第10章 - 单位圆定义

作者

Seth Braver

第10章 单位圆定义

绕三角形：推广正弦和余弦

右边的三角形表明\(\sin 18^{\circ}\)的数值大约是1/3。

你的计算器会确认你的直觉，从而加强你的信心。

当然，SOH CAH TOA在他的天堂，一切都好。但恶魔从不睡觉！如果邪恶者引诱你将\(\sin 113^{\circ}\)输入计算器，你将面临一个谜：\(\sin 113^{\circ} \approx 0.921\)，这个方程暗示了SOH CAH TOA领域之外的黑暗神秘，因为什么可能是\(\sin 113^{\circ}\)甚至意思？它显然不能指包含\(113^{\circ}\)角的直角三角形的对边与斜边比，因为这样的三角形不存在。

一旦我们重新定义三角函数，这个谜就会消散。但我们能做到吗？我们用原始定义发展了这个学科，所以现在改变它们不会使我们之前的所有工作失效吗？不不会，因为正如你将看到的，新定义被精心设计以保留你习惯的所有旧结果。新定义在计算机术语中是”向后兼容”的。这里，那么，是所有三角学中最重要的定义：

正弦和余弦的单位圆定义。

我们将\(\cos\theta\)和\(\sin\theta\)定义为，当我们围绕原点逆时针旋转\((1, 0)\)经过\(\theta\)角时到达的点的x和y坐标。

正弦的单位圆定义（与其SOH CAH TOA定义不同）告诉我们\(\sin 113^{\circ}\)是什么意思：它只是右边图中点P的y坐标。显然，其数值略小于1，所以计算器的断言\(\sin 113^{\circ} \approx 0.921\)现在有意义了。从同一张图，我们还可以看到\(\cos 113^{\circ}\)（\(P'\)的x坐标）明显为负，大约-0.4。你的计算器将确认：\(\cos 113^{\circ} \approx -0.391\)。

为了验证单位圆定义与原始SOH CAH TOA定义兼容，设\(\theta\)为任意锐角，并考虑图。根据旧定义，\(\cos\theta = a/1 = a\)。根据新定义，\(\cos\theta\)是\(P\)的x坐标，也是\(a\)。因此， 余弦的两个定义对所有锐角一致。（正如你应验证的，正弦的两个定义也是如此。）因为”新”正弦和余弦将其定义域从锐角扩展到更一般的所有角度的上下文，我们说新定义推广了正弦和余弦。我们将很快推广其他三角函数。

例题1。 求\(\sin 90^{\circ}\)的精确值。

解。 要使用正弦的单位圆定义，我们必须围绕原点逆时针旋转\((1, 0)\)经过\(90^{\circ}\)，如图所示。其新位置的y坐标，根据定义，是\(\sin 90^{\circ}\)。因为在这种情况下，点最终在\((0, 1)\)，我们得出结论

\[\sin90^{\circ}=1.\]

例题2。 求\(\cos 270^{\circ}\)的精确值。

解。 要使用余弦的单位圆定义，我们必须围绕原点逆时针旋转\((1, 0)\)经过\(270^{\circ}\)，如图所示。其新位置的x坐标，根据定义，是\(\cos 270^{\circ}\)。因为点最终在\((0, -1)\)，我们得出结论

\[\cos270^{\circ}=0.\]

重要约定。 正弦或余弦的负输入对应于\((1, 0)\)的顺时针旋转。

例题3。 求\(\cos(-90^{\circ})\)的精确值。

解。 要使用余弦的单位圆定义，我们必须围绕原点顺时针旋转\((1, 0)\)经过\(90^{\circ}\)，如右图所示。其新位置的x坐标，根据定义，是\(\cos(-90^{\circ})\)。因为点最终在\((0, -1)\)，我们得出结论

\[\cos(-90^{\circ})=0.\]

为了确保你理解我们到目前为止所做的，停下来做一些简单的练习：

练习

求精确值……

  1. \(\sin 270^{\circ}\)

  2. \(\sin 45^{\circ}\)

