第1章 - 分数及其他
第1章：分数及其他
神圣的整数，麻烦的分数
上帝创造了整数。其余的都是人类的杰作。
—— Leopold Kronecker
深深嵌入西方文化中的故事暗示着一种古老的过去，当时计数是一种魔法形式，是只有人类才能拥有的神圣特权。宙斯，希腊众神中最强大的，因普罗米修斯将神的知识——火——赐予人类而残酷地惩罚他，在埃斯库罗斯的版本中，还惩罚了他数字的知识。耶和华，古希伯来人的”忌邪的神”，因大卫王数点了他的人而杀死7万人，促使大卫悲叹道：“我犯了罪，行了恶。但这些羊有什么过错？”别管那些羊了；大卫做了什么？他数点了他的人（撒母耳记下24章）。
今天，计数很少引发神圣的报应，但围绕整数 \((1,2,3,4\ldots)\) 的神奇光环仍然强大：我们数羊（不是大卫的）作为克服失眠的符咒，我们”深吸一口气，数到10”作为消除愤怒或焦虑的咒语，我们在1到10的伪科学量表上评价书籍、电影，甚至疼痛。整数触动了我们内心深处的东西。唉，分数却不能。
如果整数对应于神圣的计数活动，那么分数——那些破碎的、过于人类的数字——则对应于世俗的、有用的测量活动。众神似乎并不特别关心阻止人们使用分数，这对科学的进步是幸运的。
太多的学生微积分不及格。他们不及格不是因为微积分困难（实际上并非如此），而是因为他们在代数方面有困难。通常，他们的代数基础从算术开始就有裂缝，特别是分数的算术。要理解微积分，必须理解代数；要理解代数，必须理解算术。因此，在本章中，我们将回顾一些基本的代数和算术知识，强调为什么操纵数字和代数符号的规则是这样的。
理解这些规则为什么成立与理解如何应用它们同样重要。找一本1000页的微积分书来翻翻。感受一下它的分量。仅仅记忆算法是不够的，除非是作为临时权宜之计。真正学习数学的唯一方法是理解它。
在柏拉图的《美诺篇》中，苏格拉底区分了知识和单纯的意见。就我们的目的而言，“真意见”对应于正确记忆的数学规则。苏格拉底说：“只要真意见保持不变，它们就是好东西，能给我们带来很大的帮助。只是它们往往不会在人的灵魂中停留太久。它们总是从一个人身边溜走。所以除非你通过弄清楚是什么使它们为真来束缚它们，否则它们不太有价值。”
不要满足于真意见。要努力追求知识。
在本章中，我们将同时复习数值分数和代数分数。为了为代数分数方面奠定一些基本基础，在到达分数本身之前，我们需要花几页来讨论一些基本的代数思想，全部基于一个核心性质：即所谓的”分配律”。
分配律
分配律（更准确地说，是”乘法对加法的分配律”）是这样一个事实：将某物乘以一个和，等同于将该物分别乘以和中的每一项，然后相加。例如，分配律告诉我们
\[5(7+10)=(5\cdot7)+(5\cdot10)\quad 和\quad(b+c+d)a=ab+ac+ad。\]
当用文字描述这种运算时，我们说”分配5”（或a）到和上。减法只是一种特殊的加法（加上一个负数），所以我们也可以将乘法分配到减法上。因此，分配律保证
\[(x-y-w)z=xz-yz-wz\qquad 和\qquad2a(a-b+c)=2a^{2}-2ab+2ac。\]
分配律是建立在许多代数基础之上的，你将在接下来的几页中看到。它也证明了一些简单的心算技巧是合理的，你将在下面的练习中看到。
练习
- 为了直观理解分配律，考虑右边的图形。
整个图形的面积等于它所包含的两个矩形面积之和。
将前一句重写为涉及a、b和c的代数方程。
[提示：整个图形的高度是a。整个图形的宽度是什么？]
- 考虑以下心算技巧：
32乘以7是多少？
让我们想想，32个7是30个7加上2个7。
嗯，30个7是210，2个7是14。
因此，32乘以7一定是210加14，即224。
解释分配律是如何悄悄出现在这个计算中的。
使用练习2中的技巧，心算：\(64 \cdot 5\), \(82 \cdot 4\), \(39 \cdot 9\), \(6 \cdot 42\)。
人们可以这样心算15%的小费：
15%的32美元是多少？
嗯，32美元的10%是3.20美元。
其中一半（即整体的5%）是1.60美元，
所以15%的小费是3.20美元 + 1.60美元 = 4.80美元。
解释分配律在这里也是如何发挥作用的。
心算以下金额的15%：28美元、50美元、72美元、90美元。
学生有时会对分配过于热心，尝试在不能分配的地方进行分配。例如，我们不能将乘法分配到乘法上。要了解为什么，找一个反例。也就是说，找特定的数字a、b、c，使得表达式\(a(b \cdot c)\)不等于\(ab \cdot ac\)。
现在想出一些具体的反例来证明
指数不能分配到加法上。（即\((a + b)^{n} \neq a^{n} + b^{n}\)。）
平方根不能分配到加法上。（即\(\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\)。）
故事的寓意：乘法可以分配到加法，但不是所有东西都可以分配到加法！
FOIL再次（分配律的赞美，第一部分）
在你第一节代数课的早期，你学会了如何乘两个”二项式”。也就是说，你学会了如何将\((a + b)(c + d)\)展开成\(ac + ad + bc + bd\)的形式。大多数代数老师用首字母缩写FOIL（First, Outside, Inside, Last）来总结这个过程的步骤。这个缩写太常见了，以至于它成了一个动词，比如”当我们展开时，我们得到…“。
所有代数学生都知道如何”FOIL”，但令人惊讶的是，很少有人知道它为什么有效。这是一个遗憾，因为解释很简单。它只涉及分配律。关键是我们可以在方便的时候将二项式视为一个单一的实体来分配。为了强调这个想法，当我想强调它的单一性质时，我会把二项式放在灰色框中。仔细看：
\[(a+b)(c+d)=(a+b)(c+d)=(a+b)c+(a+b)d=ac+bc+ad+bd\]
\[(分配"框"，(a+b))(分配c，也分配d)\]
因此，在幕后，神秘的”FOIL”运算只是多次执行分配律的简写。如果你理解这一点，你可以轻松地弄清楚如何乘两个三项式、三个二项式等，而不需要等待有人把新的缩写灌进你的脑子里。
练习
向别人解释为什么”FOIL”规则只是分配律的一个推论。
你可能知道代数表达式\(3x^{2} + 4x^{2}\)可以重写为\(7x^{2}\)。但为什么这是允许的？它可能感觉很明显，但感觉不是解释。毕竟，别人可能觉得\((3x^{2})(4x^{2})\)应该是\(12x^{2}\)，这完全是错误的。（因子不在乎你的感觉。）实际上，\(3x^{2} + 4x^{2}\)等于\(7x^{2}\)是因为分配律。解释为什么。
