01 分数及其相关内容

整数与分数：数学的基石

整数是最朴素的计数工具，是数学的天然起点。从计数到测量、从算术到代数再到微积分，整数与分数共同搭建起整个数学的基础。

整数对应简单的计数，分数则用于描述部分与整体、满足测量与分割的需要。很多人学不好微积分，并非内容艰深，而是代数与分数运算的基础薄弱。

学好数学，不能只记法则、套公式，更要理解规则背后的逻辑。只记结论是易忘的“公理”，理解其中的原理才是真正掌握知识。

本章从核心的分配律出发，梳理分数与代数运算，不只讲“怎么算”，更讲清“为什么”，夯实数学底层逻辑。

分配律

分配律，全称乘法对加法的分配律，指：一个数与若干个数的和相乘，等于这个数分别与和式里的每一项相乘，再将全部所得的乘积相加。

例如： \[ 5(7+10)=(5\cdot 7)+(5 \cdot 10) \quad \text{和} \quad (b+c+d)a=ab+ac+ad \]

减法本质是加法的一种特殊形式，即 \(a + (-b) = a - b\)，因此分配律同样适用于减法： \[ (x-y-w) z=x z-y z-w z \quad \text{与} \quad 2 a(a-b+c)=2 a^{2}-2 a b+2 a c \]

提示提示

观察上面几个示例，找出左分配律和右分配律；分配律不管左右都能进行分配。

分配律是整个代数的基石，它不仅支撑着各类代数运算，也能解释许多常用的心算技巧，请看下面练习。

练习

习题 1 为了更直观理解分配律，请观察下方的图形。整个图形的面积，等于它所包含的两个矩形的面积之和。将前面这句话用包含 \(a\)、\(b\) 和 \(c\) 的代数式表达。
fig1-1

提示提示

整个图形的高为 \(a\)，它的宽是多少？

习题 2 请看下面这个心算技巧：
\[ 32 \times 7 = ? \]

我们可以这样想：

  1. \(32 \times 7\) 就是 \(30\) 个 \(7\) 加上 \(2\) 个 \(7\)。
  2. \(30\) 个 \(7\) 是 \(210\)，\(2\) 个 \(7\) 是 \(14\)。
  3. 因此，\(32 \times 7 = 210 + 14\)。

请解释分配律在这个计算过程中是如何发挥作用的。

习题 3 运用 习题 2 中的技巧，心算下列算式的结果：

  1. \(64 \cdot5\)
  2. \(82 \cdot4\)
  3. \(39 \cdot9\)
  4. \(6 \cdot42\)

习题 4 计算 \(15\%\) 可采用如下心算方法，并解释其中用到的分配律：
求 \(32\) 的 \(15\%\)：

  1. 先求 \(32\) 的 \(10\%\)，得 \(3.20\)。
  2. 再求 \(32\) 的 \(5\%\)，得 \(1.60\)。
  3. 因此：\(3.20 + 1.60 = 4.80\)。

请用分配律解释上述计算过程。

习题 5 心算下列金额的 \(15\%\)：
\(28\) 元、\(50\) 元、\(72\) 元、\(90\) 元。

习题 6 大家有时会对分配律过于滥用，试图在不适用的场景中强行使用。
例如，我们不能将乘法分配到乘法上。为了验证这一点，请举出一个反例，即找到一组具体的数字 \(a\)、\(b\)、\(c\)，使得 \(a(b \cdot c)\) 与 \(ab \cdot ac\) 不相等。

习题 7 请举出具体的反例，证明下列结论：

  1. 乘方不能对加法进行分配。即 \((a+b)^{n} ≠a^{n}+b^{n}\)。
  2. 平方根不能对加法进行分配。即 \(\sqrt{a+b} ≠\sqrt{a}+\sqrt{b}\)。
注记核心结论

乘法仅对加法满足分配律，并非所有运算都能对加法分配！

多项式乘法法则的本质

在代数入门时，我们就学过二项式相乘：把 \((a+b)(c+d)\) 展开成 \(ac+ad+bc+bd\)。国外的讲师常用 FOIL 来记忆这个法则：First 首项相乘、Outer 外项相乘、Inner 内项相乘、Last 末项相乘。

很多人都会用这个法则，却很少明白它的原理。其实它的本质就是分配律：我们可以把其中一个二项式看作整体，再逐项分配。为了清晰展示这一点，下面例子用方框包裹被视作整体的二项式，推导如下： \[ \begin{align*} \boxed{(a+b)}(c+d) &= \boxed{(a+b)}(c+d) \\ &= \boxed{(a+b)}c + \boxed{(a+b)}d \quad &&\text{（分配整体$\boxed{(a+b)}$）} \\ &= ac+bc+ad+bd \quad &&\text{（分别分配 $c$ 和 $d$）} \end{align*} \]

由此可见，所谓的 FOIL 运算，本质上只是多次运用分配律。如果你理解了这一点，就能轻松掌握两个三项式相乘、三个二项式相乘等更复杂的运算，完全不用死记硬背。

练习

习题 8 复习并证明为什么 FOIL 法则只是分配律的一个推论。

习题 9 我们知道代数式 \(3x^2+4x^2\) 可化简为 \(7x^2\)，但这并非凭直觉，而是有严谨依据。有人会错误认为 \((3x^2)(4x^2)=12x^2\)，但运算规则并不以直觉为准。实际上，\(3x^2+4x^2=7x^2\) 的依据是分配律。请解释其中的原理。
【提示：这需要动下脑子，试着对 \(3x^2+4x^2\) 进行”逆用分配律”。】

习题 10  

  1. 判断并说明：化简 \(x^2 x^3\) 时，有两种做法：
    • 做法 A：将指数相乘，得 \(x^6\)
    • 做法 B：将指数相加，得 \(x^5\)
      • 哪种做法是正确的？
      • 请用拆分法，严谨解释为什么正确。
  2. 化简下列各式：
    \(x^{3} x^{3}\)，\(x x^{4}\)，\(x^{4} x^{6}\)，\((2 x^{2})(3 x^{4})\)，\((-3 x^{3})(2 x)(5 x)\)

