) 8. \(\frac{1}{3a+2b}\) 9. \(-1\) 10. \(\frac{a^8}{d^4}\) 11. \(2(x-3)\) 12. \(5\)

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习题 35 去除所有括号并化简： 1. \(-(a-b)+(a+2b)\) 2. \((2a+b+3c)-2(c-a+b)\) 3. \(3(a-b)-3(b-a)\) 4. \((-2a-b)-[5a-(3a+3b)-(a-b)]\) 5. \(x-(x-y+z)+[x-y-(z+y+x)]\) 6. \(a-[a+(a-(a+a))]-a\) ::: {.callout-tip collapse=“true”} ## 答案 1. \(3b\) 2. \(4a-b+c\) 3. \(6(a-b)\) 4. \(-3a+3b\) 5. \(x-3z-2y\) 6. \(a\)

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习题 36 从 \(-x^{2}+5x+1\) 中减去 \(2x^{2}+x-1\)。 ::: {.callout-tip collapse=“true”} ## 答案 \[ (-x^2+5x+1)-(2x^2+x-1) = -3x^2+4x+2 \]

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习题 37 详细解释为什么 \(\dfrac{7}{6}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{22}{15}\)。 ::: {.callout-tip collapse=“true”} ## 答案 \[ \begin{aligned} \frac{7}{6}+\frac{3}{10} &= \frac{35}{30}+\frac{9}{30} \\ &= \frac{44}{30} = \frac{22}{15} \end{aligned} \]

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习题 38 化简： 1. \(\left(\dfrac{\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{5}}{\dfrac{7}{11}-\dfrac{1}{2}}+\dfrac{3}{4}\right) \dfrac{1}{2}\) 2. \(-\dfrac{3}{7}-\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{5}\right)\) 3. \(1-\left[\left(\dfrac{-\dfrac{2}{3}}{\dfrac{8}{9}}\right) \div\left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{-8}{7}\right)\right]\) ::: {.callout-tip collapse=“true”} ## 答案 1. \(\frac{43}{30}\) 2. \(-\frac{107}{105}\) 3. \(\frac{5}{14}\)

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习题 39 在上面的例2中，我们使用 \(6a^2b\) 作为公分母。如果我们改用 \(12a^3b^2\)，结果会改变吗？重新计算验证。 ::: {.callout-tip collapse=“true”} ## 答案 结果不变。\(\frac{3}{2a^2b} \cdot \frac{6ab}{6ab} + \frac{7}{6ab} \cdot \frac{2a^2b}{2a^2b} = \frac{18ab + 14a^2b}{12a^3b^2} = \frac{9+7a}{6a^2b}\)

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习题 40 合并为一个分数并化简： 1. \(\dfrac{3}{5}+\dfrac{a-3}{5}\) 2. \(\left(\dfrac{3}{5}\right)\left(\dfrac{a-3}{5}\right)\) 3. \(\dfrac{a+b}{15 b}-\dfrac{a-b}{15 b}\) 4. \(\dfrac{5 x}{y}+\dfrac{y}{5 x}\) 5. \(\dfrac{3}{4 a x^{2}}+\dfrac{x}{2 a}\) 6. \(\dfrac{2 x-3}{x-2}-\dfrac{x-4}{x-2}\) 7. \(\dfrac{2}{x y}+\dfrac{3}{y z}+\dfrac{4}{x z}\) 8. \(\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{3}{x^{3}}-\dfrac{4}{x^{4}}\) 9. \(\dfrac{2}{x(x+1)}-\dfrac{(x-2)}{x(x-1)}\) 10. \(\dfrac{3}{a-3}-\dfrac{2}{a}\) 11. \(3-\dfrac{1}{2 x+1}\) 12. \(1-\dfrac{1+x}{1-x}\) 13. \(\dfrac{1}{x+h}-\dfrac{1}{x}\) 14. \(\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{3}{x(x-1)}-\dfrac{4}{(x-1)^{2}}\) ::: {.callout-tip collapse=“true”} ## 答案 1. \(\frac{a}{5}\) 2. \(\frac{3(a-3)}{25}\) 3. \(\frac{2b}{15b} = \frac{2}{15}\) 4. \(\frac{25x^2+y^2}{5xy}\) 5. \(\frac{3+2ax^3}{4ax^2}\) 6. \(\frac{x+1}{x-2}\) 7. \(\frac{2z+3x+4y}{xyz}\) 8. \(\frac{x^3-2x^2+3x-4}{x^4}\) 9. \(\frac{-x^2+3x-2}{x(x^2-1)}\) 10. \(\frac{a+6}{a(a-3)}\) 11. \(\frac{6x+2-1}{2x+1} = \frac{6x+1}{2x+1}\) 12. \(\frac{-2x}{1-x}\) 13. \(\frac{-h}{x(x+h)}\) 14. \(\frac{x^3-5x^2+9x-4}{x^2(x-1)^2}\)

