第2章 - 指数与根式

作者

Seth Braver

第2章：指数与根式

整数指数

通过减轻大脑所有不必要的工作，好的符号系统使其能够集中精力处理更高级的问题，实际上增加了种族的智力。

—— Alfred North Whitehead

数学符号是随着时间发展的。例如我们现在写的\(x^{2}\)曾经写成xx。一眼就能读xx，但读xxxxxxx就不行了，所以采用了简写：

定义（整数指数）。对于每个整数n，我们定义

\[x^{n}=\overbrace{x x x x x x x x}^{n\;times}\]

这个符号有重要的代数性质，我们可以通过稍微玩弄它来发现。例如，如果我们考虑一个特定的例子

\[x^{5}x^{11}=\overbrace{xxxxxxx}^{5times}\overbrace{xxxxxxxxxxxxx}^{11times}=\overbrace{xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx}^{5+11=16times}=x^{16}\]

（整数指数的定义）

（整数指数的定义），

我们可以从中看到一个更一般的原理：对于任何整数指数n和m，\(x^{n}x^{m}=x^{n+m}\)。这是五个基本指数规则中的第一个。其他四个同样自然且易于理解。我在下面列出了完整的集合，你应该立即学习它们。

指数规则

\[1.\ x^{n}x^{m}=x^{n+m}\]

\[2.\ \frac{x^{n}}{x^{m}}=x^{n-m}\]

\[3.\ (x^{n})^{m}=x^{nm}\]

\[4.\ (xy)^{n}=x^{n}y^{n}\]

\[5.\left(\frac{x}{y}\right)^{n}=\frac{x^{n}}{y^{n}}\]

记住这五条规则，但如果你的记忆失败，你应该能够在一些草稿纸上潦草地写出一个特定的数值例子，同时自言自语地恢复任何这五条规则。（例子：“等一下，我记不清了……$ (xy)^{n} \(到底是什么？好吧，当n = 3时，我们得到\)(xy)^{3} = xy xy xy = xxx yyy = x{3}y{3}\(。是的，就是这个：\)(xy)^{n} = x{n}y{n}$。”）

为了说服你这五条规则成立，这里是每条的说明/解释：

指数规则 说明/解释
\(x^{n}x^{m}=x^{n+m}\) \(x^{5}x^{3}=xxxxxx \cdot xxx = xxxxxxxx = x^{8}\)
\(\frac{x^{n}}{x^{m}}=x^{n-m}\) \(\frac{x^{5}}{x^{3}}=\frac{xxxxxx}{xxx}=\frac{xxxxxx}{xxx}=xx=x^{2}\)
\((x^{n})^{m}=x^{nm}\) \((x^{3})^{2}=x^{3} \cdot x^{3} = xxx \cdot xxx = xxxxxxx = x^{6}\)
\((xy)^{n}=x^{n}y^{n}\) \((xy)^{3}=xy \cdot xy \cdot xy = xxx \cdot yyy = x^{3}y^{3}\)
\(\left(\frac{x}{y}\right)^{n}=\frac{x^{n}}{y^{n}}\) \(\left(\frac{x}{y}\right)^{3}=\frac{x}{y} \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{y}=\frac{x^{3}}{y^{3}}\)

在练习中，你将使用这五条规则来简化诸如以下丑陋的表达式。

例1。尽可能简化：\(\frac{(2x^{4}x^{2})^{3}}{x^{3}x^{7}}x\)

解。\(\frac{(2x^{4}x^{2})^{3}}{x^{3}x^{7}}x\stackrel{\text{规则1}}{=}\frac{(2x^{6})^{3}}{x^{10}}x\stackrel{\text{规则4}}{=}\frac{(2^{3})(x^{6})^{3}}{x^{10}}x\stackrel{\text{规则3}}{=}\frac{8x^{18}}{x^{10}}x\stackrel{\text{规则2}}{=}\frac{8x^{8}}{x^{9}}x\stackrel{\text{规则1}}{=}8x^{9}\)