习题 11 只用分配律（合适情况也可用 FOIL 法则），计算下列多项式的乘积：

  1. \((3 x-7)(2 x+4)\)
  2. \((-x+2)(-2 x-3)\)
  3. \(\left(-x^{4}+3\right)\left(-2 x^{2}+6 x-1\right)\)
  4. \((x^{2}-2 x+3)(-x^{2}+2 x-7)\)
  5. \(\left(x^{3}+x^{2}-x+1\right)\left(-x^{3}+x\right)\)
  6. \((x+1)(x+2)(x+3)\)
  7. \((x-1)\left(x^{3}+x^{2}+x+1\right)\)
  8. \((x-1)\left(x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\right)\)
  9. \((x-1)(x^{99} + x^{98} + x^{97} + \cdots +x^{3}+x^{2}+x+1)\)

【第 6 小题提示：分步计算，先算 \((x+1)(x+2)\)，再将结果与 \((x+3)\) 相乘。】

注记

研究 习题 11 中的 7、8、9 题，推出 \(x^n + x^{n-1} + \dots + x^2 + x^1 + 1\) 等比数列和公式。

多项式因式分解

因式分解，本质就是分配律的逆运算（即逆用分配律，逆分配）。 例如 \(3x^2+6x-18=3(x^2+2x-6)\)，从右向左看，正是分配律保证了等式成立。

平方差公式 \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) 也是如此。 从左向右看似乎很抽象，但若从右向左，将右侧展开并与左边对比，即可证明其成立。 下面给出证明，其中将二项式视为整体的部分会用方框标出。

命题 1 对任意 \(a\) 和 \(b\)，都有 \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\)。

证明. \[\begin{align*} \boxed{(a-b)}(a+b) &= \boxed{(a-b)}(a+b) \\ &= \boxed{(a-b)}a + \boxed{(a-b)}b \quad &&\text{（分配整体 $\boxed{(a-b)}$）} \\ &= a^{2}-ab+ab-b^{2} \quad &&\text{（分别分配 $a$ 和 $b$）} \\ &= a^{2}-b^{2} \quad &&\text{（命题得证）} \end{align*}\]

平方差公式的证明，本质只是使用了三次分配律。可以说，它之所以成立，完全因为分配律。

多项式因式分解的本质，就是分配律的逆运算，所有分解都能通过展开验证。因此，因式分解的基础就是分配律。

常用多项式因式分解只需三个方法：

  1. 提取公因式
  2. 运用平方差公式
  3. 试凑并验证

前两个技巧完全是机械性的，无需过多解释。下面举一个依次使用这两个技巧的例子： \[ 2x^2-32=2(x^2-16)=2(x-4)(x+4) \]

非常简单：先提取公因式 \(2\)，再利用平方差公式分解。平方差公式使用频率极高，务必牢记。

第三个技巧（试凑法）最适合用于形如 \(ax^2+bx+c\) 的二次多项式。例如分解 \(x^2+x-12\)，可先假设形式为： \[ x^2+x-12=(x\quad)(x\quad) \]

先填两个 \(x\)，是因为其乘积 \(x\cdot x=x^2\)，与多项式首项一致。

继续猜测：因式中的常数项乘积必须等于 \(-12\)。先试 \((x-4)(x+3)\)，心算展开后一次项为 \(-x\)，不符合。调换符号为 \((x+4)(x-3)\)，验证成立，即 \[ x^2+x-12=(x+4)(x-3) \]

这就是试凑法的完整思路。多加练习即可快速形成直觉。

因式分解的计算效率依赖心算二项式乘法，本质就是 FOIL 法则与分配律。多加练习即可熟练掌握。

练习

习题 12 证明：\((a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\)。

习题 13 证明：\((a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\)。

习题 14 证明：\((a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\)。

习题 15 证明立方差公式：\(a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\)。

习题 16 将下列多项式分解到最简形式：

  1. \(x^{2}+6 x+8\)
  2. \(x^{2}-100\)
  3. \(10 x^{2}+5 x\)
  4. \(x^{2}-7 x+10\)
  5. \(3 x^{2}-3 x-6\)
  6. \(x^{2}-25\)
  7. \(-4 x^{2}-32 x-64\)
  8. \(-15 x^{2}-30 x+45\)
  9. \(x^{4}-16\)【提示：\(x^{4}=\left(x^{2}\right)^{2}\)】
  10. \(9 x^{2}-4\)【提示：首项是一个平方数】
  11. \(81 x^{8}-1\)
  12. \(2x^{2} + 5x+ 2\)【提示：\((2x\quad)(x\quad)\)】
  13. \(3 x^{2}-8 x-3\)
  14. \(4 x^{2}-4 x-3\)

习题 17 习题 12 和 习题 13 中的代数恒等式使用频率极高，务必牢记。今后见到二项式平方时，可直接使用恒等式，不必重新推导。例如展开 \((x+3)^2\)，可直接由恒等式得： \[ (x+3)^{2}=x^{2}+6x+9 \]

请用此法快速展开下列各式：

  1. \((x+5)^{2}\)
  2. \((x-5)^{2}\)
  3. \((x+11)^{2}\)
  4. \((x-12)^{2}\)
  5. \((2 x+1)^{2}\)
  6. \((3 x-2)^{2}\)
  7. \((a+\sqrt{2})^{2}\)【提示：根据定义，\(\sqrt{2}\) 是某数平方为 \(2\) 的数，因此 \((\sqrt{2})^{2}\) 的结果是？】
  8. \((a-\sqrt{2})^{2}\)
  9. \((2 x+1/2)^{2}\)
  10. \((2 a+3 b)^{2}\)
  11. \((\sqrt{x}-1)^{2}\)

负负得正的原理

负数的运算法则用借贷思想就很容易理解：\((-1)(1)=-1\) 可理解为存在 \(1\) 笔 \(-1\) 元的债务， \(-1+1=0\) 即 \(1\) 元债务与 \(1\) 元存款抵消。

但为什么 \((-1)(-1)=1\)？用借贷解释不够严谨。更严谨、更优美的证明，完全基于分配律。

命题 2 \((-1)(-1)=1\)

