第3章 - 解方程
第3章：解方程
等价方程
你在锯屑中煮它，你在胶水中盐腌它，
你用蝗虫和胶带浓缩它，
仍然保持一个主要目标在眼前——
保持其对称的形状。
—— Lewis Carroll，《猎取_snark》，第五回合
到目前为止，我们考虑的每个方程都是一个陈述性语句：一个直率的断言，即两个看起来不同的表达式表示相同的东西。然而，其他方程具有疑问的性质。例如，我们可以将\(2x + 3 = 11\)读作问我们：“哪些x值使\(2x + 3\)等于11？”这些值称为方程的解。[这里，4是一个解，因为\(2(4) + 3 = 11\)。]
要解一个方程，我们用代数方法将其扭曲成等价方程——一个与原始方程具有相同解的新方程。如果需要，我们将第二个方程扭曲成第三个，然后是第四个，依此类推，始终保持一个主要目标在眼前：保留原始解。最终，如果我们是有技巧的代数学家，我们会到达一个具有明显解的方程。但由于这个方程与原始方程等价，它的解也是原始方程的解。哦frabous的一天！
代数扭曲有两种基本类型：
解方程的两个基本动作。
这两个”动作”将方程转换为等价方程（即具有相同解的方程）：
用一个相等的表达式替换等号一边的一个表达式。
“对两边做同样的事情”。*
第一个动作是完全清楚的。它告诉我们，例如，\(5x + 3x = 16\)等价于8x = 16。由于这个最后一个方程的唯一解显然是2，原始方程的唯一解也是2。
我们通常使用第二个动作将未知数隔离在方程的一边。例如，我们可以用它两次连续解\(5x + 2 = 9\)。首先，我们从两边减去2，得到等价方程5x = 7。接下来，我们将两边除以5，得到x = 7/5。这个最后方程的唯一解是7/5（显然！），所以原始方程的唯一解也必须是7/5。
如何写作以及如何不写作
解方程时，习惯上垂直写出你的工作：等价方程应该写在一列中，不用任何符号连接它们。在极少数情况下（当空间紧张时，如脚注），可以使用水平格式，其中等价方程写在一行中，用箭头连接。然而，垂直格式是更首选的。
这里有一个学生A（每次测试都得A）如何使用垂直格式的例子。
例。解\(5x + 2 = 9\)。
解（A）。
\[\begin{aligned}5x+2&=9\\5x&=7\quad&(从两边减去2)\\x&=7/5。\quad&(将两边除以5)\end{aligned}\]
注意学生A的解的第一行重述了原始方程——这是一个好习惯。她的括号陈述证明每一步都是合理的，但它们并不总是必要的：当一步的性质清楚时，你可以省略它们。
学生D，哎呀，犯了两个可怕的数学写作罪：等号滥用和轨道覆盖。
例。解\(5x + 2 = 9\)。
解（D）。\(5x + 2 - 2 = 9 - 2\)
\[\begin{aligned}5x+2-2&=9-2\\=\frac{5x}{5}&=\boxed{\frac{7}{5}}\end{aligned}\]
也许学生D从重述原始方程开始，但如果是的话，他通过在两边潦草地写-2来掩盖它。也许他在下一行写了5x = 7，但当他将两边除以5然后将结果记录在同一行时，证据第二次消失了，从而再次覆盖了他的轨道。这种轨道覆盖产生了一个难以阅读的混乱。不要这样做。永远不要忘记写作是为了读者。等号滥用，如果有什么的话，更糟糕。它不只是凌乱。它实际上产生数学胡说。例如，学生D通过在不适当的地方插入等号来滥用等号，从而将该表达式与9 - 2等同起来。注意荒唐的后果：学生D写了9 - 2 = 7/5。不是这样的。
顺便说一句，等号滥用有两种形式：在不适当的地方插入等号，以及在必要的地方省略等号（等号疏忽）。使用这个符号的规则很简单：
等号放在相等的表达式之间。它永远不会放在等价方程之间。
清晰的写作在数学中是必不可少的。注意教科书中的数学是如何写作的，并学会模仿它。你必须学会像一个文明人一样写出你的解。不要像学生D那样，他实际上可以解方程，但他的潦草写作使他看起来受教育程度低。不要覆盖你的轨道，不要犯等号滥用。或者像学生D可能会说的同样的建议，
\[Don^{\prime}t\;tracks\;your\;tracks\;=and\;don^{\prime}t\;commit\;=equals\;=abuse。\]
练习。以下哪些解决方案涉及等号滥用（或疏忽）？解释你的答案。
解：\(2x + 3 = 8\)。
简化：\(3x^{2} - (-x^{2} + x)\)
简化：\(3x^{2} - (-x^{2} + x)\)
解：\(2x + 3 = 8\)
\[ = 2x = 5\]
\[ = x = 5/2\]
解：\(3x^{2}-(-x^{2}+x)\)
\[=3x^{2}+x^{2}-x\]
\[=4x^{2}-x。\]
\[3x^{2}-(-x^{2}+x)\]
\[3x^{2}+x^{2}-x\]
\[4x^{2}-x。\]
解线性方程和二次方程
任何形式为\(ax^{n}\)的代数表达式（其中n是任何整数或0）称为x的单项式。常数a称为单项式的系数。注意常数也算单项式，因为我们可以将诸如8这样的常数视为\(8x^{0}\)。
x的多项式是x的单项式的和。多项式的次数是其项的最大指数。例如，\(5x^{3}-\pi x^{2}+1\)是x的三次多项式。次数为1、2和3的多项式分别称为线性、二次和三次多项式。
任何具有\(ax + b = 0\)形式（或可以转换为该形式）的方程称为线性方程。解线性方程很容易：我们只是将x隔离在方程的一边。没有什么更简单的了。
例1。解\(4x + 3 = 0\)。
解。\(4x+3=0\)
任何具有（或可以转换为）\(ax^{2} + bx + c = 0\)形式的方程称为二次方程。我们将从特别简单的例子开始：\(x^{2} = 4\)。显然，2是这个方程唯一的正解，但也有一个负解：-2。从这个简单的观察中，我们获得了一个重要的教训：
重要教训。对于任何k > 0，方程\(x^{2} = k\)有两个解：\(\sqrt{k}\)和\(-\sqrt{k}\)。（我们经常用简写符号\(\pm\sqrt{k}\)表示它们。）
