第6章 - 坐标几何中的变换
第6章：坐标几何中的变换
变换
当Gregor Samsa从不安的梦中醒来时，他发现自己变形了……
- Franz Kafka，《变形记》
本章的主题是理解几何变换[如将图形向右移动3个单位]与代数变换[如将方程中每个x替换为\((x - 3)\)]之间的关系。为了简单起见，我们将考虑三种几何变换：反射、平移和拉伸。
反射
在这里，悲伤的自我爱好者在悲剧错误中看到
一些可爱的其他或另一个天空；
在你倒置但不撒谎的镜子里
我看见我是我的我。
- John Hollander，“在森林池边”
除了享受Hollander自恋的回文外，我们在这个简短部分的主要对象是理解当我们将几何对象反映到一条线上时，点对点发生了什么。在右边的图中，描绘了一个可能认出来的人物，以及他在一条线上的反射。
当我们将一点反射到一条线上时，它最终与线的距离与最初相同，但在对面。连接一点及其反射像的线段（如WC）总是垂直于反射线。这一点，你可能观察到，与Mr. Fields和他分身员的快乐红鼻子相连。一点越靠近反射线，当被反射时它移动的距离越短。线上的点根本不动。
由于我们将几乎专门关注关于轴的反射，我们使用短语垂直反射特指关于x轴的反射（这样的反射是”垂直的”因为它垂直移动点），水平反射指关于y轴的反射。
练习
绘制\(y = x^{2}\)及其垂直反射的图形。
绘制\(y = x^{2}\)及其水平反射的图形。
绘制\(y = x^{2}\)及其关于直线y = 1的反射的图形。
绘制\((x-1)^{2}+(y-1)^{2}=4\)及其水平反射的图形。
拉伸
什么，这条线会延伸到破裂的尽头吗？
- 麦克白（第四幕，第一场）
当我们拉伸时，我们相对于某条固定线进行拉伸。一旦我们指定了线，就需要”拉伸因子”来指定拉伸的强度：当拉伸因子为k时，拉伸将平面中的每个点发送到距离固定线恰好是先前距离k倍的新位置。固定线上的点不动。
在右边的图中，我叠加了”之前”状态（实心黑色）和”之后”状态（灰色虚线）的水平拉伸相对于所描绘的垂直线，因子为3。仔细审视直到你彻底理解它。观察拉伸，与反射对比，改变图形的形状。反射的圆仍然是圆；拉伸的圆不是。
如果我们将图形拉伸因子1/2，每个点到固定线的距离减半。这样的”拉伸”实际上是压缩。当我们”拉伸”因子小于1时就会发生这种情况。如果你用新的眼光看前面的图，将灰色虚线图形视为”之前”状态，黑色图形视为”之后”状态，那么它表示水平拉伸因子1/3。
由于我们将几乎专门关注相对于轴的拉伸，我们使用短语垂直拉伸特指相对于x轴的拉伸（我们称其为”垂直”因为它垂直移动点），水平拉伸指相对于y轴的拉伸。
练习
- 右图显示了一个水平拉伸的椭圆。
什么拉伸因子会将黑色椭圆转换为灰色？什么拉伸因子会将灰色转换为黑色？
绘制\(y = \sqrt{x}\)的图形，然后垂直拉伸因子4。在两个图形上标记一些点（带坐标）。
绘制\(y = x^{2}\)的图形，然后水平拉伸因子1/2。在两个图形上标记一些点。可以通过垂直拉伸原始图形达到同样的效果吗？如果可以，通过什么因子？如果不能，为什么不能？
绘制\(x^{2} + y^{2} = 1\)的图形，然后水平拉伸因子3。在两个图形上标记一些点。可以通过垂直拉伸原始图形达到同样的效果吗？如果可以，通过什么因子？如果不能，为什么不能？
绘制\((x - 2)^{2} + y^{2} = 1\)的图形，然后水平拉伸因子1/2。找到压缩圆最上点和最左点的坐标。
平移
移动那个肥屁股，Harry。
但要慢慢来，否则你会淹没该死的船。
- 乔治·华盛顿
最后（也是最少）是平移，很容易理解：要平移图形，我们只是将每个点移动指定距离在指定方向。例如，在右边的图中，如果我们垂直向上平移实心黑色圆3个单位，它将占据灰色虚线圆的位置。
我们将专门关注水平和垂直平移，因为任何平移都可以分解为水平和垂直分量。当我们希望区分右和左，或上和下时，我们通常会让代数符号（+或-）发挥作用。例如，垂直向上平移5个单位将指向上移动，而垂直向下平移-5个单位表示向下移动。（类似地，负水平平移是向左移动。）
练习
绘制\(y = |x|\)的图形，然后垂直向下平移2个单位。在两个图形上标记一些点。
绘制\(y = \sqrt[3]{x}\)的图形，然后水平向右平移3个单位。在两个图形上标记一些点。
一般来说，几何变换是不可交换的。也就是说，我们执行它们的顺序通常很重要。通过比较以下变换的结果说服自己：
从\(y = x^{2}\)的图形开始。水平向右平移2个单位，然后关于y轴反射。
从\(y = x^{2}\)的图形开始。关于y轴反射，然后水平向右平移2个单位。
- 几何变换有时可以交换。通过比较以下变换的结果说服自己：
从\(y = x^{2}\)的图形开始。水平向右平移2个单位，然后关于x轴反射。
从\(y = x^{2}\)的图形开始。关于x轴反射，然后水平向右平移2个单位。
