第5章 - 函数
第5章：函数
函数
经典几何处理日常的数字世界。
函数理论是真正的数学之夜。
- Oswald Spengler，《西方的衰落》，第六章，第一部分
我们从整个数学中最重要的定义之一开始本章。
定义。函数是以明确方式将数字转换为数字的规则。
所谓明确，我意思是对于函数的每个可能输入，只有一个可能的输出。“一进一出”是函数的座右铭。以下示例将澄清这个想法。
例1。考虑这个规则：给定任何数字，我们将其平方。这个规则是函数吗？
解。是的。对于每个可能的输入，只有一个可能的输出。输入12，只能输出144。输入-8，只能输出64。一进一出。没有歧义。
例2。给定任何数字，我们返回数字7。这个规则是函数吗？
解。是的，它也是。没有歧义。这是一个无聊的函数，但它是一个函数。
例3。给定任何非负数字，我们返回其一个平方根。这是一个函数吗？
解这不是一个函数，因为对于每个正输入，有两个可能的输出。（例如：如果输入是9，输出可以是3或-3。）这种歧义意味着该规则不是函数。
例4。给定任何非负数字，我们返回其非负平方根。它是函数吗？
解是的。通过指定我们想要非负平方根，我们消除了困扰前一个例子的那个麻烦的歧义。这个函数称为平方根函数。
函数的值域是它接受作为输入的数字集合。许多函数（包括例1中的”平方函数”）的值域是所有实数的集合。其他函数有较小的定义域。例如，负数不能进入平方根函数，因为负数缺乏平方根。因此，平方根函数的定义域由所有非负实数组成。
函数的值域是它可能产生作为输出的所有数字的集合。例如，100在平方函数的值域中，但-100不在。实际上，平方函数的值域是所有非负实数。（这也恰好是平方根函数的值域。）
函数符号
不要嘲笑符号；它们是强大的。事实上，数学在很大程度上是发明更好符号的过程。
- Richard Feynman，《费曼物理学讲义》，第17章，第5节
我们通常用字母（通常是f或g）表示函数。例如，如果我们决定将平方根函数称为g，我们可能会说”g的定义域是所有非负数”或”g将400转换为20”。以下符号建立在这个约定之上，对后续内容至关重要。
符号。如果f是一个函数，x是一个输入，那么\(f(x)\)表示相应的输出。我们将\(f(x)\)读作”f of x”。
例。设g为平方根函数。既然\(g(81)\)代表我们输入81时g的输出，因此\(g(81) = 9\)。类似地，\(g(169) = 13\)，且\(g(12) = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)。
警告一句话：困惑的初学者有时认为，比如说，\(f(40)\)意味着f乘以40。不是这样的。为了测试你的理解，回答以下关于我们平方根函数g的问题。阅读下文之前先回答它们。
求\(g(9)\)的值。
求\(9g(9)\)的值。
求\(g(g(9))\)的值。
求\(g(9g(9))\)的值。
解方程\(g(x) = 9\)。
如果你错过了#1（其答案是3），那么你没有仔细阅读。如果你错过了#2（其答案是27），观察到\(g(9) = 9 \cdot 3\)。按照通常的操作顺序将处理接下来的两个：它们的答案是\(\sqrt{3}\)和\(\sqrt{27}\)（或\(3\sqrt{3}\)）。最后，第五个问题问：“g的什么得到9？”换句话说，g将什么数字转换为9？唯一的这样的数字是81，所以方程的唯一解是x = 81。
应用示例
在某些情况下，一个变量的值完全决定另一些变量的值。每当这种情况发生时，函数就在起作用。
例1。正方形的边决定其周长。（例如：如果正方形的边是3厘米，其周长必须是12厘米。）因此，一个函数在这里起作用，明确地将长度转换为周长。
术语。
如果X的值完全决定Y的值，我们说”Y是X的函数”。在这样的函数关系中，我们称Y为因变量（因为它依赖于X），X为自变量。