[提示：这需要一些技巧。从\(3x^{2} + 4x^{2}\)中”反分配”某东西试试。]
- 在复习一些代数时，以扫遇到表达式\(x^{2}x^{3}\)。“哦，我想我知道如何简化它，”以扫说。“你只要把指数相乘，它就变成\(x^{6}\)，对吧？”雅各从美味的红炖菜抬起头来，对他的兄弟咧嘴一笑，回答说：“我不这么认为。你应该把指数相加，以扫。你应该得到\(x^{5}\)。”以扫开始改变他的答案，但然后犹豫说：“你总是耍我，雅各。你现在在耍我吗？”雅各回答说：“也许。也许不是。”
雅各给以扫的正确答案是多少？
不要满足于真意见。把它变成知识：解释为什么正确的答案是正确的。
简化以下每一个：\(x^{3}x^{3}\), \(xx^{4}\), \(x^{4}x^{6}\), \((2x^{2})(3x^{4})\), \((-3x^{3})(2x)(5x)\)。
- 使用分配律（或等价的地，在适当时使用FOIL）乘以下多项式。
\((3x-7)(2x+4)\)
\((-x^{4}+3)(-2x^{2}+6x-1)\)
\((-x+2)(-2x-3)\)
\((x^{2}-2x+3)(-x^{2}+2x-7)\)
\((x^{3}+x^{2}-x+1)(-x^{3}+x)\)
\((x+1)(x+2)(x+3)\)
[提示：一次一步。先做\((x + 1)(x + 2)\)。然后将结果乘以\((x + 3)\)。]
\((x-1)(x^{3}+x^{2}+x+1)\)
\((x-1)(x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)\)
\((x - 1)(x^{99} + x^{98} + x^{97} + \cdots + x^{3} + x^{2} + x + 1)\)。（“…”表示模式继续。）
因式分解多项式（分配律的赞美，第二部分）
“因式分解”不过是分配的反向（或像我在练习9中称呼它的”反分配”）。例如，为什么\(3x^{2} + 6x - 18 = 3(x^{2} + 2x - 6)\)成立？如果你从右到左读这个方程，你会看到为什么：正是这老旧的分配律证明了那个等号。
你可能见过（并忘记了）“平方差”公式，\(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\)。从左到右读，它有些神秘。是什么让这个奇怪的因式分解公式成立？我们为什么要相信它？好吧，如果我们从右到左读，我们看到我们如何证明它是真的。我们只需要将右边的因子相乘，看看是否得到左边的表达式。我现在做这个，当我们把它作为一个块来考虑时，把二项式放在灰色框中。
命题。\(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\)对所有a和b成立。
证明。\((a-b)(a+b)=(a-b)(a+b)=(a-b)a+(a-b)b=a^{2}-ab+ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}\)，如所证。
注意证明是如何归结为分配律的三次应用——没有别的。说平方差公式因为分配律而成立一点也不夸张。实际上，平方差公式只是因式分解冰山一角。每个多项式因式分解都可以通过”从右到左读”来证明，乘以因子，并验证结果是原始多项式。由于乘以这些因子，如我们所看到的，只是反复分配的问题，因此整个因式分解多项式的主题都由不起眼的分配律证明。这里没有深奥的东西。
大多数代数教科书让它看起来像因式分解多项式是一个复杂的过程。其实不是。你曾经需要手工因式分解的几乎任何多项式都可以通过三个基本技巧中的一个（或一些组合）来解决：
从所有项中提出一个公共因子。
使用平方差公式。
做出（并检查）有根据的猜测，直到找到正确的组合。
前两个技巧完全是机械的，几乎不需要评论。这里有一个同时使用两个技巧的例子：
\[2x^{2}-32=2(x^{2}-16)=2(x-4)(x+4)。\]
没什么难的：我们提取了2，注意其中一个结果是平方差，因此应用了平方差公式。你应该把平方差公式记住，因为它太常用了。
第三个技巧，有根据的猜测，最适合形式为\(ax^{2} + bx + c\)的多项式。例如，假设我们想把\(x^{2} + x - 12\)因式分解。嗯，如果它可以因式分解，结果可能是这样的：\(x^{2} + x - 12 = (x - 12)(x - 1)\)。（我们把常数项留空以保持一些灵活性。）注意在右边放两个x是一种有根据的猜测；我们这样做是因为它们的乘积（FOIL的”F”）是\(x^{2}\)，与左边”目标多项式”的一项匹配。为了继续我们有根据的猜测，我们观察到，无论因子的常数项是什么，它们的乘积（FOIL的”L”）必须是-12以匹配目标多项式的常数项。有很多可能性，让我们选择一对乘积为12的数字来试试：\((x - 4)(x + 3)\)怎么样？这行吗？我们可以心算检查一下；这样做，我们发现我们最终得到了错误的x项：我们得到-x而不是+x。接近了，但不对。如果我们将正负的位置交换呢：\((x + 4)(x - 3)\)？快速检查表明这确实有效，所以我们的因式分解完成了：\(x^{2} + x - 12 = (x + 4)(x - 3)\)。这就是第三个技巧的全部。通过一些练习，你会在下面的练习中培养出良好猜测的直觉。
如你所见，有效地因式分解取决于能够在心内乘以二项式……这只是FOILing……这只是使用分配律。是的，它需要练习和耐心，但这里的一切都应该完全可理解的。
练习
证明\((a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab\)
证明\((a-b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\)
证明\((a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}\)
证明”立方差”公式：\(a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\)。
尽可能因式分解以下多项式。
\(x^{2} + 6x + 8\)
\(x^{2} - 100\)
\(10x^{2} + 5x\)