在实践中，你不需要在每一步都指定使用了哪个指数规则。做很多题后，你会将这些规则内化到如此程度，以至于你会毫不费力地使用它们。下面是另一个例子，没有明确引用编号规则。当你阅读它时，一定要能够解释为什么每个等式成立。（在其中一些中，多个规则同时使用。）

例2。尽可能简化：\(\frac{(x^{3}y)^{4}\left(\frac{x^{47}y}{x^{42}}\right)^{5}}{x^{3}x^{34}y^{3}}\)。

解。\(\frac{\left(x^{3}y\right)^{4}\left(\frac{x^{47}y}{x^{42}}\right)^{5}}{x^{3}x^{34}y^{3}}=\frac{x^{12}y^{4}\left(x^{5}y\right)^{5}}{x^{37}y^{3}}=\frac{x^{12}y^{4}x^{25}y^{5}}{x^{37}y^{3}}=\frac{x^{37}y^{9}}{x^{37}y^{3}}=\frac{y^{9}}{y^{3}}=y^{6}\)。

练习

尽可能简化以下每个表达式：

  1. \(x^{14}x^{73}\)

  2. \(x^{13}/x^{7}\)

  3. \((x^{4})^{5}\)

  4. \(x^{11}x^{10}x^{9}\)

  5. \((x^{3})^{2}x\)

  6. \(\left(2\left(\frac{x^{8}}{x^{7}}\right)x^{2}x^{3}\right)^{4}\)

  7. \(3(5x^{2})^{3}(4xx^{5})^{2}\) 8. \([p(q^{2}r^{3})^{4}]pqr\) 9. \(\left(\frac{(xx^{2}x^{3}x^{5})^{8}}{x^{13}}\right)\left(\frac{x^{21}}{x^{34}}\right)\)

  8. \(\frac{\left(\frac{x^{5}}{x^{3}}\right)^{5}}{x^{2}(x^{3}x^{4})^{2}}\cdot\frac{x^{2}(x^{2})^{4}}{x^{4}}\)

  9. \(\frac{\left[a^{2}\left(b^{3}a\right)^{3}a^{4}\right]^{2}\left[\frac{a b b^{2}b^{3}b^{4}}{b^{7}}\right]}{a^{2}\left(a^{5}b^{6}\right)^{3}}\)

  10. \(\frac{\left(\left(x^{6}\right)^{7}\right)^{8}}{\left(\left(x^{2}\right)^{3}\right)^{4}\left(x^{11+12+13}\right)\left(x^{(9\cdot10)}\right)^{2}}\cdot\frac{1}{\left(x^{11+12+13}\right)\left(x^{(9\cdot10)}\right)^{2}}\)

负（和零）指数

人们无法摆脱这样的感觉：数学公式有其独立的存在和自身的智慧，比我们聪明，甚至比它们的发现者聪明，我们从它们那里得到的比我们最初投入的要多。

—— Heinrich Hertz

在上一节中，我们看到了指数符号，最初作为重复乘法的简写，产生了五个代数规则。在本节中，这些规则将教我们如何改进指数本身，结果，我们将能够将指数的含义扩展到远远超出重复乘法的范围。这是”仅仅是”符号获得自己的生命然后引导我们进入更深的数学的典型案例。

我们将从考虑将某物提升到0次幂的可能性开始。\(x^{0}\)能是什么意思？上一节的定义不适用，因为0不是整数。不过，人们可能合理地认为，对于整数，\(x^{n}\)是乘以n个x的乘积，表达式\(x^{0}\)应该是通过乘以零个x得到的东西。好吧，零个任何东西是……无……所以\(x^{0}\)应该等于0，对吧？

错误。如果我们想保留指数规则（我们想！），那么我们被迫同意

\[\boldsymbol{x}^{\mathbf{0}}=x^{1-1}\stackrel{\mathrm{Rule2}}{\underset{\mathrm{}}{\stackrel{\downarrow}{=}}}\frac{x^{1}}{x^{1}}=\frac{x}{x}=1。\]

