第4章 坐标几何基础 答案
习题1
对于\((-4,2)\)：否；对于\((1,1)\)：是
否：如果x对于图形上的某个点为0，那么我们会有\(0=1\)，这是荒谬的。
习题2
\(\begin{pmatrix}0,-4\end{pmatrix}\)
习题3
\(-10\)
习题4
\(\begin{pmatrix}0,\frac{9}{2}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0,-3\end{pmatrix}\)
习题5
\(\begin{pmatrix}1,1\pm\sqrt{11}\end{pmatrix}\)
习题6
- \(x=-4\) b) \(y=2\) c) \(y=0\) d) \(x=0\) e) \(x=a\) f) \(y=a\) g) \(x=0\)
习题9
- 10.25 b) 11.75 c) \(\Delta T=-20\) d) \(\Delta x=5\)，\(\Delta y=9\)，\(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{9}{5}\) e) \(\Delta x=-5\)，\(\Delta y=-9\)，\(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{9}{5}\)
习题14
\(-\frac{1802}{39}\approx-46.2\)
习题15
该直线的斜率将为负。
习题16
\(y=2x-9\)，与x轴交于\((9/2,0)\)，与y轴交于\((0,-9)\)。
\(y=-6x+17\)，与x轴交于\((17/6,0)\)，与y轴交于\((0,17)\)。
\(y=-(3/2)x+(5/6)\)，与x轴交于\((5/9,0)\)，与y轴交于\((0,5/6)\)。
\(y=\left(\frac{3}{4}\right)x-\left(\frac{5}{4}\right)\)，与x轴交于\(\left(\frac{5}{3},0\right)\)，与y轴交于\(\left(0,-\frac{5}{4}\right)\)。
\(y=(8/35)x+(12/35)\)，与x轴交于\((-3/2,0)\)，与y轴交于\((0,12/35)\)。
\(y=mx+b\)，与x轴交于\((-b/m,0)\)，与y轴交于\((0,b)\)。
习题17
\(\textcircled{a}y=7x+2\qquad\textcircled{b}y=-(2/3)x+8/3\qquad\textcircled{c}y=x-7/3\qquad\textcircled{d}y=7x-14\)
习题18
- \(1.8^{\circ}\)F b) \(5(1.8^{\circ})=9^{\circ}\)F c) \(C=(5/9)(F-32)\) d) 是。\(-40^{\circ}\)F = \(-40^{\circ}\)C。
习题19
[使用绘图程序检查你的解。]
习题20
- \(y=(2/5)x+2\) b) \(y=-(1/4)x+(3/4)\) c) \(y=-2x\)
习题21
- \(y=-4x+14\) b) \(y=-(2/5)x\)
习题22
- \(y=(1/4)x+(5/4)\) b) \(y=(5/2)x\)
习题24
\(4\sqrt{14}\)英寸
习题25
\(\sqrt{73}\)英里
习题26
否：勾股定理不适用，除非这恰好是一个直角三角形。
习题27
是：由于直角三角形的斜边总是最长的边，这里的斜边必须是6个单位（因为\(6>2\sqrt{5}\)）。因此，最短的边根据勾股定理将是4个单位。
习题30
10 b) \(\sqrt{109}\) c) \(\sqrt{1129}/4\) d) \(\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}}\) e) 8
当线段本身与坐标轴平行时会发生这种情况。因此，严格来说，我在文中给出的证明并不完全：它建立了除位于同一条垂直或水平线上的点对之外所有点对的距离公式。幸运的是，距离公式在这种情况下仍然成立，但其有效性必须单独建立。这很容易。如果两点位于同一条水平线上，它们之间的距离显然是\(|\Delta x|\)。（如果这对你来说不明显，使用具体的例子练习直到明白为止。）剩下的只是验证距离公式在这些情况下实际上产生这个结果。确实如此：对于同一条水平线上的任意两点，\(\Delta y=0\)，所以距离公式产生结果。
\[d=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}=\sqrt{(\Delta x)^{2}}=|\Delta x|,\]
这是正确的。因此，即使两点位于同一条水平线上，距离公式也适用。（类似的论证处理了两点位于同一条垂直线上的情况，你应该验证。）这个故事的寓意是距离公式在所有情况下都适用，尽管在证明中交叉每个t和点每个i会使证明非常冗长，难以阅读，掩盖了证明的基本简单性。
习题31
\(x^{2}+y^{2}=1\)
习题32
- \((x+3)^{2}+(y-2)^{2}=16\) b) \((0,2\pm\sqrt{7}),(-3\pm2\sqrt{3},0)\) c) \((-1,2\pm2\sqrt{3})\)
习题33
- \((x-1)^{2}+(y-1/2)^{2}=1/4\) b) \((1,0)\) c) \(\left(1/2,1/2\right),\left(3/2,1/2\right)\)
习题34
\((x-1/2)^{2}+(y-5)^{2}=29/4\)。与坐标轴交点：\((0,5\pm\sqrt{7})\)