因此，我们可以通过说”正方形的周长是其边长的函数”来总结例1。一旦确定了自变量（边长），因变量（周长）也就确定了。
在应用上下文中，我们通常根据输出命名函数。因此，我们可能将上一个例子中的函数称为P，因为它将长度转换为周长。然后我们可以使用函数符号写出诸如\(P(3) = 12\)这样的简洁陈述。
识别函数关系何时存在的问题与实际生成函数公式的问题是不同的。以下几个例子应该澄清这一点。
例2。所有等边三角形具有相同的形状。它们只是大小不同。一旦我们指定等边三角形的边长，三角形的面积就应该是确定的。（我们可能或可能不能找到该面积，但它肯定有某个确定的值！）换句话说，等边三角形的面积是其边长的函数。
如果我们称这个函数为A，那么诸如\(A(3)\)这样的符号获得了精确的几何意义，可用于数学”句子”。例如，\(A(3) < A(4)\)只是陈述一个明显事实的简洁方式：边长为3个单位的等边三角形封闭的空间比边长为4个单位的等边三角形少。
例3。如果一个球从144英尺高的地面落下，其高度（以英尺为单位）是自落下以来经过的时间（以秒为单位）的函数。如果我们称这个函数为h，那么诸如\(h(1.2)\)这样的符号获得了物理意义，即使我们不知道其数值；它代表球落下1.2秒后的高度。尽管我们不知道\(h(1.2)\)的精确值，我们仍然可以对其做出陈述。例如，\(h(1.2) < 144\)当然是真。
有时，我们可以交换自变量和因变量的角色。例如，我们可以在例1中做到这一点，将正方形的周长视为决定正方形边长的自变量。（例如：如果我们选择一个周长为40厘米的正方形，其边必须是10厘米。）但要注意：并非所有函数关系都是可逆的。这里有一个不可逆的例子。
例4。美国人的出生年份是其社会保障号码的函数。这听起来很奇怪，但稍微思考一下就会发现这是真的：给定任何特定的SSN（比如345217212），它属于一个唯一的美国人，自然出生于某个特定年份（比如1980年）。这符合”一进一出”标准，所以出生年份确实是SSN的函数，如所声称的。
然而，它不是可逆函数；也就是说，SSN不是出生年份的函数。要了解原因，注意在我们指定的任何特定年份（比如1999年），都有成千上万的美国人出生，每个人都有不同的SSN。哪个SSN应该是所谓函数的输出？因为这种歧义，SSN不是出生年份的函数。
练习
如果h是例3中定义的函数，\(h(0)\)的数值是多少？
例3中的球将在落下后正好三秒撞击地面。（你将在物理中学到为什么。）\(h(h(3))\)的值是多少？
设A为例2中的函数。
\(A(10)\)在几何上代表什么？
方程\(A(x) = 10\)有多少解？它们在几何上代表什么？
- 设k为将数字除以2、平方结果、最后加1的函数。
求\(k(5)\)的值
求\(5 + k(6)\)的值
求\(k(k(-2))\)的值
求\(k(k(0) + k(1))\)的值
k的定义域是什么？
5在k的值域中吗？
k值域中的最小数字是什么？
k值域中的最大数字是什么？
- 一些术语：求函数在某个数字处的值，就是将数字放入函数并获得输出。因此，求k（从前一个练习）在8处的值就是观察\(k(8) = 17\)。
求k在0处的值
求k在10处的值
求k在1处的值
正如我们所讨论的，等边三角形的面积是其边长的函数。反过来陈述也成立吗？（也就是说，等边三角形的边长是其面积的函数吗？）
等腰三角形的面积是其底边长度的函数吗？
球体的体积是其直径的函数吗？
由公式描述的函数
许多函数可以用公式描述。例如，考虑将输入与其输入的平方相加的函数。我们可以用公式简洁地描述这个函数
\[f(x)=x^{2}+x\]
字母x没有什么特别之处。公式\(f(t) = t^{2} + t\)同样很好地描述了这个函数，\(f(\odot) = (\odot)^{2} + \odot\)也是如此。变量只是一个”哑变量”，一个占位符。哑变量的符号就像我们写它的墨水颜色一样无关紧要。