- 假设你必须对\(y = x^{3}\)的图形执行以下三件事，但未指定执行它们的顺序：向右平移1，关于y轴反射，水平拉伸因子2。
这三个变换可以按多少不同的顺序应用？
不同的顺序产生多少不同的图形？
变换表
事情发生了，就像他靠近营地时一样，他看到了小牛和舞蹈：摩西的愤怒 waxed热，他将石版从手中扔出，在山下打碎了。
- 出埃及记 32:19
现在你理解了什么是反射、拉伸和平移，我们可以讨论如何在坐标几何中使用它们。因为学生有时觉得这部分材料困难，我将从头开始。我将宣告。我将告诉你——伴随着庄严和不可反驳的权威声音，以及表的庄严威严——这些几何变换与其代数模拟之间的精确对应。只要你会在金牛犊的欢乐中暂停，我将屈尊向你展示如何而不告诉你为什么。
当然，我展示给你的表实际上不是从西奈山传给摩西的，你不应该长期接受它就好像它是那样。你应该要求解释。在我让你对使用表有所感觉之后，我会提供一个。毕竟，解释并不困难，但它确实需要一些新的符号和稍微新的思考图形的方式。一切都会及时到来。现在，这是神圣的变换表。
| 水平 | 垂直 | |
|---|---|---|
| 反射 | 用\((-x)\)替换每个\(x\) | 用\((-y)\)替换每个\(y\) |
| 拉伸因子\(k\) | 用\(\left(\frac{1}{k}x\right)\)替换每个\(x\) | 用\(\left(\frac{1}{k}y\right)\)替换每个\(y\) |
| 平移\(k\)单位 | 用\((x-k)\)替换每个\(x\) | 用\((y-k)\)替换每个\(y\) |
几何变换在表的边缘；代数变换在其主体中。水平和垂直变换分别对应于x和y的替换。只有三种类型的替换，都很容易记住。正如你不应该需要查阅摩西的石版来提醒自己它们的宣告（哦，我记不清了……是你不可奸淫吗？），你不应该需要查阅变换表来知道它关于水平平移说什么。立即记住这个表。
我们的第一个例子将重申我们通过其他方式建立的结果，因此应该给你一些信心，变换规则确实按广告工作。
例1。如果我们将单位圆向上平移5个单位，它的新方程是什么？
解。根据我们的变换表，向上平移5个单位对应于用\((y - 5)\)替换y。在单位圆的方程\(x^{2} + y^{2} = 1\)中进行这个替换，我们得到平移圆的方程，\(x^{2} + (y - 5)^{2} = 1\)。
回想我们用+和-来区分右和左平移（或上和下平移）。例如，向下平移5个单位是垂直平移-5个单位。要这样平移图形，变换表告诉我们用\((y - (-5))\)，即\((y + 5)\)，替换每个y。
例2。如果我们将单位圆向左平移7个单位，它的新方程是什么？
解。表告诉我们向左平移7个单位对应于用\((x+7)\)替换x。将其放入单位圆的方程中得到平移圆的方程：\((x+7)^{2}+y^{2}=1\)。
现在让我们尝试一些拉伸。
例3。找到垂直拉伸单位圆因子2得到的图形方程。
解。垂直拉伸因子2对应于用\((y/2)\)替换y。将其代入单位圆的方程中得到拉伸圆的方程（称为椭圆）：\(x^{2} + \left(y^{2}/4\right) = 1\)。
假设我们垂直拉伸一个圆（像前一个例子），然后将得到的椭圆水平拉伸相同的因子。结果会是圆吗？这看起来合理，但也许不是。我们不需要长时间怀疑。坐标几何来救援！
例4。如果我们将前一个例子中获得的椭圆水平拉伸因子2，结果会是圆吗？
解。我们已经在上一个例子中找到了椭圆的方程。如果我们将椭圆水平拉伸，其方程会改变；变换表告诉我们，如果我们在椭圆的方程中用x/2替换x，我们将得到其新方程。这样做得到\((x^{2}/4) + (y^{2}/4) = 1\)。
清除分数，这变成\(x^{2} + y^{2} = 4\)，我们认识到这是一个圆：半径为2、中心在原点的圆。
这最后一个例子表明，我们可以用四个”动作”（或更少）将单位圆变换成任何圆：两次拉伸达到所需的半径，两次平移将其中心移动到所需位置。
例5。如果我们将\(y = \sqrt{x}\)的图形关于x轴反射，然后将结果向上平移1个单位，最终图形的方程是什么？
解。垂直反射对应于用-y替换y。
因此，反射图形的方程（右边灰色虚线）是
\[-y=\sqrt{x}\]
隔离y得到等价形式，
\[y=-\sqrt{x}\]
接下来，要向上平移1个单位，我们用\((y - 1)\)替换y，得到
\[y-1=-\sqrt{x}\]
再次隔离y，我们得到最终图形的方程：
\[\boldsymbol{y}=\mathbf{1}-\sqrt{\boldsymbol{x}}\]
练习
- 说出以下每个几何变换对应的代数替换：
向右平移8 b) 向左平移8 c) 向下平移8 d) 向上平移8 e) 向左平移1/2
垂直拉伸因子6 g) 垂直拉伸因子1/3 h) 向右平移4
水平拉伸因子10 j) 水平拉伸因子1/10
水平拉伸因子17 l) 向上平移2 m) 垂直拉伸因子3/2
垂直拉伸因子3/16 o) 关于x轴反射 p) 向右平移\(\pi\)
