第12章 - 弧度与图像

第12章 弧度与图像

弧度

数千年前，古代美索不达米亚人将完整旋转分成360个部分。为什么是360个部分？没有人知道。\(^{*}\) 这种用度数测量角度的传统最终传到印度和希腊，从那里传播到整个文明世界。度作为测量单位是历史偶然，没有数学意义。事实上，其任意性使其不适合微积分，在微积分中它会产生不必要的复杂公式。幸运的是，如果我们采用一个固有的更有意义的 angle 测量单位：弧度，这些混乱就会消失。

定义。 如果我们将圆的半径放在其圆周上，对应的圆心角是一弧度。

弧度是一个大单位。即使是完整旋转（即\(360^{\circ}\)）也只包含略多于6弧度。更精确地说，由于圆的完整圆周恰好是\(2\pi\)半径长，所以完整旋转中恰好有\(2\pi\)弧度。因此，半圈中有\(\pi\)弧度，这个关系值得拥有自己的粗体行：

π弧度 = 180°。

记住这个关系，我们可以轻松地在度和弧度之间来回转换。

例题1。 将\(27.4^{\circ}\)转换为弧度。

解。 由于\(180^{\circ} = \pi\)弧度，一度是\(\pi/180\)弧度。

因此，\(27.4^{\circ}\)是\(27.4(\pi/180) \approx 0.478\)弧度。

例题2。 将2.32弧度转换为度。

解。 由于\(\pi\)弧度 = \(180^{\circ}\)，一弧度是\(180/\pi\)度。

因此2.32弧度是\(2.32(180/\pi) \approx 132.9^{\circ}\)。

由于特殊角\(30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}\)和\(90^{\circ}\)是\(180^{\circ}\)的简单分数，它们的弧度值也是\(\pi\)的简单分数。例如，\(30^{\circ}\)是\(180^{\circ}\)的六分之一，所以它是\(\pi/6\)弧度。同样，直角是\(180^{\circ}\)的一半，所以它是\(\pi/2\)弧度。当你遇到比如说\(5\pi/3\)弧度的角时，你应该思考，无需在纸上计算，“嗯，\(\pi/3\)弧度是\(60^{\circ}\)，所以\(5\pi/3\)弧度是\(5(60^{\circ}) = 300^{\circ}\)。”

弧度在高等数学中无处不在，因此按照惯例，未指定单位的角总是被理解为弧度。因此，\(\sin(1)\)是1弧度的正弦，这与\(\sin(1^{\circ})\)（1度的正弦）大不相同。（数值上，\(\sin(1) \approx .841\)，\(\sin(1^{\circ}) \approx .017\)。）

例题3。 求\(\cos(5\pi/3)\)的精确值。

解。 \(\cos(5\pi/3)=\cos(300^{\circ})=\cos(60^{\circ})=1/2\)。

练习

1. 在脑海中，将以下弧度测量转换为度。

1. \(\pi\) b) \(\pi/2\) c) \(\pi/3\) d) \(\pi/4\) e) \(\pi/6\) f) \(2\pi/3\) g) \(5\pi/6\) h) \(3\pi/4\)

2. \(2\pi\) j) \(3\pi/2\) k) \(4\pi/3\) l) \(5\pi/3\) m) \(5\pi/18\) n) \(7\pi/6\) o) \(11\pi/6\) p) \(3\pi/20\)

2. 在脑海中，将以下度测量转换为弧度。

1. \(30^{\circ}\) b) \(45^{\circ}\) c) \(60^{\circ}\) d) \(90^{\circ}\) e) \(120^{\circ}\) f) \(150^{\circ}\) g) \(210^{\circ}\) h) \(240^{\circ}\)

2. \(300^{\circ}\) j) \(330^{\circ}\) k) \(180^{\circ}\) l) \(360^{\circ}\) m) \(270^{\circ}\) n) \(135^{\circ}\) o) \(225^{\circ}\) p) \(315^{\circ}\)

3. 用铅笔和纸（或者可以的话，用脑海），将这些弧度测量转换为度。

1. 1

2. 3

3. \(\pi/180\)

4. \(1/\pi\)

5. 3.14

6. 5.39

4. 用铅笔和纸（或者可以的话，用脑海），将这些度测量转换为弧度。

1. \(15^{\circ}\) b) \(10^{\circ}\) c) \(1^{\circ}\) d) \(32^{\circ}\) e) \(212^{\circ}\) f) \(\pi^{\circ}\) g) \(5.39^{\circ}\)