我重复，如果我们坚持保留指数规则，我们别无选择：我们被迫接受表达式\(x^{0}\)必须——如果它有任何意义的话——等于1。这里，我们的直觉（表明\(x^{0}\)应该是0）与指数规则（坚持\(x^{0}\)是1）发生冲突。必须有所让步。数学家决定指数规则应该占上风，因为它们可以在更艰难的地形上证明自己的价值，在那里我们的直觉完全无用，我们将在下面看到。例如，\(2^{-3}\)的直觉能做什么？什么也做不了。另一方面，如果我们愿意听指数规则，它们会引导我们找到\(2^{-3}\)的完全合理的定义，更一般地，\(x^{-n}\)的定义：

\[\boldsymbol{x}^{-n}=x^{0-n}\stackrel{\mathrm{Rule2}}{\stackrel{\downarrow}{=}}\frac{x^{0}}{x^{n}}=\frac{1}{x^{n}}。\]

因此，我们的指数规则准确地告诉我们将某物提升到-n次幂意味着什么：将它提升到\(n\)次幂然后取倒数。（顺序任意。）

例子。

\(2^{-3}=\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}\)。\(\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}\)。\((-2)^{-10}=\left(\frac{1}{-2}\right)^{10}=\frac{1}{(-2)^{10}}=\frac{1}{1024}\)。

将某物提升到-1次幂的一个非常特殊的情况是：因为这意味着将其提升到1次幂（什么都不改变）然后取倒数，将某物提升到-1次幂的净效果就是……取它的倒数：

例子。

\(13^{-1}=\frac{1}{13}\)。\(\left(\frac{5}{42}\right)^{-1}=\frac{42}{5}\)。\(\left(-\frac{27}{14}\right)^{-1}=-\frac{14}{27}\)。\(\left(.01\right)^{-1}=100\)。

这已经是非凡的了。指数不仅捕获重复乘法，还捕获倒数。我们很快就会看到它们也捕获平方根，甚至n次根。因此，如果我们接受我们的pushy（但明智）的指数规则试图教给我们的，我们将能够将重复乘法、倒数和根提取统一在指数化的单一伞下。我们这样做。从长远来看，这将大大简化数学。

定义（零和负指数）。

对于任何非零x，我们做以下定义：

\[x^{0}=\mathbf{1}，\quad\mathsf{and}\quad x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}。\]

（特别是，将某物提升到-1次幂与取其倒数相同。）

当然，这五条指数规则仍然适用于零和负指数。你很快就有机会在诸如以下问题中练习它们：

例。尽可能简化，并移除所有负指数：\((5a^{3}b^{6}b^{-3}a^{-4})^{-2}\)

\[\begin{aligned}(5a^{3}b^{6}b^{-3}a^{-4})^{-2}&=(5a^{-1}b^{3})^{-2}\quad(指数规则1)\\&=\left(5\left(\frac{1}{a}\right)b^{3}\right)^{-2}\quad(负指数的定义)\\&=\left(\frac{5b^{3}}{a}\right)^{-2}\\&=\left(\frac{a}{5b^{3}}\right)^{2}\quad(负指数的定义)\\&=\frac{a^{2}}{(5b^{3})^{2}}\quad(指数规则5)\\&=\frac{a^{2}}{5^{2}(b^{3})^{2}}\quad(指数规则4)\\&=\frac{a^{2}}{25b^{6}}\quad(指数规则3)\end{aligned}\]

这里（几乎无处不在在代数中）有许多不同的路径通向相同的答案。只要你正确应用规则，任何路径都可以——尽管有些可能比其他更高效。关键是理解你在做什么。每当你写下一个等号时，你应该能够解释为什么它两侧的表达式实际上相等。