\(x^{2} - 7x + 10\)
\(3x^{2} - 3x - 6\)
\(x^{2} - 25\)
\(-4x^{2} - 32x - 64\)
\(-15x^{2} - 30x + 45\)
\(x^{4} - 16\) [提示：\(x^{4} = (x^{2})^{2}\)]
\(9x^{2} - 4\) [提示：第一项是一个平方。]
\(81x^{8} - 1\)
\(2x^{2} + 5x + 2\) [提示：\((2x - 3)(x - 3)\)]
\(3x^{2} - 8x - 3\)
\(4x^{2} - 4x - 3\)
- 你在练习12和13中证明的代数恒等式使用得非常频繁，你应该记住它们。从现在开始，每当你需要对一个二项式求平方时，你应该直接应用这些恒等式；不要每次都重新发明轮子。例如，要展开\((x + 3)^{2}\)，你不应该”展开它”（即使这样做当然会得到正确的展开）。相反，你应该心算应用恒等式，这让你可以直接写出\((x + 3)^{2} = x^{2} + 9 + 6x\)。
，本着这种精神，快速展开以下：
\((x + 5)^{2}\)
\((x - 5)^{2}\)
\((x+11)^{2}\)
\((2x+1)^{2}\)
\((x-12)^{2}\)
\((3x-2)^{2}\)
\(\left(a+\sqrt{2}\right)^{2}\) [提示：\(\sqrt{2}\)，根据定义，是平方为2的数，所以\(\left(\sqrt{2}\right)^{2}\)的值必须是…]
\(\left(a-\sqrt{2}\right)^{2}\)
\((2x+1/2)^{2}\)
\((2a+3b)^{2}\)
\(\left(\sqrt{x}-1\right)^{2}\)
为什么负乘负得正（分配律的赞美，第三部分）
负乘负得正。
原因我们不需要讨论。
——匿名女士
大多数处理负数的规则，如果我们都用借方和贷方的角度来思考，就很容易理解。\((-1)(1)\)应该是-1是显而易见的：一次招致1的借方显然是1的借方。同样，\(-1 + 1 = 0\)也是显而易见的：将1的贷方加到1的借方上，结果是净值为0。
但为什么\((-1)(-1)\)应该是1呢？存在一个”借方和贷方理由”，但不是一个很好的理由。一个更好的论证——当然也是一个更有艺术性的论证——建立在分配律上。
命题1。\((-1)(-1)=1\)。
证明。我们将以神圣的方式开始证明，从无中创造一些东西。
\(\mathbf{0}=(-1)(0)=(-1)(-1+1)=(-1)(-1)+(-1)(1)=(-\mathbf{1})(-\mathbf{1})-\mathbf{1}.^{\dagger}\)
我们已经确定\(0 = (-1)(-1) - 1\)。因此，无论\((-1)(-1)\)是多少，我们已经推断出减去1后得到零。显然，唯一具有这个性质的数字是1，所以\((-1)(-1) = 1\)，如所证。
由于每个负数都可以写成\((-1)\)乘以一个正数，例如，
\((-2)(-3)=(-1)(2)(-1)(3)=(2)(3)(-1)(-1)=(2)(3)\)，
其中最后一个等号由命题1证明。如果我们想写一个涵盖任意两个负数乘积的正式证明，可以如下进行。
命题2。（负乘负总是得正。）对于任何a和b，\((-a)(-b) = ab\)。
证明。设-a和-b表示任意两个负数。那么
\((-a)(-b)=(-1)(a)(-1)(b)=ab(-1)(-1)=ab\)。
最后一个等号由命题1证明。
恭喜。你现在是知道为什么负乘负得正的少数精英之一。现在我相信你已经相信了分配律的根本重要性，它除了其他作用外，还让我们能够快速心算，解释为什么我们可以乘以和因式分解多项式，并帮助我们理解为什么负乘负得正。我不会再详细讨论它了。它总是在那里，平稳地在幕后运作。学习数学思维的过程的一部分是培养对简单数学思想如何产生巨大逻辑后果的欣赏。当你把注意力转向分数时，你很快就会有另一个机会。但首先，一些练习。
练习
- 现在你可以理解如何进行负数除法，前提是你理解除法本身。
快速回顾：\(10 \div 5\)是5”进入”10的次数。换句话说，\(10 \div 5\)问：“5乘以什么得到10？”答案显然是2。类似地，\(8 \div (-4)\)问多少次\((-4)\)进入8；换句话说，“-4乘以什么得到8？”当然，答案是-2。
解释为什么\((-8) \div (-4)\)是2。
说服自己负除以负总是得正。
解释为什么\(9 \div (-3)\)是-3。
说服自己正除以负总是得负。
那负除以正呢？
解释为什么\(10 \div (1/3) = 30\)。
表达式-8/2、8/-2和-(8/2)都相等，对吧？（“当然！”你喊道，“它们都是-4！”）那么3/-5、-3/5和-(3/5)呢？它们也都相等？（“当然，”我听到你叫道，“每个都是-0.6。”）让我们直接用代数方式表达：
表达式-a/b、a/-b和-(a/b)是相等的，不管a和b是什么。
说服自己这是真的。
你能把一个非零数除以零吗？如果能，结果是什么？如果不能，为什么？
你能把零除以一个非零数吗？如果能，结果是什么？如果不能，为什么？
0/0呢？
向朋友解释为什么负乘负得正。
分数：两个直觉规则导致所有其他规则
任何傻瓜都可以知道。关键是理解。
——阿尔伯特·爱因斯坦
我们将从分数的学习开始一个观察：取一个派的2/5和取1/5两次得到的甜点量是一样的。或者，用符号翻译这个陈述，
\[\frac{2}{5}=2\left(\frac{1}{5}\right)。\]
当然，在最后一个例子中，2或5没有什么特别的。我们同样可以注意到一个派的7/8等于1/8取七次，所以\(7/8 = 7(1/8)\)。代数，模式的科学，允许我们如下描述我们在这里看到的模式。
直觉分数规则1：
\[\frac{a}{b}=a\left(\frac{1}{b}\right)\]
现在看第二个观察。既然10个十分之一构成一个整体，将每个十分之一切成三份会给我们30个相等部分。因此，十分之一的每个三分之一正好是整体的1/30。或者，用符号表示，
\[\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{10}\right)=\frac{1}{30}。\]
类似地，一半的八分之一一定是十六分之一，所以\((1/8)(1/2)=1/16\)。这里的代数模式是：