5. 不用计算器，求以下表达式的精确值。

1. \(\sin(\pi/4)\) b) \(\sin(\pi/3)\) c) \(\cos(\pi/3)\) d) \(\tan(\pi/4)\) e) \(\sin(\pi/6)\) f) \(\cos(\pi/6)\)

2. \(\cos(\pi/4)\) h) \(\sin(\pi/2)\) i) \(\cos(\pi/2)\) j) \(\cos(-\pi)\) k) \(\tan(\pi/6)\) l) \(\tan(\pi/3)\)

3. \(\cos(2\pi/3)\) n) \(\sin(5\pi/3)\) o) \(\sin(5\pi/6)\) p) \(\cos(11\pi/6)\) q) \(\tan(3\pi/4)\) r) \(\sec(-\pi/3)\)

4. \(\csc(2\pi/3)\) t) \(\cot(5\pi/3)\) u) \(\csc(7\pi/4)\) v) \(\cos(7\pi/3)\) w) \(\sin(7\pi/2)\) x) \(\sec(-11\pi/6)\)

6. 正如我上面提到的，弧度简化了一些重要的微积分公式。在这个练习中，你将看到它们也简化了一些几何公式。

考虑一个角\(\theta\)在圆心，以及它所对的圆弧，如图中所示。该角占据完整旋转的某个分数。显然，该弧占据圆周相同的分数。（例如，直角是完整旋转的1/4，所以对应的弧恰好是圆周的1/4。）用代数重新表述，必须成立：

\[\mathrm{a r c}=\left(\frac{\theta}{\mathrm{a~f u l l~r o t a t i o n}}\right)2\pi r.\]

为了完成这个公式，我们必须提供完整旋转，但这取决于我们的单位选择（\(360^{\circ}\)或\(2\pi\)），所以公式看起来会不同，这取决于我们选择用哪个单位测量角度。

1. 如果我们用度测量角，圆弧长度公式是什么？

2. 如果我们用弧度测量角，圆弧长度公式是什么？你应该记住这个非常简单的公式——并且能够向别人（和你自己）解释它的来源。

7. 右图中的阴影区域是一个圆扇形（或更非正式地，一个”馅饼切片”）使用上一个练习的想法求圆扇形面积的公式，用\(\theta\)和\(r\)表示……

1. 当\(\theta\)用度测量时。

2. 当\(\theta\)用弧度测量时。

3. 当\(\theta\)用梯度测量时（梯度是直角的百分之一）。\(^{*}\)

你应该记住弧度版本在B部分——并且能够推导它。

8. 右边的圆是切圆（每对只在一个点接触）。如果它们的半径是1、2和4单位，求被困在它们之间的区域面积。

[提示：连接任何两个切圆圆心的线经过它们的切点。将你在上一个练习中学到的知识应用。]

9. 前一个问题的圆现在重新排列。每对仍然只在一个点接触。求位于大圆内部但在其他圆外部的两个区域的面积。

[提示：上一个问题的第一个提示即使当两个切圆之一位于另一个内部时也适用。当你找到一个等腰三角形时，你正走在正确的道路上。]

三角函数的图像

我们在两章前简要遇到了正弦波。如果你忘记了我们如何从正弦的单位圆定义生成它，请回去复习（或自己计算出来）。这里又是，但这次\(\theta\)用弧度测量。

我强调了正弦波的一个完整周期（对应于围绕单位圆的一次完整旋转）。注意图形在\(\theta\)在域中运行\(2\pi\)单位后完全重复自身。用数学术语来说，我们说正弦是周期性的，其周期——其基本循环的长度——是\(2\pi\)。所有六个三角函数都是周期性的，这并不奇怪，因为它们最终都是根据绕原点旋转的点定义的。

余弦的图像与正弦的图像几乎相同，只是从1开始，因为\(\cos 0 = 1\)。

像正弦的图像一样，余弦的图像每\(2\pi\)单位重复自身。也就是说，余弦的周期也是\(2\pi\)。

正切的图像是一种完全不同的野兽。最简单的方法来产生正切的图像是使用我们在第10章练习35中发现的正切的替代特征。即，\(\tan\theta\)是图中半径的斜率。通过思考这个正切的替代特征并跟踪半径的斜率如何随\(\theta\)遍历完整旋转（及 beyond），我们很容易获得正切的图像：