有了这些知识，你已经可以解任何缺少x项的二次方程了。我们只是将x隔离：
例2。解\(2x^{2}-5=0\)
解。\(2x^{2}-5=0\)
\[\begin{aligned}2x^{2}&=5\quad&(给两边加5)\\x^{2}&=5/2\quad&(将两边除以2)\\x&=\pm\sqrt{5/2}\quad&(通过重要教训！)\end{aligned}\]
当二次方程有x项时，将x隔离要困难得多。不相信我？作为挑战，花几分钟尝试将x隔离在方程\(3x^{2} + 10x - 1 = 0\)中。成功需要真正的聪明，所以当你失败时不要感觉不好。不过请尝试，因为尝试和失败将帮助你理解我将在本章末尾呈现的这个问题的巧妙解决方案。
在我能呈现那个巧妙的解决方案之前，我们需要讨论解可因式分解二次方程的一个重要技巧。这个技巧取决于以下重要定理。
零乘积定理。使乘积等于零的值是使其任何因子等于零的值。
零乘积定理告诉我们，\((2x+1)(x-1)=0\)的解是\((2x+1)=0\)和\((x-1)=0\)的解：因此，-1/2和1是我们寻求的解。将它们代回原始乘积，你就会看到定理为什么成立。
我们可以通过将所有项推到等号一边、因式分解所得多项式并使用零乘积定理来解某些”好”（即可因式分解）的二次方程。这里有这个技巧的实际例子。
例3。解方程\(3x^{2}=8x-4\)
解。\(3x^{2}=8x-4\)
\[3x^{2}-8x+4=0\]
（将所有项推到一个边）
\[(3x-2)(x-2)=0\]
（因式分解）
\[x=2/3,\ x=2。\]
（零乘积定理）
也就是说，原始方程的解是2/3和2。
当二次方程因式分解良好时，这个方法效果很好。然而，当因式分解失败时（经常发生），我们使用大炮：二次公式，它足够强大来解任何二次方程。我将在这里陈述公式，一旦你习惯了使用它，我将在本章末尾推导它。末尾的推导将回答我之前提出的谜题：我们如何在一个二次方程中将x隔离？所有这些都会及时到来。现在，我只是希望你舒适地使用二次公式，你应该立即记住它。
二次公式。
方程\(ax^{2} + bx + c = 0\)的解是
\[\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。\]
例4。解方程\(2x^{2}-7x-1=0\)。
解。这个二次方程不能因式分解，所以我们将用二次公式求解，得到
\[x=\frac{7\pm\sqrt{49-4(2)(-1)}}{2(2)}=\frac{7\pm\sqrt{57}}{4}。\]
因此，这个方程有两个解，\((7 + \sqrt{57})/4\)和\((7 - \sqrt{57})/4\)。在应用问题中，我们可能会将它们通过计算器并注意到它们大约是3.637和-0.137。在纯数学问题中，我们会将这些解保留在其精确形式中。
二次公式也会以它自己的方式告诉我们二次方程何时无解，如下一个例子所示。
例5。解\(3x^{2}-2x+1=0\)。
解。通过二次公式，“解”是
\[x=\frac{2\pm\sqrt{4-4(3)(1)}}{6}=\frac{2\pm\sqrt{-8}}{6}，\]
但是……这些不是真正的解，因为-8没有平方根。事实上，我们应该将那个负数的平方根读作一个”错误消息”，表明方程无解。
在我们能应用二次公式之前，我们必须首先将我们希望解的二次方程放入适当的形式：\(ax^{2} + bx + c = 0\)。下面的例子显示了在必要时如何做到这一点。
例6。解\(-3x^{2}+5x(x-2)-2x-7=x^{2}-10x\)。
\[\begin{aligned}-3x^{2}+5x(x-2)-2x-7&=x^{2}-10x\\-3x^{2}+5x^{2}-10x-2x-7&=x^{2}-10x\\x^{2}-2x-7&=0\\x&=\frac{2\pm\sqrt{32}}{2}\\&=1\pm2\sqrt{2}。\end{aligned}\]
（分配5x）
（将所有项推到一个边）
（二次公式）。
因此，我们得出结论，原始复杂方程的解是\(1 + 2\sqrt{2}\)和\(1 - 2\sqrt{2}\)。
练习
4.（重温例6。）仔细解释为什么\(\frac{2 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 1 \pm 2\sqrt{2}\)。
[提示：左侧代表两个数字。将它们分别写出来并处理。]
解释为什么\(\frac{-2 \pm \sqrt{3}}{-5}\)与\(\frac{2 \pm \sqrt{3}}{5}\)相同。[提示：回忆第1章中旧的”乘以1技巧”。]
解以下每个方程：
\(3x - 5 = 11\)
\(-\frac{2}{3}u+17-u=\frac{2}{3}\)
\(7 + 3(-\frac{2}{3}x - 5) = -x + \frac{2}{3}\)
\(16x^{2}=121\)
\(x^{2}-4x-5=0\)
\(z^{2}-z-12=0\)
\(2x^{2} + 15x - 7 = 0\)
\(-t^{2} + t + 1 = 0\)
\(2x^{2}-3x-5=0\)
\(w(-2w-5)=w^{2}+1\)
\(\pi x^{2} + \sqrt[3]{7}x - 2 = 0\)
\(\left|-\left(-x-\left(-2x-x^{2}\right)+x\right)\right.=-1\)
\(x^{2} + (x + 2)^{2} = 16\)
\(x^{2} + 1 = 0\)
\(x^{2}-2x=-1\)
- 将方程两边除以一个常数会产生等价方程，所以有时我们可以通过首先除以所有项共有的常数因子来简化我们的工作。
要理解这个技巧，两次解\(10x^{2}-15x-30=0\)：首先，直接应用二次公式；其次，通过将两边除以5然后应用二次公式。
你通过两种方法获得的答案可能看起来不同，但它们当然必须表示相同的数字。证明它们确实相等（如果你还没有这样做的话）。