直觉分数规则2：
\[\left(\frac{1}{a}\right)\left(\frac{1}{b}\right)=\frac{1}{ab}\]
我们将接受我们的两个”直觉分数规则”对a和b的所有值都成立作为公理。
现在是一个惊喜：在接下来的几页中，我们将看到分数算术的每个方面——那个让这么多人困惑的主题——都从这两个简单的规则逻辑地推出！这应该会鼓励那些觉得分数令人困惑的人。一路上，我们也会澄清相当多的代数知识。
练习
- 示巴女王用谜语测试所罗门：“哦伟大的王，我们都知道乘分数的规则：乘分子和乘分母。例如，\((2/3)(4/5) = 8/15\)。”所罗门睿智地点点头。“但为什么是这样？我土地上的人只说这是神的旨意，但我被告知，作为一个凡人，你知道解释。好王啊，它是什么？”
所罗门开始解释两个直觉分数规则，女王允许它们相当直观。然后他继续向她展示为什么\((2/3)(4/5)\)一定是8/15，因为这两个规则。
你的问题：解释所罗门是如何做到的。
乘法和简化分数
从两个直觉分数规则，我们可以完全解释众所周知的分数乘法规则。（如果，你已经解决了练习24，你基本上已经自己发现了这一点。）
分数乘法规则。
要乘分数，我们乘分子和乘分母。或者用符号，
\[\frac{\boldsymbol{a}}{\boldsymbol{b}}\cdot\frac{\boldsymbol{c}}{\boldsymbol{d}}=\frac{\boldsymbol{a}\boldsymbol{c}}{\boldsymbol{b}\boldsymbol{d}}\]
证明。\(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=a\left(\frac{1}{b}\right)c\left(\frac{1}{d}\right)\quad(应用直觉分数规则1)=ac\left(\frac{1}{b}\right)\left(\frac{1}{d}\right)\quad(重新排序乘法)=ac\left(\frac{1}{bd}\right)\quad(直觉分数规则2)=\frac{ac}{bd}\quad(直觉分数规则1^{*})\)
因此，例如，\((6/7)(2/3) = 12/21\)。你也可能知道12/21可以简化成4/7。但你能解释为什么我们可以从它的分子和分母中移除那个公共因子3吗？这不是一个无聊的问题。不理解为什么数值分数可以简化（即使他们知道怎么做）的人往往会在下一步的类似代数操作中出错，我们将在下一节讨论。
我们通过去掉分子和分母的公共因子来”简化”一个分数。一个例子将准确显示为什么我们可以这样做：
\[\frac{12}{21}=\frac{4\cdot3}{7\cdot3}=\frac{4}{7}\cdot\frac{3}{3}=\frac{4}{7}\cdot\mathbf{1}=\frac{4}{7}.\]
因此，简化分数实际上只是消除一个隐藏的1的因子。非常简单。
练习
简化以下分数：\(\frac{36}{48}\), \(\frac{14}{42}\), \(\frac{98}{100}\)。
心算简化\(\frac{208 \cdot 144}{12 \cdot 104}\)，不要先计算\(208 \cdot 144\)或\(12 \cdot 104\)。在你的工作中证明每一步。
[提示：将上面的一些大数字分解成更简单的因子；当你这样做时，你会发现分子和分母有一些公共因子。一旦你移除了它们，你就能够更舒适地进行。]
- 解释为什么\(a\left(\frac{b}{c}\right)=\frac{ab}{c}\)。（这是另一个我们经常使用而不思考的代数事实。）
在分数线上下一约
愿酒吧没有呻吟，
当我出海时。
——阿尔弗雷德·丁尼生勋爵，《穿越酒吧》
每个人都知道我们可以通过取消一些a来简化\((ab + a)/a\)，但不是每个人都知道为什么。因此，许多学生产生诸如ab或\(b + a\)这样的错误”简化”。真正理解代数的人永远不会犯这样的错误，因为他们知道约分不过是丢弃一个隐藏的1的因子。这里的逻辑与简化普通数值分数时相同。
例。简化\(\frac{ab + a}{a}\)。
解。
\[\frac{ab+a}{a}=\frac{a(b+1)}{a}\]
（从分子中提取a）
\[=\frac{a}{a}\cdot\frac{b+1}{1}\]
（通过分数乘法规则）
\[=b+1。\]
（因为a/a=1）
我重复：在分数线上下”约分”仅仅是丢弃一个隐藏的1的因子的简写。你必须彻底理解这一点。每当你被诱惑从分数线的上面和下面”约掉”什么东西时，只需问你自己你是否可以将它作为一个1的因子分离出来。如果可以，你可以约；如果不能，你就不能约。这就是全部。
“在分数线上下一约”
如果分数的分子和分母有公共因子，你可以从两边”约掉”它。
在任何其他情况下，你不能在分数线上下一约。
你在其他情况下不能约分只是因为没有逻辑理由支持。数学是由逻辑证明的，即使”数学”常常是由老师的权威证明的。
练习
- 上面框中的关键词是因子。为了避免任何混淆，请回忆一下
k被称为代数表达式的因子，如果表达式可以写成\(k \times (\text{某物})\)的形式。[例如，\(3x^{2}\)是\(6x^{3}y^{2}\)的因子，因为我们可以将后者写成\(3x^{2}(2xy^{2})\)。]
\(2a^{2}b^{2}\)是\(4a^{2}b^{2}-18a^{5}b^{3}\)的因子吗？如果是，解释为什么。如果没有，解释为什么。
为代数表达式的项提供一个类似于上面因子定义的定义。
我们可以从分数的分子和分母中约掉公共项吗？如果可以，为什么？如果不能，给出一个反例。
尽可能简化以下表达式：
\[\frac{a^{2}b}{ab^{2}},\]
\[\frac{3x+3xy}{6xyz},\]
\[\frac{5a}{5a+10b-15c},\]
\[\frac{c^{2}-d^{2}}{c-d}.\]
- 一个好的数学笑话：\(\frac{16}{64} = \frac{1}{4}\)。讨论一下。
旧的和1相乘的技巧
要简化一个分数，我们去掉一个1的因子。令人惊讶的是，引入一个1的因子也可能有用。将一个分数乘以一个巧妙伪装的1可以保持分数的值但改变其形式为更方便的东西。我称之为”旧的和1相乘的技巧”。它很好地捕捉了代数的精神。