  3. \(\cos 90^{\circ}\)

  4. \(\sin 0^{\circ}\)

  5. \(\cos 0^{\circ}\)

  6. \(\sin 360^{\circ}\)

  7. \(\sin 60^{\circ}\)

  8. \(\sin 720°\)

  9. \(\cos 30^{\circ}\)

  10. \(\cos(-180^{\circ})\)

  11. \(\cos60^{\circ}\)

  12. \(-\cos(180^{\circ})\)

  13. \(\sin(-720^{\circ})\)

  14. \(\sin 360000°\)

  15. \(\sin(-270^{\circ})\)

  16. \(\sin 450°\)

但为什么要推广？

要聪明：推广。

——古老的数学格言。

新定义不仅仅是 generality 的 exercise for generality’s sake。你可以通过思考\(y = \sin\theta\)的图像来掌握它们的意义，我们将通过考虑右图并注意\(\sin\theta\)如何随\(\theta\)遍历完整旋转而变化来绘制：

当\(\theta\)从\(0^{\circ}\)运行到\(90^{\circ}\)，\(\sin\theta\)从0增加到1；当\(\theta\)从\(90^{\circ}\)运行到\(180^{\circ}\)，\(\sin\theta\)从1减少到0；当\(\theta\)从\(180^{\circ}\)运行到\(270^{\circ}\)，\(\sin\theta\)从0减少到-1；当\(\theta\)从\(270^{\circ}\)运行到\(360^{\circ}\)，\(\sin\theta\)从-1上升到0。将这一切放在一起，我们得到下图。

但这只是开始。在单位圆上再绕一圈，当\(\theta\)从\(360^{\circ}\)运行到\(720^{\circ}\)，\(\sin\theta\)经历与第一圈相同的值循环。当然，第三圈、第四圈等等也是如此。顺便加入负值的\(\theta\)，正弦的图像终于揭示了其真实特征。

这就是著名的正弦波，其不断重复的模式不仅出现在波的数学模型（水波、声波、光波）中，而且出现在各种周期性现象中，从行星的公转到原子的振动。通过推广三角函数，我们因此开辟了，否则不可想象的，在直角三角形限制背景下不可能的新应用世界。

正弦和余弦在特殊角的精确值

上帝将特殊角带入我们的生活。

——华盛顿州南部的一个路标

你已经学会了\(30^{\circ}\)、\(60^{\circ}\)和\(45^{\circ}\)三个特殊角的正弦和余弦的精确值。我们现在可以找到所有这些特殊角的整数倍的精确值。方法很简单：画一个图，用它将与你想要的坐标相关的东西与第一象限——我们非常熟悉的锐角之地——联系起来。

例题1。 求\(\sin(120^{\circ})\)的精确值。

解。 由于\(120^{\circ}\)差半圈\(60^{\circ}\)，我们想要点P的y坐标。显然，点P和Q有相同的y坐标，所以\(120^{\circ}\)和\(60^{\circ}\)有相同的正弦。因此，

\[\sin(120^{\circ})=\sin(60^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}.\]

例题2。 求\(\cos(135^{\circ})\)的精确值。

解。 由于\(135^{\circ}\)差半圈\(45^{\circ}\)，我们必须找到点\(P'\)的x坐标。显然，点P和Q有相等但相反的x坐标（大小相等，符号相反）。因此，\(135^{\circ}\)和\(45^{\circ}\)有相等但相反的余弦。因此，

\[\cos(135^{\circ})=-\cos45^{\circ}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.\]

例题3。 求\(\cos(330^{\circ})\)的精确值。

解。 由于\(330^{\circ}\)差整圈\(30^{\circ}\)，我们必须找到点\(P'\)的x坐标。点P和Q有相同的x坐标，所以\(330^{\circ}\)和\(30^{\circ}\)有相同的正弦。因此，

\[\cos(330^{\circ})=\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\]