证明. \[ \begin{align*} 0 &= (-1)(0) \quad &&\text{（乘法零元律：零乘任何数都得 $0$）} \\ &= (-1)(-1+1) \quad && \text{（加法逆元律：相反数相加得 $0$）}\\ &= (-1)(-1) + (-1)(1) \quad &&\text{（左分配律）} \\ &= (-1)(-1) -1 \end{align*} \]

我们已推导出 \(0=(-1)(-1)-1\)。这说明：只有 \(1\) 满足“减去 \(1\) 等于 \(0\)”。故 \((-1)(-1)=1\)，负负得正得证。

由于任何负数都可以写成 \((-1)\) 乘以一个正数的形式： \[ (-2)(-3)=(-1)(2)(-1)(3)=(2)(3)(-1)(-1)=2\times3=6 \]

这里最后一个等号的依据，正是 命题 2。

若要对任意两个负数相乘给出正式证明，可如下进行：

命题 3 (负负得正) 对任意 \(a\) 和 \(b\)，都有 \((-a)(-b)=ab\)。

证明. 设 \(-a\) 和 \(-b\) 为任意两个负数，则： \[ \begin{aligned} (-a)(-b) &= (-1)\cdot a \cdot (-1)\cdot b \quad&&\text{（负数定义：$-1$ 乘以正数）}\\ &= a\cdot b\cdot (-1)\cdot (-1) \quad&&\text{（乘法交换律：连乘顺序不重要）}\\ &= ab\cdot 1 \quad&&\text{（负负得正）}\\ &= ab \end{aligned} \]

恭喜你，现在你已经真正理解负负得正的原理。相信你也深刻体会到分配律的核心作用：它支撑着快速心算、多项式运算、因式分解，以及负负得正的底层逻辑。分配律将作为基本法则，在后续运算中持续发挥作用。

数学思维的培养，在于体会简单思想背后的强大力量。接下来我们将进入分数的学习，在此之前，请完成下面的练习。

练习

习题 18 理解除法的本质，就能掌握负数除法： \(10 \div 5\) 即求：\(5×?=10\)，得 \(2\)。 同理，\(8 \div (-4)\) 即求：\(-4×?=8\)，得 \(-2\)。 代数化除法的定义：若 \(x\div y=z\)，则 \(y\times z=x\)，\(y\neq0\)

  1. 解释 \((-8) \div (-4)=2\)。
  2. 验证：\(负数 \div 负数=正数\)。
  3. 解释 \(9 \div (-3)=-3\)。
  4. 验证：\(正数 \div 负数 = 负数\)。
  5. \(负数 \div 正数\)，结果符号是什么？

习题 19 解释为什么 \(10 \div\dfrac{1}{3}=30\)。

习题 20 表达式 \(-\dfrac82\)、\(\dfrac8{-2}\) 与 \(-\left(\dfrac82\right)\) 相等，均为 \(-4\)； 同理 \(-\dfrac35\)、\(\dfrac3{-5}\) 与 \(-\left(\dfrac35\right)\) 也相等。

一般规律：对任意 \(a,b\)（\(b\neq0\)），有 \[ -\dfrac{a}{b} = \dfrac{a}{-b} = -\left(\dfrac{a}{b}\right) \]

请自行验证。

习题 21 一个非零的数可以除以 \(0\) 吗？如果可以，结果是多少？如果不可以，为什么？

习题 22 \(0\) 可以除以一个非零的数吗？如果可以，结果是多少？如果不可以，为什么？

习题 23 \(0/0\) 的结果是什么？

习题 24 复习并证明为什么负负得正。

分数：推导出所有运算法则的两条核心法则

我们一个例子开始分数的学习：你吃一张酱香饼的 \(\dfrac{2}{5}\)，和分两次吃这张酱香饼的 \(\dfrac{1}{5}\)，吃的总量是一样多的。把这句话转化为符号，就是： \[ \dfrac{2}{5}=2\left(\dfrac{1}{5}\right) \]

这里的 \(2\) 和 \(5\) 并无特殊之处。 例如 \(\dfrac{7}{8}\) 就是 \(7\) 个 \(\dfrac{1}{8}\)，即 \[ \dfrac{7}{8}=7\left(\dfrac{1}{8}\right) \]

代数化这个规律：

命题 4 (分数的乘法定义) \[ \dfrac{a}{b}=a\left(\dfrac{1}{b}\right) \]

接下来是第二个例子：10个 \(\dfrac{1}{10}\) 可以组成一个整体，如果把每个 \(\dfrac{1}{10}\) 再平均分成3份，就会得到 \(30\) 个大小相等的部分。因此，\(\dfrac{1}{10}\) 的 \(\dfrac{1}{3}\)，恰好就是整体的 \(\dfrac{1}{30}\)。用符号表示就是： \[ \left(\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{1}{10}\right)=\dfrac{1}{30} \]

同理，\(\dfrac{1}{2}\) 的 \(\dfrac{1}{8}\) 一定是 \(\dfrac{1}{16}\)，即 \(\left(\dfrac{1}{8}\right)\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{16}\)。这里的代数规律是：

命题 5 (单位分数乘法性质) \[ \left(\dfrac{1}{a}\right)\left(\dfrac{1}{b}\right)=\dfrac{1}{ab} \]

我们将这两条“分数法则”作为公理，认定它们对所有 \(a\) 和 \(b\) 都成立。

接下来的惊喜是：分数四则运算的全部内容，都可由这两条简单法则逻辑推导而出。这对觉得分数很难的学习者是绝佳消息，同时我们也会借此厘清更多代数知识。

练习

习题 25 已知分数的两条基本法则：

  1. \(\dfrac{a}{b} = a \cdot \dfrac{1}{b}\)（除法等于乘以倒数）
  2. \(\dfrac{1}{m} \cdot \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{mn}\)（单位分数相乘，分母相乘）

请基于这两条法则，证明： \[ \left(\dfrac{2}{3}\right)\left(\dfrac{4}{5}\right) = \dfrac{8}{15} \]

分数的乘法与约分

由两条核心“分数法则”可完整推导出分数乘法法则（若已完成 习题 25 ，即已自行发现该推导）。

命题 6 (分数乘法法则) 两个分数相乘，分子相乘的积作为新的分子，分母相乘的积作为新的分母。用符号表示为： \[ \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd} \]