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习题 41 化简： 1. \(\dfrac{1}{\dfrac{b-c}{b+c}}\) 2. \(\dfrac{\dfrac{1}{b-c}}{b+c}\) 3. \(\left(\dfrac{1}{\dfrac{1}{b-c}}\right)(b+c)\) 4. \(\left(\dfrac{\dfrac{1}{1}}{b-c}\right) b+c\) ::: {.callout-tip collapse=“true”} ## 答案 1. \(\frac{b+c}{b-c}\) 2. \(\frac{1}{(b-c)(b+c)}\) 3. \((b-c)(b+c)\) 4. \(\frac{b}{b-c}+c\)

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习题 42 判断下列说法是否正确，并说明理由： 1. \(-3^{2}=9\) 2. \(-x\) 总是表示一个负数。 3. \((-3)^{2}=-9\) 4. \(a-b=-(b-a)\)。 5. \(\dfrac{(2 x+1)\left[(3 x-7)+\left(x^{2}+1\right)\right]}{(2 x+1)\left(x^{3}+8\right)}=\dfrac{(3 x-7)+\left(x^{2}+1\right)}{x^{3}+8}\) 6. \(\dfrac{(2 x+1)(3 x-7)+\left(x^{2}+1\right)}{(2 x+1)\left(x^{3}+8\right)}=\dfrac{(3 x-7)+\left(x^{2}+1\right)}{x^{3}+8}\) 7. \(\dfrac{a+b}{c+d}=\dfrac{(a+b)}{(c+d)}\) ::: {.callout-tip collapse=“true”} ## 答案 1. 错（应为 \(-9\)） 2. 错（\(x\) 为负时 \(-x\) 为正） 3. 错（应为 \(9\)） 4. 对 5. 对（分子分母有公因式） 6. 错（分子无公因式） 7. 对

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习题 43 合并为一个分数并化简： 1. \(\dfrac{3}{x-2}+\dfrac{1}{2-x}\) 2. \(\dfrac{\dfrac{1}{x+h}-\dfrac{1}{x}}{h}\) 3. \(\dfrac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}\) 4. \(\dfrac{(a-b^{2})(a+b^{2})}{a^{2}-b^{4}} \cdot \dfrac{a+\dfrac{1}{a}}{a}\) 5. \(\left[\dfrac{5 x+4}{x+1}-\dfrac{-3 x^{2}+9 x+4}{(x+1)^{2}}\right] \div\left(\dfrac{4 x^{3}}{(x+1)^{2}}\right)\) 6. \(1+\dfrac{1}{x-1}\) 7. \(\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x-1}}\) 8. \(\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x}}}}\) 9. \(\dfrac{\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a-b}}{\dfrac{3 a}{2}-\dfrac{4 a}{3}}\) 10. \(\left(\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}} \cdot \dfrac{\left(1+x^{2}\right)\left(-x^{2}\right)}{x^{4}}\right)(a-b)\) ::: {.callout-tip collapse=“true”} ## 答案 1. \(\frac{2}{x-2}\) 2. \(-\frac{1}{x(x+h)}\) 3. \(2x+h\) 4. \(1+\frac{1}{a^2}\) 5. \(\frac{1}{x}\) 6. \(\frac{x}{x-1}\) 7. \(\frac{x-1}{x}\) 8. \(\frac{x}{x+1}\) 9. \(\frac{4}{a(3a-8)}\) 10. \(-x^2(a-b)\)

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习题 44 本章开头提到，所有分数运算都基于两条基本法则： \[\dfrac{a}{b}=a\left(\dfrac{1}{b}\right) \quad \text{和} \quad \left(\dfrac{1}{a}\right)\left(\dfrac{1}{b}\right)=\dfrac{1}{ab}\]

  1. 验证”乘以1”的技巧可由这两条法则推导。
  2. 验证分数除法法则。
  3. 验证分数加减法法则。
  4. 确认所有分数运算都建立在这两条基础法则之上。
  1. \(\frac{a}{b} = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{c} = \frac{ac}{bc}\)
  2. \(\frac{a/b}{c/d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{c/d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}\)
  3. \(\frac{a}{b}+\frac{c}{d} = a\frac{1}{b}+c\frac{1}{d} = \frac{ad+bc}{bd}\)
  4. 正确，所有法则均可从两条基础法则推导

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