当我们处理分数中的指数时，以下代数技巧经常派上用场。

如果分子或分母的因子（不是项！）被提升到某个幂，我们可以移动它跨分数线，同时改变指数的符号。

证明。如果\(x^{-n}\)代表分子的因子，分数必须具有\((x^{-n}a)/b\)的形式，其中a和b可以代表任何东西。代数操作，我们看到

\[\frac{\boldsymbol{x}^{-n}\boldsymbol{a}}{\boldsymbol{b}}=\frac{\left(\frac{1}{x^{n}}\right)a}{b}=\frac{\frac{a}{x^{n}}}{b}=\frac{\boldsymbol{a}}{\boldsymbol{x}^{n}\boldsymbol{b}}。\]

因此，净效应很清楚：我们可以将那个\(x^{-n}\)因子踢到楼下，如果我们将它改为\(x^{n}\)。（此外，如果我们从后向前读这些等式，我们看到楼下的\(x^{n}\)因子可以被推到楼上，如果我们将其改为\(x^{-n}\)。）类似的参数，你應該验证详细，说明如果我们从楼下开始有因子\(x^{-n}\)，我们可以将它带到楼上如果我们将其改为\(x^{n}\)，反之亦然。

例子。\(\frac{x^{-5}}{y}=\frac{1}{x^{5}y}\)。\(\frac{5a^{-2}}{17b^{-3}}=\frac{5b^{3}}{17a^{2}}\)。\(\frac{9a^{-2}}{a^{3}}=\frac{9}{a^{3}a^{2}}=\frac{9}{a^{5}}\)。\(\frac{x^{2}y^{-3}z^{-1}}{x^{-2}y^{5}z^{6}}=\frac{x^{4}}{y^{8}z^{7}}\)。

请记住，这个技巧涉及分子或分母的因子——不是项！

练习

  1. 重写以下表达式，不含任何负指数，并尽可能简化：

a)\(3x^{-3}\) b)\((3x)^{-3}\) c)\(a^{3}b^{3}(a^{-3}+b^{-3})\) d)\(8\left(\frac{x^{2}y^{3}z^{-1}}{x^{4}x^{17}y^{-2}zz^{-3}}\right)^{0}\) e)\(\frac{x^{13}y^{-9}}{y^{2}x^{10}x^{-2}}\)

f)\((7t^{3}p^{-2})(3p^{2}t^{-2})\left(\frac{1}{7}t^{-1}\right)\) g)\((6x^{n}y^{n-4})(2x^{2}y^{n+4})\) h)\(\left(\frac{-2a^{3}b^{-2}}{-8(a^{2}b)^{3}}\right)^{-1}\left(\frac{a^{-2}ab^{-1}}{a^{3}b^{4}}\right)^{-2}\)

i)\((x+y)(x^{-1}+y^{-1})\) j)\(\frac{\left((2a^{-1})^{-2}\right)^{-3}}{32a^{-5}}+5^{0}-5^{0}\)

  1. 如果这个表达式包含1001个指数，全部都是-1，求\(((((2/5)^{-1})^{-1})^{-1})\cdots)^{-1}\)的值。

  2. 判断每个陈述是对还是错。同时，对于每个假陈述，重写左侧使其既没有负指数也没有分数中的分数。

a)\(\frac{a+b^{-5}}{2c}=\frac{a}{2c+b^{5}}\)。 b)\(\frac{5(x+y)^{-2}a^{2}}{2(x+y)a^{-3}}=\frac{5a^{5}}{2(x+y)^{3}}\)。 c)\(\frac{a+b}{a^{-1}+d}=\frac{a^{2}+b}{d}\)。

