第4章 - 坐标几何基础
第4章：坐标几何基础
第二部分：几何与函数
坐标几何：基本思想
坐标几何是一种思维方式：我们不是将几何图形视为一个完整的实体，而是将其视为无限集合的点。当然，这不是人们通常思考的方式：我们通常将月亮视为一个整体——作为月亮；我们很少将其视为巨大的原子集合，更不用说无限数学点的集合。然而，这就是坐标几何的方式。
让我们开始。在平面上选择一个点，通过它画水平线和垂直线。我们称这个点为原点，称这些线为坐标轴。相对于这些轴，我们可以指定任何点的位置用两个数字，即点的坐标。右图显示了这如何工作：点P的坐标是\((3, -1)\)，因为它位于相关轴右侧3个单位和下方1个单位。
接下来，我们将每个轴与一个变量关联。这将让我们将坐标用于代数。
除非另有说明，水平轴将始终是我们的x轴，垂直轴是我们的y轴。
在坐标几何中，图形只是平面上任何几何对象的花哨术语。各种线条和曲线，包括你的签名，都是图形。通过将图形视为点的集合，然后将点视为坐标（即数字对），我们构建了一座从有形的几何世界到抽象的数字世界的桥梁，并从那里进入代数的世界。
| 点 | x | y |
|---|---|---|
| 第一象限 | 1 | 2 |
| 第三象限 | -3 | -1 |
| 第四象限 | 3 | -1 |
| 第四象限 | -1 | 1 |
坐标几何让我们可以用代数方式描述图形。这个过程需要三个步骤。首先，我们精神上将图形原子化，将其视为无限点集。其次，我们将每个点视为坐标对。（所以经过两步，我们将图形视为无限长的数字对列表。）第三，我们用代数将无限的坐标对列表压缩成一个有限的包：一个被图形上每个点的坐标满足——且不被其他点满足的单一方程。这就是图形方程，是几何对象的代数肖像。
举一个简单的例子，考虑右边的图形，一条平分第一和第三象限的线。它经过\((1,1)\)、\((2,2)\)、\((-1.4,-1.4)\)，以及每个坐标相等的其他点。简言之，平面上的点\((x,y)\)在直线上当且仅当x = y。既然如此，直线的方程是x = y。
坐标几何提供了代数色调的眼镜，透过它我们可以看几何，也提供了几何色调的眼镜，透过它我们可以看代数。它建立在一条原理之上，这是所有坐标几何应用的基础。理解它，永远不要忘记：
坐标几何的基本原理（FPCG）
一个点位于图形上当且仅当其坐标满足图形的方程。
例1。右边的图形似乎经过点\((-1,1)\)。真的吗？
解。将-1和1分别代入x和y在图形的方程中，得到
\[(-1)^{3}+(-1\cdot1)^{2}-(-1)=1,\]
你应该验证这是一个真陈述。因此，点的坐标确实满足方程。因此，FPCG告诉我们\((-1,1)\)确实在图形上。
图形的方程关联了图形上每个点的两个坐标：如果我们知道这样的点的一个坐标，我们可以用图形的方程找到它的另一个坐标。
例2。右边图形的方程（一个椭圆）是\(3x^{2}-2xy+4y^{2}+11x-6y=54\)。找出椭圆与x轴相交的两个点的精确坐标。
解。两个点的y坐标都是0。根据椭圆的方程，当y = 0时，我们有\(3x^{2} + 11x = 54\)。
解这个方程得到\(x = \frac{-11 \pm \sqrt{769}}{6}\)。
因此，两点是\(\left(\frac{-11+\sqrt{769}}{6},0\right)\)和\(\left(\frac{-11-\sqrt{769}}{6},0\right)\)。
有时对称性考虑是有用的，如下一个例子所示。
例3。右边的图形（一条抛物线）是方程\(y = -x^{2} + 5x - 4\)的图形。找出抛物线顶点的坐标。
解。对称性确保图形的顶点直接位于线段AB的中点上方。因此，顶点的x坐标必须是5/2（因为5/2是1和4的平均值）。
当x = 5/2对于抛物线上的点时，根据抛物线的方程，\(y = -(5/2)^{2} + 5(5/2) - 4 = 9/4\)。
因此，顶点出现在\((5/2, 9/4)\)。
练习
- 点\((-4,2)\)在例1的图形上吗？\((1,1)\)呢？
找到另一个在它上面的点，并证明它在上面。
图形是否曾经与y轴相交（也许在x轴上方光年远的某个点）？如果是这样，它确切地在何处相交？如果没有，你如何确定它永远不会相交？
例3中抛物线在何处与y轴相交？
例3抛物线上有一个x坐标为6的点。找出它的y坐标。
找出例2中椭圆与y轴相交的两点的精确坐标。
例2椭圆上有两个x坐标为1的点。在图形上定位它们并找出它们的坐标。
直线：预备知识
关于坐标几何的一般概念就讲到这里。让我们深入具体内容，从直线开始。垂直线和水平线的特殊情况很简单，如下一个例子所示。
问题。找出经过\((2, 0)\)的垂直线的方程。
解。根据定义，直线的方程被其上所有点的坐标满足——且不被其他点的坐标满足。我们能想出这样的方程吗？
答案很明显：垂直线上每个点（且只有该线上的点）的x坐标都是2，所以直线的方程就是x = 2。
类似地，位于x轴下方3个单位的水平线的方程是y = -3。
斜线（既不垂直也不水平）的方程更复杂。为了找到它，我们必须指定将直线与所有其他图形区分开来的特征。大多数曲线在某些点比在其他点更陡。直线的区别特征是它在各处同样陡。我们用称为直线斜率的数字来测量这个陡度。
