第11章 - 斜三角形

第11章 斜三角形

斜三角形

告诉所有真相，但斜着说。

——艾米莉·狄金森

斜三角形是非直角三角形。原则上，我们可以通过将其切割成直角三角形，然后应用直角三角形三角学来解任何已决定的斜三角形；但在实践中，这种策略会导致复杂的计算。更好的策略是证明——然后使用——两个直接适用于斜三角形的定理：正弦定理和余弦定理。

正弦定理

所以，那么，用心思，我服侍神的律；但用肉体，我服侍罪的律。

——罗马书 7:25

正弦定理将三角形的四个部分联系起来：你喜欢的任意两边及其对角。因此在右边的三角形中，正弦定理将链接\(a, b, \alpha\)和\(\beta\)。我们可以通过简单地作一条垂线来发现它。它的长度一方面是\(a \sin \beta\)，另一方面是\(b \sin \alpha\)（通过基本直角三角学）。因此，\(a \sin \beta = b \sin \alpha\)。我们可以通过将两边除以\(\sin \alpha \sin \beta\)来将其抛光成更对称的形式，从而获得正弦定理：

正弦定理。

如果\(a\)和\(b\)是三角形的任意两边，\(\alpha\)和\(\beta\)是其对角，那么

\[\frac{a}{sin\alpha}=\frac{b}{sin\beta}.\]

当已决定的三角形有两个已知角（ASA或AAS）时，我们可以用正弦定理来解它，我经常将其简写为l.o.s。

例题。 解 shown at right 的三角形。

解。 缺失的角当然是\(41^{\circ}\)。

如果我们令\(x\)为\(63^{\circ}\)角对面的边，正弦定理给出\(\frac{x}{\sin 63^{\circ}} = \frac{4}{\sin 76^{\circ}}\)。

等价地，\(x = (4 \sin 63^{\circ}) / \sin 76^{\circ} \approx 3.67\)

称剩余的边为\(y\)并再次应用正弦定理给出\(\frac{y}{\sin 41^{\circ}} = \frac{4}{\sin 76^{\circ}}\)

等价地，\(y = (4 \sin 41^{\circ}) / \sin 76^{\circ} \approx 2.70\)。

正弦定理是求边的可靠工具。然而，用它求角可能是危险的，因为知道一个角的正弦不足以确定角本身。（例如，如果我们知道\(\sin\alpha=1/2\)，那么\(\alpha\)可以是\(30^{\circ}\)或\(150^{\circ}\)。）幸运的是，这一点毫无意义：你永远不需要用正弦定理求三角形的角。余弦定理在这方面非常适合，我们将在下一节中学习。

练习

1. 解以下三角形。

2. 欣赏正弦定理的最好方法是不使用它解一个斜三角形。重做练习1b，通过作垂线并使用基本直角三角学。然后比较你的两个解。

3. 如果你仔细检查我对正弦定理的推导，你会看到如果\(\alpha\)或\(\beta\)是钝角，它就会失败，因为在那种情况下（如右图），垂线落在三角形外面。

你的问题：证明正弦定理对钝角三角形也成立。

[提示：找到CD的两个不同表达式。对于一个，你需要\(\sin(180^{\circ}-\beta)\)的恒等式。你在第10章的练习42中找到了一个，可以通过画图并思考单位圆来恢复。]

5. 解以下三角形：

6. 伊甸山的青翠斜坡与它升起的水平平原形成\(7^{\circ}\)角。平行地，太阳光线照耀；那些落在平原上的角度为\(40^{\circ}\)。知识之树矗立在山上，生长方向垂直于平原。蛇滑向你，指向树的影子。“那个影子，”它说，“有150库比特长。”树有多高？

7. （一个挑战）使用计算机程序（或圆规）画一个直径D固定的圆。现在画一个顶点位于圆上的三角形。将每个边的长度除以其对角的正弦。结果总是D！尝试发现为什么会这样。

余弦定理

余弦定理将三角形的四个不同部分联系起来：三条边……和你选择的任何角。让我们称选定的角为\(\gamma\)，及其对边\(c\)。因此，余弦定理将是一个链接\(a, b, c\)和\(\gamma\)的方程（其中\(a\)和\(b\)是剩余的边）。让我们推导这个定理。

我们的策略：作垂线使\(c\)成为直角三角形的斜边，然后尝试用涉及\(a, b\)和\(\gamma\)的方式表达这个直角三角形的腰。如果我们成功，那么勾股定理会将\(a, b, c\)和\(\gamma\)绑定在一个方程中。