注意正切的周期——其基本循环的长度——只有\(\pi\)，相比正弦和余弦的\(2\pi\)。正切的垂直渐近线使其在模拟周期性物理现象方面的机会较少，但如果你知道在哪里看，它们确实存在。（见练习12）。

三个倒数三角函数的图像相对不重要，但在坐标几何中思考它们的样子是一个很好的练习。（这也是练习16。）

练习

10. 正切的周期是\(\pi\)，所以\(\tan(\theta + \pi) = \tan\theta\)对正切定义域中的所有\(\theta\)成立。

1. 解释为什么正切作为半径斜率的特征使这个事实显而易见。

2. 更一般地，解释为什么，\(\tan(\theta + k\pi) = \tan\theta\)对所有整数k成立。

11. 你也可以通过思考正切的单位圆定义来理解为什么正切的图像是这样做的。这样做。（在单位圆上有两种理解正切函数的方法真好，不是吗？）

12. 深夜，徐福走近长城（在这个题目中，它无限长且完全笔直），戴着头盔，上面绑着一个奇怪的闪光灯，发射激光般的光束从两端。站在离墙一英尺的地方，他看到面前直接照亮的 spot，用粉笔标记其中心，然后，显然满意，开始缓慢顺时针旋转。他整夜继续这种奇怪的行为。求旋转经过弧度后照明 spot 的位置的函数。[注：正负位置应分别对应粉笔标记右侧和左侧的距离。验证你的函数对所有正\(\theta\)值成立：不仅仅是锐角。]

13. 判断对错。（如果正确，解释为什么。如果错误，提供反例。）对所有\(\theta\)……

1. \(\sin(\theta+\pi)=\sin\theta\)

2. \(\sin(\theta + 2\pi) = \sin \theta\)

3. \(\sin(\theta + 3\pi) = \sin \theta\)

4. \(\sin(\theta + 4\pi) = \sin \theta\)

5. \(\cos(\theta + \pi) = \cos \theta\)

6. \(\cos(\theta − 6\pi) = \cos \theta\)

7. \(\sin(\theta + 23\pi) = \sin\theta\) h) \(\sin(\theta + 23\pi) = \sin(\theta + \pi)\) i) \(\sin(\pi/2 - \theta) = \cos\theta\)

14. 写出一个类似于你为正切在练习10B中解释的正弦和余弦恒等式。

15. 回想一下，出现在任何函数公式中的变量只是”虚拟变量”，仅仅是占位符。例如，\(f(x) = x^{2}\)、\(y = t^{2}\)和\(h(z) = z^{2}\)都表示完全相同的函数——平方函数。因此，如果我们在公式中更改变量，我们不会改变函数的图像，除了（显然）轴标签的变化。

既然如此，画\(y = \sin x\)、\(y = \cos x\)和\(y = \tan x\)的图像。

[是的，这个练习和它听起来一样简单。不过，继续画图。我们经常将正弦写为x的函数而不是\(\theta\)；认识到这不会改变任何事情是很重要的。]

16. 如果你理解正弦、余弦和正切的图像，你应该能够没有什么麻烦地画它们的倒数。通过思考：如果正弦将某个输入值发送到1/10，余割将把那个相同的输入发送到10；如果正弦将某个其他输入发送到-2/3，余割将把那个相同的输入发送到-3/2，等等。因此，要画余割的图像，你只需要看正弦的图像，并思考如果将所有点的y坐标改为它们的倒数，它们会去哪里。思考这个想法直到清楚，然后使用它在……上生产图像

1. \(y = \csc \theta\) b) \(y = \sec \theta\) c) \(y = \cot \theta\) d) \(y = 1 / (x^{2} + 1)\)

17. 1. 解释为什么在右图单位圆的上图中，\(OT = \sec\theta\)。

2. 拉丁动词secure意思是”切割”，而tangere意思是”触摸”。沉思线段TO和TQ及其与圆的关系。

3. 想想secure和tangere的一些英语同源词。

4. 如果我们将勾股恒等式两边除以\(\cos^{2}\theta\)，你会得到另一个有用的恒等式。找到它。然后解释如何通过以正确的方式看右图直接看到这个恒等式。