证明. \[\begin{align*} \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} &= a\left(\dfrac{1}{b}\right) \cdot c\left(\dfrac{1}{d}\right) \quad &&\text{（分数的乘法定义）} \\ &= ac \cdot \left(\dfrac{1}{b}\right)\left(\dfrac{1}{d}\right) \quad &&\text{（乘法交换律）} \\ &= ac \cdot \dfrac{1}{bd} \quad &&\text{（单位分数乘法性质）} \\ &= \dfrac{ac}{bd} \quad &&\text{（逆用分数的乘法定义）} \end{align*}\]

例如： \[ \dfrac{6}{7}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{12}{21}=\dfrac{4}{7} \] 为什么可以把分子分母的公因数 \(3\) 约去？ 理解这一原理，对后续代数分式运算至关重要。

我们对分数进行“约分”，本质上是去掉分子和分母共有的因数。下面这个例子会清晰地展示这么做的合理性： \[\dfrac{12}{21}=\dfrac{4 \cdot 3}{7 \cdot 3}=\dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{3}{3}=\dfrac{4}{7} \cdot 1=\dfrac{4}{7}\]

由此可见，分数约分的本质就是消去一个隐藏的因数 \(1\)，非常简单。

练习

习题 26 约分下列分数：\(\dfrac{36}{48}\)，\(\dfrac{14}{42}\)，\(\dfrac{98}{100}\)。

习题 27 化简 \(\dfrac{208 \cdot 144}{12 \cdot 104}\)，不得先计算 \(208 \cdot 144\) 和 \(12 \cdot 104\) 的结果。请写出每一步的推导依据。
【提示：把分子中的大数拆分为更简单的因数，你会发现分子和分母存在一些公因数。去掉这些公因数后，计算会非常简单。】

习题 28 解释为什么 \(a\left(\dfrac{b}{c}\right)=\dfrac{ab}{c}\)。（这是另一个我们无时无刻不在使用，却很少思考其原理的代数结论。）

分数线上下的约分

大家都会约分 \(\dfrac{ab+a}{a}\)，但很少懂原理，常错写成 \(ab\) 或 \(b+a\)。 真正懂代数的人知道：约分就是消去隐藏的公因数 \(1\)，和普通分数的约分本质一样。

例 1 化简\(\dfrac{ab+a}{a}\)

解： \[ \begin{align*} \dfrac{ab+a}{a} &= \dfrac{a(b+1)}{a} \quad &&\text{（对分子提取公因式$a$）} \\ &= \dfrac{a}{a} \cdot \dfrac{b+1}{1} \quad &&\text{（逆用分数乘法法则）} \\ &= b+1 \quad &&\text{（因为 $\dfrac{a}{a}=1$）} \end{align*} \]

重申：约分，只是消去等于 1 的公因数。约分前先判断：能否分离出值为 1 的因数。 能才可约分；不能则不可约分。

分数线上下的约分规则

  • 如果分数的分子和分母有共同的因数，你可以在两处同时约掉这个因数。
  • 除此之外，任何情况下都不能对分数线上下的内容进行约分。

约分必须有逻辑依据，不能仅凭习惯。数学靠逻辑，而非权威。

练习

习题 29 上方规则最关键的词是因数。为了避免任何混淆，我们先回顾一下：如果一个代数表达式可以写成 \(k \times (\text{某个式子})\) 的形式，那么 \(k\) 就叫做这个表达式的因数。
【例如，\(3x^2\) 是 \(6x^3y^2\) 的一个因数，因为我们可以把后者写成 \(3x^2(2xy^2)\) 的形式。】

  1. \(2a^2b^2\) 是 \(4a^2b^2-18a^5b^3\) 的因数吗？如果是，请解释原因；如果不是，也请解释原因。
  2. 仿照上面因数的定义，给代数表达式的”项”下一个定义。
  3. 我们可以约掉分数分子和分母中共同的项吗？如果可以，为什么？如果不可以，请举出一个反例。
  4. 尽可能化简下列表达式：
    • \(\dfrac{a^{2} b}{a b^{2}}\)
    • \(\dfrac{3 x+3 x y}{6 x y z}\)
    • \(\dfrac{5a}{5a + 10b - 15c}\)

习题 30 一个经典的数学笑话：\(\dfrac{1\ \text{Kilo}}{\text{Kilo}\ 4}=\dfrac{1}{4}\)。谈谈你的理解。

“乘 \(1\)”的技巧

约分的本质是去掉因数 \(1\)。主动乘上一个形式为 \(1\)的式子，也能改写分数、方便计算，这就是“乘 \(1\)”的技巧，也是代数的核心思想。

举个例子： \(\dfrac{3}{5}\) 等于多少个\(\dfrac{1}{20}\)？ 给分母乘 \(4\) 得 \(20\)，分子也乘 \(4\)，相当于整个分数乘 \(1\)： \[ \dfrac{3}{5}=\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{4}{4}=\dfrac{12}{20} \]

这就是经典的“乘1”技巧。接下来，我们看看它在更重要的场景中的应用。

提示

还有一个类似的“加 \(0\)”技巧，我们将在第 3 章学的配方法就会用到它。

分数的除法

所有人都知道分数除法的法则，但很少有人知道它为什么成立。不过，只要你理解了经典的“乘1”技巧，它的解释就会变得非常简单。请看下面的证明。

命题 7 (分数除法法则) 一个分数除以另一个分数，等于“颠倒除数的分子分母，再与被除数相乘”。用符号表示为： \[ \dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}}=\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} \]

证明. \[ \begin{align*} \dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}} &= \dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}} \cdot \dfrac{\dfrac{d}{c}}{\dfrac{d}{c}} \quad &&\text{（“乘 $1$”技巧）} \\ &= \dfrac{\dfrac{ad}{bc}}{1} \quad &&\text{（分数乘法法则）} \\ &= \dfrac{ad}{bc} \quad &&\text{（除以 $1$ 不改变结果）} \\ &= \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} \quad &&\text{（分数乘法法则）} \end{align*} \]