使用这个技巧解以下方程：
i)\(300x^{2}+500x+100=0\)
ii)\(-28x^{2}+35x=42\)。
iii)\(5x^{2}=50+15x\)
- 将方程两边乘以一个常数会产生等价方程，所以有时我们可以通过在解方程之前”清除分数”来简化工作。例如，方程\((2/3)x^{2}+(1/2)x-1=0\)如果我们首先将两边乘以6，会更容易处理。
用两种方式解上一段中的方程：首先，直接应用二次公式；其次，通过清除分数然后应用二次公式。
你通过两种方法获得的答案看起来不同，但它们当然必须表示相同的数字。证明它们确实相等。（你可能会发现这部分具有挑战性。证明两个相同数字的不同形式相等可能是困难的当涉及根式时。）
使用这个”清除分数”技巧解以下方程：
i)\(-\frac{3}{7}x+\frac{1}{2}=3\)
ii)\(\frac{1}{10}x-\frac{7}{5}=\frac{3}{20}\)
iii)\(\frac{3}{4}x^{2}-4=\frac{1}{9}x\)
求以下方程的解：\(bx^{2} + cx + a = 0\)。
以下问题的”解”是不正确的。精确指出假算者的推理在哪里误入歧途。（注意：我不是问他应该做什么，而是他在哪一点做出了逻辑无效的步骤，为什么那个步骤无效？）
问题。解方程\(x^{2}-x-6=1\)
“解”。\(x^{2}-x-6=1\)
\[(x+2)(x-3)=1\]
因此，解是-2和3。
最后，现在你已经指出逻辑错误，求方程的真正解。
- 表达式\(b^{2}-4ac\)称为二次方程\(ax^{2}+bx+c=0\)的判别式。
（因此，例如，方程\(3x^{2} + 4x - 6 = 0\)的判别式是88，你应该验证。）
二次方程”通常”有两个解，但那些判别式为0的只有一次解。解释为什么这是真的。
想出一个只有一次解的二次方程的例子。
对于判别式为负的二次方程，我们能说什么？
- 有时更高次的多项式方程可以通过识别它们实际上是伪装成二次方程来解。例如，考虑\(x^{6} + 2x^{3} - 3 = 0\)。这个可怕的6次多项式在x中，如果你用正确的方式看它，实际上是一个完全无害的二次多项式……在\(x^{3}\)中。一旦我们看到这一点，我们可以通过替换来解它：
\[\begin{aligned}&x^{6}+2x^{3}-3=0\\&u^{2}+2u-3=0.\\&(u-1)(u+3)=0\\&u=1,\ u=-3\\&x^{3}=1,\ x^{3}=-3。\\&x=1,\ x=\sqrt[3]{-3}\end{aligned}\]
（设\(u=x^{3}\)）
（变回x）
因此1和\(\sqrt[3]{-3}\)是原始6次多项式方程的解。
解释为什么\(\sqrt[3]{-3}\)是一个实数（而\(\sqrt{-3}\)不是）。
解以下方程：
i)\(x^{8}-x^{4}-2=0\) ii)\(3x^{4}-x^{2}-4=0\) iii)\(-x^{62}+2x^{31}+7=0\)
如何写作，第二部分（应用题）
二次方程很容易解。如果你注意不要覆盖你的轨道、滥用等号或犯算术错误，很少会出错。涉及的程序纯粹是算法；它们可以由无脑的塑料和硅束执行。相比之下，应用题需要思考和用文字表达的能力。关于后者，你应该始终遵循两个基本规则：
写作的两个规则。
定义你引入的任何符号，无论是用文字（“设x是这样的……”），还是，如果适当的话，在清晰标记的图形上。
如果解涉及几个部分，写出解释它们如何相关的短语或句子。
你可能会发现在一页上进行探索性的草稿工作，然后将其写入另一页上的抛光解是有帮助的。本着这种精神，我将提出一个问题，然后我将给出两个解：首先，一个”意识流解”，试图展示人们可能如何思考解这个问题；其次，一个正式解，就像你实际上会为作业或测试写的那样。
例1。一个直角三角形的斜边是4个单位。它的长腿比短腿长2个单位。它的腿有多长？
“意识流解”嗯，这个有问题中有一个直角三角形，所以我最好画一个。它的斜边是4个单位，所以我会潦草地写一个4。
这个问题中我在找什么？腿的长度。我猜我最好给它们起名字。x和y怎么样。我也会把它们放在我的图上。现在怎么办？好吧，我知道任何直角三角形的边都通过勾股定理相关。如果我将那个应用于我的三角形，我会得到\(x^{2} + y^{2} = 16\)。嗯……如果那个方程中只有一个变量，我可以解它……但有两个。嗯，我能摆脱一个吗？关于问题中长腿和短腿的事是什么？长腿比短腿长2个单位。啊，我根本不需要y：
我可以直接把长腿称为\(x + 2\)而不是。让我们重新画那个图。
现在勾股定理说\(x^{2} + (x + 2)^{2} = 16\)。好的……现在这好多了。现在我有一个关于x的二次方程，我可以解那些。一旦我解了它，我就知道短腿的长度x。为了得到长腿的长度，我只需将短腿加上2。所以基本上问题解决了，除了执行所有计算细节。好吧，让我们执行那些细节……[等等。剩下的很简单。]
现在我们已经发现了通往解的路径，我们必须将解以抛光形式写出来。我们将按照上面列出的”两个写作规则”以及早期关于如何写出可读的等价方程列的建议来做。
例1的抛光解。
设x为短腿的长度。
那么长腿的长度必须是\(x + 2\)。
由勾股定理，
\[x^{2}+(x+2)^{2}=16。\]
我们可以如下解出短腿的长度x：
\[x^{2}+(x+2)^{2}=16\]
\[x^{2}+(x^{2}+4x+4)=16\]
\[2x^{2}+4x-12=0\]
\[x^{2}+2x-6=0\]
\[x=\frac{-2\pm\sqrt{28}}{2}=\frac{-2\pm2\sqrt{7}}{2}=-1\pm\sqrt{7}。\]
由于x是长度，它必须是正的。因此，我们可以抛出方程的负解。因此，短腿的长度是剩余的解，\(-1 + \sqrt{7}\)单位。
长腿比这个长2个单位，所以长腿的长度是\(1 + \sqrt{7}\)单位。