定义。直线的斜率是它每水平运行一个单位时垂直上升的单位数。
例如，假设我们知道右边直线的斜率是2.3。在A和B之间，这条直线水平运行了5个单位。当它这样做时，它垂直上升了多少单位？因为我们知道直线的斜率，这完全不是谜（尽管图形有问号）；直线必须垂直上升正好\(2.3(5) = 11.5\)个单位。
这就是斜率的直观含义。为了用代数方式讨论它，使用”delta notation”会有帮助：你可能已经很熟悉了：表达式\(\Delta x\)（读作”delta x”）指的是x的变化。例如，如果x的值从-5变为14，它增加了19个单位；因此，\(\Delta x = 19\)。（类似地，如果z的值从11变为8，它减少了3个单位；因此，\(\Delta z = -3\)。）一般来说，
\[\Delta x=(x's\ value\ after\ the\ change)-(x's\ value\ before\ the\ change)。\]
使用这个符号让我们可以简洁地表达斜率公式。在右边，我们看到一条斜率为m的直线。根据我们上面的斜率定义，当直线运行\(\Delta x\)个单位时，它必须正好上升\(m(\Delta x)\)个单位。因此，在直线上的任意两点之间，我们有\(\Delta y = m(\Delta x)\)。将两边除以\(\Delta x\)得到\(m = \Delta y / \Delta x\)。也就是，
\[Slope=\frac{\Delta y}{\Delta x}\]
我们可以使用这个”升高超过运行”公式从直线上任意两点计算其斜率。
例。找出经过\((-1, 2)\)和\((3, 7)\)的直线的斜率。
解。直线的斜率是\(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{7-2}{3-(-1)}=\frac{5}{4}\)
练习
- 找出以下各线的方程…
- 经过\((-4,0)\)的垂直线 b) 经过\((0,2)\)的水平线 c) x轴 d) y轴 e) 经过\((a,0)\)的垂直线 f) 经过\((0,a)\)的水平线 g) 经过\((0,a)\)的垂直线
- 绘制以下方程的图形…
- x = 1 b) y = -2 c) y = 0 d) \(x = \pi\)
画经过原点且斜率分别为1、2、5、-1、-2、-5、0、1/2、-1/2的直线。（注意斜率为负的直线下降而不是上升，而斜率为零的直线是水平的。）
假设一条直线斜率为3/4且经过(2, 5)。
直线将经过x坐标为9的点。那个点的y坐标必须是多少？
直线将经过x坐标为11的点。那个点的y坐标必须是多少？
如果在三个小时内，温度T从\(9^{\circ}\)下降到\(-11^{\circ}\)，\(\Delta T\)是多少？
当一个点从\((2,3)\)移动到\((7,12)\)时，\(\Delta x\)是多少？\(\Delta y\)是多少？\(\Delta y/\Delta x\)是多少？
当一个点从(7, 12)移动到(2, 3)时，\(\Delta x\)是多少？\(\Delta y\)是多少？\(\Delta y/\Delta x\)是多少？
找出经过\((2, 3)\)和\((5, 15)\)的直线的斜率。
找出经过\((-200, 3010)\)和\((-5, -6000)\)的直线的斜率。
如果一条直线经过第二象限和第四象限的点，它的斜率有什么特点？
直线：点斜式
孩子，用直线讲述你的故事，不要用曲线……
因为要获得对真理的清晰认识，需要证明和更多的证明。
- 塞万提斯，《堂吉诃德》，第二部分，第二十六章
下一个问题的解是后续一切的关键。
问题1。推导经过\((2, 1)\)且斜率为-3的直线方程。
解。我们寻求一个将被直线上所有点的坐标满足的方程。为此，我们将让\((x, y)\)成为直线上的一个可变点。（它的可变性让它可以代表直线的所有点。）
我们将用来推导直线方程的技巧是找到直线斜率的两个不同表达式。（其中一个将涉及可变点的坐标。）这些表达式代表相同的东西，所以它们当然会彼此相等。因此，我们可以在它们之间放置一个等号。结果将是一个被可变点坐标满足的方程。也就是说，它将被直线上所有点的坐标满足。有了这个策略，推导只有四行：
一方面，无论可变点\((x,y)\)在直线上的何处，从\((2,1)\)到\((x,y)\)的斜率是\(\Delta y/\Delta x = (\mathbf{y}-\mathbf{1})/(\mathbf{x}-\mathbf{2})\)。另一方面，我们已经知道这条直线的斜率是-3。因此，无论可变点在直线上的何处，总是有\((y-1)/(x-2) = -3\)。因此，这是直线的方程。
我们每次想找到直线方程时都可以模仿这个论证，但数学家很懒。我们不会每次都重新发明轮子，而是只解决一次这个抽象问题。
问题2。推导经过\((x_{0}, y_{0})\)且斜率为m的直线方程。