所以……让\(\Delta ABC\)是一个斜三角形。从B向边AC作垂线创建一个直角三角形\(\Delta ABD\)，其斜边是\(c\)。通过基本三角学，其一条腰是\(a \sin \gamma\)，所以如果我们能把\(b\)表达为另一条腰AD的一个表达式，就一切顺利。这很容易：\(AD = b - DC = b - a \cos \gamma\)。

我们现在可以把它交给毕达哥拉斯来给予致命一击：

\[\begin{aligned}c^{2}&=(a\sin\gamma)^{2}+(b-a\cos\gamma)^{2}\\ &=a^{2}\sin^{2}\gamma+b^{2}+a^{2}\cos^{2}\gamma-2ab\cos\gamma\\ &=a^{2}(\sin^{2}\gamma+\cos^{2}\gamma)+b^{2}-2ab\cos\gamma\\ &=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma \end{aligned}\]

（勾股定理）

（勾股恒等式）。

就这样。让我们总结我们刚刚发现的内容。

余弦定理

如果\(a, b\)和\(c\)是任意三角形的边，\(\gamma\)是对边\(c\)的角，那么

\[c^{2}=a^{2}+b^{2}-2a b\cos\gamma.\]

我认为最好用语言记住余弦定理：

在每个三角形中，每边的平方是

其他两边的平方和……减去

其他两边及其夹角余弦的两倍乘积。\(^{*}\)

注1。 余弦定理推广了勾股定理。代数上，它附加了一个额外的项\((-2ab \cos \gamma)\)到勾股定理，以考虑三角形斜性的影响。当\(\gamma\)是直角时，额外的项是零，所以余弦定理简化为勾股定理。

注2。 正如我们将在下面的例子中看到的，余弦定理让我们解任何已决定的三角形，其中我们至少知道两边（即由SAS或SSS决定的任何三角形）。

注3。 与正弦定理不同，余弦定理非常适合求角，因为知道三角形中角的余弦足以确定角本身。（例如，如果\(\cos \gamma = 1/2\)，那么\(\gamma\)只能是\(60^{\circ}\)。）因此，余弦定理是求斜三角形角的最佳工具。它永远不会让你误入歧途。你可以用正弦定理求角，但这样做时必须小心。（见练习12了解更多。）

例题1。 解 shown at right 的三角形。

解。 设\(c\)为剩余的边。由余弦定理，

\[c^{2}=9+25-30\cos40^{\circ}.\]

通过计算器计算，我们发现\(c \approx 3.32\)。

设\(\alpha\)为对边长为3的角。由余弦定理，

\[9=25+(3.32\ldots)^{2}-2(5)(3.32\ldots)\cos\alpha.^{*}\]

解\(\cos\alpha\)，我们发现\(\cos\alpha\approx.814\)。因此，\(\alpha=\cos^{-1}(.814\ldots)\approx35.5^{\circ}\)。

最后，由于角和是\(180^{\circ}\)，剩余的角必须约为\(104.5^{\circ}\)。

例题2。 解 shown at right 的三角形。

解。 设\(\alpha\)为对边长为6的角。

由余弦定理，

\[36=25+49-2(5)(7)\cos\alpha.\]

解这个，我们发现\(\alpha=\cos^{-1}(.543\ldots)\approx57.1^{\circ}\)

设\(\beta\)为对边长为5的角。

由余弦定理，

\[25=36+49-2(6)(7)\cos\beta,\]

由此我们确定\(\beta\approx44.4^{\circ}\)

因此剩余的角是\(180^{\circ} - (\alpha + \beta) \approx 78.5^{\circ}\)。

现在你已经学习了基本直角三角学和正弦、余弦定理，你可以解你将遇到的任何已决定的三角形。（你将在练习13中验证这个大胆的声明。）

练习

8. 解以下三角形，选择每个问题的最佳数学工具。

9. 如果你仔细检查我对余弦定理的推导，你会发现如果\(\gamma\)是钝角，它就不太 work，因为在那情况下，垂线会落在三角形外面。

你的问题：证明余弦定理对钝角三角形也成立。[提示：适应练习4的提示。]

10. 在下图中，求标为\(x\)的线段的长度。

11. 娜nancy喝得半醉，试图从当地酒馆走回家，她的门，正如她常吹嘘的，仅在她公寓以南648英尺处。踏入午夜空气后，娜nancy定位了北极星（她一直是天文学的敏锐学生），设法在整整两分钟内以每秒3.6英尺的恒定速度向北踉跄。然后，被一颗过路的卫星分心，她偏离了航线，偏东\(20^{\circ}\)，但保持其恒定速度。