下面我们来看一个典型的代数应用例题。

例 2 化简 \(\dfrac{\dfrac{a^{2}-b^{2}}{c}}{\dfrac{a-b}{c^{2}}}\)
解： \[ \begin{align*} \dfrac{\dfrac{a^{2}-b^{2}}{c}}{\dfrac{a-b}{c^{2}}} &= \dfrac{a^{2}-b^{2}}{c} \cdot \dfrac{c^{2}}{a-b} \quad &&\text{（颠倒相乘）} \\ &= \dfrac{\left(a^{2}-b^{2}\right) c^{2}}{c(a-b)} \quad &&\text{（分数乘法法则）} \\ &= \dfrac{\left(a^{2}-b^{2}\right) c}{a-b} \quad &&\text{（约掉分子分母的公因数 $c$）} \\ &= \dfrac{(a-b)(a+b) c}{a-b} \quad &&\text{（平方差公式分解因式）} \\ &= c(a+b) \quad &&\text{（约掉分子分母的公因数 $(a-b)$）} \end{align*} \]

可以看到，我们解题的每一步，都有之前已经证明成立的结论作为依据。因此，只要你理解了我们到目前为止讲的所有内容，这类题目就不会给你带来真正的困难。

练习

习题 31 判断下列说法的对错，并解释正确的结论为什么成立：

  1. \(\dfrac{3 a+a^{2}}{3 a}=1+a^{2}\)
  2. \(\dfrac{3 a+a^{2}}{3 a}=\dfrac{3+a}{3}\)
  3. \(\dfrac{6 a+6+12}{6}=a+3\)
  4. \(\dfrac{2 x+5}{10}=\dfrac{x+5}{5}\)
  5. \(\dfrac{9-x^{2}}{x^{2}+3 x}=\dfrac{3-x}{x}\)
  6. \(\dfrac{4}{12 x+8}=\dfrac{1}{3 x+2}\)
  7. \(\dfrac{2 b+3 c+4 d}{2 b+5 a}=\dfrac{3 c+4 d}{5 a}\)
  8. \(\dfrac{2 b+5 a}{2 b+3 c+4 d}=\dfrac{5 a}{3 c+4 d}\)
  9. \(\dfrac{a^{2} b^{4} c^{19}}{a b^{3} c^{20}}=\dfrac{a b}{c}\)
  10. \(\dfrac{a^{2} b^{4}}{a b^{3}+a b}=\dfrac{a b^{3}}{b^{2}+1}\)
  11. \(\dfrac{(a+b)(c+d)}{a c+a d+b c+b d}=1\)
  12. \(\dfrac{3 x-6 u x}{9 x^{2}-12 u x}=\dfrac{1-2 u}{3 x-4 u}\)

习题 32 表达式 \(n!\)（读作”\(n\) 的阶乘”）表示前 \(n\) 个正整数的乘积。例如：\(4!=4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=24\)。 题目：化简表达式 \(\dfrac{98!}{100!}\)。

习题 33 判断\(\dfrac{\dfrac{a}{b}}{c}=\dfrac{a}{\dfrac{b}{c}}\)是否成立，并解释你的结论。

习题 34 对任意一个数\(a\)，我们定义它的倒数为\(\dfrac{1}{a}\)。（例如，8 的倒数是\(\dfrac{1}{8}\)。） 实用结论：求一个分数的倒数，只需要把它的分子和分母颠倒位置即可。（例如，\(\dfrac{2}{3}\)的倒数是\(\dfrac{3}{2}\)。） 1. 证明上面的”实用结论”，牢记它，并在今后遇到相关表达式时直接使用。 2. 化简下列各式：\(\dfrac{1}{\dfrac{x}{y^{2}}}\)，\(\dfrac{1}{\dfrac{2 x+y}{42}}\)，\(\dfrac{1}{\dfrac{1}{a b}}\)，\(\dfrac{\dfrac{1}{b}}{c}\)。

习题 35 演示如何运用”乘 1”技巧，将\(\dfrac{-2 x}{x-1}\)化为更简洁的形式\(\dfrac{2 x}{1-x}\)。

习题 36 尽可能化简下列表达式： 1. \(\dfrac{x^{2}-4}{(x-4)(x+4)}\) 2. \(\dfrac{x^{2}-16}{(x-4)(x+4)^{2}}\) 3. \(\dfrac{\dfrac{x}{y}}{z}\) 4. \(\dfrac{\dfrac{a+b}{c}}{d}\) 5. \(\dfrac{\dfrac{a+b}{c}}{c d}\) 6. \(\dfrac{\dfrac{a}{b}}{c}\) 7. \(\dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}{4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}\) 8. \(\dfrac{3 a+2 b}{9 a^{2}-4 b^{2}}\) 9. \(\dfrac{3 x^{2}-15 x}{15 x-3 x^{2}}\) 10. \(\left[\left(\dfrac{a b}{c d} \cdot \dfrac{a c}{b d}\right) \div \dfrac{d^{2}}{a^{2}}\right] \dfrac{a^{4}}{d^{2}}\) 11. \(\dfrac{10 x^{2}-10 x-60}{5 x+10}\) 12. \(\dfrac{\dfrac{2 x^{2}-3 x-2}{2 x+1}}{\dfrac{x-2}{5}}\)

（关于括号的题外话）

代数是广义的算术：代数表达式代表的是未指定的数字。通常，我们可以用多种方式看待同一个表达式。比如\(3d-c\)，我们可以把它看作一个数字的表达式\((3d-c)\)，也可以看作两个数字\(3d\)和\(c\)的差，还可以看作三个数字3、\(d\)和\(c\)的组合。当我们想要强调把一个代数表达式看作一个单独的数字、一个整体时，我们就用括号把它括起来。

这就引出了本节的核心思想： 当我们对代数表达式进行组合运算时，我们会把每个表达式都看作一个单独的数字。因此，我们首先要把每个独立的表达式用括号括起来。在后续的步骤中，只要我们把括号前的负号或常数因子分配进去，就可以去掉括号。

例如，如果我们要用\(2d+c\)减去\(3d-c\)，我们需要先写出差值\((2d+c)-(3d-c)\)。第一组括号前面没有需要分配的内容，因此化简时可以直接去掉。但在去掉第二组括号之前，我们必须先把那个讨厌的负号分配进去。完成化简后，我们得到： \[(2d+c)-(3d-c)=2d+c-3d+c=2c-d\]