求由公式描述的函数的值
要 求函数在给定输入（数字或代数表达式）处的值，我们将输入代入函数公式中哑变量出现的每个地方。
注意：因为我们将输入视为一个单一的包，当我们将其代入哑变量时，必须（至少在心理上！）将其括在括号中。
让我们看几个例子。
例1。如果\(f(x) = x^{2} + x\)，求\(f(-5)\)。
解。\(f(-5) = (-5)^{2} + (-5) = 25 - 5 = 20\)。
注意例1中的括号。如果我们省略它们，我们可能得出错误结论\(f(-5) = -30\)，因为\(-5^{2} + (-5) = -30\)。这是一个常见错误。不要成为常见错误。
例2。如果\(f(x) = x^{2} + x\)，求\(f\left(3\sqrt{r} - 1\right)\)。
\[f\big(3\sqrt{r}-1\big)=\big(3\sqrt{r}-\mathbf{1}\big)^{2}+\big(3\sqrt{r}-\mathbf{1}\big)=\big(9r+1-6\sqrt{r}\big)+\big(3\sqrt{r}-1\big)=9r-3\sqrt{r}\]
在例2中，输入是一个代数表达式而不是数字，但过程相同：我们将表达式——括在括号中因为它是一个单一的包——代入公式中x出现的每个地方。剩下的只是代数。输入甚至可以是一个涉及变量本身的表达式。过程保持不变：
例3。如果\(k(x)=\frac{1}{x^{2}}+x\)，求\(k\left(-\frac{1}{x}\right)\)并将结果表示为单个分数。
\[k\left(-\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{\left(-\frac{1}{x}\right)^{2}}+\left(-\frac{1}{x}\right)\quad(求函数值)=\frac{1}{\frac{1}{x^{2}}}-\frac{1}{x}=x^{2}-\frac{1}{x}=\frac{x^{3}-1}{x}\quad(代数)\]
注意第一步只是直接代入：我们将\((-1/x)\)代入定义函数k的公式中x出现的两个地方。
练习
- 设\(f(x) = x^{3} - 1\)。
计算\(f(1 + 2)\) b) 计算\(f(1) + f(2)\)
这里有一个重要的教训：函数符号不在加法上分配！（你刚刚看到了一个具体例子，其中\(f(1 + 2) \neq f(1) + f(2)\)。）
计算\(\sqrt{16+9}\)，然后计算\(\sqrt{16}+\sqrt{9}\)，并陈述适当的教训。
计算\((4 + 5)^{2}\)，然后计算\(4^{2} + 5^{2}\)，并陈述适当的教训。
计算\(|7 + (-2)|\)，然后计算\(|7| + |(-2)|\)，并陈述适当的教训。
设\(f(x) = x^{2} - x + 1\)。
陈述f的定义域。
0在f的值域中吗？
解\(f(x) = 1\)。
现在用f的公式求以下值，简化你的答案：
- \(f(3)\) e) \(f(-3)\) f) \(f\left(-\frac{3}{7}\right)\) g) \(f(-\sqrt{8})\) h) \(f(1 + 2 + 3)\) i) \(f(3c)\) j) \(f(a + b\sqrt{7})\) k) \(f(-\sqrt{5}x)\)
- 设\(g(x) = x - \frac{1}{x}\)。
陈述g的定义域。
10在g的值域中吗？
解\(g(x) + 3 = 4\)。
求值并简化，最终将每个结果表示为数字或多项式比：
