第13章 - 恒等式、逆函数与方程

作者

Seth Braver

第13章 恒等式、逆函数与方程

和角恒等式

我思故我在。

——笛卡尔

你已经学到了很多三角恒等式，但在被认为是精通三角学之前，你必须再学一些：正弦和余弦的和角恒等式和二倍角恒等式。

正弦的和角恒等式。 以下恒等式对所有\(\alpha\)和\(\beta\)成立：

\[\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha.\]

证明。 目前，我将只在\(\alpha\)和\(\beta\)是锐角的特殊情况下证明这个恒等式。

在下一页，我将进一步解释为什么结果对所有角都成立。

画一条线。从其上任意一点，竖起一条1单位长的垂线。从其顶部，画出与垂线成\(\alpha\)和\(\beta\)角的射线。它们最终会击中原始线，产生右边的图形，我们现在将用两种方法计算其面积。

首先，由SAS面积公式，它的面积是

\[\frac{1}{2}\sec\alpha\sec\beta\sin(\alpha+\beta).\]

其次，对每个直角三角形应用SAS面积公式并相加，结果是

\[\frac{1}{2}\sec\alpha\sin\alpha+\frac{1}{2}\sec\beta\sin\beta.\]

如果你将这两个表达式相等，孤立\(\sin(\alpha + \beta)\)，并简化，你会发现

\[\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha,\]

如主张。

注意那个证明的巧妙。和角恒等式没有提到面积，但我们用面积来证明它。引入角\((\alpha + \beta)\)然后通过SAS面积公式将其包装成正弦是古老”两次计算某物”技巧的极好设置。

这个和角恒等式的一个小结果是，我们可以再获得一些正弦的精确值。

例题。 求\(\sin(75^{\circ})\)的精确值。

\[\begin{aligned}Solution.\sin(75^{\circ})&=\sin(30^{\circ}+45^{\circ})\\ &=\sin(30^{\circ})\cos(45^{\circ})+\sin(45^{\circ})\cos(30^{\circ})\quad(正弦的和角恒等式)\\ &=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}. \end{aligned}\]

接下来，我们将建立余弦的和角恒等式。

余弦的和角恒等式。 以下恒等式对所有\(\alpha\)和\(\beta\)成立：

\[\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.\]

证明。 与前一个恒等式一样，我将首先在\(\alpha\)和\(\beta\)是锐角的情况下证明。（然后我会解释两个恒等式如何扩展到所有角。）

从单位圆的两条半径开始，使它们与正x轴成\(\alpha\)和\(\beta\)角，如图所示。我们将用两种方法计算AB：首先用距离公式，然后用余弦定理。

对于距离公式，我们需要\(A^{\prime}\)的坐标\((\cos\alpha,\sin\alpha)\)和\(B^{\prime}\)的\((\cos(-\beta),\sin(-\beta))\)，由于余弦的偶性和正弦的奇性，我们也可以写成\((\cos\beta,-\sin\beta)\)。所以，通过距离公式，

\[\begin{aligned}AB&=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}\\ &=\sqrt{(\cos\alpha-\cos\beta)^{2}+(\sin\alpha+\sin\beta)^{2}}\\ &=\sqrt{2+2\sin\alpha\sin\beta-2\cos\alpha\cos\beta}\quad&(by the Pythagorean identity). \end{aligned}\]

另一方面，余弦定理告诉我们

\[AB=\sqrt{2-2\cos(\alpha+\beta)}.\]

将AB的两个表达式相等，两边平方，然后简化得到和角恒等式。

我们已经证明了当\(\alpha\)和\(\beta\)是锐角时和角恒等式成立。现在让我们看看为什么它们总是成立。解释取决于两个简单的观察。首先，如果\(\alpha\)或\(\beta\)是零，恒等式仍然成立。\(^{*}\) 第二，我们可以将任何角认为是\(90^{\circ}\)的倍数加上一些锐角（或零）。[例子：\(328^{\circ}=3(90^{\circ})+58^{\circ}\)；\(-838^{\circ}=-10(90^{\circ})+62^{\circ}\)。]