很快，你的代数水平就会达到不会漏写括号的程度。到那时，你可以在心里完成大部分这类运算，但在那之前，为了你自己着想，请把每一步都写出来。

再看一个稍有不同的减法例子，比如\((2d+c)-5(3d-c)\)，我们不仅需要分配负号（也就是-1），还需要把-5分配到第二组括号的每一项中。因此： \[(2d+c)-5(3d-c)=2d+c-15d+5c\]

当然，本节关于括号的所有内容，都适用于其他的分组符号，比如中括号。当表达式中括号嵌套时，我们会用中括号来减少混乱，比如\([3a-(a+b)][(a-b)(a+b)]\)。

练习 ::: {#exr-1.37} 去掉所有分组符号并化简： 1. \(-(a-b)+(a+2b)\) 2. \((2a+b+3c)-2(c-a+b)\) 3. \(3(a-b)-3(b-a)\) 4. \((-2a-b)-[5a-(3a+3b)-(a-b)]\) 5. \(x-(x-y+z)+[x-y-(z+y+x)]\) 6. \(a-[a+(a-(a+a))]-a\) :::

习题 37 用\(-x^{2}+5x+1\)减去\(2x^{2}+x-1\)。

分数的加法与减法

要对分母相同的分数进行加（减）法运算，我们只需要把分子相加（减），结果作为新的分子，分母保持不变。这一点哪怕是爱吃披萨的小学生都能明白：假设一个披萨被平均分成了10块，一个孩子先拿了1块（整个披萨的\(\dfrac{1}{10}\)），又从走神的同学那里偷拿了2块（整个披萨的\(\dfrac{2}{10}\)），现在他显然拥有整个披萨的\(\dfrac{3}{10}\)。

但如果分数的分母不同呢？数学家天生就喜欢“偷懒”，我们总喜欢把新问题转化为已经解决的老问题。我们也来“偷个懒”：要对分母不同的分数进行加减运算，我们可以用“乘1”技巧，把它们转化为分母相同的分数。这个共同的分母，必须是原来两个分母的公倍数。*

下面是一个典型的例子：

例题：计算\(\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{10}\)

解：我们需要找到一个同时是6和10的倍数的分母，满足条件的最小数字是30。因此我们用“乘1”技巧，把六分之一和十分之一都转化为三十分之一： \[ \begin{align*} \dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{10} &= \left( \dfrac{5}{6}\cdot \dfrac{5}{5}\right) -\left( \dfrac{1}{10} \cdot \dfrac{3}{3}\right) \quad \text{（经典的“乘1”技巧）} \\ &= \dfrac{25}{30}-\dfrac{3}{30} \quad \text{（分数乘法法则）} \\ &= \dfrac{22}{30} \quad \text{（同分母分数减法法则）} \\ &= \dfrac{11}{15} \quad \text{（约分）} \end{align*} \]

只要你理解了这个数字例子，你就理解了所有同类的运算，我就不再过多赘述了。

代数是广义的算术，因此数字分数的运算法则同样适用于代数分数。例如，对分母相同的代数分数做减法，我们只需要把分子相减即可。但一定要注意括号的使用！

  • 为了简化后续的计算，我们通常会选择最小的那个公倍数，也就是最小公倍数。

例题1：用\(\dfrac{14 d^{2}+2 d+c}{c \sqrt{b}}\)减去\(\dfrac{3 d-c}{c \sqrt{b}}\)，并尽可能化简结果。

解： \[ \begin{align*} \dfrac{14 d^{2}+2 d+c}{c \sqrt{b}}-\dfrac{3 d-c}{c \sqrt{b}} &= \dfrac{\left(14 d^{2}+2 d+c\right)-(3 d-c)}{c \sqrt{b}} \quad \text{（注意这里的括号！）} \\ &= \dfrac{14 d^{2}+2 d+c-3 d+c}{c \sqrt{b}} \\ &= \dfrac{14 d^{2}-d+2 c}{c \sqrt{b}} \end{align*} \]

你必须理解第一步中括号的作用：当我们对两个分母相同的分数做减法时，新的分子是原来两个分子的差。而每个分子本身都是一个代数表达式，因此要对它们做减法，我们必须把每个分子都看作一个整体，也就是必须用括号把它们括起来。如果省略了括号，我们就会得到错误的分子，最终得到错误的答案。

对分母不同的代数分数做加减运算时，正如你所预料的，我们同样会使用“乘1”技巧，给分数统一公分母。例如：

例题2：计算并化简：\(\dfrac{3}{2 a^{2} b}+\dfrac{7}{6 a b}\)

解：我们需要找到一个同时是\(2a^2b\)和\(6ab\)的倍数的公分母，满足条件的“最小”公分母是\(6a^2b\)。使用“乘1”技巧，我们把两个分数都转化为以\(6a^2b\)为分母的形式： \[ \begin{align*} \dfrac{3}{2 a^{2} b}+\dfrac{7}{6 a b} &= \left(\dfrac{3}{2 a^{2} b} \cdot \dfrac{3}{3}\right)+\left(\dfrac{7}{6 a b} \cdot \dfrac{a}{a}\right) \quad \text{（经典的“乘1”技巧）} \\ &= \dfrac{9}{6 a^{2} b}+\dfrac{7 a}{6 a^{2} b} \\ &= \dfrac{9+7 a}{6 a^{2} b} \end{align*} \]

当你熟练掌握了异分母分数的加减运算后，就不必写出每一步的过程了。在实际运算中，我们通常会把这个过程简化为如下形式：

分数加减运算法则 1. 确定公分母（即所有给定分母的公倍数）*； 2. 确定新的分子：将每个分数的分子，乘以“把原分母化为公分母所需的因数”，这些乘积相加（减）的结果，就是新的分子。

如果我们用这个简化的法则重新计算上面的例题，书写量会少很多。取\(6a^2b\)作为公分母，加减运算法则可以直接告诉我们： \[\dfrac{3}{2 a^{2} b}+\dfrac{7}{6 a b}=\dfrac{3\times3+7\times a}{6 a^{2} b}=\dfrac{9+7 a}{6 a^{2} b}\]

