第1章答案

作者

Seth Braver

第1章 答案

  1. 一种可能性：\(2(3 \cdot 4) \neq 2(3) \cdot 2(4)\)。（左边 = 24，右边 = 48。）

\[\mathbf{7}.\ a)\ (1+2)^{2}\neq1^{2}+2^{2}\ v(LHS=9,RHS=5)\qquad b)\ \sqrt{9+16}\neq\sqrt{9}+\sqrt{16}.\ (LHS=5,RHS=7.)\]

  1. \(3x^{2} + 4x^{2} = (3 + 4)x^{2} = 7x^{2}\)。注意第一步中的”反分配”！更体面的名称是因式分解，因为它的作用是将代数表达式变为两个因子的乘积。你将在下一节中学到更多相关内容。

    1. 雅各布给了以扫正确的答案。

  1. 记住\(x^{2}\)和\(x^{3}\)实际意味着什么。这些是xx和xxx的简写表达式。因此，\(x^{2}x^{3}\)本身是\((xx)(xxx)\)的简写，即五个x相乘。当然，那就是\(x^{5}\)。

  2. \(x^{6}\)、\(x^{5}\)、\(x^{10}\)、\(6x^{6}\)、\(-30x^{5}\)。在倒数第二个例子中，\((2x^{2})(3x^{4})\)等于\(6x^{6}\)，因为\((2x^{2})(3x^{4})\)意味着\((2xx)(3xxxx)\)；这些因子可以按任何顺序相乘，所以我们有2乘以3乘以六个x因子，那当然是\(6x^{6}\)。最后一个例子类似的理由也成立。\(^{*}\)

\[6x^{2}-2x-28\quad b)2x^{2}-x-6\quad c)2x^{6}-6x^{5}+x^{4}-6x^{2}+18x-3\quad d)-x^{4}+4x^{3}-14x^{2}+20x-21\]

\[\mathsf{e})-x^{6}-x^{5}+2x^{4}-x^{2}+x\qquad\mathsf{f})x^{3}+6x^{2}+11x+6\qquad\mathsf{g})x^{4}-1\qquad\mathsf{h})x^{6}-1\qquad\mathsf{i})x^{100}-1.\]

\[\begin{aligned}16.\ a)\ (x+4)(x+2)\quad&b)\ (x-10)(x+10)\quad c)\ 5x(2x+1)\quad d)\ (x-5)(x-2)\quad e)\ 3(x-2)(x+1)\\ f)\ (x-5)(x+5)\quad&g)\ -4(x+4)^{2}\quad h)\ -15(x+3)(x-1)\quad i)\ (x-2)(x+2)(x^{2}+4)\quad j)\ (3x-2)(3x+2)\\ k)\ (3x^{2}-1)\ (3x^{2}+1)\ (9x^{4}+1)\quad&l)\ (2x+1)(x+2)\quad m)\ (3x+1)(x-3)\quad n)\ (2x+1)(2x-3)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}17.\ a)x^{2}+25+10x\quad&b)x^{2}+25-10x\quad&c)x^{2}+121+22x\quad&d)x^{2}+144-24x\quad&e)4x^{2}+1+4x\\ f)9x^{2}+4-12x\quad&g)a^{2}+2+2\sqrt{2}a\quad&h)a^{2}+2-2\sqrt{2}a\quad&i)4x^{2}+\frac{1}{4}+2x\quad&j)4a^{2}+9b^{2}+12ab\\ k)x+1-2\sqrt{x}\end{aligned}\]

    1. \((-8) \div (-4)\)问的是：“-4乘以什么得到-8？”答案当然是2。

  2. \(10 \div (1/3)\)问的是：“\((1/3)\)乘以什么得到10？”答案显然是30。

  3. 不。例如，\(6 \div 0\)问的是：“0乘以什么得到6？”这个问题没有有效答案；0乘以任何数都是0。出于这个原因，我们说除以零（任何非零数除以零）是未定义的。