  1. 解释为什么我们定义\(x^{0}\)为1（对于\(x \neq 0\)）。

  2. 解释为什么我们定义\(x^{-n}\)为\(\frac{1}{x^{n}}\)（对于\(x \neq 0\)）。

  3. 提供我在上面证明中要求你验证的详细证明。

  4. 表达式\(0^{-1}\)是否有定义？如果有，它的值是多少？如果没有，为什么没有？

根式回顾

在讨论分数指数之前，我们必须回顾根式。最常见的是平方根。定义上，c的平方根是任何平方为c的数字。

负数没有平方根，因为你无法通过平方实数得到负数。（你明白为什么吗？）相比之下，正数有两个平方根：一个正，一个负。例如，9的两个平方根是3和-3。符号\(\sqrt{c}\)表示c的正平方根。因此，任何c > 0的两个平方根是\(\sqrt{c}\)和\(-\sqrt{c}\)。（例如，5的平方根是\(\sqrt{5}\)和\(-\sqrt{5}\)。）

处理平方根时，要记住的一个特别简单（和重要）的事实是

\[\left(\sqrt{c}\right)^{2}=c\]

这是显而易见的。毕竟，任何c的平方根的定义属性是……它的平方是c。

★

c的立方根是立方为c的数字。立方根比平方根表现更好，因为每个数字（包括每个负数）c正好有一个立方根，我们用\(\sqrt[3]{c}\)表示。

例子。\(\sqrt[3]{216}=6\)（因为\(6^{3}=216\)），\(\sqrt[3]{-8}=-2\)（因为\((-2)^{3}=-8\)），\(\sqrt[3]{0}=0\)。

★

像立方根一样，其他奇次根是干净的：每个数字c都有一个5次根，一个7次根，等等，我们用\(\sqrt[5]{c}\)、\(\sqrt[7]{c}\)等表示。（例子：\(\sqrt[5]{32} = 2\)，因为\(2^{5} = 32\)。）

像平方根一样，其他偶次根是混乱的——但以与平方根相同的方式。负数没有偶次根。（你明白为什么吗？）正数有两个每个偶次根：一个正，一个负。符号\(\sqrt[4]{c}\)、\(\sqrt[6]{c}\)等专门指正偶次根。

练习

  1. 对还是错？（并解释你的答案。）

  1. \(-5\)是25的平方根 b) \(\sqrt{25}=-5\) c) \(\sqrt{25}=5\) d) \(\sqrt{-25}=-5\) e) \(\sqrt{0}=0\)

  2. \(-\sqrt{25}=-5\) g) \(\sqrt{8^{2}}=8\) h) \(\sqrt{(-8)^{2}}=-8\) i) \(\left(\sqrt{8}\right)^{2}=8\) j) \(\left(\sqrt{-8}\right)^{2}=-8\)

  3. \(\left(\sqrt{8}\right)^{2}=8\) l) \(\left(\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}\right)=3\) m) \(\sqrt{9/16}=3/4\) n) \(-\frac{1}{2}\)是\(\frac{1}{4}\)的平方根 o) \(\sqrt{\frac{1}{4}}=-\frac{1}{2}\)

  1. 我们可以像加苹果的倍数一样加相同平方根的倍数：就像5个苹果加4个苹果是9个苹果，所以\(5\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 9\sqrt{2}\)。我们可以通过提取平方根来证明：\(5\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = (5 + 4)\sqrt{2} = 9\sqrt{2}\)。你应该能够证明你所有的代数运算。我见过学生（错误地）声称\(\sqrt{2} + \sqrt{4}\)是\(\sqrt{6}\)，然后问”为什么我不能那样做？“在做任何动作之前问自己一个更好的问题是”为什么我可以这样做？“本着这种精神，判断以下每个陈述是对还是错，并解释你的答案。

a)\(2\sqrt{5}+3\sqrt{5}=5\sqrt{5}\) b)\(\left(2\sqrt{5}\right)\left(3\sqrt{5}\right)=6\sqrt{5}\) c)\(\left(2\sqrt{5}\right)\left(3\sqrt{5}\right)=30\) d)\(\frac{6\sqrt{7}}{2\sqrt{7}}=3\sqrt{7}\)

e)\(\left(3\sqrt{5}\right)^{2}=9\sqrt{5}\) f)\(\left(3\sqrt{5}\right)^{2}=45\) g)\(\left(-\sqrt{3}\right)^{2}=3\) h)\(\left(-2\sqrt{6}\right)^{2}=24\) i)\(-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}=-8\)