例题4。 求\(\sin(210^{\circ})\)的精确值。

解。 \(210^{\circ}\)超过半圈\(30^{\circ}\)，所以我们想要\(P'\)的y坐标。显然，点P和Q有相等但相反的y坐标。因此，\(210^{\circ}\)和\(30^{\circ}\)有相等但相反的正弦。因此，

\[\sin210^{\circ}=-\sin30^{\circ}=-\frac{1}{2}.\]

练习

求精确值……

绕三角形II：推广正切函数

他体验到 contemplating 一条倾斜的线，像辐条一样旋转，沿着另一条垂直的线向上滑动……的快乐和恐惧……垂直的那条是无限的，像所有线一样，而倾斜的那条，也是无限的，沿着它滑动并不断升高……注定要永恒的运动，因为它不可能滑落，它们的交点，连同他的灵魂，沿着一条无尽的路径向上滑动。但借助一把尺子，他强迫它们解锁：他只是将它们重新画，彼此平行，这给他一种感觉，在那里，在无限远处，他强迫倾斜的线跳出的地方，发生了一场不可想象的灾难，一个无法解释的奇迹，他在那里的天堂中徘徊，在那里地上的线变得疯狂。

——弗拉基米尔·纳博科夫，《辩护》（第2章）。

在推广了正弦和余弦之后，我们现在对正切做同样的事情，其单位圆定义解释了这个函数的名字，因为它涉及一条确实与单位圆相切的直线。

正切的单位圆定义。

想象一条最初与x轴重合的直线。

围绕原点旋转它经过\(\theta\)角（逆时针）。

它与固定直线\(x = 1\)相交于某点。

我们定义\(\tan\theta\)为该点的y坐标。

我们可以轻松验证正切的这个新定义对所有锐角与旧的定义一致。考虑上图。根据旧的SOH CAH TOA定义，\(\tan\theta\)是（在直角三角形中）垂直边与水平边的比。但水平边的长度是1，所以\(\tan\theta\)就是垂直边的长度。通过新的单位圆定义，\(\tan\theta\)是标记点的y坐标……这显然是三角形垂直边的长度。因此，对所有锐角，正切的两个定义一致。然而，单位圆定义也适用于非锐角，而SOH CAH TOA不敢涉足的地方。

例题。 求\(\tan(150^{\circ})\)的精确值。

解。 \(150^{\circ}\)差半圈\(30^{\circ}\)，所以我们想要\(P'\)的y坐标，它显然等于但与\(Q'\)的相反。因此，\(150^{\circ}\)和\(30^{\circ}\)的正切相等但相反。因此，

\[\tan150^{\circ}=-\tan30^{\circ}=-\frac{1}{\sqrt{3}}.\quad\text{♦}\]

练习

  1. 求以下角的正切精确值：210°、240°、330°、135°、120°、0°、180°、300°。

  2. 严格来说，tan在\(90^{\circ}\)和\(270^{\circ}\)处未定义。非正式地，我们说tan在这些角处是无穷大。为什么？

  3. 解释为什么说\(1/\infty = 0\)有一些直观意义。（我们将在下一节中使用这个想法。）

  4. 陈述正弦、余弦和正切函数的范围。

绕三角形III：最后的推广

总而言之……一个人必须推广；对于最谨慎的观察者来说，这也是一种必要性。

——亨利·庞加莱，《科学的价值》，第5章

推广倒数三角函数是 trivial 的：

定义。 对于所有\(\theta\)值，我们定义：

\[\mathbf{s e c}\theta=\frac{1}{\cos\theta},\]

\[\mathbf{c s c}\theta=\frac{1}{\sin\theta},\]

\[\mathbf{c o t}\theta=\frac{1}{\tan\theta}.\]

注： 当\(\tan \theta\)是无穷大时，我们定义\(\cot \theta\)为0。（见上面的练习30和31。）

例如，由于\(\tan 150^{\circ} = -1/\sqrt{3}\)（上一页的例题），所以\(\cot 150^{\circ} = -\sqrt{3}\)。

在推广了所有三角函数之后，我们现在有责任证明我们证明的恒等式在其扩展定义域中仍然成立。（我们最初的恒等式证明使用了直角三角形，所以它们只对锐角有效。）

主张1。 对于所有下列表达式有定义的\(\theta\)值，\(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)。