初学者在做分数减法时经常出错，通常都是因为漏写了必要的括号。做减法时一定要格外小心。

例题3：计算并化简：\(\dfrac{3}{x-5}-\dfrac{2 x-1}{x+5}\)

解： \[ \begin{align*} \dfrac{3}{x-5}-\dfrac{2 x-1}{x+5} &= \dfrac{[3(x+5)]-[(2 x-1)(x-5)]}{(x-5)(x+5)} \quad \text{（分数减法法则）} \\ &= \dfrac{[3 x+15]-\left[2 x^{2}-11 x+5\right]}{(x-5)(x+5)} \quad \text{（括号内展开分配）} \\ &= \dfrac{3 x+15-2 x^{2}+11 x-5}{x^{2}-25} \quad \text{（分配负号，平方差公式）} \\ &= \dfrac{-2 x^{2}+14 x+10}{x^{2}-25} \quad \text{（合并同类项）} \end{align*} \]

  • 同样，使用最小公倍数会让后续的计算更简洁。

练习 ::: {#exr-1.39} 详细解释为什么\(\dfrac{7}{6}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{22}{15}\)。 :::

习题 38 化简下列表达式： 1. \(\left(\dfrac{\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{5}}{\dfrac{7}{11}-\dfrac{1}{2}}+\dfrac{3}{4}\right) \dfrac{1}{2}\) 2. \(-\dfrac{3}{7}-\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{5}\right)\) 3. \(1-\left[\left(\dfrac{-\dfrac{2}{3}}{\dfrac{8}{9}}\right) \div\left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{-8}{7}\right)\right]\)

习题 39 在上面的例题 2 中，我们取\(6a^2b\)作为公分母。假设我们改用\(12a^3b^2\)作为公分母，最终的结果会改变吗？请用这个公分母重新计算，验证你的结论。

习题 40 将下列各式合并为一个分数，并尽可能化简： 1. \(\dfrac{3}{5}+\dfrac{a-3}{5}\) 2. \(\left(\dfrac{3}{5}\right)\left(\dfrac{a-3}{5}\right)\) 3. \(\dfrac{a+b}{15 b}-\dfrac{a-b}{15 b}\) 4. \(\dfrac{5 x}{y}+\dfrac{y}{5 x}\) 5. \(\dfrac{3}{4 a x^{2}}+\dfrac{x}{2 a}\) 6. \(\dfrac{2 x-3}{x-2}-\dfrac{x-4}{x-2}\) 7. \(\dfrac{2}{x y}+\dfrac{3}{y z}+\dfrac{4}{x z}\) 8. \(\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{3}{x^{3}}-\dfrac{4}{x^{4}}\) 9. \(\dfrac{2}{x(x+1)}-\dfrac{(x-2)}{x(x-1)}\) 10. \(\dfrac{3}{a-3}-\dfrac{2}{a}\) 11. \(3-\dfrac{1}{2 x+1}\) 12. \(1-\dfrac{1+x}{1-x}\) 13. \(\dfrac{1}{x+h}-\dfrac{1}{x}\) 14. \(\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{3}{x(x-1)}-\dfrac{4}{(x-1)^{2}}\)

结语与一道复杂例题

现在，你已经掌握了任意两个代数分数的加、减、乘、除运算，再没有什么遗留的谜团了，你已经完全入门了。哪怕你需要把17个以各种复杂算术方式组合在一起的分数进行合并，你也拥有了完成它所需的全部知识。你只需要放慢速度，一步一步处理每一部分。这个过程可能会有些繁琐，但绝对不会困难。

为了证明这一点，我将举最后一个例子。如果你理解了本章到目前为止的所有内容，那么哪怕这个例子看起来很复杂，它也不会给你带来任何概念上的困难。

例题：化简\(\dfrac{\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{x+1}{x+2}}{\dfrac{3 x-7}{x^{2}-4}}+\dfrac{\dfrac{2}{x^{2}}}{-5}\)

解：在开始处理这个看起来乱糟糟的式子之前，我们先从整体上观察一下，让自己确信：尽管它看起来很丑，但我们完全有能力解决它。首先可以看到，这个表达式由两个项组成。没错，第一项看起来很吓人（“天啊！分数里面还有分数！”），但只要我们把它分子里的两个分数相减，它们显然会合并成一个分数，然后我们再用它除以第一项分母里的分数，结果显然也还是一个分数。因此，当尘埃落定，我们就能把整个丑陋的第一项改写为一个单独的分数，所有“分数里的分数”都会消失。至于第二项，你大概在心里就能把它化简成一个分数。到那时，剩下的工作就只是把两个普通的代数分数相加——这是一件非常简单的事。

理清了整体思路，我们就可以开始实际的计算了，我们至少已经在框架上知道了整个过程的走向。

首先处理第一项的分子： \[ \begin{align*} \dfrac{2}{x-2}-\dfrac{x+1}{x+2} &= \dfrac{[2(x+2)]-[(x-2)(x+1)]}{(x-2)(x+2)} \quad \text{（注意这里的括号！）} \\ &= \dfrac{[2(x+2)]-[(x-2)(x+1)]}{x^{2}-4} \quad \text{（平方差公式）} \\ &= \dfrac{[2x+4]-[x^2-x-2]}{x^{2}-4} \quad \text{（括号内展开分配）} \\ &= \dfrac{2x+4-x^2+x+2}{x^{2}-4} \quad \text{（去掉括号，分配负号）} \\ &= \dfrac{-x^{2}+3x+6}{x^{2}-4} \quad \text{（合并同类项）} \end{align*} \]

化简完第一项的分子后，我们用它除以第一项的分母。由此，整个第一项可以化简为： \[ \begin{align*} \dfrac{\dfrac{-x^{2}+3x+6}{x^{2}-4}}{\dfrac{3 x-7}{x^{2}-4}} &= \dfrac{-x^{2}+3x+6}{x^{2}-4} \cdot \dfrac{x^{2}-4}{3x-7} \quad \text{（分数除法法则）} \\ &= \dfrac{\left(-x^{2}+3x+6\right)\left(x^{2}-4\right)}{\left(x^{2}-4\right)(3x-7)} \quad \text{（分数乘法法则）} \\ &= \dfrac{-x^{2}+3x+6}{3x-7} \quad \text{（约掉分子分母的公因数$(x^2-4)$）} \end{align*} \]