解。设\((x,y)\)为直线上的可变点。无论它在哪里，从\((x_{0},y_{0})\)到\((x,y)\)的斜率是\(\Delta y/\Delta x = (\mathbf{y} - \mathbf{y}_{0})/(\mathbf{x} - \mathbf{x}_{0})\)。但直线的斜率也被已知为m。因此，无论可变点在直线上漫游到何处，总是有\((y - y_{0})/(x - x_{0}) = m\)。清除分数，我们以无分数形式获得直线的方程：
\[\boldsymbol{y}-\boldsymbol{y}_{0}=\boldsymbol{m}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{0})\]
直线的”点斜式”公式
经过点\((x_{0}, y_{0})\)且斜率为m的直线方程是
\[\boldsymbol{y}-\boldsymbol{y}_{0}=\boldsymbol{m}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{0})\]
当使用这个点斜式公式找出特定直线方程时，我们通常在最后应用一点代数整理，分配斜率并隔离y，如下例所示。
问题3。找出经过\((-3,4)\)且斜率为2的直线方程。
解。通过点斜式公式（其中\(x_{0} = -3\)，\(y_{0} = 4\)，m = 2），直线的方程是
\[y-4=2(x-(-3))\]
应用通常的代数整理后，这变为\(y = 2x + 10\)。
练习
- 找出下面描述的直线方程。还要找出每条直线与轴相交的点。
经过\((5,1)\)且斜率为2。
经过\((4,-7)\)且斜率为-6。
经过\(\left(\frac{2}{3},-\frac{1}{6}\right)\)且斜率为\(-\frac{3}{2}\)。
经过\((-1, -2)\)和\((3, 1)\)。[提示：你没有得到斜率，但……你可以找到它。]
经过\(\left(\frac{1}{4},\frac{2}{5}\right)\)和\(\left(-\frac{3}{2},0\right)\)。f) 经过\((0,b)\)且斜率为m。
直线：斜截式
这条直线——基督徒行走的道路！——神学家说——道德正直的象征！——西塞罗说——最好的线！——卷心菜种植者说——是最短的线，阿基米德说，可以从给定的一点画到另一点。
- 劳伦斯·斯特恩，《项迪传》，第六卷，第四十章
点斜式公式显示经过\((0, b)\)且斜率为m的直线有一个特别简单的方程：\(y = mx + b\)。我们称之为直线的”斜截式”，因为它的第一个参数m代表直线的斜率，第二个参数b代表直线的”y截距”（它与y轴相交的地方）。
直线的”斜截式”
斜率为m且y截距为b的直线方程是
\[\boldsymbol{y}=\boldsymbol{m}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}\]
我们通常使用点斜式找到直线的方程，但我们继续简化结果并以斜截式报告，因为它具有清晰的几何解释。当你看到方程y = 3x - 1时，你可以在脑海中描绘相应的图形——一条经过\((0, -1)\)的直线，每运行1个单位上升3个单位。在某些情况下，我们可以反转过程直接从图形”读出”直线方程。例如，
例1。右边描绘的直线方程是什么？
解。在直线与轴相交的点之间，它”运行”3个单位，“上升”-2个单位。因此，它的斜率是-2/3。它的y截距是2，所以根据斜截式，它的方程必须是
\[\boldsymbol{y}=-\frac{2}{3}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{2}\]
例2。华氏温度取决于摄氏温度。（也就是说，将摄氏温度转换为华氏温度的公式图形是一条直线。）用这个事实推导转换公式。
解。当然，我们会用C和F而不是x和y来标记轴，但这不会改变任何重要的事情。两个点确定一条直线，所以如果我们能想到我们寻求的直线上的两个点，我们可以找到它的方程。幸运的是，有两个每个人都知道的点：水的冰点给我们\((0, 32)\)，沸点给我们\((100, 212)\)。剩下的是找到经过它们的直线方程。
图形显示它的斜率是\(\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{212 - 32}{100 - 0} = \frac{9}{5}\)。
直线与垂直轴相交于32，所以直线（从而转换公式）必须是
\[\boldsymbol{F}=\frac{9}{5}\boldsymbol{C}+3\boldsymbol{2}\]
练习
- 找出以下每条直线的方程——以及每条直线与轴相交的点。
斜率为7且y截距为2的直线
经过\((1,2)\)和\((4,0)\)的直线
经过\((2, -1/3)\)且斜率为1的直线
斜率为7且x截距为2的直线
- 在例2中，你看到摄氏转华氏的公式是\(F = (9/5)C + 32\)。
每增加一摄氏度，华氏温度增加多少度？
如果温度上升\(5^{\circ}\)C，华氏温度增加多少度？
找出华氏转摄氏的公式。
有没有华氏和摄氏相等的温度？如果有，是多少？如果没有，为什么？