5. 如果θ在第二象限（见右下图），sec θ = -OT。解释为什么。

6. 为θ在第三和第四象限的情况画图，并找到sec θ。（在每种情况下将是OT或-OT。解释为什么。）

7. 现在你可以在单位圆上可视化正割了，不用练习16b中使用的方法也能画出正割函数的图像。

8. 在单位圆上找到\(\csc\theta\)和\(\cot\theta\)。

[提示：画在点\((0, 1)\)处与单位圆相切的直线。]

变换正弦波

自然的波状函数从来不像正弦那样精确行为，但它们通常类似于它。例如，在右图中，y表示某海域中琵琶鱼的种群（以千计）；x表示自2000年以来的时间（以年为单位）。该图当然是”siney”（“正弦的”是更可敬的词），但它与标准正弦波的不同是显而易见的：它有更短的周期（3而不是\(2\pi\)），更高的”中线”（y = 15而不是y = 0），以及更大的振幅（从中线到峰值的距离：这里是5而不是1）。

我们可以用变换来弥补这些差异。通过移动和拉伸\(y = \sin x\)的熟悉图形，我们可以将标准正弦波转化为上面的正弦图像。这些几何变换投下代数阴影；研究它们帮助我们找到正弦图像的方程。

例题1。 找到一个其图像与上图匹配的方程。

解。 以下几何变换序列将把\(y = \sin x\)的图形变成上面的图形（你应该通过画一些中间阶段的草图来验证）：

1. 垂直拉伸因子5。

2. “水平拉伸”因子\(3/2\pi\)。

3. 向上移动15单位。

（这将振幅从1变为5），

（这将周期从\(2\pi\)变为3），

（这使其围绕y = 15振荡）。

在第6章中，你了解到相应的代数变换序列是：

1. 将右边乘以\(5.^{\dagger}\)

2. 用\(\left(\frac{2\pi}{3}x\right)\)替换x。

3. 在右边加15。

[这将\(y = \sin x\)变为\(y = 5 \sin x\)。]

[这给出\(y = 5 \sin \left(\frac{2\pi}{3}x\right)\)。]

[这给我们\(y = 5 \sin \left(\frac{2\pi}{3}x\right) + 15\)。]

因此，图像的方程是\(y = 5 \sin \left( \frac{2\pi}{3} x \right) + 15\)。

我们刚刚用三角学模拟了时间和鱼类之间的周期性关系。这个问题中并没有出现三角形或角度，但我们用三角学解决了它。\(^{*}\) 我们现在见证了正弦的完整蜕变：它始于一个简单的解三角形工具，但现在已经被重生为周期性的原型，单位圆作为伟大的上帝SOH CAH TOA的茧。

正弦通常模拟角度不起作用的现象，所以我们倾向于使用中性符号x（而不是\(\theta\)，它有具体的角度含义）作为其自变量的符号。

故事的寓意：从更高的角度看，正弦的本质是……周期性本身。

作为提醒，这里是一个压缩的变换表，总结了任何函数\(y = f(x)\)的基本几何和代数变换之间的对应关系。（缩写RHS代表”右边”。）

	水平	垂直
拉伸因子\(k\)（如果\(k < 0\)则反射）	用\(\left(\frac{1}{k} x\right)\)替换每个\(x\)	右边乘以\(k\)
移动\(k\)单位	用\((x - k)\)替换每个\(x\)	在右边加\(k\)

让我们考虑另一个类似于前一个的例子。

例题2。 求右图中显示的函数的公式。

解。 它从波峰开始，所以这类似于余弦。它通过围绕y = 4振荡，周期为8，振幅为10，与余弦的图形不同，但我们可以通过应用有序序列的几何变换将余弦的图形变成右边的图形：

1. 垂直拉伸因子10。

2. 水平拉伸因子\(4/\pi\)。

3. 向上移动4单位。

（这将振幅从1变为10），

（这将周期从\(2\pi\)变为8），

（这使其围绕y = 4振荡）。

根据上面的变换表，这些几何变换对应于这个有序序列的代数变换：

1. 右边乘以10。

2. 用\(\left(\frac{\pi}{4}x\right)\)替换x。

3. 在右边加4。

[这将\(y = \cos x\)变为\(y = 10 \cos x\)。]

[这给出\(y = 10 \cos \left(\frac{\pi}{4} x\right)\)。]

[这给我们\(y = 10 \cos \left(\frac{\pi}{4} x\right) + 4\)。]