一个完全严格的正弦和角恒等式证明需要大量的情况，但我们可以暴露证明的核心思想——这才是重要的——通过选择两个基本上任意的角（\(328^{\circ}\)和\(-838^{\circ}\)）并显示为什么正弦的和角恒等式对这些角成立。我们将使用的论证（稍作 minor 调整）适用于任何两个角，这就是为什么恒等式普遍成立的原因。

主张。 \(\sin\left(328^{\circ}+(-838^{\circ})\right)=(\sin328^{\circ})(\cos(-838^{\circ}))+(\sin(-838^{\circ}))(\cos328^{\circ}).\)

证明。 首先通过筛选出角度的”锐角部分”，然后将剩余的直角bundles up，我们可以将左手边的表达式重写如下：

\[\begin{aligned}\sin\big(328^{\circ}+(-838^{\circ})\big)&=\sin\lbrack(3(90^{\circ})+\mathbf{58^{\circ}})+(-10(90^{\circ})+\mathbf{62^{\circ}})]\\ &=\sin\lbrack(\mathbf{58^{\circ}}+\mathbf{62^{\circ}})-7(90^{\circ})\rbrack. \end{aligned}\]

思考单位圆一会儿应该让你相信对于任何角\(\theta\)，我们有\(\sin(\theta - 7(90^{\circ})) = \cos\theta\)。因此，我们可以将上面的最后一个表达式重写为

\[\cos(58^{\circ}+62^{\circ}).\]

使用余弦的和角恒等式（我们已经为锐角证明了！）展开这给出

\[\cos58^{\circ}\cos62^{\circ}-\sin58^{\circ}\sin62^{\circ}.\]

为了将我们原来的角度重新引入场景，我们将这个表达式以不雅的形式重写：

\[\cos\big(328^{\circ}-3(90^{\circ})\big)\cos\big(-838^{\circ}+10(90^{\circ})\big)-\sin\big(328^{\circ}-3(90^{\circ})\big)\sin\big(-838^{\circ}+10(90^{\circ})\big).\]

再次思考正弦和余弦的单位圆定义，这等于

\[\cos(328^{\circ}+90^{\circ})\cos(-838^{\circ}+180^{\circ})-\sin(328^{\circ}+90^{\circ})\sin(-838^{\circ}+180^{\circ}).\]

更多的单位圆contemplation（像你在第10章练习41-43中做的那样）将这简化为

\[(-\sin328^{\circ})(-\cos(-838^{\circ}))-(\cos328^{\circ})(-\sin(-838^{\circ})).\]

最后，整理负号揭示这等于

\[(\sin328^{\circ})(\cos(-838^{\circ}))+(\sin(-838^{\circ}))(\cos328^{\circ}),\mathrm{as\ claimed}.\]

同样的论证将证明余弦的和角恒等式。当然，在实践中不需要经历这个复杂的过程。你应该，但至少做一次（练习7）说服自己和角恒等式确实对所有角都成立。如果什么都没有，这是在思考正弦和余弦的单位圆定义方面极好的练习。

练习

  1. 使用方程\(15^{\circ} = 45^{\circ} + (-30^{\circ})\)，求\(\sin 15^{\circ}\)的精确值。

  2. 求\(\sin 105°\)、\(\cos 15°\)、\(\cos 75°\)、\(\cos 105°\)、\(\tan 15°\)、\(\tan 75°\)和\(\tan 105°\)的精确值。

  3. 推导正弦的差角恒等式（即\(\sin(\alpha - \beta)\)的恒等式）。[提示：重做练习1中的技巧。]

  4. 推导余弦的差角恒等式。

  5. 尽可能简化：

\[\begin{aligned}a)\frac{\sin(\theta+\phi)-\sin\theta\cos\phi}{\cos\theta\cos\phi}\qquad&b)(-\sin\theta\sin\phi+\cos\theta\cos\phi)^{2}+\sin^{2}(\theta+\phi)\qquad c)\frac{\sin\gamma\cos\delta-\sin\delta\cos\gamma}{\cos(\gamma-\delta)}\end{aligned}\]