垂直拉伸因子2/17 r) 关于y轴反射 s) 向下平移1
绘制y = 1/x的图形，然后水平向右平移3个单位。在每个图形上标记一些点。平移后图形的方程是什么？
绘制椭圆\(x^{2} + \left(y^{2}/4\right) = 1\)（我们在例3中遇到的），然后向下平移3个单位。在每个图形上标记一些点。平移后椭圆的方程是什么？
绘制\((x-1)^{2}+(y-1)^{2}=2\)及其关于y轴的反射。找到反射图形的方程。最后，找到反射图形与轴相交点的坐标。
[简化方程时，记住\((-a-b)^{2}=\left(-(a+b)\right)^{2}=(a+b)^{2}\)。]
- 右边的图形称为笛卡尔叶形线，在坐标几何和微积分的历史中起着小但重要的作用。（如果你好奇，可以在线阅读。）它的方程是\(x^{3} + y^{3} = 3xy\)。
点状线不是叶形线的一部分；它是叶形线的渐近线：它接近但不接触的直线。找到渐近线的方程。
绘制叶形线关于x轴的反射。它的方程是什么？
找到D点的坐标。
[提示：它是叶形线和某条经过原点的直线的交点……]
如果我们将叶形线水平平移直到D位于y轴上，它在新位置的方程是什么？
如果我们将叶形线平移使D位于原点，它在新位置的方程是什么？
- 右边的图形称为礼帽（或双角帽）。它的方程是
\[y^{2}(1-x^{2})=(x^{2}+2y-1)^{2}\]
礼帽在哪里与y轴相交？
Mad Hatter想要一个”角”在\((\pm2,0)\)，但峰值仍在\((0,1)\)的礼帽。绘制它并找到它的方程。
接下来，Mad Hater创建一个角在\((2,0)\)和\((3,0)\)且峰值在\((5/2, 1)\)的礼帽。绘制它并找到它的方程。
[提示：这需要两个连续的变换。]
- 最后，作为一个真正疯狂的帽子，他创建一个倒置的礼帽，其角在\((-1,0)\)和\((1,0)\)，其峰值——或者这里是凹陷，正如这种情况——在\((0,-5000)\)。找到它的方程，并精确确定这个疯狂帽子在哪里与y轴相交。
[提示：你不需要解方程来找到交点。只要在变换原始礼帽图形时跟踪原始交点的坐标。]
- 右边显示的图形方程是一个梨形四次曲线，
\[x^{4}-2x^{3}+4y^{2}=0\]
注意如果我们用-y替换y在曲线方程中，方程本身不变。这种代数事实对应于曲线的一个几何性质。它是什么？
Knickerbocker先生正在编写一个计算机程序，其中梨将出现在屏幕上某点处提示用户重要事情发生的尖点。如果梨要出现在屏幕上其尖点在\((x_{0}, y_{0})\)处，它的方程是什么？（梨总是保持相同大小且总是尖点在左。）
在用你在(b)部分为他找到的方程后，Knickerbocker先生运行他的程序发现了一些bug。例如，当\((x_{0}, y_{0})\)接近屏幕右边缘时，梨被屏幕边缘切割，因此对用户不可见。为了解决这个问题，Knickerbocker先生想修改他的程序，使梨有时会指向相反方向（即尖点在右）。如果梨要出现在尖点最右且指向\((x_{0}, y_{0})\)处，它的方程是什么？
- 右边的图形是恶魔曲线的一个例子，这是一类在1750年由Gabriel Cramer首次研究的曲线。这个特殊标本的方程是
\[-x^{4}+10x^{2}+y^{4}-9y^{2}=0\]
找到这个恶魔曲线与轴相交的点。
如果我们希望垂直压缩图形使其在\((0, \pm2)\)处与y轴相交，我们必须在它的方程中做什么替换？新方程是什么？
如果我们希望将(b)的结果水平压缩使其在\((\pm2,0)\)处与x轴相交，我们必须做什么替换？新方程是什么？
- 鱼曲线的方程是
\[(2x^{2}+y^{2})^{2}-2\sqrt{2}x(2x^{2}-3y^{2})+2(y^{2}-x^{2})=0\]
找到鱼曲线与x轴相交的点。
如果我们在方程中用\((5y)\)替换每个y，鱼会发生什么？
如果我们在鱼的方程中用\((-x/2)\)替换每个x，鱼会发生什么？[提示：你可以通过两步达到相同的净代数效果——首先用x/2替换每个x，然后用-x替换每个x。]
- 我们可以通过将拉伸和反射打包在一起来压缩变换表：
| 水平 | 垂直 | |
|---|---|---|
| 拉伸因子k（如果k < 0则反射） | 用\(\left(\frac{1}{k}x\right)\)替换每个\(x\) | 用\(\left(\frac{1}{k}y\right)\)替换每个\(y\) |
| 平移\(k\)单位 | 用\((x - k)\)替换每个\(x\) | 用\((y - k)\)替换每个\(y\) |
解释为什么这是有效的。完成后，可以随意使用压缩形式的表。
证明的预备知识
现在你知道变换规则如何工作了，是你理解它们为什么工作的时候了。我将在下一页解释这个——在介绍一些预备想法之后。
两个变量的函数是将数字对明确转换为数字的规则。两个变量函数的符号正是你所期望的。