- \(g(1)\) e) \(g\left(\frac{2}{7}\right)\) f) \(g(-x)\) g) \(g\left(t+\frac{1}{t}\right)\) h) \(g\left(x-\frac{1}{x}\right)\)
- 如果\(h(x) = 2x^{2} - x\)且\(k(x) = x - 3\)，
- 解方程\(2h(x) = k(5x)\)。
计算并简化：
\(h(k(0))\) c) \(k(h(0))\) d) \(h(k(x))\) e) \(k(h(x))\) f) \(h(x)k(x)\)
\(h(x) + k(x)\) h) \(\frac{h(3 + k(x)) + x}{2x^{2}}\) i) \(h(k(3))h\left(k\left(h(k(x))\right)\right)\)
- 通过思考它们不能接受什么作为输入来确定以下函数的定义域：
\(f(x) = \sqrt{x - 3}\)
\(g(x) = \frac{5}{x + 2}\)
\(h(x) = \frac{-33}{x(x - 2)}\)
\(k(x) = \frac{\sqrt{4x + 1}}{x^2 - x}\)
玩弄差商
我们考虑的这类表达式可能看起来很深奥，但它们经常出现在数学中，包括在微积分核心的一个表达式中，即所谓的函数”差商”。我不打算在这里解释差商的意义。我介绍它只是为了让你了解如果你打算将来学习微积分，掌握函数符号和基础代数是多么重要。微积分中有足够多有挑战性的想法；如果在不充分的代数理解下试图掌握它们，就像在英语基础知识还在挣扎时试图阅读莎士比亚的十四行诗一样。这不行。考虑到这一点，我提供以下定义。没有必要记住它。对于本课程的目的，差商只是一个练习技能的游乐场。
给定函数f，其差商定义为表达式
\[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
例如，这是函数\(f(x)=\frac{1}{x}+1\)的差商：
\[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\overbrace{\left(\frac{1}{x+h}+1\right)}^{f(x+h)}\overbrace{\left(\frac{1}{x}+1\right)}^{f(x)}}{h}=\frac{\left(\frac{1+x+h}{x+h}\right)-\left(\frac{1+x}{x}\right)}{h}=\frac{\frac{(x+x^{2}+xh)-(x+h+x^{2}+hx)}{(x+h)x}}{h}=\frac{-h}{(x+h)xh}=\frac{-1}{(x+h)x}\]
确保你理解这些等式中的每一个为什么成立。这正是你被期望在微积分第一天轻松执行的计算类型。是的，我重复：轻松。差商本身只是一个更大（更有趣）表达式的一部分，称为导数。微积分第一天的目标是理解导数的意义。如果那时你仍在基础代数和函数符号上磕磕绊绊，嗯，你可能下一学期不会继续学微积分2。如果你仍然有代数困难，现在是清除它的时候，以免为时已晚。通过阅读书籍、与他人合作，总之做任何需要的事情来掌握它。你的老师会提供帮助，但没有人能把代数塞进你的脑袋。学习的工作取决于你。
练习
- 尽可能计算并简化以下函数的差商。
\(f(x) = x\)
\(f(x) = x^{2}\)
\(f(x) = -x^{2}\)
\(f(x) = x^{3}\)
\(f(x) = -x^{2} + 3x\)
\(f(x) = -\frac{2}{x}\)
\(f(x) = \sqrt{x}\) [提示：有理化分子]
将A表示为B的函数
当两个变量由函数关联时，将它们与显式公式联系起来通常是值得的。“将一个变量表示为另一个变量的函数”只是意味着找到这样的公式。更准确地说，将A表示为B的函数意味着找到形式为