- 绘制以下方程的图形并找出图形与轴相交的位置。
- \(y = \frac{1}{2}x - 2\) b) \(y = -2x + 5\) c) \(3x + 4y = 5\) d) \(y = \frac{3}{8}x\) e) x = -20
- 找出以下直线的方程：
[图形a]
[图形b]
[图形c]
- 平行线有相等的斜率。（你应该说服自己这是相当明显的。）利用这个事实……
找出经过\((3,2)\)且与\(y = -4x + 7\)图形平行的直线方程。
找出经过原点且与\(2x + 5y = 8\)图形平行的直线方程。
- 垂直线有负倒数斜率。例如，如果一条直线的斜率是2/5，那么任何垂直于它的直线的斜率是-5/2。以下是证明这是真的，接着是几个练习。
证明：如果两条直线垂直，显然一条直线有正斜率（让我们称那个斜率为p），另一条有负斜率（我们称之为n）。*
我们必须证明\(p = -1/n\)。
从两直线的交点画一条1单位的水平线段向右。从它的端点，画一条垂直线延伸到两条原始直线。
这创造了一对相似的直角三角形。
上面那个的高度，根据我们斜率的定义，是p。
下面那个的高度是\(-n\)。
相似三角形有相同的比例，所以这里，p/1 = 1/−n。
也就是，p = -1/n，如所证。
找出经过\((3,2)\)且垂直于\(y = -4x + 7\)图形的直线方程。
找出经过原点且垂直于\(2x + 5y = 8\)图形的直线方程。
23.（形式为\(ax + by = c\)的线性方程）
有时候将线性方程写成形式
\[ax+by=c\]
很方便。这种形式的一个优点是它让我们摆脱丑陋的分数系数。例如，给定以下斜截式形式的线性方程，
\[y=\frac{2}{3}x-\frac{1}{7},\]
我们可以清除分数并重新排列项，将其放入这个新形式：
\[14x-21y=3\]
此外，当直线的方程写成这种形式时，我们可以从方程中读出它的两个截距。考虑14x - 21y = 3。这条直线的y截距是什么？嗯，直线与y轴相交的地方，x必须是0，如果我们在方程中设x为0，那么y = -1/7（你当然可以在脑中计算）。类似的想法显示直线的x截距必须是3/14。因此，当线性方程写成这种形式时，绘制图形是非常容易的：只需在轴上标记两个截距，然后画经过它们的直线。
用这种方法绘制以下直线：
a)\(3x+6y=18\) b)\(-3x-8y=48\) c)\(5x+3y=10\) d)\(2x+7y=3\)
勾股定理金矿
几何有两大宝藏：一个是毕达哥拉斯定理，另一个是将一条线分成中项和外项。第一个我们可以比作一堆金子，第二个比作一颗珍贵的宝石。
- 约翰内斯·开普勒
假设右图中的三个正方形是用金子做的。你和一个朋友将分享它们。其中一个人将得到大正方形；然而，另一个人将得到小正方形和中正方形。你大方的朋友让你决定你要哪个选项。假设你想最大化你的金子份额，你会选择哪个选项？大正方形？还是其他两个正方形？
你决定了吗？现在继续读。
许多人遇到这个问题时惊讶地发现，选择哪个选项无关紧要，因为最大的正方形包含的金子正好与其他两个正方形加起来一样多！这个反直觉的结果直接来自最著名的几何定理。
毕达哥拉斯定理
在任何直角三角形中，斜边上的正方形是两条直角边上正方形的和。
学生过多地以前等价但缺乏光彩的代数形式遇见毕达哥拉斯定理，掩盖了它与面积的联系。这是遗憾的，因为用面积思考定理（如毕达哥拉斯所做的那样）帮助我们认识到毕达哥拉斯定理是一个真正令人惊讶的主张。
但是为什么这个令人惊讶的定理成立？
毕达哥拉斯定理有许多证明。以下是最巧妙的一个。
毕达哥拉斯定理的证明
给定任何直角三角形，构建两个相同的正方形，每个边的长度等于三角形两条直角边之和。将相同的正方形涂成灰色。由于两个正方形相同，
它们有相同的面积。
接下来，制作我们给定直角三角形的八个相同副本。如图所示将它们排列在正方形上，每个正方形上放四个三角形，覆盖一些灰色部分。
显然，左图中三角形未覆盖的灰色面积等于右图中未覆盖的灰色面积。但左边灰色的是直角三角形斜边上的正方形。右边的灰色是直角三角形两条直角边上正方形的和！由于这些相等，而且对于任何直角三角形这个论证显然都成立，我们已经证明了毕达哥拉斯定理。
勾股定理关联任何直角三角形的三条边；如果我们知道任意两边，勾股定理总是会给我们第三边。
例。如果一个直角三角形有12厘米的斜边和10厘米的直角边，另一条直角边有多长？
解。设x为另一条直角边的长度。
根据勾股定理，我们知道\(12^{2} = 10^{2} + x^{2}\)。
解这个方程，我们发现\(x = \sqrt{44} = 2\sqrt{11}\)。
也就是说，直角三角形的另一条直角边是\(2\sqrt{11} \approx 6.63\)厘米长。
练习
如果一个直角三角形有15英寸的斜边和1英寸的直角边，另一条直角边有多长？
如果一个直角三角形的两条直角边分别是3英里和8英里，斜边有多长？
如果一个三角形最长的两条边是6个单位和4个单位，毕达哥拉斯定理能告诉我们关于最短边的什么吗？如果能，它告诉我们什么？如果不能，为什么不能？
如果一个直角三角形最长的两条边是6个单位和\(2\sqrt{5}\)个单位，毕达哥拉斯定理能告诉我们关于最短边的什么吗？如果能，它告诉我们什么？如果不能，为什么不能？