注意它如何遵循我们讨论的写作规则。解有一个明确的叙事弧：角色被介绍（也就是说，新符号x被明确定义），场景被设置（图形），关系被建立（通过勾股定理，命名），问题被解决（二次方程被解——没有任何等号滥用或轨道覆盖），解释被呈现（结论行），他们永远幸福地生活。
让我们把这个问题放在一边，看看更多的应用题。在你阅读解之前，自己尝试解决问题。当你阅读解时，不仅要注意解的方法，还要注意解的写作风格。
应用题 - 更多例子
例2。直角等腰三角形的斜边是2个单位长。求三角形的面积。
解。设x为三角形两条腿的长度。由勾股定理，我们有\(x^{2} + x^{2} = 4\)。解出x得到\(x = \pm\sqrt{2}\)。由于x是长度，它必须是正的，所以三角形的腿每个都是\(\sqrt{2}\)单位长。最后，三角形的面积是其底边乘以高度的一半，所以这个三角形的面积必须是\((1/2)(\sqrt{2})(\sqrt{2}) = 1\)平方单位。
我们可以通过用两种不同方式表达相同的东西来解许多问题；这给我们一个方程，然后我们可以解。在下一个例子中，我们将用两种方式找到圆柱体的表面积。一种方式很简单——实际上它的数值会给我们。另一种方式需要一些聪明，我希望你会会的。
例3。假设一个圆柱形罐子（两端封闭）的高度是其底面直径的两倍。如果罐子的表面积是\(1000 \, cm^{2}\)，它的半径和高度必须是多少？
解
设r为罐子底面的半径（单位：厘米）。
由于罐子的高度是其直径的两倍，它一定是其半径的4倍，如图所示：
为了找到罐子表面积的代数表达式，我们将进行一些手术：首先，我们移除罐子的圆形顶部和底部，然后我们沿着虚线切割剩余的管，最后，我们将其展开并平放成一个矩形。因此，罐子的总表面积A原来是两个圆和矩形的面积之和。（注意圆形底面展开时成为矩形的一边；因此矩形的宽度等于圆的周长。）因此，
\[A=\pi r^{2}+\pi r^{2}+(2\pi r)(4r)=10\pi r^{2}。\]
由于表面积已知为\(1000 \, cm^{2}\)，我们可以用这个代替A，得到\(1000 = 10\pi r^{2}\)。解这个r，我们发现
\[\begin{aligned}1000&=10\pi r^{2}\\\frac{100}{\pi}&=r^{2}\\r&=\frac{10}{\sqrt{\pi}}。\end{aligned}\]
也就是说，罐子的半径是\(10/\sqrt{\pi} \approx 5.64\)厘米。
最后，罐子的高度是其半径的4倍，所以它的高度是\(40/\sqrt{\pi} \approx 22.57\)厘米。
另一种常见的解应用题的策略是找到涉及两个未知数的两个方程。然后我们可以如下找到未知数的值。首先，我们在一个方程中隔离一个变量。其次，我们将其结果代入另一个方程，这将只有一个变量。从那里，剩下的就简单了：解一个变量中的方程，使用结果找到另一个变量，最后解释结果。这里有两个这种风格的例子。
例4。假设某个小矩形的周长为\(35 \, \mu m\)（微米），面积为\(49 \, \mu m^{2}\)。矩形的尺寸是多少？
解。设b和h为矩形的底边和高度（单位：\(\mu m\)）。
将问题的条件翻译成方程，我们有
\[2b+2h=35\quad\text{and}\quad bh=49。\]
第二个方程等价于h = 49/b。通过将h = 49/b代入第一个方程，我们将其转换为\(2b + 2(49/b) = 35\)，它只包含一个未知数。解这个b得到
\[\begin{aligned}2b+2(49/b)&=35\\2b+(98/b)&=35\\2b^{2}+98&=35b\\2b^{2}-35b+98&=0\end{aligned}\]
（将两边乘以b以清除分数）
\[\begin{aligned}b&=\frac{35\pm\sqrt{441}}{4}\quad&(二次公式)\\ &=\frac{35\pm21}{4}=14\text{和}7/2。\end{aligned}\]
因此b可以是14或7/2。我们可以使用我们 earlier 建立的h = 49/b的关系来找到h的相应值。当我们这样做时，我们发现如果b = 14，那么h = 7/2，反之亦然。因此，无论哪种方式，我们都得出相同的结论：矩形必须是14乘以7/2 \(\mu m\)。
例5。今天，Rosencrantz的年龄是Guildenstern的1.2倍。
二十年前，他正好是Guildenstern的两倍。他们今天多大了？
解。设R为Rosencrantz今天的年龄（以年为单位）。
设G为Guildenstern今天的年龄（以年为单位）。
将问题的条件翻译成方程，我们得到
\[R=1.2G\quad\text{and}\quad R-20=2(G-20)。\]
将第一个方程中的R表达式代入第二个方程，得到
\[1.2G-20=2(G-20)。\]
解这个关于G的线性方程，我们发现
\[\begin{aligned}1.2G-20&=2(G-20)\\1.2G-20&=2G-40\\20&=0.8G\\G&=20/0.8=25。\end{aligned}\]
因此，Guildenstern今天25岁。
最后，由于\(R = 1.2G\)（如前所述），我们有\(R = 1.2(25) = 30\)。
也就是说，Rosencrantz今天30岁。
当你定义一个符号时，要精确。例如，在上面的解决方案中，我将R定义为Rosencrantz今天的年龄（以年为单位）。不要满足于”R = Rosencrantz”，这既是草率的也是反生产力的。草率是因为方程中的变量代表数字，而不是人；反生产力是因为模糊的定义使你的解释工作更加困难。写”R = Rosencrantz”的人可能在将这个问题的第二句翻译成方程时遇到困难。相比之下，精确地将R定义为Rosencrantz今天的年龄（以年为单位）的人认识到Rosencrantz二十年前的年龄必须是\((R - 20)\)。