\(A = (\text{其中B是唯一变量的某个表达式})\)的公式。
例1。将圆的面积A表示为其半径r的函数。
解。这里我们只需要写下一个熟悉的朋友：\(A = \pi r^{2}\)
[可以接受但不必要的写法是\(A(r)=\pi r^{2}\)。]
例2。将圆的半径r表示为其面积A的函数。
解。我们需要形式为\(r = (\text{其中A是唯一变量的某个表达式})\)的东西。我们已经有链接这些变量的关系（\(A = \pi r^{2}\)），所以要将r表示为A的函数，我们只需重新排列这个关系，将r孤立一边。这样做，我们得到
\[\boldsymbol{r}=\sqrt{A/\pi}\]
例3。将等边三角形的面积A表示为其边长x的函数。
解。我们寻求形式为\(A = (\text{其中x是唯一变量的某个表达式})\)的东西。没有链接A和x的知名公式，所以我们必须锻造自己的。
但是怎么做？好吧，从我们知道的面积开始：任何三角形的面积是其底边乘以高度的一半。因此，如果我们称三角形的高度为h（如图所示），我们知道
\[A=\frac{1}{2}(base)(height)=\frac{1}{2}xh\]
我们已经将A写成了两个变量x和h的函数，这是一个开始，但我们不能在最终公式中有h。为了消除它，我们必须找到将h表示为x的方法。好吧……h和x有什么关系？图显示：h、x和x/2是直角三角形的边。我们应用毕达哥拉斯定理建立我们的链接：
\[x^{2}=(x/2)^{2}+h^{2}\]
解这个方程求h，如你将验证的，\(h = \frac{\sqrt{3}}{2} x\)。
将这个h的表达式代入(★)从该方程消除h，得到
\[A=\frac{1}{2}x\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)=\frac{\sqrt{3}}{4}x^{2}\]
我们的问题解决了。我们现在已经将A表示为x的函数：\(A = \frac{\sqrt{3}}{4}x^{2}\)。
注意这个例子确实只需要两个想法：首先，我们用x和h表示A（使用熟悉公式），然后我们用毕达哥拉斯定理消除h。剩下的只是代数。
和往常一样，我们的图形引导我们找到解决方案。画图！
立方体的体对角线是通过其”体”的线，而面对角线位于其正方形面之一内。（在下面的图中，\(AC'\)是体对角线；AC和\(A'B\)是面对角线。）
例4。将立方体的体对角线d表示为其表面积S的函数。
解。d和S之间没有明显的联系，所以我们将尝试一个旧策略：将两个变量都与第三个变量关联。这通常可以帮助我们弥合差距。这里，我们将把两个变量与其边长关联，我们称之为x。将S与x关联很容易：立方体的六个面每个都有面积\(x^{2}\)，所以
\[S=6x^{2}\]
一张图将帮助我们将x与d链接。画出如图所示的面对角线AC。这引入了两个直角三角形，它们总是受欢迎的，因为它们为毕达哥拉斯定理搭建了舞台。我们首先将其应用于\(\Delta ABC\)，得到\(AC = \sqrt{2}x\)。（你应该提供细节。）然后我们将其应用于\(\Delta ACC'\)，发现\(d^{2} = x^{2} + (\sqrt{2}x)^{2}\)。简化后，如你将验证的，
\[d=\sqrt{3}x\]
已经将S链接到x且x链接到d，我们现在可以跨过桥了。
解方程(1)求x并将结果代入(2)，如你将验证的，
\[\boldsymbol{d}=\sqrt{S/2}\]
这将立方体的体对角线表示为其表面积的函数，如所要求。
现在轮到你了。
练习
将正方形的边长表示为其面积的函数。
将正方形的周长表示为其面积的函数。
将正方形的面积表示为其周长的函数。
将圆的面积表示为其周长的函数。
将圆的周长表示为其面积的函数。