每个人都知道底边为b高度为h的矩形面积是bh。
不太为人所知的是底边为b高度为h的平行四边形的面积也是bh。*
证明。在右图中，我们从平行四边形切下一个三角形，然后将它重新连接到对面，将其变成一个矩形。由于这个操作中没有产生或销毁任何面积，原始平行四边形的面积必须等于矩形的面积，当然是bh。
你的问题：证明每个三角形的面积是其底边和高度乘积的一半。
[提示：为了找到平行四边形的面积，我们将其与我们已经知道面积的另一个形状（矩形）联系起来。对三角形使用相同的策略。确保你的论证对所有三角形成立，而不仅仅是直角三角形。]
- 在这个练习中，你将以另一种方式证明毕达哥拉斯定理。证明开始如下：
考虑一个任意的直角三角形。称其斜边为c，直角边为a和b。
为了证明毕达哥拉斯定理，我们必须证明\(c^{2} = a^{2} + b^{2}\)。
为此，将三角形的四个副本排列成如图所示。
你的问题：完成证明。
[提示：以两种不同的方式计算大正方形的面积，然后使你得到的表达式相等。经过一些代数操作后，你将能够将你的方程重写为\(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)，从而证明定理。]
距离公式
从远处看，一切都是美丽的。
- 塔西佗
距离是坐标几何的生命线：点的坐标指定它与轴的距离，所有主要几何量（长度、面积、体积）都是距离或距离的乘积。因此，以下”距离公式”至关重要。
距离公式。
任意两点之间的距离d可以（从它们的坐标）如下计算：
\[d=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}\]
证明。我们可以将平面上任意两点之间的线段视为一个直角三角形的斜边，其直角边平行于轴，长度分别为\(|\Delta x|\)和\(|\Delta y|\)。毕达哥拉斯定理给出
\[d^{2}=|\Delta x|^{2}+|\Delta y|^{2}=(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}\]
取两边平方根得到距离公式。
距离公式因此是毕达哥拉斯定理的伪装版本——该定理的众多面具之一。你将在后续课程中遇到其他的。
例。找出点\((-2, -11)\)和\((10, -9)\)之间的距离。
解。根据距离公式，我们寻求的距离是
\[d=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}=\sqrt{(10-(-2))^{2}+(-9-(-11))^{2}}=\sqrt{148}=\mathbf{2}\sqrt{\mathbf{3}\mathbf{7}}\]
如果你需要小数近似，计算器会告诉你\(2\sqrt{37} \approx 12.17\)。
你已经掌握了直线方程。现在你知道了距离公式，你也可以理解圆的方程，我们将在以下内容后推导。
练习
- 找出以下各对点之间的精确距离：
(2, 3)和(10, 9)
\((-1, 13)\)和\((9, 10)\)
c)\(\left(3,-1/4\right)and\left(-2,13/2\right)\)
\((x_{1}, y_{1})\)和\((x_{2}, y_{2})\)
(2, 5)和(2, 13)（你这里不需要距离公式。）
上面的证明实际上有一个小缺陷。（你注意到了吗？）问题是某些线段不能被视为直角三角形的斜边，其直角边平行于轴。这什么时候发生？距离公式在那些情况下仍然成立吗？如果是，解释为什么。如果不是，提供一个反例。
圆
坐圆形之上的是他，
其上的居民如蚱蜢。
- 以赛亚书40:22
正如直度由恒定斜率区分一样，圆由恒定半径区分：圆上的所有点都与其中心等距。这个圆的定义属性产生其方程。
问题1。推导以\((2, 1)\)为中心、半径为3的唯一圆的方程。
解。我们必须找到一个被圆上所有点的坐标满足的方程。为此，设\((x, y)\)为圆上的可变点。（它的可变性让它可以代表圆上的所有点。）
我们将用两种方式表达\((2,1)\)和\((x,y)\)之间的距离：
根据距离公式，它是\(\sqrt{(x-2)^{2} + (y-1)^{2}}\)
根据圆半径的定义，它是3。
将这两个表达式相等，我们得到一个被圆上所有点\((x,y)\)满足的方程。我们可以通过对两边平方、消除那个难看的平方根来整理这个方程，并产生一个干净形式的圆方程：
\[(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=9\]
现在我们将对这个论点进行抽象处理；我们将推导以\((x_{0}, y_{0})\)为中心、半径为r的圆的方程。一旦我们有了它，我们再也不用推导特定圆的方程了：相反，我们只需将相关信息插入一个公式，它会为我们生成方程。
问题2。推导以\((x_{0}, y_{0})\)为中心、半径为r的唯一圆的方程。
解。我们需要一个被圆上所有点的坐标满足的方程。为此，设\((x, y)\)为圆上的可变点。（它的可变性让它可以代表圆上的所有点。）