  1. 如下推导\(\tan(\alpha + \beta)\)的恒等式：重写这个表达式为正弦和余弦的项，然后应用你已经知道的和角恒等式，最后用\(\cos \alpha \cos \beta\)除以所得分数的分子和分母。

  2. 只为你的灵魂好，做一次：使用上述”主张”中的那种论证表明当\(\alpha = 133^{\circ}\)和\(\beta = 204^{\circ}\)时余弦的和角恒等式确实成立。

  3. 使用和角恒等式重新确认以下恒等式（你也可以从单位圆上读出）：

\[a)\sin(\pi/2+\theta)=\cos\theta\]

\[b)\cos(\theta+\pi)=-\cos\theta\]

\[c)\sin(\pi-\theta)=\sin\theta\]

\[d)\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\theta\]

$\(e)\sin(\theta + 2\pi k) = \sin\theta\)对所有整数k成立。

  1. 将\(\sin(\alpha + \beta + \gamma)\)用\(\alpha\)、\(\beta\)和\(\gamma\)的正弦和余弦表示。

二倍角恒等式

二倍角恒等式直接从和角恒等式得出：

二倍角恒等式。 以下恒等式对所有\(\theta\)成立：

\[\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta\]

\[\cos(2\theta)=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta\]

证明。 将\(2\theta\)重写为\((\theta + \theta)\)并应用每个和角恒等式。我将细节留给你验证。

正弦的二倍角恒等式特别容易记住，因为它听起来像一行诗；它以完美的抑扬格四音步扫描：

\[\stackrel{/}{\mathrm{Two~sine~}}\mid\stackrel{/}{\mathrm{theta~}}\mid\stackrel{/}{\mathrm{cosine~}}\mid\stackrel{/}{\mathrm{theta}}\]

记住这两个二倍角恒等式。它们在微积分中经常有用。

练习

  1. 尽可能简化：\(\sin^{2}\theta+\left(\frac{\sin(2\theta)}{2\sin\theta}\right)^{2}\)

  2. 将\(\sin(3\theta)\)用\(\sin \theta\)表示。[提示：\(3 = 2 + 1\)。和角恒等式，勾股恒等式。]

  3. 证明\(\sin(4\theta) = 4 \sin \theta \cos^{3} \theta − 4 \sin^{3} \theta \cos \theta\)。[提示：\(4 = 2 \cdot 2\)。二倍角恒等式。]

  4. 将\(\cos(3\theta)\)用\(\cos \theta\)表示。

  5. 将\(\cos(4\theta)\)用\(\sin \theta\)表示。

  6. 验证当\(\theta = 30^{\circ}\)时正弦的二倍角恒等式正确。

  7. 验证当\(\theta = 7\pi/6\)时余弦的二倍角恒等式正确。

  8. 证明以下恒等式对所有\(\theta\)成立：

  1. \((\cos \theta - \sin \theta)^{2} = 1 - \sin(2\theta)\)

\[\cos(2\theta)=1-2\sin^{2}\theta\]

\[\mathsf{c})\cos(2\theta)=2\cos^{2}\theta-1\]

\[\mathsf{d})\cos^{4}\theta-\sin^{4}\theta=\cos(2\theta)\]

\[\frac{\sin2\theta}{\sin\theta}-\frac{\cos2\theta}{\cos\theta}=\sec\theta\]

\[\mathrm{f)}\frac{\cos^{2}\theta}{1+\sin\theta}=1-\sin\theta\]

  1. \(1 + \tan^{2} \theta = \sec^{2} \theta\) [提示：两边除以… something。]

\[\mathsf{h})1+\cot^{2}\theta=\csc^{2}\theta\]

\[i)\sin^{4}\theta-\sin^{2}\theta=\cos^{4}\theta-\cos^{2}\theta\]