例1。如果\(f(x,y)=2x^{2}+y\)，求\(f(3,-7)\)和\(f(-7,3)\)的值。
解。\(f(3,-7)=2(3)^{2}-7=11\)。
\(f(-7,3)=2(-7)^{2}+3=101\)。
两个变量函数为讨论两个变量的方程提供了正确的语言，因为我们可以将任何两个变量的方程写成\(f(x, y) = 0\)的形式，方法只是将其所有项推到左边。
例2。将方程\(x^{2} + (y - 1)^{2} = 4\)写成\(f(x, y) = 0\)的形式。
解。推动所有项到左边，我们得到等价方程，
\[\overbrace{x^{2}+(y-1)^{2}-4}^{f(x,y)}=0\]
在前一个练习集中，我将这些鱼曲线、恶魔曲线和梨形四次曲线的方程以\(f(x,y)=0\)形式呈现。
将任何特定方程放入\(f(x,y)=0\)形式没有真正优势，除了可以说是某种整洁。然而，这种形式在我们希望一般讨论两个变量方程时非常有用。因此，每当我们希望讨论两个变量方程的抽象思想，或证明对所有图形成立的定理时，我们通常首先潦草地画一个扭曲（如图所示）代表任何旧曲线，我们将其视为某个方程\(f(x,y)=0\)的图形，函数f未指定。
终于到了解释
我们需要证明变换表中的所有六个条目。如果你理解第一个条目的证明，你将理解所有其他条目，因为它们都来自相同的逻辑模式。鉴于这种情况，我将把大部分六个作为练习留给你。
命题1。如果我们将图形关于y轴反射，我们可以通过将原始图形方程中每个x替换为-x来获得反射图形的方程。
证明。考虑一个任意图形，如右边的黑色图形，并关于y轴反射它（产生灰色曲线）。设\(f(x,y)=0\)是原始图形的方程。我们现在必须找到反射图形的方程：一个被反射图形上所有点的坐标满足的方程。
设\((x,y)\)是灰色反射图形上的可变点。
（它的可变性允许它代表图形上的每个点。）
“撤销”反射会将这个点发送回\((-x, y)\)，
而且这个后者点当然必须位于原始黑色图形上。因此，\((-x, y)\)满足那个原始图形的方程。
也就是说，对于反射图形上的每个点\((x, y)\)，我们知道\(f(-x, y) = 0\)。
因此，这个最后方程是反射图形的方程。令人高兴的是，我们可以简单地将原始图形方程中的x替换为-x从中得到它。
命题2。如果我们将图形水平拉伸因子k，我们可以通过将原始图形方程中每个x替换为x/k来获得反射图形的方程。
证明。考虑一个任意图形，如右边的黑色图形，并水平拉伸它（产生灰色曲线）。设\(f(x, y) = 0\)是原始图形的方程。我们现在寻求拉伸图形的方程：被拉伸图形上所有点的坐标满足的方程。
设\((x,y)\)是拉伸图形上的可变点。“撤销”拉伸会将这个点发送回\((x/k,y)\)，而且这个后者点当然必须位于原始黑色图形上。因此，\((x/k,y)\)满足那个原始图形的方程。
也就是说，对于拉伸图形上的每个点\((x, y)\)，我们知道\(f(x/k, y) = 0\)。
因此，这个最后方程是拉伸图形的方程。我们可以简单地将原始图形方程中的x替换为x/k从中得到它。
如果你理解这两个证明，你将能够自己构建其他四个。从本质上讲，我们通过在代数上”撤销”变换，然后将被”未变换”的坐标代回原始曲线方程来获得变换曲线的方程。
练习
证明如果我们水平将图形平移k个单位，我们可以通过将原始图形方程中每个x替换为\((x - k)\)来获得平移图形的方程。
证明如果我们关于x轴反射图形，我们可以通过将原始图形方程中每个y替换为-y来获得反射图形的方程。
证明如果我们垂直将图形拉伸因子k，我们可以通过将原始图形方程中每个y替换为y/k来获得反射图形的方程。
证明如果我们垂直将图形平移k个单位，我们可以通过将原始图形方程中每个y替换为\((y - k)\)来获得平移图形的方程。
在命题1的证明中，我们证明了\(f(-x,y)=0\)被反射图形上的每个点满足。严格来说，我们还应该证明\(f(-x,y)=0\)不被不在反射图形上的任何点满足。填补这个空白。
[提示：设\((a, b)\)为不在反射图形上的可变点。现在”撤销”变换等。]
函数右手边的快捷方式
当专门处理函数图形（即形式为\(y = f(x)\)的方程）时，我们可以通过直接对方程右手边操作来执行变换。以下”RHS快捷方式”等价于但比通常的替换更方便。*
| 垂直拉伸因子\(k\) | 将RHS乘以\(k\) |
|---|---|
| 垂直平移\(k\)单位 | 将RHS加\(k\) |
为了看到这些”新”操作实际上只是熟悉替换的快捷方式，考虑\(f(x)\)图形的垂直拉伸。用\((y/k)\)替换y给出我们\(y/k = f(x)\)。代数按摩将其变为\(y = kf(x)\)。瞧！净代数效果是将原始RHS乘以k，如所声称的。相同的论证证明了垂直平移快捷方式，如你将验证的。
例1。大致说来，\(y = 2x^{2} + 3\)的图形是什么样的？