我们将用两种方式表达\((x_{0}, y_{0})\)和\((x, y)\)之间的距离：
根据距离公式，它是\(\sqrt{(x-x0)^{2} + (y-y0)^{2}}\)
根据圆半径的定义，它是r。
将这两个表达式相等，我们得到一个被圆上所有点\((x,y)\)满足的方程。通过对两边平方，我们得到圆的一般方程，汇总在下面的框中。
圆的方程
以\((x_{0}, y_{0})\)为中心、半径为r的圆的方程是
\[(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_{0}})^{2}+(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{y_{0}})^{2}=\boldsymbol{r}^{2}\]
问题3。找出以\((-8,0)\)为中心、半径为7的圆的方程。
解。根据上面的框公式（其中\(x_{0} = -8\)，\(y_{0} = 0\)，r = 3），圆的方程是
\[(x-(-8))^{2}+(y-0)^{2}=49\]
简化后，这变为\((x+8)^{2}+y^{2}=49\)。
中心和半径并不总是会交到你面前。但如果你有足够的信息找到它们，你仍然可以产生圆的方程，如下一个例子。
问题4。找出以\((-1, 6)\)和\((3, 4)\)为端点的直径的圆的方程。
解。为了找到这个圆的方程，我们需要它的中心和半径。它的中心C是给定直径的中点。中点的坐标是端点坐标的平均值。
因此，圆的中心是\(\left(\frac{-1+3}{2},\frac{6+4}{2}\right)=(1,5)\)。
至于半径，这是从中心到\((3,4)\)的距离。距离公式告诉我们这是
\[\sqrt{(3-1)^{2}+(4-5)^{2}}=\sqrt{5}\]
现在我们知道圆的中心和半径，有它的方程：
\[(\boldsymbol{x}-\mathbf{1})^{2}+(\boldsymbol{y}-\mathbf{5})^{2}=\mathbf{5}\]
练习
所谓的”单位圆”是以原点为中心、半径为1的圆。它的方程是什么？
- 找出以\((-3, 2)\)为中心、半径为4的圆的方程。
找出(a)中圆与轴相交的点。
找出(a)中圆与直线x = -1相交的点。
找出圆上的任意十个点（包括你已经找到的点）。
- 找出以\((1, 1/2)\)为中心、半径为1/2的圆的方程。
找出(a)中圆与轴相交的点。
找出(a)中圆与直线y = 1/2相交的点。
[几何地思考。你不应该在这里使用方程。]
- 找出圆上任意十个点的坐标（包括你已经找到的点）。
- 找出以下每个圆的方程。同时，绘制圆并用坐标标记其关键点（中心和与轴的交点）。
以\((-2, 6)\)和\((3, 4)\)为端点直径的圆。
经过\((2, 5)\)且中心为\((3, -1)\)的圆。
以原点为中心、直径为7的圆。
- 绘制以下方程的图形，并给出图形上关键点的坐标。
- \(x^{2} + y^{2} = 1\) b) \((x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 25\) c) \(x^{2} + (y + 1)^{2} = 5\)
找出四个不同的半径为\(\sqrt{5}\)且经过\((1, 1)\)的圆的方程。
一个正方形的顶点是\((0, 0)\)、\((0, 1)\)、\((1, 0)\)、\((1, 1)\)。一个圆经过所有这些点。找出它的方程。
假设某盏路灯照亮的地面部分是一个直径80英尺的圆形灯盘。路灯位于两条著名垂直街道的交叉口以东30英尺、以北20英尺处，Horizontal Ave.和Vertical Lane。
路灯照亮Horizontal Ave.多少英尺？
路灯照亮Vertical Lane多少英尺？
路灯照亮多少平方英尺的地面？
39.（半圆）每当我们试图在圆的方程中隔离一个变量时，我们最终会得到两个方程。例如，如果我们按摩
\[(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=5\]
直到y被隔离，我们得到
\[y=-3\pm\sqrt{5-(x-2)^{2}},\]
你应该验证。*这两个方程的图形（一个有加号，一个有减号）分别是圆的上半部分和下半部分。
解释为什么带+号的方程的图形是圆的上半部分。
现在尝试隔离x。你将再次得到两个方程。它们的图形是什么？
找出单位圆下半部分的方程（即中心为\((0,0)\)、r = 1的圆）。
找出以\((-1, 2)\)为中心、半径为6的圆右半部分的方程。
\(y = -\sqrt{4 - x^{2}}\)的图形是什么样的？
六种基本图形
你应该学习以下图形的形状如此之好，以至于它们——像圆和直线一样——在你遇到它们的方程时就会浮现在眼前：
[图形：y = x², y = x³, y = |x|, y = √x, y = ³√x, y = 1/x]
思考每个前述方程几分钟应该足以解释它们图形的形状。在继续之前这样做。然后对下一个三个图形做同样的事情，它们的形状你也应该学习：
[图形：y = x⁴, y = x⁵, y = x⁶, y = x⁷]