证明。 我们已经证明了这对锐角成立。接下来，

假设\(\theta\)位于第二象限（如右图）。

从P向x轴作垂线PF，从而产生相似的直角三角形\(\Delta POF\)和\(\Delta TOE\)。相似三角形的对应比相等，所以我们有

\[\frac{ET}{OE}=\frac{FP}{FO}.\]

我们现在将用\(\theta\)表示这四个长度中的每一个。

从图中，观察\(\tan\theta\)为负，而长度ET为（像所有长度一样）正。因此，\(ET = -\tan\theta\)。类似地，\(\cos\theta\)为负，但FO为正，所以\(FO = -\cos\theta\)。剩下的腰很容易：\(FP = \sin\theta\)，和\(OE = 1\)。将这些粗体表达式代入上面的比例并简化，我们得到

\[\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta},\]

从而证明该恒等式在第二象限的所有角都成立。类似的论证（使用相似三角形）表明它在第三和第四象限也成立，你应该验证。

接下来，我们将证明余函数恒等式对所有角都成立。我将提供一些，但不是全部，细节——足够让你在愿意时填补其余的。

主张2。 正弦和余弦是余函数。也就是说，对于所有\(\theta\)值，

\[\sin(90^{\circ}-\theta)=\cos\theta\qquad and\qquad\cos(90^{\circ}-\theta)=\sin\theta.\]

证明。 我们已经证明了对于锐角（即第一象限角）成立，所以现在让我们证明当\(\theta\)位于第二象限时这些余函数恒等式仍然成立，如右图。我们将如下进行：

\[\left(\cos \theta, \sin \theta \right)\]

首先，让我们在单位圆上找到\(90^{\circ}-\theta\)的位置。从\(90^{\circ}\)减去第二象限的\(\theta\)得到一个负角（介于\(-90^{\circ}\)和\(0^{\circ}\)之间），所以旋转\((1, 0)\)经过\(90^{\circ}-\theta\)将其放在第四象限（在点Q）。

接下来，我们将通过从P和Q向轴作垂线在图中放入一些全等直角三角形。这些全等三角形告诉我们\(BQ = AP\)。但仔细考虑图显示\(BQ = -\sin(90^{\circ} - \theta)\)和\(AP = -\cos\theta\)。将这些

\((\cos(90° − θ), \sin(90° − θ))\)

表达式插入\(BQ = AP\)并两边乘以\(-1\)，我们得到\(\sin(90° − θ) = \cos θ\)。

一个几乎相同的论证，从观察\(OB = OA\)开始，将，如你应该验证的，导致结论\(\cos(90^{\circ} - \theta) = \sin\theta\)。

与这些非常相似的论证将证明当\(\theta\)在第三或第四象限时恒等式也成立。

由于我们已经完成的工作，推广其他余函数恒等式非常容易。

主张3。 正切和余切是余函数。也就是说，对于所有相关\(\theta\)值，

\[\mathbf{t a n}(90^{\circ}-\theta)=\mathbf{c o t}\theta\qquad\mathrm{and}\qquad\mathbf{c o t}(90^{\circ}-\theta)=\mathbf{t a n}\theta.\]

证明。 \(\tan(90^{\circ}-\theta)=\frac{\sin(90^{\circ}-\theta)}{\cos(90^{\circ}-\theta)}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\frac{1}{\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}=\frac{1}{\tan\theta}=\cot\theta\)。

这些等号（按顺序）被论证为：由主张1，由主张2，由代数，由主张1，由余切的定义。这建立了 一个恒等式。另一个可以类似地证明，你应该验证。

主张4。 正割和余割是余函数。也就是说，对于所有相关\(\theta\)值，

\[\mathbf{sec}(90^\circ-\theta)=\mathbf{csc}\theta\qquad and\qquad\mathbf{csc}(90^\circ-\theta)=\mathbf{sec}\theta.\]