将半圆的面积表示为其周长的函数。
将半圆的周长表示为其面积的函数。
将立方体的体对角线表示为其面对角线的函数。
将立方体的体积表示为其表面积的函数。
将球体的体积表示为其直径的函数。
[你需要球体体积的公式，\(V = \left(\frac{4}{3}\right)\pi r^{3}\)，你应该记住。]
将球体的半径表示为其体积的函数。
将球体的体积表示为其表面积的函数。[回想球体的表面积是\(4\pi r^{2}\)。]
正四面体是一种三角锥，其所有四个面都是全等的等边三角形。将正四面体的表面积表示为其边长的函数。
正二十面体是由二十个全等等边三角形组成的固体。（搜索图片。）将正二十面体的边长表示为其表面积的函数。
将等边三角形的面积表示为其高度的函数。
由图形定义的函数
如你所知，函数是将数字明确转换为数字的无歧义规则。函数通常由公式定义，但也可以由图形定义。
例如，我们可以将右边的图形解释为一个函数（我称之为f）：给定任何输入a，沿垂直线x = a滑动手指直到它到达图形上的一个点。让这个点的y坐标成为函数的输出，\(f(a)\)。
因此，例如，我们看到\(f(-2) = -1\)、\(f(0) = 1\)和\(f(1) = 2\)。
我刚刚描述了将图形读作函数的标准方式，但这不适用于每个图形。也就是说，它不适用于被垂直线切割超过一次的任何图形。例如，考虑左边的图形。如果我们尝试以标准方式将其读作函数g，我们将失败。例如，\(g(4)\)的值是多少？是1还是-4？这种歧义立即取消其函数资格。不要忘记函数的座右铭：一进一出。
…以及由函数定义的图形
我们知道涉及x和y的方程的图形是满足它的所有点\((x, y)\)的集合。但是形式为
\[f(x)=(\text{涉及x的东西})\]
的方程图形呢，它只涉及一个变量？在这种情况下，我们将\(f(x)\)，函数的输出，视为我们的y变量，所以我们定义这个方程的图形为相关方程
\[\boldsymbol{y}=(\text{涉及x的东西})\]
的图形。例如，函数\(f(x) = x^{2}\)的图形是什么？它只是我们熟悉和喜爱的抛物线\(y = x^{2}\)的图形。
函数图形上的每个点对应一个输入/输出对。也就是说，函数f图形上的每个点形式为\((a, f(a))\)。
例如，平方函数\(f(x) = x^{2}\)的图形包含点\(\left(2, f(2)\right) = (2, 4)\)，这对于熟悉\(y = x^{2}\)图形的人不会感到惊讶。实际上，除了符号，这里没有新东西。函数的图形只是碰巧具有特殊形式\(\mathbf{y} = (\text{涉及x的东西})\)的方程的图形。
你的微积分第一天的预览
例如，考虑我们如何在数学中使用函数符号（以及微积分的预览），考虑右边的图形，它描绘了一条称为双曲线的曲线。这个特定的双曲线是\(f(x) = (1/x) + 1\)的图形。
观察对于f定义域内的每个x，在双曲线上都有唯一的点\((x, f(x))\)；在每个这样的点，双曲线有一条唯一的切线；每条切线都有特定的斜率。将所有这些放在一起，我们看到切线的斜率是其切点x坐标的函数。最后一句话包含了很多数学想法；请仔细思考直到你确定自己完全理解它。这给我们带来了微积分问题，其解决方案将编织本章的几个线索。
我们的问题：将\((x, f(x))\)处切线的斜率表示为x的函数。
也就是说，我们想要形式为
切线斜率 = （其唯一变量是x的某个表达式）的显式公式。
在我们解决这个问题之前，让我们确定是什么使其与我们考虑过的任何问题不同。求直线的斜率如果我们知道其上任意两点的坐标，是一个简单的”升高超过运行”事情。
这在这里不起作用；我们只知道切线上的一个点：\((x, f(x))\)。