1. 她离开酒馆三分钟后，离酒馆门多远？

2. 她离开酒馆三分钟后，离她公寓门多远？

3. 如果娜nancy保持其速度和第二方向（北偏东\(20^{\circ}\)），她什么时候（精确到分钟）将离她公寓门1英里？（假设她在午夜时分离开酒吧。）

12. 1. 画一个图显示有两个不同的角——一个锐角，一个钝角——其正弦等于3/4。

2. 如果\(\theta\)是三角形的角，且\(\sin\theta = 3/4\)，我们有足够的信息来确定\(\theta\)的值吗？

3. 假设\(\theta\)已知是锐角。现在我们有足够的信息来确定\(\theta\)的值吗？如果有，它是多少（精确到最近的十分之一度）？如果没有，为什么没有？

4. 假设\(\theta\)已知是钝角。现在我们有足够的信息来确定\(\theta\)的值吗？如果有，它是多少（精确到最近的十分之一度）？如果没有，为什么没有？

5. 如果\(\phi\)是三角形中的一个角，我们知道\(\cos\phi = 3/4\)，我们有足够的信息来确定\(\phi\)的值吗？如果有，它是多少（精确到最近的十分之一度）？如果没有，为什么没有？

6. 请重读前一节的”注3”。

7. 小心使用正弦定理，求下图中钝角\(\alpha\)（精确到最近的十分之一度）。然后用另一种方法检查你的工作。

13. 要解由SSS决定的任何三角形，可以按如下进行：使用余弦定理求一个角，再次使用它求第二个角，然后通过从\(180^{\circ}\)减去前两个角来求第三个角。给出解由SAS、ASA、AAS和RASS决定的三角形的类似指导方针。这样做后，你将证明所有已决定的三角形都可以使用我们开发的工具来解。因此，我们真正解了三角学的基本问题，我在第9章第一段首次描述了这个问题。万岁！

14. 这是一个有趣的几何事实：在任何平行四边形中，两条对角线的平方和等于四条边的平方和。证明它。

三角形面积：2个公式

人们说，如果三角形有神，它们会给他三条边。

——孟德斯鸠，《波斯书信》，第59封。

在本节中，我们将证明三角形面积的两个公式。每个人都知道第一个公式（底乘高的一半），但不是每个人都知道为什么它成立。我们将从解释开始。然后我们将使用第一个著名公式来证明第二个面积公式，它不太出名，可能是因为它涉及一个三角函数。

公式1（老 favorite）。 三角形的面积是底和高的乘积的一半。

证明。 首先，观察我们可以将任何平行四边形切成两片然后重新组装成矩形，如图表所示。这种手术既不创造也不破坏面积，所以两个形状必须有相同的面积。因此，由于矩形的面积是显而易见的（bh），我们也知道平行四边形的面积。我们偶然发现了一个重要的独立事实：

任何平行四边形的面积是其底和高的乘积。

这个关于平行四边形的事实可以教给我们关于三角形的知识。

关键在于每个三角形都是平行四边形的一半，如右图所示。由于任何平行四边形的面积是其底乘高，因此任何三角形的面积必须是其底乘高的一半，如主张。

关于我们刚刚证明的著名公式有一个令人不满意的地方：它涉及三角形的 height，这不是六个”自然”三角形部分（边和角）之一。我们现在将证明另一个完全不涉及这种缺陷的三角形面积公式。它将用两边及其夹角的正弦给出三角形的面积。因此，我称之为”SAS面积公式”。

公式2（SAS面积公式）。

三角形的面积是其任意两边及其夹角正弦乘积的一半。

证明。 设\(a\)和\(b\)是任意两边，\(\theta\)为其夹角。如果我们认为\(b\)是三角形的底，那么相对于它，三角形的高是（通过基本直角三角学）\(a \sin \theta\)。因此，由公式1，三角形的面积是\((1/2)(b)(a \sin \theta)\)。重新排列因数，这变成\((1/2)(ab \sin \theta)\)，即两边乘积的一半乘以夹角的正弦，如主张。