证明。 \(\sec(90^{\circ}-\theta)=\frac{1}{\cos(90^{\circ}-\theta)}=\frac{1}{\sin\theta}=\csc\theta\)。

这些等号（分别）被论证为：由正割的定义，由主张2，由余割的定义。这建立了 一个恒等式。另一个可以类似地证明，你应该验证。

练习

  1. 求以下精确值：

\[cot210^{\circ},\quad sec240^{\circ},\quad csc330^{\circ},\quad sec135^{\circ},\quad csc120^{\circ},\quad sec0^{\circ},\quad csc765^{\circ},\quad cot300^{\circ},\quad cot90^{\circ}.\]

  1. 以下哪些数字在正割的范围内？：-5、2/3、\(-e/\pi\)、\(10^{10}\)、\(\pi/e\)。

\((\cos\theta, \sin \theta)\)

  1. 在图中，我们知道\(P^{\prime}\)的坐标用\(\theta\)表示，而\(O^{\prime}\)的坐标固定为\((0, 0)\)。因此，我们应该能够用\(\theta\)表示线段\(OP^{\prime}\)的斜率。这样做。[啊哈！现在我们有了另一种在单位圆上”看到”\(\tan\theta\)值的方法：它只是线\(OP^{\prime}\)的斜率！有了这个新见解，重做练习29和30。你更喜欢使用两种单位圆解释中的哪一种？]

勾股恒等式，偶函数和奇函数

让我们从所有三角恒等式中最著名的开始，通常称为”勾股三角恒等式”。

主张1。（勾股三角恒等式）对于所有\(\theta\)值，以下关系成立：

\[\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1.^{*}\]

证明。 对于所有\(\theta\)值，正弦和余弦的定义确保点\((\cos\theta, \sin\theta)\)位于单位圆上。因此其坐标满足单位圆的方程，\(x^{2} + y^{2} = 1\)。也就是说，\(\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1\)对所有\(\theta\)值成立，如主张。

恒等式的”勾股”性质由右图解释。你将在未来经常遇到这个恒等式——不仅仅是在本课程中。因为它关联\(\cos\theta\)和\(\sin\theta\)，它允许我们在方便时用涉及\(\sin\theta\)的表达式替换涉及\(\cos\theta\)的表达式（反之亦然）——这种情况经常发生。

偶函数是始终将数字及其负数发送到完全相同值的函数。（符号表示，如果\(f(-x) = f(x)\)对所有\(x\)成立，则\(f\)是偶函数。）例子：\(f(x) = x^{2}\)、\(g(x) = x^{4}\)、\(h(x) = x^{6}\)，以及……

主张2。 余弦是一个偶函数。也就是说，对于所有\(\theta\)值，

\[\mathbf{c o s}(-\boldsymbol{\theta})=\mathbf{c o s}\boldsymbol{\theta}.\]

证明。 如果你理解余弦的单位圆定义，这应该是显而易见的。P和Q的x坐标对任何\(\theta\)（即使\(\theta\)位于第一象限之外）显然相等。这些相等的x坐标，根据余弦的单位圆定义，分别是\(\cos\theta\)和\(\cos(-\theta)\)。

由于余弦是偶函数，我们可以快速注意，例如，\(\cos(−60°) = \cos 60° = 1/2\)。

奇函数是始终将数字及其负数发送到相等但相反值的函数。（符号表示，如果\(f(-x) = -f(x)\)对所有\(x\)成立，则\(f\)是奇函数。）例子：\(f(x) = x^{3}\)、\(g(x) = x^{5}\)、\(h(x) = x^{7}\)，以及……

主张3。 正弦和正切是奇函数。也就是说，对于所有\(\theta\)值，

\[\mathbf{s i n}(-\theta)=-\mathbf{s i n}\theta\qquad\mathrm{and}\qquad\mathbf{t a n}(-\theta)=\mathbf{t a n}\theta.\]

证明。 P和Q的y坐标对任何\(\theta\)（即使\(\theta\)位于第一象限之外）显然相等但相反。因此，由正弦的单位圆定义，我们有\(\sin(-\theta) = -\sin\theta\)对所有\(\theta\)成立。