解。\(y = x^{2}\)的图形是熟悉的U形。从\(y = x^{2}\)，我们可以通过两个代数”动作”到达\(y = 2x^{2} + 3\)：首先，将RHS乘以2（得到\(y = 2x^{2}\)），然后将3加到RHS。相应的几何变换：垂直拉伸因子2，然后向上平移3。因此，我们寻求的图形是一个稍微细长的U形，其顶点在\((0,3)\)。
永远不要忘记：RHS快捷方式仅适用于函数\(y = f(x)\)，而不适用于一般方程！
\[x^{2}+y^{2}=1\]
\[y=f(x)\]
RHS快捷方式令人直接：垂直拉伸5，只需将RHS乘以5；向上平移3个单位，只需将3加到RHS。与替换的混乱世界形成鲜明对比，在那里我们必须记住取倒数和反转代数符号！RHS快捷方式易于使用、易于记忆、易于理解。但再一次，带着感情：它们只适用于函数。
让我们通过将一些披着狼皮的羊——用足够的变换伪装看起来对新手可怕的无害函数——来练习快捷方式。
例2。绘制函数\(y = -3\sqrt{x + 2}\)
解。这只是一个熟悉函数\(y = \sqrt{x}\)的变换版本，正如这个分析所示：
\[y=\sqrt{x}\quad\xrightarrow{sub(x+2)for x}\quad y=\sqrt{x+2}\quad\xrightarrow{-3(RHS)}\quad y=-3\sqrt{x+2}\]
相应的几何变换是：
向右平移2个单位，然后垂直拉伸因子3（伴随垂直反射）。
将这些连续几何变换应用到\(y = \sqrt{x}\)的图形将把我们带到右边的图形，你应该验证。因此，右边的图形必须是给定函数的图形。为了提供更多细节，我们可以找到并标记它与y轴的交点，这（你也应该验证）是\((0, -3\sqrt{2})\)。
在前面的例子中，我们可以按任何顺序执行变换并获得相同的图形。（试试看。）然而，一般来说，我们必须小心变换的顺序。
例3。绘制函数\(y = \frac{1}{2}x^{2} - 3\)。
解。我们认识到这个函数只是\(y = x^{2}\)的变换版本：
\[y=x^{2}\quad\xrightarrow{(1/2)\cdot RHS}\quad y=\frac{1}{2}x^{2}\quad\xrightarrow{RHS-3}\quad y=\frac{1}{2}x^{2}-3\]
相应的几何变换是：垂直拉伸1/2，然后向下平移3。
应用这两个几何变换（按指定顺序！）到\(y = x^{2}\)熟悉的U形图形，得到一个基本形状如右边的图形。如果我们想要更多细节，我们可以通常方式找到并标记它与x轴的交点。
[这些是\((-\sqrt{6}, 0)\)和\((\sqrt{6}, 0)\)，你应该验证。]
正如你在练习12中看到的，正确执行几何变换至关重要。你怎么判断给定的顺序会产生正确的图形？很简单：检查相应的代数变换是否以相同的顺序应用于你想要的方程。如果是，那就好。如果不是，那就有个问题。首先打开窗户，然后把头伸过去。
这是一个更有挑战性的例子——我们将以两种不同的方式解决。
例4。绘制函数\(y = \sqrt{1 - (3x + 9)^{2}}\)
第一种解。这\(y = \sqrt{1 - x^{2}}\)的变换版本，其图形是单位圆的上半部分。这是实现这个变换的一系列代数步骤：
\[y=\sqrt{1-x^{2}}\quad\xrightarrow{sub\left(x+9\right)for x}\quad y=\sqrt{1-(x+9)^{2}}\quad\xrightarrow{sub3x for x}\quad y=\sqrt{1-(3x+9)^{2}}\]
相应的几何变换是：
向左平移9个单位，然后水平拉伸1/3。
按指定顺序将这些几何变换应用到单位圆的上半部分，得到\(y = \sqrt{1 - (3x + 9)^{2}}\)的图形，你可以通过自己执行变换来验证，看起来像右边的图形。
第二种解。如果我们在括号内取出因子3进行一些初步代数，我们可以将给定函数重写为新形式，
\[y=\sqrt{1-(3(x+3))^{2}}\]
这暗示了不同的步骤顺序：
\[y=\sqrt{1-x^{2}}\quad\xrightarrow{sub3x for x}\quad y=\sqrt{1-(3x)^{2}}\quad\xrightarrow{sub(x+3)for x}\quad y=\sqrt{1-(3(x+3))^{2}}\]
相应的几何变换是：
水平拉伸1/3，然后向左平移3
通过绘图，你应该验证由这个交替几何变换序列产生的结果图形将与第一种解中找到的相同。注意这里的平移只是3个单位（而不是第一种解中的9个单位）；因为我们首先压缩了图形，我们不必平移那么远。
练习
- 给出以下\(f(x)\)代数变换对应的几何变换：
将RHS乘以5
用\((x + 2)\)替换x
将RHS乘以-1
将1加到RHS
将RHS乘以7/9