最后，由于许多应用题涉及几何量的公式，一定要记住一些基本的公式。除了勾股定理，你还应该知道如何求矩形、三角形和圆的面积和周长。在三维空间中，圆柱体特别简单：体积只是底面积乘以高度；表面积可以通过上面例3中解释的”手术”方法找到。
练习
两个连续整数的乘积是6592056。找出这些数字。
找出等腰三角形的高9英寸、底边4英寸的面积。
等边三角形的面积是\(1 \, mile^{2}\)。找出它的边长。
[提示：找出三角形面积的第二个表达式——这个应该用其边长表示。]
一个矩形的面积是4平方英寻，周长是40/3英寻。找出它的尺寸。
假设一个圆柱形罐子（两端封闭）的高度是其底面半径的一半。已知罐子的体积是\(500 \, cm^{3}\)，它的表面积是多少？
正午时分，Vladimir和Estragon从同一点出发。Vladimir以每小时3英里的恒定速度向东走，而Estragon以每小时2英里的恒定速度向北走。他们什么时候（精确到分钟）恰好相距20英里？
考虑一个均匀宽度的相框。它的内边缘形成一个矩形窗口，通过它可以看到图片。这个窗口的面积是\(100 \, in^{2}\)。它的外边缘构成一个\(15^{\prime\prime} \times 18^{\prime\prime}\)的矩形。框架的宽度是多少？（给出一个精确表达式和一个近似值。）
假设我们如下形成两个圆：我们首先取一条长度为5个单位的线段；然后我们将这个段切成两个不相等的块，将每一块弯成一个圆。有没有可能以这种方式使两个圆所包围的总面积是\(17/4\pi\)平方单位？如果不可能，为什么？如果有可能，我们应该如何切割这个段来实现？
Mr. Punch在32年前是Judy年龄的三倍。那之后的三年，Mr. Punch正好是Judy的两倍。他们现在多大了？
假设我们必须如下构造一个带方形底部（无盖）的盒子：我们从一块方形纸板开始，从每个角切下一个3英寸×3英寸的正方形，然后将 resulting “flaps” 向上折叠。如果我们希望盒子的体积为\(42 \, in^{3}\)，原始方形纸板应该有多大？
假设一个物体从180英尺的平台上以每秒60英尺的速度向上发射。物体在t秒后的高度h（单位：英尺）的公式是\(h = -16t^{2} + 60t + 180\)。（你将在物理中学到为什么。）物体触及地面之前经过了多少时间？
一个母亲比她儿子大21岁。6年后，她将是他年龄的5倍。父亲在哪里？
解包含有理表达式的方程
多项式的比值称为有理表达式。当有理表达式出现在方程中时，我们总是可以通过”清除分数”来追赶。以下是执行此操作的一个方便技巧：
交叉相乘。我们可以将\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)重写为等价形式\(ad = bc\)。
证明。\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow bd\left(\frac{a}{b}\right)=bd\left(\frac{c}{d}\right)\Rightarrow ad=bc\)，如所证。
下面的例子展示了该技巧的实际应用。
例。解方程\(\frac{3x+2}{5x-7}=\frac{5}{-2x+1}\)。
解。\(\frac{3x+2}{5x-7}=\frac{5}{-2x+1}\)
\[\begin{aligned}(3x+2)(-2x+1)&=(5x-7)5\\-6x^{2}-x+3&=25x-35\\-6x^{2}-26x+38&=0\\3x^{2}+13x-19&=0\\x&=\frac{-13\pm\sqrt{397}}{6}\end{aligned}\]
（通过交叉相乘清除分数）
（将两边除以\(-2\)）
（二次公式）
解包含根式表达式的方程
所谓的根式表达式可以呈现多种形式，从相对简单的\(\sqrt{x} + 6x + 1\)到嵌套的讨厌的东西
\[\sqrt[3]{2+\sqrt{1+2x+\sqrt[5]{x}}}。\]
你可以按照你的直觉解许多包含根式的方程。例如，
例1。解方程\(2\sqrt[3]{x+1}-1=5\)。
解。\(2\sqrt[3]{x+1}-1=5\)
\[\begin{aligned}2\sqrt[3]{x+1}-1&=5\\2\sqrt[3]{x+1}&=6\\\sqrt[3]{x+1}&=3\\\left(\sqrt[3]{x+1}\right)^{3}&=3^{3}\\x+1&=27\\x&=26\end{aligned}\]
（两边立方以”撤销”立方根）
原则上，我们可以通过将根式隔离在方程一边，然后将两边提升到适当的幂来解任何未知数包裹在根式中的方程。然而，存在一个潜在的问题。我之前警告过，“对方程两边做同样的事情”产生等价方程的一般规则有一个例外。当我们将两边提升到偶次幂时，会出现一个大例外。（在本书中，你需要担心的另一个例外很短，在练习26中会遇到。）
将方程两边提升到偶次幂会产生不是原始方程解的虚假”解”。（例如，如果我们将x = 3两边平方，我们得到\(x^{2} = 9\)，其负解不满足原始方程x = 3。）因此，如果我们曾经将方程两边提升到偶次幂，我们必须记得回去通过将假定的解代入原始方程来检查我们的假称解。这样，我们可以捕获（并丢弃）可能混入的任何虚假解。
例2。解方程\(3 + 5\sqrt{x} = 2x\)。
解。\(3 + 5\sqrt{x} = 2x\)
\[5\sqrt{x}=2x-3\]
（隔离根式）
\[\left(5\sqrt{x}\right)^{2}=(2x-3)^{2}\]
（两边平方以消除根式）
\[25x=4x^{2}+9-12x\]
\[0=4x^{2}-37x+9\]
\[x=\frac{37\pm\sqrt{1225}}{8}\]
（通过二次公式）
\[x=9,x=\frac{1}{4}\]
（因为\(\sqrt{1225}=35\)）
由于我们对方程两边进行了平方，我们必须检查我们的两个预期解，看是否有虚假。9代入原始方程得到真语句18 = 18，所以9是真正的解。但是当我们代入1/4时，我们得到假语句11/2 = 1/2，所以1/4是在平方过程中作为副产品混入的虚假解。因此，我们的原始方程只有一个解，x = 9。