  4. 是的。例如，\(0 \div 6\)问的是：“6乘以什么得到0？”答案显然是0。根据同样的推理，零除以任何非零数都是零。

  5. 这不会 work，因为一个特殊的原因。0/0问的问题（“0乘以什么得到0？”）承认矛盾的答案：0乘以0是0，所以看起来0/0 = 0；但同样，0乘以1是0，所以看起来0/0 = 1。实际上，0/0似乎等于每个数。但如果那是真的，那么所有数都将相等，这是荒谬的。因此，为了保持数学的连贯性，我们必须让0/0保持未定义。

  6. 第一个直观的分数规则意味着\((2/3)(4/5)=2(1/3)4(1/5)\)。由于我们可以按任何顺序相乘而不会改变结果，我们将重新排列这些为：\((2)(4)(1/3)(1/5)\)。在将两个整数相乘后，这变成\(8(1/3)(1/5)\)。通过第二个直观的分数规则，这是\(8(1/15)\)。最后，我们再应用一次第一个直观的分数规则，由此发现我们的乘积等于8/15，如主张。

  7. 将a写为a/1，然后相乘。

    1. 是的，因为\(4a^{2}b^{2}-18a^{5}b^{3}=2a^{2}b^{2}(2-9a^{3}b)\)。

  1. 如果表达式可以写成\(k + (\text{something})\)的形式，那么k是代数表达式的项。

  2. 不。反例：\(\frac{4+2}{1+2} \neq \frac{4}{1}\)。（左边 = 2，右边 = 4）

  3. \(\frac{a}{b}\)、\(\frac{1+y}{2yz}\)、\(\frac{a}{a+2b-3c}\)、\(c+d\)。

  1. a, d, g, h是假的。32. 1/9900 33. 假。34. b) \(y^{2}/x\)、\(42/(2x+y)\)、ab、\(1/(bc)\)。

  2. 上下同时乘以-1。[在下面，使用有用的 fact \(-(a-b)=b-a\)]

    1. 没有真正的简化是可能的。（你可以因式分解顶部，但这并不会真正简化它。）

\[b)\frac{1}{x+4}\quad c)\frac{x}{yz}\quad d)\frac{a+b}{cd}\quad e)\frac{a+b}{c^{2}d}\quad f)\frac{1}{acd}\quad g)6\quad h)\frac{1}{3a-2b}\quad i)-1\quad j)\frac{a^{8}}{d^{6}}\quad k)2(x-3)\]

    1. 3b b) \(4a - b + c\) c) 6a - 6b d) b - 3a e) -y - 2z f) 0

  2. \(-3x^{2} + 4x + 2\) 40. a) 1807/360 b) -52/105 c) 215/152

  3. 结果会是相同的。（在最后会有一些额外的约简要处理。）

    1. a/5 b) \(\frac{3a-9}{25}\) c) 2/15 d) \(\frac{25x^{2}+y^{2}}{5xy}\) e) \(\frac{3+4x^{3}}{4ax^{2}}\) f) \(\frac{x+1}{x-2}\) g) \(\frac{2z+3x+4y}{xyz}\)
  1. \(\frac{x^{3}-2x^{2}+3x-4}{x^{4}}\) i) \(\frac{3-x}{x^{2}-1}\) j) \(\frac{a+6}{a(a-3)}\) k) \(\frac{6x+2}{2x+1}\) l) \(\frac{2x}{x-1}\) [你接近了吗？回想练习35。]

\[\mathsf{m})\frac{-h}{x(x+h)}\qquad\mathsf{n})\frac{x^{3}-5x^{2}+2x-2}{x^{2}(x-1)^{2}}\]

    1. \(\frac{b + c}{b - c}\) b) \(\frac{1}{b^{2} - c^{2}}\) c) \(b^{2} - c^{2}\) d) \(\frac{b + c}{b - c}\)
    1. 假（LHS = -9）b) 假（如果x < 0，那么 -x > 0。）c) 假（LHS = 9）d) 真

  1. 真（从分子和分母中消去公共因子）

  2. 假（\(((2x + 1))\)不是分子的因子。）g) 真

\[45.a)\frac{2}{x-2}\quad b)\frac{-1}{x(x+h)}\quad c)h+2x\quad d)\frac{a^{2}+1}{a^{2}}\quad e)\frac{2}{x}\quad f)\frac{x}{x-1}\quad g)\frac{x-1}{x}\quad h)-\frac{1}{x}\quad i)\frac{12}{a^{2}-b^{2}}\quad j)b-a\]