  1. 勾股恒等式和余弦的二倍角恒等式都涉及\(\cos^{2}\theta\)和\(\sin^{2}\theta\)，这表明我们可以将它们有成果地结合起来。通过将它们的对应边相加并massaging 结果，你可以推导出一个在积分微积分中非常有用的恒等式：\(\cos^{2}\theta = (1 + \cos 2\theta)/2\)。
  1. 推导它。 b) 通过减去你在A部分相加的内容，推导一个类似的\(\sin^{2}\theta\)的恒等式。
  1. 对你在练习18中推导的恒等式两边取平方根，然后用\(\phi/2\)替换\(\theta\)。结果有时被称为余弦和正弦的半角恒等式。
  1. 找到这两个半角恒等式。 b) 用它们求\(\sin 15°\)和\(\cos 15°\)的精确表达式。 c) 用B部分的结果求\(\sin 7.5^{\circ}\)的精确表达式。

  1. \(\sin\theta\cos\theta\)的最大可能值是多少？你怎么知道它是最大的？在达到这个最大值时，最小的正角\(\theta\)是多少？

  2. 画以下函数的图像：a) \(y = 4 \sin x \cos x\), b) \(y = \cos^{4} x - \sin^{4} x\)。

逆余弦（Enisoc）

到目前为止，我们一直能够以对逆三角函数的朴素理解凑合。例如，到目前为止，我们将\(\cos^{-1}(1/2)\)理解为”余弦为1/2的角”。只要我们只关心解三角形，这个定冠词是有效的，因为确实有一个独特的”三角形角”（即0和\(\pi\)之间的角）其余弦为1/2。\(^{*}\) 然而，在无三角形的背景下，逆余弦的这种朴素定义不再有效，因为有无穷多个数字的余弦为1/2。\(^{\dagger}\) 这无穷多候选者中哪一个是\(\cos^{-1}(1/2)\)？

为了提供明确的答案，我们做出以下正式定义：

定义（逆余弦）。

\(\cos^{-1} x\)是范围\([0, \pi]\)中余弦为\(x\)的数字。

（注：有些人称逆余弦为”arccosine”，并写成arccos x而不是\(\cos^{-1} x\)。然而，含义是相同的。）

这个定义使逆余弦成为一个真正的函数，因为它现在满足”一进一出”的标准。对于任何允许的输入，它提供唯一的输出。是的，有无穷多个角其余弦为1/2，但只有一个位于范围\([0, \pi]\)中，即\(\pi/3\)。因此，\(\cos^{-1}(1/2)\)等于\(\pi/3\)，而不是其他。这种范围限制可能看起来很奇怪，但你实际上以前遇到过：每个正数\(x\)有两个平方根，但函数\(\sqrt{x}\)专门选择正根。

练习

  1. 借助单位圆，解释为什么在\([0,\pi]\)中有一个唯一的角其余弦为-0.249。

  2. 判断对错：对于余弦范围\([-1, 1]\)中的每个\(r\)，在\([0, \pi]\)中有一个唯一的角其余弦为\(r\)。

  3. 解释为什么在\([0,\pi]\)中没有唯一的角其余弦为0.7734。

  4. 判断对错。（解释你的答案。）

  1. \(\cos^{-1}(1)=2\pi\)，因为\(\cos(2\pi)=1\)。 b) \(\cos^{-1}(-1)\)未定义。 c) \(\cos^{-1}(-1/2)=-2\pi/3\)。

  2. \(\cos^{-1}(1/2)=\pi/3\) e) 逆余弦是偶函数。 f) 逆余弦是奇函数。

  3. \(\cos(\cos^{-1}(\sqrt{3}/2)) = \sqrt{3}/2\) h) \(\cos(\cos^{-1}(-.83)) = -0.83\)

\[\cos(\cos^{-1}(r))=r.\]

\[\cos^{-1}(\cos\pi)=\pi\]

  1. \(\cos^{-1}(\cos(2\pi)) = 2\pi\) [小心。] I) \(\cos^{-1}(\cos 2.31) = 2.31\) m) \(\cos^{-1}(\cos 4) = 4\)
  1. 求精确值……