这里有一个它起作用的简单例子：3/5是多少个二十分之一？为了回答这个问题，我们观察到将分数的分母乘以4会将其变为20，这正是我们想要的。好消息：如果我们也把分子乘以4，我们就能得到我们想要的，因为净效应是将分数乘以1，这保持其值。因此，
\[\frac{3}{5}=\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{4}=\frac{12}{20}\]
这就是旧的和1相乘的技巧。现在让我们在一个更实质性的应用中看到它。
分数除法
你不需要奇怪为什么，
只需倒数相乘。
——匿名先生
每个人都知道除以分数的规则，但很少有人知道为什么它有效。然而，如果你理解旧的和1相乘的技巧，解释就很简单。在下面的证明中注意看它。
分数除法规则。
要除以一个分数，我们”倒数相乘”。或者用符号，
\[\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}\]
证明。
（旧的和1相乘的技巧）
\[\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\cdot\frac{\frac{d}{c}}{\frac{d}{c}}=\frac{\frac{ad}{bc}}{1}=\frac{ad}{bc}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}\]
（分数乘法规则）
（除以1不起作用）
（分数乘法规则）
证明了定理之后，让我们考虑一个典型的代数例子，我们可以应用它。
问题。简化\(\frac{\frac{a^{2}-b^{2}}{c}}{\frac{a-b}{c^{2}}}\)。
解。
\[\frac{\frac{a^{2}-b^{2}}{c}}{\frac{a-b}{c^{2}}}=\frac{a^{2}-b^{2}}{c}\cdot\frac{c^{2}}{a-b}\quad(倒数相乘)=\frac{(a^{2}-b^{2})c^{2}}{c(a-b)}\quad(分数乘法规则)=\frac{(a^{2}-b^{2})c}{(a-b)}\quad(从上下约掉c的因子)=\frac{(a-b)(a+b)c}{(a-b)}\quad(因式分解平方差)=(a+b)c\quad(从上下约掉(a-b)的因子)。\]
注意我们解中每一步都是由我们之前确立其有效性的东西证明的。因此，如果你理解了我们到目前为止所做的所有事情，这样的问题应该不会造成真正的困难。
练习
- 对还是错？解释为什么每个真陈述是真的：
\(\frac{3a+a^{2}}{3a}=1+a^{2}\) b) \(\frac{3a+a^{2}}{3a}=\frac{3+a}{3}\) c) \(\frac{6a+6+12}{6}=a+3\) d) \(\frac{2x+5}{10}=\frac{x+5}{5}\)
\(\frac{9-x^{2}}{x^{2}+3x}=\frac{3-x}{x}\) f) \(\frac{4}{12x+8}=\frac{1}{3x+2}\) g) \(\frac{2b+3c+4d}{2b+5a}=\frac{3c+4d}{5a}\) h) \(\frac{2b+5a}{2b+3c+4d}=\frac{5a}{3c+4d}\)
\(\frac{a^{2}b^{4}c^{19}}{ab^{3}c^{20}}=\frac{ab}{c}\) j) \(\frac{a^{2}b^{4}}{ab^{3}+ab}=\frac{ab^{3}}{b^{2}+1}\) k) \(\frac{(a+b)(c+d)}{ac+ad+bc+bd}=1\) l) \(\frac{3x-6ux}{9x^{2}-12ux}=\frac{1-2u}{3x-4u}\)
表达式\(n!\)（“n的阶乘”）表示前n个数的乘积。（例如\(4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\)。）你的问题：简化表达式\(98!/100!\)。
对还是错：\(\frac{\frac{a}{b}}{c} = \frac{a}{\frac{b}{c}}\)。[寓意：在这样的分数中，画一条分数线比另一条长是至关重要的。]
给定任意数字a，它的倒数定义为数字1/a。（例如，8的倒数是1/8。）有用的事实：要取一个分数的倒数，我们只需翻转分子和分母。（例如，2/3的倒数是3/2。）
证明前面的”有用事实”，记住它，每当这样的表达式出现时就使用它。
简化以下：\(\frac{1}{\frac{x}{y^{2}}}\), \(\frac{1}{\frac{2x+y}{42}}\), \(\frac{1}{\frac{1}{ab}}\), \(\frac{\frac{1}{b}}{c}\)。[最后一道小心。记住练习33。]
展示如何使用和1相乘的技巧将\(\frac{-2x}{x-1}\)写成更简洁的形式\(\frac{2x}{1-x}\)。
尽可能简化以下表达式：
a)\(\frac{x^{2}-4}{(x-4)(x+4)}\) b)\(\frac{x^{2}-16}{(x-4)(x+4)^{2}}\) c)\(\frac{\frac{x}{y}}{z}\) d)\(\frac{\frac{a+b}{c}}{d}\) e)\(\frac{\frac{a+b}{c}}{cd}\) f)\(\frac{\frac{a}{b}}{bd}\cdot\frac{b^{2}}{a^{2}}\) g)\(\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot10}{4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot10}\)
h)\(\frac{3a+2b}{9a^{2}-4b^{2}}\) i)\(\frac{3x^{2}-15x}{15x-3x^{2}}\) j)\(\left[\left(\frac{ab}{cd}\cdot\frac{ac}{bd}\right)\div\frac{d^{2}}{a^{2}}\right]\frac{a^{4}}{d^{2}}\) k)\(\frac{10x^{2}-10x-60}{5x+10}\) l)\(\frac{\frac{2x^{2}-3x-2}{2x+1}}{\frac{x-2}{5}}\).