从我们的孤点，似乎无处可跑。然而，我们将迎难而上。我们将首先用一个另一个条线逼近切线。我们通过选择双曲线上接近\((x, f(x))\)的第二个点，然后画经过它和\((x, f(x))\)的直线来做到这一点。（参见右图中的虚线。）这样的线是一种”切线模仿者”。其斜率有些接近我们想要的斜率。而且——这是关键洞察！——第二个点越接近\((x, f(x))\)，“模仿”切线的效果越好。最终，当两点之间的距离无限小时，切线模仿者将与真正的切线无法区分。
现在让我们将这个几何想法翻译成代数语言。
如果我们让h代表一个非常小的数字，我们可以将第二个点标记为\((x + h, f(x + h))\)。h越小，“模仿者”做得越好。此外，我们现在有两个模仿者点的坐标。用它们，我们可以如下表达其斜率。
\[\mathrm{The\ impersonator's\ slope}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
这最后一个表达式看起来很熟悉：它是f的差商！正如运气（或作者设计）所愿，我们已经在本章前面计算了f的差商。使用那个结果，我们有
\[\mathrm{The\ impersonator's\ slope}=\frac{-1}{(x+h)x}\]
现在，想象h变得越来越小，本质上变成零，两件事发生。几何上，模仿者越来越接近切线。代数上，\(\star\)右边表达式接近\(-1/x^{2}\)。结合这两条信息，我们看到随着模仿者线越来越接近切线，其斜率越来越接近\(-1/x^{2}\)。因此，切线本身的斜率必须是\(-1/x^{2}\)。我们因此解决了我们的问题！
我们的答案：双曲线在\((x, f(x))\)处切线的斜率是\(-\frac{1}{x^{2}}\)。
因此，举具体实例，双曲线在\((3, 4/3)\)处的切线斜率是-1/9。
类似地，在\((1/2,3)\)处切线的斜率是\(-\frac{1}{(1/2)^{2}} = -4\)。
要遵循诸如过去一页半展开的数学论证（而且，这在微积分中是典型的），你需要完全熟悉函数符号、数学术语、坐标几何和代数。好好学习这些材料。你会需要它。
科学中的函数
你的下一几门数学课程将专心致志于函数。一个理由——可以说是目标——是科学伟大游戏中，变量之间函数关系的发现。然而，科学定律通常采取多变量函数的形式：具有多个输入的函数。艾萨克·牛顿的万有引力定律描述了三个自变量的函数：给定三个数字（两个物体的质量和它们之间的距离），牛顿的函数提供，作为其明确输出，两个物体相互吸引的引力。他的定律是”普遍的”，因为它适用于宇宙中任何两个物体，因此它同样描述了将苹果从树上拉下（并落到牛顿头上）的力和将月亮永久”围绕”地球旋转的力。
对于崭露头角的科学家、工程师、经济学家和其他人，学习预科的主要目标之一是彻底熟悉单变量函数，特别是那些在科学中经常出现的函数（多项式、指数函数、对数函数、三角函数等）。接下来是微积分，这在很大程度上是变化的数学；我们用微积分来研究函数如何在”微观”尺度上变化，反过来，微小变化的积累如何求和成函数关系。微积分对于科学理解这个不断变化的世界至关重要。多变量微积分（通常是人们学习的第三或第四门微积分课程）然后将微积分的所有思想应用于多变量函数——物理学家、计算机科学家、天文学家和经济学家经常处理的函数类型。
练习
- 用a、b和右边图形的函数f表示……
点P的坐标是什么？
经过\((b, f(b))\)和P的直线的斜率是多少？
求经过P和原点的直线方程。
在应用中，我们经常必须确定函数图形与其他物体（轴、其他图形等）的交点。因为函数f的图形只是方程\(y = f(x)\)的图形，这没有什么新东西；毕竟，你在第4章学习了如何找到方程图形与其他物体的交点。接下来的几个练习将加强这个想法，尽管是在函数的上下文中。