R和S也是如此。因此，由正切的单位圆定义，\(\tan(-\theta) = \tan\theta\)对所有\(\theta\)成立。

由于正弦是奇函数，我们有，例如，\(\sin(-60^{\circ}) = -\sin60^{\circ} = -\sqrt{3}/2\)。

倒数三角函数继承其”父”函数的偶性或奇性。例如，余割是偶函数，原因如下：对于任何数字\(\theta\)，我们有\(\sec(-\theta)=1/\cos(-\theta)=1/\cos\theta=\sec\theta\)。（这些等号（按顺序）被论证为：由正割的定义，由余弦的偶性，由正割的定义。）三角学不寻常的是其主要函数大多是偶或奇。大多数非三角函数既不是偶也不是奇。

练习

  1. 给出一个既不是偶函数也不是奇函数的例子，并证明它确实是如此。

  2. 余割是偶、奇还是都不是？证明它。

  3. 余切是偶、奇还是都不是？证明它。

  4. 将勾股恒等式的两边除以\(\cos^{2}\theta\)，我们得到一个新的恒等式。它是什么？

  5. 将勾股恒等式的两边除以\(\sin^{2}\theta\)，我们得到一个新的恒等式。它是什么？

  6. 通过思考右图单位圆的图片，发现一个关联\(\cos(180^{\circ}-\theta)\)和\(\cos\theta\)的恒等式。这是一个 handy 的恒等式，但你不需要记住它，因为任何时候你需要它，你可以通过画适当的图并思考片刻来回忆它。

\[\left(\cos(180^{\circ}-\theta\right)\]

\[\sin(180^{\circ}-\theta)\]

  1. 现在想出一个\(\sin(180^{\circ}-\theta)\)的恒等式。这个恒等式也经常 handy，但同样，你不需要记住它；任何时候你需要它，只需画适当的图并恢复它。

  2. 通过画适当的单位圆图并使用你已经知道的恒等式，找到以下表达式的恒等式。如在前两个练习中，你不需要记住你发现的恒等式；相反，你应该能够在需要时通过快速草图和思考来产生它们。

\[a)\sin(\theta+90^{\circ})\]

\[b)\cos(\theta+90^{\circ})\]

\[c)\tan(\theta+90^{\circ})\]

\[d)\sin(\theta-90^{\circ})^{*}\]

\[e)\cos(\theta-90^{\circ})\]

\[f)\cos(\theta+180^{\circ})\]

\[g)cos(\theta-180^{\circ})\]

\[h)\sin(\theta+180^{\circ})\]

\[i)\tan(180^{\circ}+\theta)\]

\[j)\tan(\theta-180^{\circ})\]

  1. 使用恒等式简化以下表达式：

  1. \(\frac{(\sin\theta + \cos\theta)^{2} - 1}{2\cos^{2}\theta}\) b) \(\frac{\sin(-\beta)}{\tan(\beta)}\) c) \(\left(\frac{\sin(180^{\circ} - \alpha)}{\sin(\alpha + 90^{\circ})}\right)^{2} + 1\) [提示：练习46。]

  2. \(\frac{\sin(180^{\circ}-\gamma)}{\sin(\gamma-180^{\circ})}\) e) \(\frac{\cos(90^{\circ}-x)}{\sin(x-90^{\circ})}\) f) \(\cos(180^{\circ}+\theta)\cos(180^{\circ}-\theta)-\sin(180^{\circ}-\theta)\cos(\theta+90^{\circ})\)

  1. 每个偶函数的图像关于y轴对称。通过思考偶函数的定义，解释为什么会这样。

  2. 所有奇函数的图表显示了一种特殊的对称性。发现它并描述它。

  3. 我声称如果一个奇函数在零处有定义，那么它的图表必须经过原点。

要么使用奇函数的定义证明我的说法，要么提供一个反例反驳它。

  1. 只有一个函数，其定义域是所有实数，既是偶函数又是奇函数。它是什么？

[提示：几何地思考。]