练习
- 解以下每个方程中包含的未知数：
a)\(\frac{2x+1}{x}=\frac{3x-1}{2x-1}\)
b)\(\frac{1}{x-4}+\frac{1}{x-1}=\frac{5}{4}\)
c)\(\frac{1}{x}+\frac{x}{x+1}=3\)
d)\(\frac{t^{2}-1}{t-2}=\frac{8}{t-2}+t+3\)
e)\(\frac{1}{z}+\frac{1}{z^{2}}+\frac{1}{z^{3}}=\frac{3}{z}-\frac{2}{z}\)
f)\(\frac{x+1}{2x-3}=\frac{2x-3}{x-1}\)
g)\(x^{2}=144\)
h)\(\sqrt{2x+1}=3\)
i)\(\left(-\frac{2}{5}\right)\left(\sqrt[37]{x}\right)=\frac{2}{5}\)
j)\(5\sqrt[3]{x+1}+3=-12\)
k)\(w + \sqrt{5w^{2} + 16} = 4w\)
l)\(\sqrt{3x - 5} = x - 1\)
- 我们已经看到，将方程两边提升到偶次幂可能产生太多”解”，其中一些实际上不满足原始方程。相反的问题——太少的解——可能发生在我们将两边除以涉及方程变量的表达式时。（例如，方程\(x^{2} = x\)有两个解，0和1。然而，将两边除以x，只得到x = 1，一个只有一次解的方程。）
很容易看出这是为什么：要两边除以x，我们必须隐含地假设\(x \neq 0\)，因为除以0当然是无定义的。因此，当我们除以x时，数字0有效地进入我们的盲点。如果0恰好是我们寻找的解之一，在我们的代数盲点中有0是一个严重的问题。（类似地，如果我们两边除以\((x - 2)\)，我们隐含地假设\(x \neq 2\)，这意味着2现在在我们的代数盲点中。）
幸运的是，这个问题很容易避免。如果你曾经想过将方程两边除以涉及x的表达式，这样做： 대신将所有项推到方程一边，然后因式分解该表达式。然后你可以用零乘积定理解方程。（这不需要除法，所以它保持我们的盲点为空。）例如，让我们将我们上面处理的方程应用这个策略：
\[x^{2}=x\quad\Rightarrow\quad x^{2}-x=0\quad\Rightarrow\quad x(x-1)=0\quad\Rightarrow\quad x=0,1。\]
你的问题：不使用二次公式，解以下方程：
a)\(x^{2} = 5x\)
b)\(3x^{2}-4x=0\)
c)\(-x^{2}=\frac{3}{2}x\)
d)\(9(x - 2) = 3x(x - 2)\)。
- 要解一个包含两个平方根下的代数表达式的方程，最佳策略是将其中一个隔离，然后两边平方。这将产生一个只有一根式的方程，这更好，因为你已经知道如何解这样的方程。
通过采用这个策略解\(\sqrt{2x+1}-\sqrt{x}=1\)。
现在忽略这个策略，立即两边平方来解同一个方程，不先隔离根式。
- 想出一种方法解以下方程：
a)\(\sqrt{{\sqrt{x+16}}-{\sqrt{x}}}}=2\)
b)\(\sqrt{t}-\frac{2}{\sqrt{t}}=1\)
29.（一个悖论！一个悖论！一个最巧妙的悖论！）
批评以下论证：
设x = 1。
那么\(x^{2}=x\)。
因此\(x^{2}-1=x-1\)。
也就是说，\((x-1)(x+1)=x-1\)
因此，\(x + 1 = 1\)。
因此，x = 0。
但x按定义是1，所以得出0 = 1。
这是怎么发生的？推理中的缺陷在哪里？
为一个懂代数的朋友——或者更好，为一个懂微积分的朋友——重现这个论证——看看他或她是否能识别问题。
推导二次公式
现在如果6变成9，我不介意，我不介意。
—— Jimi Hendrix
解线性方程很简单：我们只是将其变量隔离。将这种”孤立主义”策略应用到二次方程似乎是没有希望的，因为在一个二次方程中，变量通常同时出现在两个地方。然而，惊人的是，在这种情况下我们可以隔离x。然而，这样做需要一些真正的代数技巧。
让我们从一个特定的二次方程开始：\(x^{2} + 6x + 6 = 0\)。首先，在没有二次公式的情况下自己尝试解它。你不会成功的，但你的失败尝试将加深你自己对解决方案的理解和欣赏当你看到它的时候。
如果你花了几个小时或几天尝试解那个方程，你可能最终会发现你自己，精疲力竭，绝望，希望”如果常数项是9就好了！因为那样我们就可以将二次多项式重写为线性多项式的平方，并通过因式分解解方程”：
\[x^{2}+6x+\mathbf{9}=0\quad\Rightarrow\quad(x+3)^{2}=0\quad\Rightarrow\quad x=-3\]
如果 only… 然而，绝望的希望可以是发明的母亲。我们没有方程中的9，但是……如果我们小心地保持方程”平衡”，我们可以把一个放那里。仔细看：
\[\begin{aligned}x^{2}+6x+6&=0\\x^{2}+6x+\mathbf{9}+6&=\mathbf{9}\\ $ x+3)^{2}+6&=9\\ $ x+3)^{2}&=3\\x+3&=\pm\sqrt{3}\\x&=-3\pm\sqrt{3}\end{aligned}\]
（给两边加9）
好哇！我们解出了方程！现在让我们仔细看看我们的解是什么使其起作用；这样做将向我们展示如何将其推广，以便它适用于所有二次方程。
我们的方法是在方程中引入一个常数\((9)\)，允许我们用更易管理的东西——一个平方的线性多项式——替换我们不听话的二次多项式，在其中符号x只出现一次。之后，解方程很容易；我们只是隔离x的一次出现。
让我们思考是什么使得某些二次方程（如\(x^{2} + 6x + 9\)）能够被折叠成\((x + a)^{2}\)的形式。展开”折叠”形式，我们有