  1. 识别这个论证中的逻辑缺陷：2个苹果乘以3个苹果是6个苹果，所以\(\left(2\sqrt{5}\right)\left(3\sqrt{5}\right)=6\sqrt{5}\)。

[注意：错误的”答案”不是论证的缺陷；这只是缺陷的后果。找到缺陷！]

  1. 尽可能简化：

a)\(11\sqrt{11}-\sqrt{11}\) b)\(3\sqrt{121}+4\sqrt{121}+2\sqrt{11}-5\sqrt{11}\) c)\((3\sqrt{2})(4\sqrt{2})(5\sqrt{1})\) d)\(\frac{2\sqrt{5}}{6\sqrt{5}}\)

  1. Goldilocks知道如何手算近似平方根。因为\(\sqrt{3}\)是平方为3的正数，她会猜测它的值，平方她的猜测，并根据结果宣布”这个太大了”或”这个太小了”。然后她会调整并再试一次。（唉，没有猜测会刚刚好。）假设她的第一个猜测是2。嗯，\(2^{2}\)大于3，所以Goldilocks现在知道2对于\(\sqrt{3}\)来说太大了。因此，她尝试1。由于\(1^{2}\)小于3，她知道1太小了。她现在已经证明\(1 < \sqrt{3} < 2\)。1.5怎么样？嗯，\((1.5)^{2} = 2.25\)，所以1.5太小了。因此\(1.5 < \sqrt{3} < 2\)。以此类推。

你的问题：仅用纸和铅笔，确定\(\sqrt{3}\)的前两位小数。

  1. （思考）小数近似是有用的；它们让我们一目了然地比较数字的大小。（例如。\(\sqrt{5}\pi\)还是120/17哪个更大？一旦我们知道\(\sqrt{5}\pi \approx 7.03\)和120/17 \(\approx 7.06\)，答案就清楚了。）但是，如果我们在问题中引入小数近似，它们也可能是错误的来源。为了看到这一点，对比以下两个计算：

3乘以2/3是多少？（显然，答案是2。）

3乘以0.667是多少？（这里的答案不明显。也不是2。）

  1. 我们知道\(\left(\sqrt{a}\right)^{2}=a\)。如果颠倒操作的顺序呢？\(\sqrt{a^{2}}\)是否总是等于a？

  2. 解释为什么64有两个平方根，但只有一个立方根。

  3. 解释为什么-27有立方根，但没有平方根。

  4. 解释为什么每个正数有两个平方根，但只有一个立方根。

  5. 解释为什么每个负数有立方根，但没有平方根。

  6. 解释为什么\(\left(\sqrt[3]{a}\right)^{3}=a\)。

  7. 尽可能简化：

a)\(\sqrt[3]{216}\) b)\(\sqrt[3]{-1}\) c)\(10\sqrt[3]{1000}\) d)\(\left(\sqrt[3]{7}\right)^{3}\) e)\(-\sqrt[3]{-8}\) f)\(\left(\sqrt[3]{6}\right)\left(\sqrt[3]{6}\right)\left(\sqrt[3]{6}\right)\)

g)\(\sqrt[3]{(711)^{3}}\) h)\(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}\) i)\(\sqrt[3]{\frac{8}{-125}}\) j)\(\sqrt[3]{\frac{2}{16}}\) k)\(\sqrt[3]{3\sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{-64}}\) l)\(\sqrt[3]{0}(\sqrt{2}+\sqrt[3]{3})\)

m)\(\sqrt{\left(\sqrt[3]{-343}+\sqrt[3]{27}\right)^{2}}\) n)\(\left(5\sqrt[3]{2}-3\sqrt[3]{2}\right)^{3}\) o)\(\left(2\sqrt[3]{2}\right)\left(-3\sqrt[3]{2}\right)\left(\frac{\sqrt[3]{2}}{3}\right)\left(\sqrt[3]{-1}\right)+\sqrt[3]{1}\)