用6x替换x
用\((2/3)x\)替换x
将5加到RHS
将RHS乘以-3
将RHS乘以\((-3/5)\)
用-4x替换x
用\((y + 2)\)替换y。
- 对还是错（并解释为什么假答案是错的）：
将\(x^{2} + y^{2} = 1\)的RHS乘以4将其图形垂直拉伸因子4。
将\(2x^{2} + 2y^{2} = 2\)的RHS加3将其图形向上平移3个单位。
从\(10xy = x^{2} + 3y^{3} - 5\)的RHS减7将其图形向下平移7个单位。
将\(y = 14x^{8} + \sqrt[3]{x}\)的RHS乘以3将其图形垂直拉伸因子3。
- 给出以下几何变换对应的\(f(x)\)代数变换：
向右平移8 b) 向左平移8 c) 向下平移8 d) 向上平移8 e) V-拉伸因子6
V-拉伸因子1/3 g) H-拉伸因子10 h) H-拉伸因子1/10
V-拉伸因子3/16 j) 关于x轴反射 k) 关于y轴反射
V-拉伸因子5和v反射 m) V-拉伸因子3/7和垂直反射
- 绘制以下函数，并标记关键点及其坐标。（这些将包括与轴的交点，可能还有端点或拐点当这些存在时。）
\(y = 5(x - 1)^{3}\)
\(y=\sqrt{x+3}+1\)
\(y = -2|x| + 3\)
\(y = \frac{2}{3}(x+2)^{2}-1\)
\(y=\frac{4}{x-2}\)
\(y=-3(x-1)^{2}+2\)
\(y=-\frac{3}{x}+7\)
\(y=\sqrt[3]{8x-8}\)
\(y = 2\sqrt{9 - x^{2}} - 3\)
\(y = 1 - \sqrt{4 - x^{2}}\)
\(y=-\frac{1}{2}(x+1)^{3}\)
- 找到对应于以下图形的函数，它们是\(y = |x|\)的变换版本。
[图形a]
[图形b]
[图形c]
- 仅使用平移、拉伸和反射，是否可以将直线y = x转换为经过\((x_{0}, y_{0})\)且斜率为m的直线？如果不能，为什么？如果能，给出一系列将执行此操作的变换。
二次函数图形
我非常熟悉数学事务，我理解方程，简单和二次的，关于二项式定理我充满了很多消息——关于斜边平方的许多令人愉快的事实！- Stanley少将（《彭赞斯的海盗》，第一幕）
我们已经证明所有线性函数（即形式为\(y = ax + b\)的函数）的图形都是直线。在本节中，我们将证明所有二次函数（即形式为\(y = ax^{2} + bx + c\)的函数）的图形都是U形。此外，我们稍后会看到它们不仅仅是任何U形：它们是抛物线。在证明所有二次函数都有U形图形之前，我们将考虑一个特定的二次函数。这将以非常具体的形式包含我们在抽象通用证明中需要的所有关键思想。我们需要的一个想法是”配方法”，所以在继续阅读之前你可能希望复习该技术。
例。绘制二次函数\(y = 2x^{2} + 12x + 13\)的图形。
解。我们首先通过配方法将方程重写为等价形式。
\[\begin{aligned}y&=2x^{2}+12x+13\\&=2(x^{2}+6x)+13\\&=2(x^{2}+6x+\mathbf{9}-\mathbf{9})+13\\&=2[(x+3)^{2}-9]+13\\&=2(x+3)^{2}-5。\end{aligned}\]
在这种形式中，我们看到我们的二次函数只是\(y = x^{2}\)的变换版本，其图形是熟悉的U形。具体来说，它通过以下变换序列与\(y = x^{2}\)相关：
\[y=x^{2}\quad\xrightarrow{2(RHS)}\quad y=2x^{2}\quad\xrightarrow{sub\ (x+3)\ for\ x}\quad y=2(x+3)^{2}\quad\xrightarrow{RHS-5}\quad y=2(x+3)^{2}-5\]
相应的几何变换序列是：
垂直拉伸2，向左平移3，向下平移5
在脑海中按照这些变换跟随\(y = x^{2}\)的图形，你将看到我们寻求的图形的大致形状：一个拉伸的U，其最低点在\((-3, -5)\)。为了更详细一点，我们注意到方程告诉我们当x为0时，y为13。因此，我们想要的图形是一个U，其最低点在\((-3, -5)\)，与y轴相交于\((0, 13)\)。这些信息已经足以产生右边的图形。
要包含更多细节，如果我们需要，可以找到曲线与x轴相交的点。[这些，如你将验证的，是\((-3 \pm \sqrt{5/2}, 0)\)。]
我们在前一个例子中使用的方法可用于绘制任何二次函数：配方法，然后应用从\(y = x^{2}\)图形揭示的适当变换。现在让我们处理抽象问题。
命题。每个二次函数都有U形图形。
证明。考虑一般二次函数\(y = ax^{2} + bx + c\)。
通过配方法将方程重写为等价形式，我们得到