\[(x+a)^{2}=x^{2}+2\boldsymbol{a}x+\boldsymbol{a}^{2}。\]
右边的系数给了我们答案。向后读这个等式，我们看到二次多项式可以折叠成\((x + a)^{2}\)形式，如果……
它的首项系数（即\(x^{2}\)的系数）是1，
它的常数项是……其x系数的一半的平方。
因此，我们不能将\(x^{2} + 6x + 6\)折叠成指定形式的完美平方，因为它的常数项6不是其x系数的一半的平方，即9。但是正如我们在上面看到的，一旦我们知道我们需要的魔法常数（9），将它们注入方程是很容易的。这个洞察力产生了一个如此重要的方法，它有自己的名字。
配方法。
将\(x^{2} + bx\)重写为x只出现一次的形式，添加和减去我们如下获得的某个”魔法常数”：
将x系数减半，然后将结果平方。
特别注意：这个魔法常数的配方仅在二次的首项系数为1时有效。
让我们暂停一下练习配方法。这里有三个例子。
例1。将表达式\(x^{2} + 5x\)重写为符号x只出现一次的形式。
解。由于这个二次多项式的首项系数为1，我们可以通过上述过程配方法。x系数的一半是5/2；平方得到我们的魔法常数，25/4。现在使用它来配方法：
\[\begin{aligned}x^{2}+5x&=\underbrace{x^{2}+5x+\frac{25}{4}}_{a perfect square}-\frac{25}{4}\\&=\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}-\frac{25}{4}。\end{aligned}\]
我们已将原始二次多项式重写为x只出现一次的形式。
下一个例子将几乎把我们带到二次公式的门口。
例2。不用二次公式解\(x^{2}-8x+11=0\)。
解。多项式不能因式分解，但我们可以通过配方法重写它，使x只出现一次；然后我们可以通过隔离x来解方程。由于首项系数是1，我们可以按照上面的过程。x系数的一半是-4。平方，我们发现我们的魔法常数是16。使用它来配方法，我们得到：
\[x^{2}-8x+11=0\]
\[\underbrace{x^{2}-8x+\mathbf{16}}_{a perfect square}-\mathbf{16}+11=0\]
（配方法）
\[\begin{aligned}(x-4)^{2}-5&=0\\ $ x-4)^{2}&=5\\x-4&=\pm\sqrt{5}\\x&=4\pm\sqrt{5}。\end{aligned}\]
我们在最后一个例子中使用的方法可用于解任何首项系数为1的二次方程。即使首项系数不是1，我们也可以将两边除以首项系数使其为1。仔细看：
例3。解\(3x^{2} + 12x + 5 = 0\)。
解。\(3x^{2}+12x+5=0\)
\(x^{2} + 4x + \frac{5}{3} = 0\)（将两边除以3使首项系数为1）
\[\begin{aligned}x^{2}+4x+\frac{5}{3}&=0\quad&(将两边除以3)\\x^{2}+4x+\mathbf{4}-\mathbf{4}+\frac{5}{3}&=0\quad&(配方法)\\ $ x+2)^{2}+\frac{5}{3}&=4\\ $ x+2)^{2}&=\frac{7}{3}\\x+2&=\pm\sqrt{7/3}\\x&=-2\pm\sqrt{7/3}。\end{aligned}\]
我们可以用这种方法解任何二次方程。然而，而不是每次需要解二次方程时都配方法，我们可以通过推导一个公式（“二次公式”）来自动化这个过程，它直接把我们从二次带到其解，将配方法的细节隐藏在 hood 下，我们不需要考虑它们。如果你理解了这最后一个例子，那么推导二次公式就很简单，甚至 trivial。
问题。推导二次公式。也就是说，从二次方程\(ax^{2} + bx + c = 0\)本身中提取其解的公式。
解。我们用来推导二次公式的方法可以总结为三个词：配方法。大量的代数 involved，但都是常规的。细节如下。
\[ax^{2}+bx+c=0\]
\[x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\]
（将两边除以a使首项系数为1）
\[x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}}+\frac{c}{a}=\frac{b^{2}}{4a^{2}}\]
（配方法）
\[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}+\frac{c}{a}=\frac{b^{2}}{4a^{2}}\]
\[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}=\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{c}{a}\]
\[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}\]
\[x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\]
\[x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\]
\[x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\]
\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。\]
我们做到了！仅仅通过配方法，我们就推导出了一个非凡的公式，用于任何二次方程的精确解。
总结我们对二次方程的讨论，让我们注意到，除了可以隔离x的平凡方程（如\(4x^{2} = 9\)）外，实际上只有两种方法在实践中解二次方程：通过因式分解（借助零乘积定理），以及当因式分解失败时，使用二次公式。
练习