  1. \(\cos^{-1}(1)\) b) \(\cos^{-1}(-1)\) c) \(\cos^{-1}(0)\) d) \(\cos^{-1}(1/2)\) e) \(\cos^{-1}(\sqrt{3}/2)\)

  2. \(\cos^{-1}(-1/2)\) g) \(\cos^{-1}(-\sqrt{3}/2)\) h) \(\cos^{-1}(\cos(\pi/3))\) i) \(\cos^{-1}(\cos(\pi/7))\)

  3. \(\cos^{-1}(\cos(5\pi))\) k) \(\cos^{-1}(\cos(10\pi/9))\) l) \(\cos^{-1}(\cos(-3\pi/14))\)

  4. arccos(0) n) \(\cos(\arccos(e/\pi))\) o) \(\cos(\arccos(\pi/e))\) p) \(\arccos(\cos(39\pi/20))\)

逆正弦和逆正切

练习24显示要定义逆正弦，我们需要以稍微不同的方式限制其范围。当我们这样做时，我们也将定义逆正切。

定义。

\(\sin^{-1} x\)是范围\([-\pi/2, \pi/2]\)中正弦为\(x\)的数字。

\(\tan^{-1} x\)是范围\([-\pi/2, \pi/2]\)中正切为\(x\)的数字。

正如你可能猜到的，\(\sin^{-1} x\)和\(\tan^{-1} x\)也有时写成\(\arcsin x\)和\(\arctan x\)。有了上面的定义，你将准备好在微积分中使用逆三角函数，在那里它们自然出现在非三角函数的 antiderivatives 中。

至于倒数三角函数的反函数，可以定义它们，但没有人费心。它们很少使用，以至于甚至没有限制它们范围的约定。而且，它们甚至不在大多数计算器上出现。

练习

  1. 解释为什么在\([-\pi/2, \pi/2]\)中有一个唯一的角其正弦为0.7734。[比较练习24。]

  2. 判断对错：对于正弦范围内的每个\(r\)，在\(\left[-\pi/2, \pi/2\right]\)中有一个唯一的角其正弦为\(r\)。

  3. 解释为什么在\([-\pi/2, \pi/2]\)中有一个唯一的角其正切为-0.889。

  4. 判断对错：对于正切范围内的每个\(r\)，在\([-\pi/2, \pi/2]\)中有一个唯一的角其正切为\(r\)。

  5. 判断对错。（解释你的答案。）

  1. \(\tan^{-1}(1)=5\pi/4\)，因为\(\tan(5\pi/4)=1\)。 b) \(\sin^{-1}(2)\)未定义。 c) \(\tan^{-1}(2)\)未定义。 d) \(\sin^{-1}(\pi)=0\)。 e) \(\sin\pi=0\)。 f) \(\sin^{-1}0=\pi\)。 g) \(\sin^{-1}0=0\)。 h) \(\sin^{-1}(\tan(\pi/4))=\pi/2\)。 i) \(\tan(\tan^{-1}(123456789))=123456789\)。 j) \(\tan^{-1}(\tan(123456789))=123456789\)。
  1. 求精确值……
  1. \(\tan^{-1}(1)\) b) \(\arctan(-1)\) c) \(\tan^{-1}(0)\) d) \(\sin^{-1}(-1/2)\) e) \(\arcsin(\sqrt{3}/2)\) f) \(\sin^{-1}(\sin^{2}(\pi/5)+\cos^{2}(\pi/5))\) g) \(\sin^{-1}(-\sqrt{3}/2)\) h) \(\tan^{-1}(\tan(3\pi))\) i) \(\arcsin(-1)\) j) \(\tan^{-1}(\sin(7\pi/2))\) k) \(\sin^{-1}(\sin(10\pi/9))\) l) \(\tan^{-1}(\tan(-3\pi/14))\)

  1. 逆正切是你可能遇到的唯一逆三角函数图像。通过仔细思考这个函数的定义来画它的图像。[提示：思考。逆正切的定义域是什么？这个函数对零做什么？对大的正输入？对大的负输入？等等。]