（一个括号式的题外话（关于括号））
代数是广义算术：代数表达式表示未指定的数字。通常，我们可以从多个角度看待同一个表达式。考虑3d - c。我们可以将其视为一个数字\((3d - c)\)，或者两个数字\((3d\)和c)的差，或者三个数字\((3, d,\)和c)的组合。每当我们希望强调我们将代数表达式视为一个数字——一个单一的包——时，我们通过将其括在括号中来表示。
这就引出了本节简短部分的核心思想：
当我们组合代数表达式时，我们将每个表达式视为代表一个数字。因此，我们最初将每个单独表达式括在括号中。在后续步骤中，我们可以移除括号，前提是我们分配前面它们的任何负号或常数因子。
例如，如果我们想从\(2d + c\)中减去\(3d - c\)，我们形成差\((2d + c) - (3d - c)\)。第一组括号前面没有任何需要分配的东西，所以当我们简化时可以删除它们。但在移除第二组之前，我们必须分配那个麻烦的负号。执行这些简化，我们得到：
\((2d+c)-(3d-c)=2d+c-3d+c=2c-d\)。
不久之后，你将达到在研究中不再错误地省略括号的阶段。在那一点上，你将能够做很多心算，但在那之前，为了你自己，写出来。
给定一个稍微不同的减法，比如\((2d + c) - 5(3d - c)\)，我们不仅需要分配-1（也就是负号），还需要分配-5到第二组括号中的项。因此，我们有
\((2d+c)-5(3d-c)=2d+c-15d+5c\)。
当然，我在本节关于括号所写的一切都适用于其他分组符号，如括号，我们用来减轻诸如\([3a-(a+b)][(a-b)(a+b)]\)这样的表达式中的混乱。
练习
- 移除所有分组符号并简化：
a)\(-a-b)+(a+2b)\)
b)\(\left(2a+b+3c\right)-2(c-a+b)\)
c)\(3(a-b)-3(b-a)\)
d)\(\left(-2a-b\right)-\left[5a-\left(3a+3b\right)-\left(a-b\right)\right]\)
e)\(x-(x-y+z)+[x-y-(z+y+x)]\)
f)\(\ a-\left[a+\left(a-(a+a)\right)\right]-a\)
- 从\(-x^{2} + 5x + 1\)中减去\(2x^{2} + x - 1\)。
分数的加法和减法
要加（或减）具有相同分母的分数，我们只需加（或减）它们的分子，将结果放在它们的公共分母上。这一点甚至对 pizza-mad 学童来说也是清楚的：假设一个 pizza 被切成10等份。一个有一片（1/10的派）的孩子从不注意的同学那里偷了两片（整个的2/10），现在显然有整个派的3/10。
但如果分数有不同的分母呢？数学家生性懒惰，喜欢通过将新问题转化为我们已经知道如何解决的旧问题来解决。让我们懒惰：要加减不同分母的分数，我们将使用”和1相乘的技巧”将它们转换为具有相同分母的分数。这个公共分母需要是两个原始分母的倍数。下面是一个典型的例子：
问题。\(\frac{5}{6}-\frac{1}{10}\)。
解。我们需要一个是6和10的倍数的分母。最小的是30，所以我们将使用”和1相乘的技巧”将这些六分之一和十分之一转换为三十分之一：
\[\begin{aligned}\frac{5}{6}-\frac{1}{10}&=\left(\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{5}\right)-\left(\frac{1}{10}\cdot\frac{3}{3}\right)\quad(和1相乘的技巧)\\&=\frac{25}{30}-\frac{3}{30}\quad(通过分数乘法规则)\\&=\frac{22}{30}\quad(减去同分母分数)\\&=\frac{11}{15}\quad(简化分数)。\end{aligned}\]
如果你理解了一个数值例子，你就理解了所有的。我不会在这点上赘述。
代数是广义算术，所以数值分数的规则也适用于代数分数。例如，要减去具有相同分母的代数分数，我们只需减去它们的分子。但是，我们必须小心括号！
例1。从\(\frac{14d^{2}+2d+c}{c\sqrt{b}}\)中减去\(\frac{3d-c}{c\sqrt{b}}\)并简化结果（如果可能）。
解。
\[\frac{14d^{2}+2d+c}{c\sqrt{b}}-\frac{3d-c}{c\sqrt{b}}=\frac{\left(14d^{2}+2d+c\right)-\left(3d-c\right)}{c\sqrt{b}}\quad(注意括号！)=\frac{14d^{2}+2d+c-3d+c}{c\sqrt{b}}=\frac{14d^{2}-d+2c}{c\sqrt{b}}.\]
确保你理解第一步中的那些括号：当减去两个具有公共分母的分数时，新分子是两个原始分子的差；每个都是一个代数表达式，所以要减去它们，我们必须将每个视为一个单独的包。因此，我们必须将它们每个括在括号中。如果我们去掉了括号，我们最终会得到错误的分子，从而得到错误的答案。
要加减不同分母的代数分数，我们将使用——正如你所期望的——“和1相乘的技巧”给分数一个公共分母。例如，
例2。相加并简化：\(\frac{3}{2a^{2}b} + \frac{7}{6ab}\)。
解。对于公共分母，我们需要\(2a^{2}b\)和\(6ab\)的倍数。“最小”的这样的分母是\(6a^{2}b\)。使用”和1相乘的技巧”，我们将转换为这个新分母。
\[\begin{aligned}\frac{3}{2a^{2}b}+\frac{7}{6ab}&=\left(\frac{3}{2a^{2}b}\cdot\frac{3}{3}\right)+\left(\frac{7}{6ab}\cdot\frac{a}{a}\right)\quad(和1相乘的技巧)\\&=\frac{9}{6a^{2}b}+\frac{7a}{6a^{2}b}=\frac{9+7a}{6a^{2}b}\end{aligned}\]
在你舒适地加减不同分母的分数后，你不需要写每一步。实际上，我们通常将过程压缩如下：
分数加减规则。
我们按如下方式找到分母（所谓的”公共分母”）： 取给定分母的任意倍数。* 我们按如下方式找到分子： 将每个给定分子乘以将其分母变为公共分母的因子。这些乘积将成为新分子中的项。