  1. 尽可能简化：

a)\(\sqrt[5]{32}\) b)\(\sqrt[7]{-1}\) c)\(\sqrt{10\sqrt[4]{10000}}\) d)\(\left(\sqrt[13]{-22}\right)^{13}\) e)\(-\sqrt[4]{81}\) f)\(\sqrt[5]{\frac{\sqrt[3]{27a^{3}}}{-3a}}\)

分数指数

指数规则可以教我们如何定义分数指数。我们将首先考虑”单位分数”指数（分子为1的分数）。因为我们的指数规则之一告诉我们\((x^{1/n})^{n}=x\)，所以\(x^{1/n}\)是x的n次根。因此，我们将\(x^{1/n}\)定义为\(\sqrt[n]{x}\)。（例子：\(16^{1/2}=\sqrt{16}=4\)。）有了这个初步定义，我们现在可以确定任何分数指数的含义：

\[x^{m/n}=\left(x^{1/n}\right)^{m}\quad(指数规则3)=\left(\sqrt[n]{x}\right)^{m}\quad(单位分数指数的定义)。\]

也就是说，将某物提升到m/n次幂意味着将其n次根提升到m次幂。

定义（分数指数）。

\[x^{m/n}=\left(\sqrt[n]{x}\right)^{m}\]

（注：\(x^{m/n}\)也等于\(\sqrt[n]{x^{m}}\)，如下所述。）

例子。\(8^{2/3}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^{2}=2^{2}=4\)；\((32)^{3/5}=\left(\sqrt[5]{32}\right)^{3}=2^{3}=8\)；\(81^{1/4}=\sqrt[4]{81}=3\)。

根式和分数指数之间的联系让我们可以将任何涉及根式的表达式转换为涉及指数的表达式；这些通常更容易处理，多亏了指数规则的简单性。

问题。尽可能简化：\(\left(\sqrt[5]{x^{13}}\right)\left(\sqrt[3]{x^{8}}\right)\left(\sqrt{x}\right)^{5}\)。

解。

\[\big(\sqrt[5]{x^{13}}\big)\big(\sqrt[3]{x^{8}}\big)\big(\sqrt{x}\big)^{5}=\big(x^{13/5}\big)\big(x^{8/3}\big)\big(x^{5/2}\big)\quad(分数指数的定义)=x^{(13/5)+(8/3)+(5/2)}\quad(指数规则1)=x^{233/30}\]

通常，执行操作的顺序很重要；改变顺序会改变结果。（首先打开窗户，然后把头伸过去。）所以可能令人惊讶的是，取根和将某物提升到幂可以以任何顺序执行而不会改变结果。证明这个有趣的——有时有用的——事实将加强根式和指数之间的联系。

命题。如果x是正数，则\(\left(\sqrt[n]{x}\right)^{m} = \sqrt[n]{x^{m}}\)。

证明。为了证明这一点，我们将用两种方式计算\(x^{m/n}\)：

一方面，\(x^{m/n} = \left(x^{1/n}\right)^{m} = \left(\sqrt[n]{x}\right)^{m}\)。另一方面，\(x^{m/n} = (x^{m})^{1/n} = \sqrt[n]{x^{m}}\)。

将这两个\(x^{m/n}\)的表达式相等，我们得出结论\(\sqrt[n]{x^{m}} = \left(\sqrt[n]{x}\right)^{m}\)，如所证。

练习

  1. 重写以下每个根式表达式为指数形式，并在可能时简化。

  1. \(\sqrt{x}\)

  2. \(\sqrt[3]{y}\)

  3. \(\sqrt[5]{15}\)

  4. \(\sqrt[3]{z^{5}}\)

  5. \(\left(\sqrt[10]{t}\right)^{3}\)