因此，该图可以用\(y = 10 \cos \left( \frac{\pi}{4} x \right) + 4\)建模。

当然，有这种基本主题的变体，你将在练习中探索一些。

练习

18. 在前面的例子中，我们可以通过以下变换（按此顺序）获得给定图形：垂直拉伸因子10，水平拉伸因子\(4/\pi\)，向左移动2单位，向上移动4单位。

1. 说服自己确实如此。

2. 执行相应的代数变换得到\(y = 10 \sin\left((\pi/4)x + (\pi/2)\right) + 4\)。验证确实如此。

3. 为了将B部分中的方程与我们在例题2中找到的方程协调，你需要正弦的\(\sin(\theta + \pi/2)\)恒等式。首先，通过思考单位圆和画一些图来发现这个恒等式。（你在第10章的练习41-43中做过这种工作。）然后使用你的恒等式证明B部分的方程等价于例题2中的方程。

19. 求具有以下图形的函数公式：

20. 在同一组坐标轴上画正弦和余弦函数。

1. 单个几何变换会将余弦的图像变成正弦的。哪一个？

验证相应的代数变换将\(y = \cos \theta\)变成\(y = \sin \theta\)。

[对于验证，你需要三角恒等式和代数恒等式：\(a - b = -(b - a)\)。]

2. 类似地，单个几何变换会将正弦的图像变成余弦的。哪一个？验证相应的代数变换将\(y = \sin \theta\)变成\(y = \cos \theta\)。

21. 用正切和余切重复前面的练习。（需要两个变换。）

22. 再次重复，但用正割和余割。

23. 回答以下关于右图中奇怪图形的问题，该图形是

\[f(x)=x\sin\left(\frac{1}{x}\right).\]

1. 图形通过原点吗？

2. 右边显示的图形部分交叉x轴多少次？

[提示：寻找\(f(x) = 0\)的精确解。]

3. 当我们远离原点的大爆炸，图形会继续交叉并重新交叉x轴吗？如果是，你怎么知道？如果不是，那么\(f(x) = 0\)的最大解是什么？

画变换后的三角函数

形式为\(y = a \sin(bx + c) + d\)的函数在周期现象模型中很常见。亲手画一些将帮助你磨练你的变换技能。

例题。 画函数\(y = -2 \sin \left(4\pi x - \frac{\pi}{2}\right) + 1\)的图像。

解。 游戏是思考一系列会将\(y = \sin x\)变成给定函数的代数变换。通常最好在移动之前拉伸（你的老教练会同意），所以让我们通过因式分解在括号内的\(4\pi\)来将水平移动放到前面：

\[y=-2\sin\left(4\pi\left(\boldsymbol{x}-\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{8}}\right)\right)+1.\]

我们可以从\(y = \sin x\)通过应用这个代数变换序列获得这个方程：

1. 用\(4\pi x\)替换x

[这将\(y = \sin x\)变为\(y = \sin(4\pi x)\)。]

2. 右边乘以-2

[这给我们\(y = -2 \sin(4\pi x)\)。]

3. 用\(\left(x-\frac{1}{8}\right)\)替换x

[这给出\(y = -2\sin\left(4\pi\left(x - \frac{1}{8}\right)\right)\)。]

4. 在右边加1。

[这放上了樱桃。]

相应的几何变换序列是：

1. 水平拉伸因子\(1/(4\pi)\)。

2. 垂直拉伸因子2，并在x轴上反射图形。

3. 向右移动1/8单位。

4. 向上移动1单位。

前两个几何变换（两次拉伸）将正弦波的周期从\(2\pi\)缩小到\(2\pi(1/4\pi)=1/2\)，同时将振幅从1增加到2并将其翻转到x轴上。因此，两次拉伸对正弦波的净效果是产生右边的图形。我已经在x轴上标记了一些关键点（峰值、谷值、中线交叉点），因为它们将帮助我们可视化下一步转换的效果：

平移只是改变图形的位置同时保持其形状。将前一个图形的所有点向右移动1/8单位并向上移动1单位，最终把我们带到我们的最终图形，如右所示。

最后一点想法：恒等式，代数和三角，都可以在简化工作中极大简化。例如，在前面的例子中，我们本可以在不做任何绘图之前注意到，

\[\begin{aligned}y&=-2\sin\left(4\pi x-\frac{\pi}{2}\right)+1\\ &=-2\sin\left(-\left(\frac{\pi}{2}-4\pi x\right)\right)+1\quad&(since(a-b)=-(b-a))\\ &=2\sin\left(\frac{\pi}{2}-4\pi x\right)+1\quad&(sine是奇函数)\\ &=2\cos\left(4\pi x\right)+1,\quad&(余函数恒等式)\\ \end{aligned}\]