\((x-3)^{2}+(y+1)^{2}=37\)。与坐标轴交点：\((0,-1\pm2\sqrt{7}),(9,0),(-3,0)\)。
\(x^{2}+y^{2}=49/4\)。与坐标轴交点：\((0,\pm7/2),(\pm7/2,0)\)。
习题37
\((x-1/2)^{2}+(y-1/2)^{2}=1/2\)
习题38
- \(40\sqrt{3}\approx69.3\)英尺 b) \(20\sqrt{7}\approx52.9\)英尺 c) \(1600\pi\approx5026.5\)平方英尺。
习题39
由于完整圆形的中心是\((2,-3)\)，其上半分的所有点的y坐标都\(\geq(-3)\)。因此，圆的上半分对应于\(y=-3+\sqrt{5-(x-2)^{2}}\)，其中y是\((-3)\)加上其他东西。（“其他东西”，根号项，总是正的或零。）圆的下半分有类似的故事。
圆的左半和右半 c) \(y=-\sqrt{1-x^{2}}\) d) \(x=-1+\sqrt{36-(y-2)^{2}}\)
以原点为中心、半径为2的圆的下半部分。
习题40
\((100,10)\)
习题41
负数缺乏实数平方根，但它们有立方根。
习题45
\((1,1)\)
习题47
\(y=|x|\)的图形取了\(y=x\)图形的一半，并与\(y=-x\)图形的一半结合。这是因为当x为正时\(|x|\)等于x，当x为负时等于\(-x\)。
习题48
- \((1,1)\) b) \(\left(\frac{24}{41},\frac{1}{41}\right)\) c) \(\left(\frac{-3}{\sqrt{13}},\frac{2}{\sqrt{13}}\right),\left(\frac{3}{\sqrt{13}},\frac{-2}{\sqrt{13}}\right)\) d) \(\left(\frac{24-3\sqrt{14}}{10},\frac{2+\sqrt{14}}{10}\right),\left(\frac{24+3\sqrt{14}}{10},\frac{2-\sqrt{14}}{10}\right)\)
\[e)\left(0,0\right),\left(\sqrt{3},3\sqrt{3}\right),\left(-\sqrt{3},-3\sqrt{3}\right)\quad f)\left(1+\sqrt{2},3+2\sqrt{2}\right),\left(1-\sqrt{2},3-2\sqrt{2}\right)\]
\[g)\left(\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}},\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right),\left(-\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}},\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)\quad h)\left(0,0\right),\left(2\sqrt{2},\sqrt{2}\right),\left(-2\sqrt{2},-\sqrt{2}\right)\quad i)\left(4000000,2000\right)\]
\[j)\left(\sqrt{\frac{7}{2}},1+\sqrt{\frac{7}{2}}\right)\]
习题49
这些线不相交。
习题50
直线和圆不相交。
习题51
- 否：它们的斜率不同。b) \(y=-\frac{400}{101}x\) c) \(\left(\frac{404}{1701},-1600/1701\right)\)
习题52
\(\left(\sqrt{2+\sqrt{3}},\sqrt{2-\sqrt{3}}\right),\left(\sqrt{2-\sqrt{3}},\sqrt{2+\sqrt{3}}\right),\left(-\sqrt{2+\sqrt{3}},-\sqrt{2-\sqrt{3}}\right),\left(-\sqrt{2-\sqrt{3}},-\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)\)
[注：这些坐标也可以以其他等价形式出现。]
习题53
- \(\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{13}{4}\) b) \((x-2)^{2}+(y-4)^{2}=20\) c) \((x-3)^{2}+(y-1)^{2}=10\)
习题54
使用7和3效果很好；这使我们可以在相加所得方程时消去x。
习题55
\((6,-9)\)
习题56
- \((13/42,\;3/14)\) b) \((9/5,-1/5)\) c) \((1/6,-5/18)\) d) \((2/3,\;1/3)\)
第5章 函数 答案
习题1
144
习题2
\(h(3)=144\)
习题3
边长为10个单位的等边三角形的面积。
它有一个解，表示面积为\(10\,units^{2}\)的等边三角形的边长。
习题4
- 29/4 b) 15 c) 2 d) 145/64 e) 所有实数 f) 是，因为\(k(4)=5\)。g) 1 h) 没有。
习题5
- \(k(0)=1\) b) \(k(10)=26\) c) \(k(1)=5/4\)
习题6
是
习题7
否，因为具有相同底边的等腰三角形可以有不同的面积
习题8
是
习题9
- 26 b) 7
习题13
- 所有实数 b) 否 c) \(x=0,1\) d) 7 e) 13 f) 79/49 g) \(9+\sqrt{8}\) h) 31