  6. \(\sqrt[3]{a^{9}}\left(\sqrt{a}\right)^{4}\left(\sqrt[3]{a^{2}}\right)^{6}\)

  7. \(\sqrt[n]{ab}\)

  1. 将以下每个用根式表示。
  1. \(x^{1/5}\) b) \(y^{2/3}\) c) \(3^{-1/4}\) d) \((a + bc)^{3/8}\) e) \(2^{0.5}\) f) \(w^{-1.5}\)

  1. 解释为什么\(\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\)。[提示：用指数重写这个方程。]

  2. 我们使用前一个练习的恒等式将因子从根式中取出。（例如：\(\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{4} \sqrt{10} = 2\sqrt{10}\)。）重写以下表达式，使根号下的数字尽可能小：

  1. \(\sqrt{8}\) b) \(\sqrt{125}\) c) \(\sqrt{108}\) d) \(\sqrt{196}\) e) \(\sqrt[3]{192}\)

  1. 解释为什么\(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)。

    1. 计算\(\sqrt{16 + 9}\)，然后计算\(\sqrt{16} + \sqrt{9}\)。根式可以分配到加法上吗？
  1. 对还是错：\(\sqrt{a^{2} + 25} = a + 5\)。
    1. 计算\(\sqrt{100 - 36}\)，然后计算\(\sqrt{100} - \sqrt{36}\)。根式可以分配到减法上吗？
  1. 对还是错：\(\sqrt{x^{2}-y^{2}}=x-y\)。
  1. 尽可能简化以下内容：

a)\(\sqrt[3]{\frac{64}{125}}\)

b)\(\sqrt[3]{-1000}\)

c)\(\sqrt{2}+\sqrt{8}\)

d)\(\sqrt{\frac{200}{144}}\)

e)\(\sqrt{3-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}\)

f)\(36^{3/2}\)

g)\(32^{4/5}\)

h)\(216^{2/3}\)

i)\(100^{5/2}\)

j)\(7^{2/5}\cdot7^{8/5}\)

k)\((49a^{8}b^{-4})^{1/2}\)

l)\(\sqrt[5]{x^{2}y}\cdot\sqrt[5]{x^{3}y^{4}}\)

m)\(\left(x^{1/2}+y^{1/2}\right)\left(x^{1/2}-y^{1/2}\right)\)

n)\(a^{-1/6}\left[a^{2/3}\left(\frac{a^{2/3}}{a^{1/4}}\right)^{6}\right]^{1/3}\)

o)\(\sqrt{y}\left(\frac{x^{2}y^{-3}}{y^{3}}\right)\left(\frac{y^{13/2}}{x}\right)\)

  1. 从分数分母中去除平方根的一个简单技巧称为有理化分母。它有两个基本版本。两者都依赖于旧的”乘以1”技巧。我将用例子解释每一个。

例子

\[\frac{5}{\sqrt{7}}=\left(\frac{5}{\sqrt{7}}\right)\left(\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}\right)=\frac{5\sqrt{7}}{7}。\]

第二个版本更复杂，需要平方差恒等式。

\[\frac{3}{1-\sqrt{5}}=\left(\frac{3}{1-\sqrt{5}}\right)\left(\frac{1+\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}\right)=\frac{3+3\sqrt{5}}{1^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}=\frac{3+3\sqrt{5}}{-4}\]

在第二个版本中，我们总是将分子和分母乘以所谓的分母的共轭。有理化以下表达式中的分母：

a)\(\frac{2}{\sqrt{2}}\) b)\(\frac{30}{\sqrt{6}}\) c)\(\frac{14}{\sqrt{7}}\) d)\(\frac{3x}{3+\sqrt{x}}\) e)\(\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}\) f)\(\frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2}\)

有理化以下表达式中的分子。

g)\(\frac{5\sqrt{3}}{9}\) h)\(\frac{2-\sqrt{x}}{5\sqrt{x}}\)