为了确保你已经消化了这个证明并能适应其他情况，这里有一些练习。

练习

15. 在前面的证明中，如果我们声明三角形的底是标记为\(a\)的边，SAS面积公式仍然成立。解释为什么。

16. 解释为什么即使夹角是钝角，求面积的SAS公式仍然成立。

17. 心算边长为1的等边三角形的精确面积。

三角形面积：海伦公式

我们现在将推导第三个面积公式——一个仅用其边表示三角形面积的公式。我们将通过找到一种方法将SAS面积公式中的\(\sin\theta\)重写为三角形的边来实现。我们的策略将是两个” moves”的象棋式组合。首先，我们将使用勾股恒等式\((\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1)\)将\(\sin\theta\)从SAS面积公式中取出并将\(\cos\theta\)放入其中。然后我们将使用余弦定理（它关联三边和一个角的余弦）将\(\cos\theta\)取出，并将三边放入其中。将死！现在你理解了策略，让我们推导这个公式。我们最初会得到一个粗糙的形式。然后我们将应用一些代数抛光，这项工作我们将单独考虑。

问题1。 推导用三角形三边\(a, b\)和\(c\)表示其面积的公式。

解。 如果\(\theta\)是\(a\)和\(b\)之间的角，那么SAS面积公式告诉我们

\[\begin{aligned}AREA=\frac{1}{2}ab\sin\theta.\end{aligned}\]

由于如上所述，我们希望”交换”\(\sin\theta\)为\(\cos\theta\)通过勾股恒等式（它涉及\(\sin\theta\)和\(\cos\theta\)的平方），我们首先将SAS公式两边平方：

\[AREA^{2}=\frac{1}{4}a^{2}b^{2}\sin^{2}\theta.\]

通过勾股恒等式，这等价于

\[AREA^{2}=\frac{1}{4}a^{2}b^{2}(1-\cos^{2}\theta).\]

我们现在将消除\(\cos\theta\)。由余弦定理，\(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\theta\)，或等价地，\(\cos\theta=(a^{2}+b^{2}-c^{2})/2ab\)。将其代入我们最新的面积表达式，我们得到

\[AREA^{2}=\frac{1}{4}a^{2}b^{2}\left[1-\frac{(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}{4a^{2}b^{2}}\right],\]

除了对两边取平方根外，这正是我们想要的——一个完全用边表示的三角形面积表达式。

我们找到了一个公式，但它很糟糕。通过一些英雄式的代数，我们可以相当简化它。

问题2。 尽可能简化我们在问题1中推导的公式。

解。 将括号中的所有内容放到公共分母上然后打磨结果，我们得到，如你应验证的，

\[AREA^{2}=\frac{1}{16}[4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}],\]

这更好，但仍然笨重。我们还能做什么？\(^{*}\) 凝视和思考一段时间后，一个受启发的代数学家（我们将在这个问题中跟随他的思路；请享受这段旅程）会注意到括号内潜伏着一个平方差。

\[AREA^{2}=\frac{1}{16}[(2a b)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}].\]

以通常的方式展开它，我们得到

\[AREA^{2}=\frac{1}{16}[2a b-(a^{2}+b^{2}-c^{2})][2a b+(a^{2}+b^{2}-c^{2})].\]

我们受启发的代数学家然后观察到，在每组括号中，有一个平方二项式的成分。如果我们在括号内重新排列东西，会更容易看到我们：

\[AREA^{2}=\frac{1}{16}[-(a^{2}-2a b+b^{2})+c^{2}][(a^{2}+2a b+b^{2})-c^{2}].\]

在括号内因式分解平方二项式给我们

\[AREA^{2}=\frac{1}{16}[(a-b)^{2}+c^{2}][(a+b)^{2}-c^{2}].\]

他现在注意到两組括号中都有平方差。如果我们这样写会更清楚：

\[AREA^{2}=\frac{1}{16}[c^{2}-(a-b)^{2}][(a+b)^{2}-c^{2}].\]

展开这些平方差给出

\[AREA^{2}=\frac{1}{16}[c-(a-b)][c+(a-b)][(a+b)-c][(a+b)+c].\]

如果我们分配负号（必要时）然后按字母顺序重新排列括号内的项，这变成

\[AREA^{2}=\frac{1}{16}[-a+b+c][a-b+c][a+b-c][a+b+c].\]

注意这个表达式的模式：在前三个括号中，负号改变位置；在第四个中，它消失了。一个较逊色的人会在这里停下来，满足于这个令人愉悦的对称性，但我们的代数学家还有一张牌可以打。密切注意。首先，他将1/16的因子转化为四个1/2的因子，并在括号间分享它们

\[AREA^{2}=\frac{\left[-a+b+c\right]}{2}\frac{\left[a-b+c\right]}{2}\frac{\left[a+b-c\right]}{2}\frac{\left[a+b+c\right]}{2}.\]