- 右边是\(f(x) = \frac{1}{2} \left( x - \frac{1}{2} \right)^{2} - 1\)的图形。
因为\(f(x)\)代表图形在x处的”高度”，找到图形与x轴相交的点相当于求解\(f(x) = 0\)。用这个想法找到f的图形与x轴相交点的坐标。
f的图形在哪里与y轴相交？
f的图形在哪里与直线x = 2相交？
f的图形在哪里与直线y = 2相交？
f的图形在哪里与\(k(x) = (1/2)x + 1\)的图形相交？
[在相同的坐标轴上绘制k的图形可能有所帮助。]
- f的图形在哪里与\(g(x) = -x^{2}\)的图形相交？
[两个图形都在右边显示。]
求你在(f)部分找到的两个交点连线的斜率。
点(100, 4950)在f的图形上吗？
经过\((2,0)\)且斜率为1的直线与f的图形相交吗？如果相交，在哪里？如果没有，你如何确定它不相交？
- 右边描绘的是\(k(x) = x^{3} - 2x\)的图形。
点\((-1, 1)\)和\((1, -1)\)似乎在图形上。它们真的是吗？
找到图形与x轴相交的点。
找到图形与直线x = 1/2相交的点。
为了找到图形与直线y = 1/2相交的点，我们需要解一个特定的方程。找到那个方程，但不要解它。
为什么我认为你不需要解你在(d)部分找到的方程？
绘制函数\(f(x) = -(983/612)x + 1\)的图形。找到图形与轴相交点的坐标，并在图形上标记它们。
对于右边的两条曲线，回答以下两个问题：
曲线可以是方程的图形吗？
曲线可以是函数的图形吗？
- 如果一个球从144英尺高的悬崖落下，那么它在t秒后的高度h将由\(h(t) = 144 - 16t^{2}\)给出。这个函数的图形显示在右边。
球撞击地面之前将经过多少秒？
1秒后球有多高？2秒后呢？
球何时正好在100英尺高？给出精确答案和最近百分之一秒的近似值。
球何时正好在10英尺高？给出精确答案和最近百分之一秒的近似值。
当球开始下落时，一只异常敏捷的昆虫开始以每秒6英尺的恒定速度攀爬悬崖。当球经过它时，昆虫有多高？（给出精确到英寸的答案。）
- 右图显示了函数f的图形，以及通过图形上两点的直线。
用x和h表示P和Q的坐标。
用(a)的答案写出直线PQ斜率的表达式。这应该看起来很熟悉。（如果没有，尝试将上下乘以-1。）
- 正如我们之前所见，单位圆的方程是\(x^{2} + y^{2} = 1\)。
- 下面的推理最初可能看起来正确，但有微妙缺陷。识别缺陷：
如果我们从单位圆的方程中解出y，我们得到\(y = \sqrt{1 - x^{2}}\)。因此，\(f(x) = \sqrt{1 - x^{2}}\)的图形必须是单位圆。
实际上\(f(x) = \sqrt{1 - x^{2}}\)的图形是什么？
设\((x,0)\)为x轴上的可变点。设PQ为通过这个可变点且垂直于x轴的弦。（见右图。）将这个弦的长度表示为x的函数。
设N为固定点\((0,1)\)，并认为P是一个可以滑到单位圆上半部分的 variable 点。如果你学过足够的几何来做这个，证明NP的垂直平分线必须经过原点。
[提示：从经过原点和NP中点的直线开始，证明它是NP的垂直平分线。]
- 将NP的垂直平分线的斜率表示为x的函数。然后找到这个函数的定义域和值域。
- 给定涉及x和y的方程，我们有时可以”解开”两个变量将y表示为x的函数。（例如，我们可以将方程xy = 7重写为y = 7/x。）但通常我们不能这样做。作为一个具体的例子，我声称不可能将方程
\[x^{3}+4x^{2}y+9xy^{2}-36x-9y^{3}+36y=0\]
重写为y表示为x的函数的形式。不是困难，我的意思是不可能。你的问题：解释为什么是这样。
提示：你不能手工绘制这个方程的图形，但计算机可以为你做。它给你的洞察将帮助你解决这个问题。（记住，等价的方程有相同的图形。）