  2. 逆正切是奇函数、偶函数还是都不是？解释你的答案。

  3. 逆正弦是奇函数、偶函数还是都不是？解释你的答案。

  4. 如果我们也可以将逆余弦的范围限制为\([-\pi/2, \pi/2]\)，所有三个逆三角函数将有相同的范围，生活会更容易一些。解释为什么我们不能这样做。

  5. 在微积分中，你会遇到这个泰勒级数展开：\(\tan^{-1}x = x - (x^{3}/3) + (x^{5}/5) - (x^{7}/7) + (x^{9}/9) - \cdots\) 设\(x = 1\)得出这个神秘的方程

\[\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\frac{1}{15}+\cdots,\]

通过无穷级数将\(\pi\)与奇数联系起来。沉思这个。

解三角方程

三角函数是周期性的，所以包含它们的方程通常有无穷多个解。解这样的方程，技巧是找到在单位圆一圈中出现的所有解。（通常会有一个有限的数字。）一旦找到了这些，由于三角函数的周期性，找到其他的就容易了。如果你在单位圆上可视化一切，就会一切顺利。

例题1。 解方程\(2 \sin \theta = \sqrt{3}\)。

解。 这等价于\(\sin\theta=\sqrt{3}/2\)。在绕圆一圈的过程中（当\(\theta\)从0到\(2\pi\)运行时），我们将正好遇到这个方程的两个解，如图所示。当然，我们知道这两个解是什么：\(\pi/3\)和它的补角\(2\pi/3\)。

然而，每个解都对应无穷多个其他的。例如，不仅\(\pi/3\)是一个解，\(({\pi/3})+2\pi\)、\(({\pi/3})-2\pi\)、\(({\pi/3})+4\pi\)、\(({\pi/3})-4\pi\)也是解，一般来说，\(({\pi/3})+2\pi k\)对任何整数\(k\)成立。自然地，这在\(2\pi/3\)处也发生。

因此，我们原始方程的完整解集是：

\(({\pi/3}) + 2\pi k\)对所有整数\(k\)，和

\((2\pi/3)+2\pi k\)对所有整数\(k\)。

一些三角方程需要一些初步的代数，如在以下例子中。

例题2。 解方程\(2 \cos^{2} \phi = \sqrt{2} \cos \phi\)。

解。 作为聪明的代数学家，我们不将两边除以\(\cos\phi\)，以免失去珍贵的解。相反，我们将一切移到一边，然后因式分解出\(\cos\phi\)得到

\[\cos\phi\left(2\cos\phi-\sqrt{2}\right)=0.\]

要解这个，我们必须找到使左边每个因子等于零的值。

首先，让我们确定使第一个因子\(\cos\phi\)等于零的值。在绕圆一圈的过程中，\(\cos\phi = 0\)显然有两个解：\(\pi/2\)和\(3\pi/2\)。这些每个都产生无穷多的解。通过可视化它们在单位圆上的位置，我们可以统一描述它们：\(\phi = \pi/2 + \pi k\)对所有整数\(k\)。

接下来，我们必须确定使第二个因子等于零的值。嗯，\(2 \cos \phi - \sqrt{2} = 0\)等价于\(\cos \phi = \sqrt{2}/2\)，它在绕圆一圈中的解当然是\(\pm \pi/4\)。因此，通过余弦的周期性，我们刚刚找到了更多我们方程的解：\(\pm (\pi/4) + 2\pi k\)对所有整数\(k\)。

总结，我们原始方程的解是

\[\begin{aligned}&\pi/2+\pi k for all integers k,and\\ &\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k for all integers k.\\ \end{aligned}\]

当我们遇到三角函数其参数本身就是我们试图求解的未知的函数时，替换有时可以帮助，如在下一个例子中。

例题4。 解\(\cos(5\theta) = -1/2\)。

解。 设\(u = 5\theta\)得到\(\cos u = -1/2\)，其解是

\[u = \left( \frac{2\pi}{3} \right) + 2\pi k \quad and \quad u = \left( \frac{4\pi}{3} \right) + 2\pi k, for all integers k.\]