第四个因子是三角形的半周长（即其周长的一半），我们称之为\(s\)。值得注意的是（并且确实需要受启发的代数学家注意到），所有四个因子都与半周长有关：按顺序，它们是\((s - a)\)、\((s - b)\)、\((s - c)\)和\(s\)，如你应验证的。因此，

\[AREA^{2}=(s-a)(s-b)(s-c)s.\]

最后，我们对两边取平方根来产生我们精美简洁的公式，

\[\boldsymbol{A}\boldsymbol{R}\boldsymbol{E}\boldsymbol{A}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.\]

这被称为海伦公式，以亚历山大的海伦命名，这位伟大的数学家和工程师在公元1世纪证明了它。让我们在一个框中荣耀他的成就。

海伦公式。 如果三角形的边是\(a, b\)和\(c\)，那么它的面积是

\[\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\]

其中\(s\)是三角形的半周长（即其周长的一半）。

证明海伦公式需要数学艺术。使用它不需要任何艺术。

例题。 求边长为3、5和6的三角形的面积。

解。 这个三角形的半周长是7，所以根据海伦公式，它的面积是

\[\sqrt{7(7-3)(7-5)(7-6)}=\sqrt{7\cdot4\cdot2\cdot1}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}units^{2}.\]

练习

18. 不用计算器，求以下三角形的精确面积。

19. 由于三角形由ASA完全决定，理论上应该有一个ASA三角形面积公式。推导一个。（在你的公式中，称给定角为\(\alpha\)和\(\beta\)，及其夹边\(c\)。）

[提示：从一个已知的面积公式开始，并将每个变量用\(\alpha\)、\(\beta\)和\(c\)表示。]

21. 海伦公式仅用三边给出三角形的面积。是否可以推导出仅用三角形的三个角表示其面积的公式？如果可以，就这样做什么。如果没有，为什么不能？

22. SAS面积公式有一个引人注目的类似物 for 凸四边形。\(^{*}\) 即，任何凸四边形的面积是其对角线乘积的一半乘以对角线交叉角的正弦。

1. 画一些凸和非凸四边形的图。解释为什么上述公式的声明对非凸四边形没有意义。

b）“对角线交叉角的正弦”似乎含糊不清：当两条线交叉时，它们形成四个角——通常是一对锐角和一对钝角。我没有指定我们必须考虑哪个角。事实上，我不需要指定，因为所有四个角都有相同的正弦。解释为什么会这样。

3. 证明凸四边形面积公式成立。

4. 在本章前面，我们看到余弦定理推广了勾股定理，在这个意义上，余弦定理包含了勾股定理作为一个特殊情况。在一个更微妙的方式中，我们在这个问题的公式中考虑的推广了SAS面积公式。为了看到这个公式确实是SAS公式的特殊情况，想象一个三角形是一个”退化四边形”，其中一边长度为零。因此，我们将认为\(\Delta ABC\)是一个四边形ABCD，其中点C和D重合。如果你这样想，那么三角形的”对角线”是什么？它们之间的角是什么？沉思这个直到你理解SAS公式确实是这个凸四边形公式的特殊情况。

23. 婆罗摩笈多的公式给出内接四边形（即顶点位于圆上的四边形）的面积。如果内接四边形的边是\(a, b, c\)和\(d\)，那么根据婆罗摩笈多，它的面积是

\[\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}.\]

1. 解释为什么海伦公式是婆罗摩笈多公式的特殊情况。

2. 婆罗摩笈多用梵文诗句写他的数学（！），所以你几乎肯定不能直接阅读他的作品。但是，你可以了解关于婆罗摩笈多本人。了解他。同时，了解他著名结果的主人，亚历山大的海伦。

3. 婆罗摩笈多的公式，反过来，是Bretschneider公式的特殊情况，它给出任何凸四边形——不仅仅是内接四边形——的面积，用其边和四边形中任意两个对角表示。该面积是

\[\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-a b c d\cos^{2}\left(\frac{\alpha+\gamma}{2}\right)},\]

其中\(\alpha\)和\(\gamma\)是对角。这个公式暗示了关于每个内接四边形的对角你必须为真的什么？

4. 你在c部分可能做出的猜想是正确的。你可以在欧几里得的《几何原本》中找到它的2300年历史的证明，这是经典几何的圣经。阅读欧几里得3.22（即第3册，命题22）。它的证明将参考3.21，3.21又将你送回3.20，它们都是关于圆几何的重要定理。阅读、思考并受启发。每个受过教育的人都应该读一些欧几里得。