习题14
所有实数但0除外 b) 是，因为\(k\left(5+\sqrt{26}\right)=10\) c) \(x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\) d) \(g(1)=0\)
\(-\frac{45}{14}\) f) \(\frac{1-x^{2}}{x}\) g) \(\frac{t^{4}+t^{2}+1}{t^{3}+t}\) h) \(\frac{x^{4}-3x^{2}+1}{x^{3}-x}\)
习题15
\(x=1,3/4\) b) 21 c) -3 d) \(2x^{2}-13x+21\) e) \(2x^{2}-x-3\)
\(2x^{3}-7x^{2}+3x\) g) \(2x^{2}-3\) h) 1 i) 0
习题16
- 所有实数\(\geq3\) b) 除-2外的所有实数 c) 除0和2外的所有实数 d) 所有实数\(\geq-1/4\)，除0和1外。
习题17
- 1 b) \(2x+h\) c) \(-2x-h\) d) \(3x^{2}+3hx+h^{2}\) e) \(-2x+3-h\) f) \(\frac{2}{x^{2}+xh}\) g) \(\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\)
习题18
\(s=\sqrt{A}\)
习题19
\(P=4\sqrt{A}\)
习题20
\(A=P^{2}/16\)
习题21
\(A=C^{2}/4\pi\)
习题22
\(C=2\sqrt{\pi A}\)
习题23
\(A=\frac{\pi P^{2}}{2(\pi+2)^{2}}\)
习题24
\(P=(\pi+2)\sqrt{2A/\pi}\)
习题25
\(d=\sqrt{3/2}c\)（其中c是立方体的面对角线，d是其体对角线）
习题26
\(V=(S/6)^{3/2}\)
习题27
\(V=\frac{\pi}{6}d^{3}\)
习题28
\(r=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}\)
习题29
\(V=A^{3/2}/6\sqrt{\pi}\)
习题30
\(S=\sqrt{3}x^{2}\)
习题31
\(x=\sqrt{\frac{S}{5\sqrt{3}}}\)
习题32
\(A=\frac{h^{2}}{\sqrt{3}}\)
习题33
- \(\left(2b+a,f(2b+a)\right)\) b) \(\frac{f(2b+a)-f(b)}{b+a}\) c) \(y=\left(\frac{f(2b+a)}{2b+a}\right)x\)
习题34
- \(\left(\frac{1}{2}-\sqrt{2},0\right)\)和\(\left(\frac{1}{2}+\sqrt{2},0\right)\) b) \(\left(0,-\frac{7}{8}\right)\) c) \(\left(2,\frac{1}{8}\right)\) d) \(\left(\frac{1}{2}-\sqrt{6},2\right)\)和\(\left(\frac{1}{2}+\sqrt{6},2\right)\)
\[e)\left(\frac{2+\sqrt{19}}{2},\frac{6+\sqrt{19}}{4}\right)和\left(\frac{2-\sqrt{19}}{2},\frac{6-\sqrt{19}}{4}\right)\quad f)\left(\frac{1-\sqrt{22}}{6},\frac{2\sqrt{22}-23}{36}\right)和\left(\frac{1+\sqrt{22}}{6},\frac{-23-2\sqrt{22}}{36}\right)\]
\[g)斜率=-1/3\qquad h)否\qquad i)\left(3/2,-1/2\right)\]
- 你已经学会了求二次方程的解，但不是三次方程的解，比如本题中出现的三次方程。确实存在一个类似于二次公式的”三次公式”，但它对于这样一本家庭友好的书来说太血腥了。
习题36
在\((0,1)\)和\((612/983,0)\)处相交
习题37
- 对两者都是 b) 对左边的曲线是，对右边的曲线否
习题38
- 3 b) \(128'\)，\(80'\) c) \(\sqrt{11}/2\approx1.66\)秒 d) \(\sqrt{67/8}\approx2.89\)秒 e) \(16'11''\)
习题39
- \(P:(x,f(x))\)，\(Q:(x+h,f(x+h))\) b) \(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
习题40
单位圆的上半部分和下半部分。c) \(c=2\sqrt{1-x^{2}}\)
\(m(x)=\frac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{x}\)。定义域：\(-1\leq x\leq1\)。值域：\(|m(x)|\geq1\)。（从几何上思考，你就会明白。）
习题41
把y写成x的函数意味着把方程改写成一个等价的式子，使y孤立在一侧。等价方程有相同的图形（因为它们有相同的解），所以如果我们能把y写成x的函数，那个函数的图形就是原方程的图形。但是……这不可能：原图形被同一条垂直线切割多次（正如绘图程序显示的），这在函数的图形中不会发生。因此没有办法把原方程改写成y是x的函数的形式。
值得注意的是，我们能够用一个本质上几何的论证来回答一个纯粹的代数问题（这样的方程能否被改写成这样的形式？）。这就是坐标几何的力量。