练习
\(y = \sqrt{x}\)的图形曾经与直线y = 10相交吗？如果是这样，它在何处相交？
为什么\(y = \sqrt[3]{x}\)的图形在第三象限有点，而\(y = \sqrt{x}\)的图形没有？
为了从这两个函数中的任何一个获得大的y值，需要放入非常大的x值。
换句话说，\(y = \sqrt{x}\)和\(y = \sqrt[3]{x}\)都增长得非常慢。
这两个慢增长中哪一个增长更快？给出一些数值证据支持你的说法。
在\(y = x^{2}\)、\(y = x^{3}\)和\(y = |x|\)中，哪个增长最快？哪个增长最慢？
y = 1/x的图形曾经接触任一轴吗？你怎么能确定？
有一个点位于上述所有六个图形上。它的坐标是什么？
绘制\(y = x^{4}\)、\(y = x^{5}\)、\(y = x^{6}\)和\(y = x^{7}\)的基本形状。
描述y = x、y = -x和\(y = |x|\)图形之间的关系。
交点
两个图形的交点是位于两者上的点。找到一个它们的简单方法直接基于坐标几何的基本原理。
例1。直线y = 2x与椭圆\(x^{2} + 9y^{2} - 9 = 0\)在哪里相交？
解。设\((a, b)\)代表位于两个图形上的任意点。
既然它位于椭圆的图形上，根据FPCG，它的坐标必须满足椭圆的方程。因此，我们知道
\[a^{2}+9b^{2}-9=0\]
类似地，既然它位于直线的图形上，FPCG告诉我们
\[b=2a\]
啊哈！我们现在有两个未知数的两个方程，我们在前一章讨论过这个过程。回忆这个过程：首先，我们将两个方程组合成一个未知数的方程。从那里，我们可以按照我们的鼻子走到问题的结束。在这种情况下，我们可以通过将第二个方程代入第一个方程非常容易地组合它们，得到
\[a^{2}+9(2a)^{2}-9=0\]
解这个，我们得到\(a = \pm 3/\sqrt{37}\)。这些是交点的x坐标。然后，由于这些点在直线上，我们可以通过将每个x坐标代入直线的方程\(y = 2x\)来找到它们的y坐标。当我们这样做时，发现y坐标是\(\pm 6/\sqrt{37}\)。
因此，直线在点\((3/\sqrt{37}, 6/\sqrt{37})\)和\((−3/\sqrt{37}, −6/\sqrt{37})\)处与椭圆相交。
这就是找到交点的过程。我希望它的逻辑是清晰的。也就是说，我们可以加快这个过程：从严格计算的角度看，在问题中引入\((a,b)\)是多余的，我们可以不代入a和b为x和y就直接组合图形的方程，从那里继续求解。
我们可以使用一些新术语简洁地总结这个过程：一组两个方程是一对我们寻求”共同解”——即满足两个方程的点——的方程对。解两个方程组意味着找到所有这样的点。
找到两个图形的交点。
要找到两个图形的交点，我们解它们的方程组。
解两个未知数两个方程的方程组是一个三步过程。首先，通过某种替换将方程组合成一个未知数的方程。其次，解这个方程。第三，将其解代回其中一个原始方程并获得剩余的未知数。
例2。找出右边圆和直线的交点。
解。因为圆以原点为中心且半径为2，它的方程是\(x^{2} + y^{2} = 4\)。因为直线斜率为2且y截距为0，它的方程是y = 2x。我们想找到坐标满足两个方程的點。
为了找到它们，我们将解这两个方程的方程组。
首先，我们将两个方程组合成一个只涉及一个未知数的方程。我们可以通过将第二个方程代入第一个方程来实现，得到\(x^{2} + (2x)^{2} = 4\)。
其次，我们解这个方程。这样做（我将细节留给你）得到\(x = \pm 2/\sqrt{5}\)。这些是交点的x坐标。
最后，为了获得相应的y坐标，我们将这些x坐标代回直线的方程，由此发现\(y = \pm 4/\sqrt{5}\)。
因此，我们得出结论，直线和圆在\(\left(\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{4}{\sqrt{5}}\right)\)和\(\left(\frac{-2}{\sqrt{5}}, \frac{-4}{\sqrt{5}}\right)\)处相交。
例3。找出右边两个圆的交点。
解。显然，较大圆的方程是\(x^{2}+(y-2)^{2}=4\)，较小圆的方程是\(x^{2}+y^{2}=1\)。
首先，我们必须将这两个两个未知数的方程组合成一个未知数的一个方程。我们可以通过将小圆的方程重写为\(x^{2} = 1 - y^{2}\)，并将其代入大圆的方程，得到\((1 - y^{2}) + (y - 2)^{2} = 4\)。
其次，我们解这个方程。这样做（你应该提供细节）发现y = 1/4。这告诉我们两个交点的y坐标都是1/4。
最后，我们通过将y = 1/4代入小圆的方程来获得点的x坐标，从而得到一个只涉及x的方程：\(x^{2} + \left(1/4\right)^{2} = 1\)。解它得到\(x = \pm\sqrt{15}/4\)。
因此，两个圆的交点是\(\left(\sqrt{15}/4, 1/4\right)\)和\(\left(-\sqrt{15}/4, 1/4\right)\)。