如果我们用这个快捷加法规则重做前面的例子，我们会少写一些。以\(6a^{2}b\)作为我们的公共分母，加法规则很快告诉我们
\[\frac{3}{2a^{2}b}+\frac{7}{6ab}=\frac{3(3)+7(\boldsymbol{a})}{6a^{2}b}=\frac{9+7a}{6a^{2}b}.\]
初学者在减分数时经常犯错——通常是因为他们省略了必要的括号。减法时要特别小心。
例3。减去并简化：\(\frac{3}{x-5}-\frac{2x-1}{x+5}\)。
\[\begin{aligned}Solution.\ \frac{3}{x-5}-\frac{2x-1}{x+5}&=\frac{[3(x+5)]-[2x-1)(x-5)]}{(x-5)(x+5)}\quad(减法规则)\\&=\frac{[3x+15]-[2x^{2}-11x+5]}{(x-5)(x+5)}\quad(在括号内分配)\\&=\frac{3x+15-2x^{2}+11x-5}{x^{2}-25}\quad(分配一个负号；平方差)\\&=\frac{-2x^{2}+14x+10}{x^{2}-25}\quad(合并同类项)\end{aligned}\]
练习
仔细解释为什么\(\frac{7}{6} + \frac{3}{10} = \frac{22}{15}\)。
简化以下表达式。
a)\(\left(\frac{\frac{2}{3}+\frac{3}{5}}{\frac{7}{11}-\frac{1}{2}}+\frac{3}{4}\right)\frac{1}{2}\)
b)\(-\frac{3}{7}-\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{5}\right)\)
c)\(1-\left[\left(\frac{-\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}}\right)\div\left(\frac{2}{3}-\frac{-8}{7}\right)\right]\)
在上面的例2中，我们取了\(6a^{2}b\)作为我们的公共分母。假设我们改用\(12a^{3}b^{2}\)。这会改变结果吗？用那种方式做一下看看。
将以下每个表示为单个分数，并尽可能简化：
a)\(\frac{3}{5} + \frac{a-3}{5}\) b)\(\left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{a-3}{5}\right)\) c)\(\frac{a+b}{15b} - \frac{a-b}{15b}\) d)\(\frac{5x}{y} + \frac{y}{5x}\)
e)\(\frac{3}{4ax^{2}} + \frac{x}{2a}\) f)\(\frac{2x-3}{x-2} - \frac{x-4}{x-2}\) g)\(\frac{2}{xy} + \frac{3}{yz} + \frac{4}{xz}\) h)\(\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}} - \frac{4}{x^{4}}\)
i)\(\frac{2}{x(x+1)} - \frac{(x-2)}{x(x-1)}\)
j)\(\frac{3}{a-3} - \frac{2}{a}\)
k)\(3 - \frac{1}{2x+1}\)
l)\(1 - \frac{1+x}{1-x}\)
m)\(\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}\) n)\(\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{3}{x(x-1)} - \frac{4}{(x-1)^{2}}\)
最后的话和一个棘手的例子
你现在可以加、减、乘或除任何两个代数分数。没有遗留的秘密；你已经完全入门了。如果你曾经需要以各种复杂的算术方式组合十七个分数，你拥有做这件事所需的所有知识。你只需要放慢脚步，按顺序接受每一块。这可能很乏味，但不应该困难。
为了说明我的观点，我将提供一个最后的例子。如果你到目前为止理解了这一章中的所有内容，它应该不会造成任何概念上的困难，即使它相当复杂。
问题。尽可能简化这个丑陋的表达式：\(\frac{\frac{2}{x-2}-\frac{x+1}{x+2}}{\frac{3x-7}{x^{2}-4}}+\frac{\frac{2}{x^{2}}}{-5}\)
解。在我们开始处理这个过度生长的混乱之前，让我们从远处考虑它，说服自己，尽管它丑陋，这是我们可以处理的。首先观察表达式有两项。是的，第一项看起来很糟糕（“呃！分数中的分数！”），直到我们意识到当我们减去其分子中的两个分数时，它们显然会合并成一个分数，然后我们可以除以左项分母中的分数。那个除法的结果显然将是……一个分数。因此，当尘埃落定，我们将把整个丑陋的第一项重写为一个分数。所有”分数中的分数”都将消失。至于第二项，你可能可以在脑中简化它，也把它变成一个分数。然后，所有剩余的只是要加两个普通的代数分数——一项容易的任务。
观看了初步的哑剧之后，让我们继续进行实际计算的细节，相信至少在大纲上，我们已经知道事情会如何发展。
第一项的分子是
\[\begin{aligned}\frac{2}{x-2}-\frac{x+1}{x+2}&=\frac{\left[2(x+2)\right]-\left[(x-2)(x+1)\right]}{(x-2)(x+2)}\\&=\frac{\left[2(x+2)\right]-\left[(x-2)(x+1)\right]}{x^{2}-4}\\&=\frac{\left[2x+4\right]-\left[x^{2}-x-2\right]}{x^{2}-4}\\&=\frac{2x+4-x^{2}+x+2}{x^{2}-4}\\&=\frac{-x^{2}+3x+6}{x^{2}-4}\end{aligned}\]
（注意括号！）
（平方差）
（在括号内分配）
（移除括号，分配负号）
（合并同类项）。
现在我们已经简化了第一项的分子，我们将它除以第一项的分母。这样做，我们发现整个第一项简化为