这将更容易绘图，因为它不需要水平移动，这是最麻烦的转换。在下面的练习中，当你可以时，使用恒等式简化给定的函数。

练习

24. 画以下函数的图像；注意在一个完整周期内的关键点和特征。

\[a)y=5\sin(\pi x)\quad b)y=-2\cos(x-\pi)\quad c)y=4\sin(2x-(3\pi/2))-3\]

\[d)y=\cos(7x-10\pi)+\pi\quad[Hint:练习14]\quad e)y=\sin(x+5341\pi)\quad[Hint:练习13h.]\]

\[f)y=2-3\sin(\pi-6x)\quad g)y=\pi\cos(\pi x+\pi)+\pi\quad h)y=\tan(x+\pi/4)+2\]

\[i)y=-2\tan(2x)\quad j)y=3\tan(2\pi x-\pi/4)\]

计算器是大骗子

按几个按钮，你的计算器会告诉你\(\sin(22^{\circ}) \approx .374606593\)。这个值不是存储在计算器的内存中的，那它从哪里来的？

计算器是算术的主人——也是 nothing else的主人。\(^{*}\) 求多项式的值是一项纯算术任务，所以计算器可以闪电般地完成它。然而，正弦函数不是多项式；它是几何定义的。因此，你的计算器不知道，也不能知道，\(\sin(22^{\circ})\)是什么意思。尽管如此，它是一个优秀的骗子。它有一个”sin”按钮，其程序员教它每当有人按下该按钮时就欺骗。如果，例如，我们要求计算器求\(\sin(22^{\circ})\)的值，计算器可能按其程序员的指示，在22处求以下15次多项式的值：

\[\begin{align*}y=-\left(\frac{\pi^{15}}{180^{15}\cdot15!}\right)x^{15}+\left(\frac{\pi^{13}}{180^{13}\cdot13!}\right)x^{13}-\left(\frac{\pi^{11}}{180^{11}\cdot11!}\right)x^{11}+\left(\frac{\pi^{9}}{180^{9}\cdot9!}\right)x^{9}\\-\left(\frac{\pi^{7}}{180^{7}\cdot7!}\right)x^{7}+\left(\frac{\pi^{5}}{180^{5}\cdot5!}\right)x^{5}-\left(\frac{\pi^{3}}{180^{3}\cdot3!}\right)x^{3}+\left(\frac{\pi}{180}\right)x.\end{align*}\]

计算器总是乐于求多项式，它快速吐出和，我们（就我们而言）乐于接受该值作为\(\sin(22^{\circ})\)的真实近似。为什么？

我们接受这个近似，因为15次多项式的图像（下面的虚线曲线）在x值较小时（如22）与正弦波几乎无法区分。事实上，两个图像如此接近，以至于对于-90到90之间的输入值，多项式的输出与正弦的输出在小数点后前九位匹配，这正是计算器在屏幕上显示我们的。因此，计算器确实是一个非常好的骗子。

但那个疯狂的多项式从何而来？一个很好的问题，但它的答案需要微积分。当你学习微积分时，你将了解所谓的泰勒多项式，它们是能够模仿各种函数的奇妙生物。上面讨论的多项式就是这样一个例子。顺便说一句，那个多项式中出现的\(\pi\)和180的难看幂是我在这个例子中使用度的决定的结果。如果我使用弧度，它们都会消失，泰勒多项式看起来会更干净。弧度一开始可能看起来很尴尬，但它们确实简化了生活。

练习

25. 泰勒多项式对\(\sin(460^{\circ})\)给出了糟糕的近似。解释计算器如何可以通过对参数\(460^{\circ}\)进行一些初步算术来近似\(\sin(460^{\circ})\)。然后进一步解释如何可以对任何超出-90°和90°之间的最佳点的数字编程计算器使用泰勒多项式来近似正弦。

26. 科学家和工程师通常使用小x值的近似\(\sin x \approx x\)，它只在你使用弧度时才适用。首先通过摆弄计算器，然后通过思考\(y = \sin x\)和y = x的图像，说服自己这是真的。