练习
- 绘制以下方程的图形，并找出它们相交的点：
a)\(y=3x-2,\quad y=-2x+3\)
b)\(5x+3y=3,\quad2x-7y=1\)
c)\(x^{2}+y^{2}=1,\ y=-\frac{2}{3}x\)
d)\(\left(x-2\right)^{2}+\left(y+1\right)^{2}=3,\quad x+3y=3\)
e)\(y=x^{3},\quad y=3x\)
f)\(y=x^{2},\ y=2x+1\)
g)\(x^{2}+y^{2}=1,\ y=x^{2}\)
h)\(y=\sqrt[3]{x},\quad y=x/2\)
i)\(y=\sqrt{x},\quad x=4000000\)
j)\(y = \sqrt{9 - (x - 1)^{2}},\ y = x + 1\) [提示：回顾练习39。]
- 匿名先生尝试按如下方式找到直线\(y = 2x + 1\)和\(y = 2x + 2\)的交点：
首先，他将两个y表达式等同，得到\(2x + 1 = 2x + 2\)。
然后他从两边减去2x，得到荒谬的陈述1 = 2。
发生了什么？这意味着什么？匿名先生在哪里犯了错误？讨论。
- 后来，匿名先生试图找到\(x^{2} + y^{2} = 1\)和\(y = x + 2\)的交点。
他首先将线性方程代入圆的方程。
经过一些代数操作，他最终得到二次方程\(2x^{2} + 4x + 3 = 0\)。你应该验证这个二次方程没有实数解。
这种缺乏解意味着什么几何上？
- 右图显示了两个具有相应方程的直线图形。
它们相交吗？如果是，在哪里？如果不是，为什么不是？
找出经过\((0,0)\)且垂直于图中上方的直线的方程。
[提示：回忆练习22。]
- 你在(b)部分找到的直线与图中下方直线在哪里相交？
- 右图中的双曲线是\(y = 1/x\)的图形。
找出它与圆相交的四个点的坐标。
[提示：你将最终得到一个你需要解的4次多项式方程。不要放弃。仔细看，你会发现它实际上是一个伪装的二次方程。]
- 线段的垂直平分线是唯一垂直于该线段并经过其中点的直线。大约在公元前300年，欧几里得证明任何三角形三条边的所有三条垂直平分线都交于一点。此外，这个点正好是三角形的圆心，即经过三角形所有三个顶点的唯一圆（三角形的”外接圆”）的中心。
你的问题：找出经过以下各点的唯一圆的方程…
a)\((0, 0)\)、\((3, 0)\)、\((0, 2)\)
b)\((0, 0)\)、\((4, 0)\)、\((-2, 2)\)
c)\((0, 0)\)、\((2, 4)\)、\((6, 2)\)
交点（再续）
找到交点的一种常见技术特别适用于直线方程。这个技巧很简单，建立在两个想法上。
我们当然知道，将方程两边乘以相同的非零常数会产生等价方程——即具有相同解的方程。但是如果两个方程被相同的坐标对满足，那么它们具有相同的图形。这个观察产生了我们的第一个大想法：
将方程两边乘以相同的非零常数保留其图形。
例如，假设我们正在处理\(2x + 5y = 1\)的图形。如果我们意识到用\(6x + 15y = 3\)替换这个方程会更方便（由于某些代数原因或其他），我们可以安全地进行这个代数更改而不影响底层几何。
接下来，考虑一个平衡的天平，两个盘子上已经放着相同重量的物体。如果我们在一边加一磅黄金，在另一边加16盎司黄金，天平显然将保持平衡，因为将等量加到等量上保持相等。或者，用代数重新表述，如果a = b且c = d，那么\(a + c = b + d\)。（同样的想法适用于减法。）这是我们的第二个大想法：
将两个有效方程的两边相加（或相减）会产生第三个有效方程。
结合这两个想法产生了我们新的交点发现技术：将每个方程的两边乘以精心选择的常数，然后相加或相减。关键是选择常数，以便后续的加法或减法消除两个变量之一。让我们看一个例子。
例。找出直线\(5x + 3y = 3\)和2x - 7y = 1相交的点\((x, y)\)。
解。首先，将第一个方程的两边乘以2，将第二个方程的两边乘以-5。直线的图形被保留，但它们的新方程\(10x + 6y = 6\)和\(-10x + 35y = -5\)更适合我们的目的，因为相加将消除x。由于这些相等但相反的\(\pm10x\)项，相加得到一个只有变量的方程：41y = 1。
由此，我们可以读出交点的y坐标：1/41。将其代入任一原始方程得到其x坐标：24/41。因此，直线在\((24/41, 1/41)\)处相交。
练习
在前面的例子中，我们”乘以”方程2和-5，但其他值也可以。想想另一对有希望的数字；用它们重新解决问题，并验证解是相同的。
有时只需要乘以一个方程的两边然后相加或相减就足够了。例如，尝试通过将第一个方程的两边乘以3然后相减来解方程组\(2x + y = 3\)和\(5x + 3y = 3\)。
使用上面描述的新技术找出以下各对直线的交点。
a)\(3x + 5y = 2\)，\(6x - 4y = 1\)
b)\(2x-7y=5\)，\(3x+7y=4\)
c)\(19x-3y=4\)，\(-4x-6y=1\)
d)\(x+y=1\)，\(2x-y=1\)