\[\begin{aligned}\frac{\frac{-x^{2}+3x+6}{x^{2}-4}}{\frac{3x-7}{x^{2}-4}}&=\frac{-x^{2}+3x+6}{x^{2}-4}\cdot\frac{x^{2}-4}{3x-7}\quad(分数除法规则)\\&=\frac{\left(-x^{2}+3x+6\right)\left(x^{2}-4\right)}{(x^{2}-4)(3x-7)}\quad(分数乘法规则)\\&=\frac{-x^{2}+3x+6}{3x-7}\quad(在线上下约掉(x^{2}-4))。\end{aligned}\]
将第一项简化为可管理的东西后，我们可以解决原问题：
\[\begin{aligned}\frac{\frac{2}{x-2}-\frac{x+1}{x+2}}{\frac{3x-7}{x^{2}-4}}+\frac{\frac{2}{x^{2}}}{-5}&=\frac{-x^{2}+3x+6}{3x-7}+\frac{\frac{2}{x^{2}}}{-5}\\&=\frac{-x^{2}+3x+6}{3x-7}-\frac{2}{5x^{2}}\\&=\frac{\left[(-x^{2}+3x+6)(5x^{2})\right]-\left[2(3x-7)\right]}{(3x-7)(5x^{2})}\\&=\frac{\left[-5x^{4}+15x^{3}+30x^{2}\right]-\left[6x-14\right]}{15x^{3}-35x^{2}}\\&=\frac{-5x^{4}+15x^{3}+30x^{2}-6x+14}{15x^{3}-35x^{2}}。\end{aligned}\]
（通过上面我们对第一项的工作）
（分数除法，第二项）
（分数减法规则）
（大量乘法）
（移除括号）
在最后一个问题中有很多步骤，但每一步都很简单。在这样的问题中偶尔犯错是不可避免的，但要记住错误和错误是不同的。在较大问题中不小心写\(3 \times 3 = 6\)是错误的，但 presumable 不是概念错误。另一方面，省略必要的括号、忘记分配负号、或搞砸和1相乘的技巧是严重错误，很可能源于概念误解。如果你打算继续学习数学课程，你需要立即清除任何此类误解。那些课程会给你大量新内容思考；如果你在那个阶段仍在为基础代数挣扎，你就无法看到森林。
练习
- 尽可能简化：
a)\(\frac{1}{\frac{b-c}{b+c}}\) b)\(\frac{\frac{1}{b-c}}{b+c}\) c)\(\left(\frac{1}{\frac{1}{b-c}}\right)(b+c)\) d)\(\left(\frac{\frac{1}{1}}{b-c}\right)b+c\)
- 对还是错（解释你的答案）：
a)\(-3^{2} = 9\)
b)\(-x\)总是表示一个负数。
c)\((-3)^{2} = -9\)
d)\(a - b = -(b - a)\)。
e)\(\frac{(2x+1)[(3x-7)+(x^{2}+1)]}{(2x+1)(x^{3}+8)}=\frac{(3x-7)+(x^{2}+1)}{x^{3}+8}\)
f)\(\frac{(2x+1)(3x-7)+(x^{2}+1)}{(2x+1)(x^{3}+8)}=\frac{(3x-7)+(x^{2}+1)}{x^{3}+8}\)
g)\(\frac{a+b}{c+d}=\frac{(a+b)}{(c+d)}\)
- 表示为单个分数——并尽可能简化：
a)\(\frac{3}{x-2} + \frac{1}{2-x}\) [提示：你可能会发现练习44d有用。]
b)\(\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}\)
c)\(\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}\)
d)\(\frac{(a-b^{2})(a+b^{2})}{a^{2}-b^{4}}\cdot\frac{a+\frac{1}{a}}{a}\)
e)\(\left[\frac{5x+4}{x+1}-\frac{-3x^{2}+9x+4}{(x+1)^{2}}\right]\div\left(\frac{4x^{3}}{(x+1)^{2}}\right)\)
f)\(1 + \frac{1}{x - 1}\)
g)\(\frac{1}{1+\frac{1}{x-1}}\)
h)\(\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}}\)
i)\(\frac{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}}{\frac{3a}{2}-\frac{4a}{3}}\)
j)\(\left(\frac{x^{2}}{1+x^{2}}\cdot\frac{\left(1+x^{2}\right)\left(-x^{2}\right)}{x^{4}}\right)(a-b)\)
- 在本章前面，我声称分数算术的所有方面都从”两个直觉规则”逻辑地推出：
\[\frac{a}{b}=a\left(\frac{1}{b}\right)\text{和}\left(\frac{1}{a}\right)\left(\frac{1}{b}\right)=\frac{1}{ab}。\]
现在你已经知道所有分数算术规则，值得重新审视我的说法。我明确指出在文本中分数乘法规则如何直接从两个直觉规则推出。在分数线上下一约呢？好吧，我们看到这个操作实际上只是分离一个隐藏的1的因子，像这样：
\[\frac{6ab}{3bc}=\frac{3b\cdot2a}{3b\cdot c}=\left(\frac{3b}{3b}\right)\left(\frac{2a}{c}\right)=1\left(\frac{2a}{c}\right)=\frac{2a}{c}。\]
“分离”（在第二个等号处）通过分数乘法规则证明……建立在两个直觉规则上。（其他步骤通过完全明显的事实证明，如”乘以1不会改变任何东西”或”任何除以自身等于1”。）因此，线上下一约最终是两个直觉规则的逻辑结果。
说服自己”和1相乘的技巧”最终被两个直觉规则证明。
对分数除法规则做同样的事情。
对分数加减规则做同样的事情。
祝贺你自己：你现在已经看到整个令人烦恼的分数主题实际上相当简单，只是从几个直觉规则及其逻辑结果构建而成。