\[\begin{aligned}y&=ax^{2}+bx+c\\&=a\left(x^{2}+\frac{b}{a}x\right)+c\\&=a\left(x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}\right)+c\\&=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}\right]+c\\&=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}+\left(c-\frac{b^{2}}{4a}\right)。\end{aligned}\]
这揭示了一般二次函数是\(y = x^{2}\)的代数变换版本。因此，其图形可以通过几何变换序列从\(y = x^{2}\)的U形图形获得：垂直拉伸因子a（如果a < 0则伴随垂直反射），然后水平平移，最后垂直平移。因为拉伸的U仍然是U（虽然是更瘦或更胖的），平移的U显然是U，因此我们可以得出结论，\(y = ax^{2} + bx + c\)的图形总是U形的，如所声称的。
另一个观察：在证明中，我们看到如果a，即二次的首项系数，是负的，U将垂直反射。如果发生这种情况，它当然会向下开口。否则（如果首项系数为正）U将向上开口。总结我们的发现，
每个二次函数（即形式为\(y = ax^{2} + bx + c\)的函数）的图形都是U形的。
• 如果首项系数为正，U向上开口；如果为负，向下开口。
• 要绘制二次函数，我们配方法然后应用由此揭示的变换。
最后，一些术语：U形中的拐点称为其顶点。在二次函数的图形中，顶点位于函数达到其最大输出值（如果图形向下开口）或其最小值（如果向上开口）的地方。
练习
- 绘制以下二次函数。找到图形的顶点及其与轴的交点。
a)\(y=x^{2}+8x+1\) b)\(y=2x^{2}+4x+2\) c)\(y=5x^{2}-3\) d)\(y=-x^{2}+10x-7\)
e)\(y=3x^{2}+4x+5\) f)\(y=-5x^{2}-12x+2\) g)\(y=\frac{3}{2}x^{2}+6x\) h)\(y=-\frac{3}{14}x^{2}+\frac{2}{7}x+1\)
\(y = x^{2}\)的图形能包含在两条垂直线之间吗？如果能，哪两条？如果不能，为什么不能？
许多教科书陈述在\(y = ax^{2} + bx + c\)的图形中，顶点的x坐标将是-b/2a。
解释为什么是这样。
用这个结果找到\(y = 5x^{2} + 4x - 1\)顶点坐标。
虽然这个结果将允许你快速解决某些作业问题（如练习36中的那些），记住它会产生反效果。它不会帮助你学习数学。相反，每次你通过配方法绘制二次函数时，你强化了两个重要的数学技巧：配方法和变换。（此外，如果你想要捷径，为什么不使用电脑？）放弃这个公式的第二个原因是，一旦你学了一点微积分，你将能够几秒钟内找到二次函数的顶点，而不必在记忆中翻找任何东西。
如果两个矩形有相同的周长，它们必须有相同的面积吗？如果是，解释为什么。如果不是，提供一个反例。
Square先生计划在田野中间围起一个矩形区域。他有100英尺的栅栏。他依稀记得具有相同周长的矩形可以有不同的面积，他希望他的矩形面积尽可能大。作为Square先生，他非常确定最大化面积的方法是做一个正方形，但然后，他以前也错过。是这样吗？如果不是，为什么？如果是，证明它。
[提示：考虑周长为100的矩形。设x为其一边之一的长度。将矩形的面积表示为x的函数。该函数将是二次的。绘制它，并考虑其在Square先生问题的背景下顶点。]
Square先生的邻居Lana Evitneter也计划用100英尺的栅栏围起一个矩形区域。然而，由于她房子的一面墙将作为矩形的一边，她实际上只需要三边的栅栏。她请Square先生帮助她最大化矩形的面积。自然，Square先生建议做正方形。他这次对吗？如果是这样，证明它。如果不是，找到实际上将最大化封闭面积的矩形尺寸。
由于他的错误，Square先生乘坐热气球逃离了社区。他从一座非常长的山坡底部起飞，山坡具有1/3的恒定斜率（见 图）。Square先生气球采取的路径恰好是\(y = -x^{2} + 4x\)的图形。唉，正如你从图中可以看到，他的气球没有越过山坡。假设轴上每个单位代表1000英尺，
气球着陆点的坐标是什么？
发射点和着陆点之间有多少英尺？
如果发射点在海平面，那么气球相对于海平面的最大高度是多少？
气球相对于地面的最大高度是多少？
抛物线
已经观察到导弹和抛射体
描述某种曲线路径。然而，没有
任何人指出这条路径是抛物线。
这个……我成功证明了。
- 伽利略·伽利莱，《关于两门新科学的对话》，第三天，介绍
一点到一条线的距离，根据定义，是连接它们的最短路径的长度：一条与线成直角的直线。因此，在右边的图中，点P到线AB的距离是线段PQ的长度。