转换回\(\theta\)，这些变成

\[5\theta = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \quad and \quad 5\theta = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, for all integers k.\]

将每个方程两边除以5求\(\theta\)，我们得到原始方程的解：

\[\frac{2\pi}{15}+\frac{2\pi}{5}\boldsymbol{k}\mathrm{~a n d~}\]

\[\frac{4\pi}{15}+\frac{2\pi}{5}k, for all integers k.\]

好好学习这些例子。他们的技术可以组合和变化。

练习

  1. \(({\pi/3})-18\pi\)是例题1中方程的解吗？如果不是，为什么不是？如果是，它如何在例题末尾列出的粗体解集中 accounted for？

  2. Fandor和Juve独立解方程\(\sin\theta=-1/2\)并比较他们的解。Fandor担心他的答案\(\theta=-(\pi/6)+2\pi k\)（对所有整数k）一定是错误的，因为它与Juve的答案\(\theta=(11\pi/6)+2\pi k\)（对所有整数k）不同，而Juve永远不会错。Fandor的答案正确吗？Juve的呢？

  3. 找出以下方程的所有解：

  1. \(\sin\theta = -1\) b) \(\cos\theta = 1/\sqrt{2}\) c) \(\tan\theta = 1\) d) \(\sin(2\theta) = \cos\theta\) e) \(\tan(7x) = -1\) f) \(\sin\phi = \tan\phi\) g) \(2 - 2\sin x = 3\) h) \(\tan\alpha + \cot\alpha = 2\) i) \(\cos(2\theta) + \cos\theta = 0\)
  1. 找出以下方程在区间\([0, 4\pi]\)中的所有解：

  1. \(\cos(3x + \pi) = 1\) b) \(\sin \beta = \cos \beta\) c) \(\sin \gamma + \cos \gamma = 1\) [提示：两边平方。*]

  2. \(\cos^{2}(3x)-5\cos(3x)+4=0\) [提示：思考例题3。]

    1. 验证以下\(\sin 18^{\circ}\)精确值的推导中的每一步。

主张。 \(\sin(18^{\circ})=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\)。

证明。 一方面，\(\sin(72^{\circ}) = 2 \sin(36^{\circ}) \cos(36^{\circ}) = 4 \sin(18^{\circ}) \cos(18^{\circ}) [\cos^{2}(18^{\circ}) - \sin^{2}(18^{\circ})] = 4 \sin(18^{\circ}) \cos(18^{\circ}) [1 - 2 \sin^{2}(18^{\circ})]\)。

另一方面，\(\sin(72^{\circ})=\cos(18^{\circ})\)。

将我们为\(\sin(72°)\)找到的两个表达式相等，然后简化得出

\[1=4\sin(18^{\circ})\left[1-2\sin^{2}(18^{\circ})\right].\]

因此，\(\sin(18^{\circ})\)是满足\(1 = 4x(1 - 2x^{2})\)的立方方程的解。

这个立方方程等价于\((1 - 2x)(4x^{2} + 2x - 1) = 0\)，其解为

\[x=\frac{1}{2},\quad\frac{-1+\sqrt{5}}{4},\quad and\quad\frac{-1-\sqrt{5}}{4},\]

其中一个必须等于\(\sin(18^{\circ})\)。

由于\(\sin(18^{\circ})\)不能是第一个或最后一个，我们得出结论\(\sin(18^{\circ})=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\)。

  1. 画一个斜边为4的直角三角形，其一个角为\(18^{\circ}\)。使用它和A部分的结果求\(\cos 18^{\circ}\)和\(\tan 18^{\circ}\)的值。然后求它们在\(72^{\circ}\)的值。

  2. 使用你在练习19中找到的半角公式求\(\sin 9^{\circ}\)的精确表达式。

  3. 使用\(6 = 15 - 9\)和正弦的减法恒等式精确求\(\sin 6^{\circ}\)。

  4. 精确求\(\sin 3^{\circ}\)。\(^{\dagger}\)

  5. 在第9章的练习39中，你用几何方法找到了\(\sin 18^{\circ}\)。比较两个论证。

选定的练习答案