- 将以下表达式重写为x只出现一次的等价形式：
a)\(x^{2} + 8x\)
b)\(x^{2} + 9x\)
c)\(x^{2} - 6x\)
d)\(x^{2} - \frac{2}{3}x\)
e)\(4x^{2} + 8x\)
f)\(-3x^{2} + \frac{3}{4}x\)
g)\(x^{2} + 3x + 1\)
h)\(2x^{2} - 4x + 4\)
不用二次公式解方程\(2x^{2}-5x-1=0\)。
推导二次公式（当然，不用任何笔记）。
这里有一个完成平方的几何解释。
给定形式为\(x^{2} + bx\)的表达式，我们可以通过将两项视为正方形和矩形的面积来完成平方。如果我们将矩形沿其”b”边切成两半，然后将两半粘贴到正方形的两侧，如下所示，所得图形将是一个正方形……但其中一个角被咬了一口。
为了字面上完成这个正方形，我们必须填入缺失的角。
完成后我们的正方形将缺失的 piece 的面积是多少？
注意这确实是上面部分描述的”魔法常数”。
这个几何演示仅在b > 0时有效。解释为什么。
你能想出一个相关的几何演示，当b < 0时也能工作吗？
为什么要用负数？
整数用于计数，分数用于测量，但负数真正是为了什么？在课堂之外，我们什么时候需要加、减、乘、除负数？尽管有所有相反的证据，算术教科书的作者经常断言，我们需要负数算术来使债务、零下温度等有意义。这是胡说八道，任何有脑子的人花几分钟思考后都应该能够认识。
如果我欠Groucho 3，欠Chico 5，欠Harpo 10，我总共欠马克思兄弟多少钱？显然，我欠他们18，这个数字我和你一样，是通过加三个正数得到的。当然，有人可以通过计算\((-3) + (-5) + (-10) = -18\)得到相同的结论，但为什么要麻烦？此外，这个例子是典型的。每一个所谓的负数算术的”现实世界应用”都可以用正数自然地解决。如果你不相信我，试着想出一个反例。有时查看算术教科书，尝试在其”应用”示例和练习中找到哪怕一个负数算术不可或缺的情况。你会徒劳地搜索。历史也证实了我的说法。在传统簿记中，负数没有使用。相反，债务用红墨水写。（这就是为什么陷入债务的企业被称为”在红字中”。）年代学的工作方式类似：我们说Archimedes死于公元前212年。我们不说他死于-212。
在清除冒充答案的空气后，让我们重复这个问题。我们为什么需要负数算术？诚实的答案是负数算术的存在是为了简化代数。没有代数，就不会有负数算术。然而，就在几个世纪前，甚至代数都是在没有负数的情况下进行的。为了给你一种”前负数时代”代数的感受，让我们重新考虑解二次方程的问题。
举一个具体的例子，方程\(-3x^{2}+5x+1=0\)对于前负数时代的人来说将是完全胡说八道，因为那个神秘的为首系数。然而，他们会发现等价的（对我们来说）方程\(3x^{2}=5x+1\)令人满意。为了解这个方程，我们当然会使用二次公式，它产生两个解，一个负一个正：
\[\frac{-5+\sqrt{37}}{-6}\text{和}\frac{-5-\sqrt{37}}{-6}。\]
但因为左边的解是负的，前负数的人会说方程有一个解：右边的，他们会用等价的形式表达
\[\frac{5+\sqrt{37}}{6}。\]
他们是怎么得到的？我们当然可以通过以下方式从”我们的”正数形式中获得它：
\[\frac{-5-\sqrt{37}}{-6}=\frac{-5-\sqrt{37}}{-6}\Big(\frac{-1}{-1}\Big)=\frac{5+\sqrt{37}}{6}。\]
但这对我们前负数的朋友来说将是完全胡说八道。左侧的原始表达式会被视为一堆无意义的东西；我们随后尝试将其乘以另一个这样的无意义东西，-1/-1，看起来像是疯狂者的呓语。
尽管如此，我们的前负数朋友可以轻松直接地产生正数解，不需要任何介入的负数！他们是如何解决这个问题的？正如今天大多数人会做的那样——完全通过 appeal to 一个他们可能已经记住的公式，也许没有完全理解。他们的公式（或更确切地说，公式）看起来会与我们的不同。这是前负数时代，二次方程的教科书讨论可能如何总结：
二次方程的”前负数”方法。
二次方程有四种基本形式：
\(Ax^{2} + Bx + C = 0\)。这些显然无解（正数之和永远不可能为零！）
\(Ax^{2} + Bx = C\)。这些总是有一个解。即\(\frac{\sqrt{B^{2} + 4AC} - B}{2A}\)。
\(Ax^{2} = Bx + C\)。这些总是有一个解。即\(\frac{\sqrt{B^{2} + 4AC} + B}{2A}\)。
\(Ax^{2} + C = Bx\)。这些是奇怪的一个。
如果\(B^{2} < 4AC\)，则无解。
如果\(B^{2} = 4AC\)，有一个解。即\(\frac{B}{2A}\)。
如果\(B^{2} > 4AC\)，则有两个解。即\(\frac{B \pm \sqrt{B^{2} - 4AC}}{2A}\)。
因此，在前负数时代解\(3x^{2}=5x+1\)，人们会使用上面框中的公式编号3，它直接产生解
\[x=\frac{\sqrt{5^{2}+4(3)(1)}+5}{2(3)}=\frac{\sqrt{37}+5}{6}\]
以这种方式负数永远不会介入！
这个故事的寓意是，完全可以在没有负数的情况下做代数。然而，一旦我们承认它们，代数就变得更加简单。代数学生有时会抱怨必须记住二次公式。至少要感激我们有负数！记住二次公式比起记住上面框中的内容要轻松得多。负数算术是一个了不起的省力装置，这正是它被发明的原因。
练习
- 假装你生活在负数前的时代。用”时期仪器”（即本节中的框公式）玩的同时解以下二次方程。然后像今天一样解它们。
a)\(8x^{2} + 4 = 5x\)
b)\(3x^{2}+4x=1\)
c)\(2x^{2}=x+5\)
- 思考18世纪数学家Frances Maseres的以下话语：
它们[负数]仅在……使方程的整个学说变暗和使事物的性质非常明显和简单的过度明显方面有用。
负数前的日子出人意料地近。