把第一项化简成了易于处理的形式后，我们就可以解决原来的问题了： \[ \begin{align*} \dfrac{\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{x+1}{x+2}}{\dfrac{3 x-7}{x^{2}-4}}+\dfrac{\dfrac{2}{x^{2}}}{-5} &= \dfrac{-x^{2}+3x+6}{3x-7}+\dfrac{\dfrac{2}{x^{2}}}{-5} \quad \text{（代入第一项的化简结果）} \\ &= \dfrac{-x^{2}+3x+6}{3x-7}-\dfrac{2}{5x^{2}} \quad \text{（分数除法，化简第二项）} \\ &= \dfrac{\left[\left(-x^{2}+3x+6\right)\left(5x^{2}\right)\right]-[2(3x-7)]}{(3x-7)\left(5x^{2}\right)} \quad \text{（分数减法法则）} \\ &= \dfrac{\left[-5x^{4}+15x^{3}+30x^{2}\right]-[6x-14]}{15x^{3}-35x^{2}} \quad \text{（展开乘法）} \\ &= \dfrac{-5x^{4}+15x^{3}+30x^{2}-6x+14}{15x^{3}-35x^{2}} \quad \text{（去掉括号）} \end{align*} \]

上面这个题目有很多步骤，但每一步都很简单。在这类计算中，偶尔出错是难免的，但我们要区分两种不同的错误。在复杂的计算中不小心把\(3\times3\)算成了6，这当然是错的，但它大概率不是概念性的错误。而另一方面，漏写了关键的括号、忘记分配负号、用错了“乘1”技巧，这些都是严重的错误，根源几乎都是概念理解不到位。如果你打算继续学习后续的数学课程，就必须立刻纠正所有这类理解偏差。后续的课程会有大量新的内容等着你去学习，如果到那时你还在基础代数上挣扎，你就会只见树木，不见森林。

练习

习题 41 尽可能化简： 1. \(\dfrac{1}{\dfrac{b-c}{b+c}}\) 2. \(\dfrac{\dfrac{1}{b-c}}{b+c}\) 3. \(\left(\dfrac{1}{\dfrac{1}{b-c}}\right)(b+c)\) 4. \(\left(\dfrac{\dfrac{1}{1}}{b-c}\right) b+c\)

习题 42 判断下列说法的对错，并解释你的答案： 1. \(-3^{2}=9\) 2. \(-x\)永远代表一个负数。 3. \((-3)^{2}=-9\) 4. \(a-b=-(b-a)\)。 5. \(\dfrac{(2 x+1)\left[(3 x-7)+\left(x^{2}+1\right)\right]}{(2 x+1)\left(x^{3}+8\right)}=\dfrac{(3 x-7)+\left(x^{2}+1\right)}{x^{3}+8}\) 6. \(\dfrac{(2 x+1)(3 x-7)+\left(x^{2}+1\right)}{(2 x+1)\left(x^{3}+8\right)}=\dfrac{(3 x-7)+\left(x^{2}+1\right)}{x^{3}+8}\) 7. \(\dfrac{a+b}{c+d}=\dfrac{(a+b)}{(c+d)}\)

习题 43 将下列各式合并为一个分数，并尽可能化简： 1. \(\dfrac{3}{x-2}+\dfrac{1}{2-x}\)【提示：你可能会发现练习 44d 的结论很有用。】 2. \(\dfrac{\dfrac{1}{x+h}-\dfrac{1}{x}}{h}\) 3. \(\dfrac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}\) 4. \(\dfrac{(a-b^{2})(a+b^{2})}{a^{2}-b^{4}} \cdot \dfrac{a+\dfrac{1}{a}}{a}\) 5. \(\left[\dfrac{5 x+4}{x+1}-\dfrac{-3 x^{2}+9 x+4}{(x+1)^{2}}\right] \div\left(\dfrac{4 x^{3}}{(x+1)^{2}}\right)\) 6. \(1+\dfrac{1}{x-1}\) 7. \(\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x-1}}\) 8. \(\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x}}}}\) 9. \(\dfrac{\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a-b}}{\dfrac{3 a}{2}-\dfrac{4 a}{3}}\) 10. \(\left(\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}} \cdot \dfrac{\left(1+x^{2}\right)\left(-x^{2}\right)}{x^{4}}\right)(a-b)\)

习题 44 在本章的开头，我曾说过，分数四则运算的全部内容，都可以从两条”基础法则”逻辑推导出来： \[\dfrac{a}{b}=a\left(\dfrac{1}{b}\right) \quad \text{和} \quad \left(\dfrac{1}{a}\right)\left(\dfrac{1}{b}\right)=\dfrac{1}{ab}\]

现在你已经掌握了分数四则运算的所有法则，我们有必要重新审视这个说法。我已经在文中明确指出了，分数乘法法则是如何直接从这两条基础法则推导出来的。

那分数线上下的约分呢？我们已经知道，这个操作本质上就是分离出一个隐藏的因数 1，就像这样： \[\dfrac{6 a b}{3 b c}=\dfrac{3 b \cdot 2 a}{3 b \cdot c}=\left(\dfrac{3 b}{3 b}\right)\left(\dfrac{2 a}{c}\right)=1\left(\dfrac{2 a}{c}\right)=\dfrac{2 a}{c}\]

这里第二个等号的依据，正是建立在两条基础法则之上的分数乘法法则。（其余步骤的依据都是一些完全不证自明的事实，比如”乘 1 不改变结果”、“任何非零数除以它本身都等于 1”。）因此，分数线上下的约分，归根结底也是两条分数基础法则的逻辑推论。

  1. 自行验证：经典的”乘 1”技巧，归根结底也是由两条分数基础法则支撑的。
  2. 对分数除法法则做同样的验证。
  3. 对分数加减法法则做同样的验证。
  4. 恭喜你：现在你已经看到，曾经让无数人头疼的分数主题，其实非常简单——它完全建立在少数几条基础法则和它们的逻辑推论之上。