在一张纸上画一条线和一个点。称该点为F，称该线为d。找到一个与F和d等距的点，并在纸上标记。然后，找到并标记尽可能多的其他与F和d等距的点。一会儿后，你将有一个看起来像右边的图形。在你的脑海中，画出通过每个与F和d等距的无限多点的曲线。这条曲线称为抛物线。
定义。抛物线是到一个固定点（称为抛物线的焦点）和一条固定直线（称为抛物线的准线）等距的所有点的集合。
虽然所有抛物线都是U形，但很少有U形是抛物线。如果你随机在纸上画一个U形，它几乎肯定不是抛物线。试试看：首先在纸上随机画一个U形，然后尝试猜测如果它是抛物线，它的焦点和准线在哪里。现在开始检查U上的点（最好用尺子）。如果你能找到U上的一个点与你的预期焦点和准线不完全相同的距离，那么你的U形不是抛物线——至少不是用那些焦点和准线的选择。即使徒手画一个相当准确的圆（没有圆规的帮助）已经很困难，画一个相当准确的抛物线就更难了。
数学家研究抛物线已有两千多年，因为它们具有显著的几何性质。令人惊讶的是，在17世纪初，伽利略证明抛物线也有物理意义：在仅受重力影响下移动的抛射体将始终遵循抛物线路径。当你向你的狗扔球时，球离开手时遵循的路径不仅是U形，而是抛物线：当它穿过空气时，它保持与隐形焦点和准线等距。上物理课，你会学到为什么。
我们可以通过将其定义翻译成代数术语来发现抛物线的方程。如果我们把轴放置成抛物线的顶点在原点且焦点在正y轴上，这将特别容易。这种设置确保焦点的坐标将是\((0, p)\)对于某个正数p。此外，由于顶点距离焦点p个单位，它也必须（根据抛物线的定义）距离准线p个单位；因此，准线的方程必须是y = -p。
问题。推导顶点在\((0,0)\)且焦点在\((0, p)\)的抛物线方程。
解。我们寻求一个被抛物线所有点的坐标满足的方程。设\((x, y)\)为抛物线上的可变点。它到焦点\((0, p)\)的距离，根据距离公式，是
\[\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}=\sqrt{\boldsymbol{x}^{2}+(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{p})^{2}}\]
而它到准线的距离是\(y + p\)。（它位于x轴上方y个单位，x轴本身在准线上方p个单位，如上图所示。）
我们刚刚计算的这两个距离，根据抛物线的定义，是相等的。即，
\[\sqrt{x^{2}+(y-p)^{2}}=y+p\]
这个方程被我们的可变点（因此抛物线上的每个点）满足，所以它是抛物线的方程。通过对两边平方然后简化来整理它。由此产生的抛物线的整洁方程是，如你将验证的，\(y = \left(\frac{1}{4p}\right) x^{2}\)。
顶点在\((0,0)\)且焦点在\((0,p)\)的抛物线方程是
\[\boldsymbol{y}=\frac{1}{4\boldsymbol{p}}\boldsymbol{x}^{2}\]
我们将用这个事实建立两个小的初步结果，然后将它们变成一个大定理。这是第一个小结果。
命题1。\(y = x^{2}\)的图形不仅仅是U形，而是抛物线。
证明。方程\(y = x^{2}\)具有上面框中的形式，其中p = 1/4。因此，其图形是顶点在\((0, 0)\)且焦点在\((0, 1/4)\)的抛物线。（其准线是y = -1/4。）
我们两个初步结果中的第二个涉及拉伸抛物线。假设我们拉伸一个抛物线。结果肯定是U形，但还会是抛物线吗？值得注意的是，如果我们以任何因子在任何方向拉伸任何抛物线，结果仍然将是抛物线！虽然我们无法证明这里的完整陈述，但我们很容易证明一个非常特殊——但非常有用——的情况。
命题2。如果我们将\(y = x^{2}\)的图形垂直拉伸，结果仍然是抛物线。
证明。如果我们垂直拉伸\(y = x^{2}\)的图形因子k，其新方程将是\(y = kx^{2}\)。这匹配我们框中抛物线的方程，其中\(k = 1/(4p)\)；或等价地，\(p = 1/4k\)。因此，\(y = kx^{2}\)的图形确实是顶点在\((0, 0)\)且焦点在\((0, 1/(4k))\)的抛物线。
有了我们两个初步结果的确立，让我们转向大定理。
定理。所有二次函数的图形都是抛物线。
证明。在早期的一节（“二次函数图形”），我们证明任何二次函数的图形都可以通过遵循某个变换序列从\(y = x^{2}\)的图形获得：首先垂直拉伸（有时伴随反射），然后一些平移。
从那以后，你了解到\(y = x^{2}\)的图形不仅仅是U，而是抛物线（命题1），并且垂直拉伸将保留其抛物线性质（命题2）。反射和平移呢？它们可能会干扰拉伸抛物线的抛物线性质，使其变成仅仅是U形吗？不会。毕竟，反射和平移根本不改变图形的形状（它们只改变图形的位置），所以它们显然也保留抛物线的抛物线性质。
总之，我们已经看到每个二次函数的图形都可以从单个特定抛物线（\(y = x^{2}\)）通过一些”保留抛物线”的变换序列获得。因此，每个二次函数的图形必须是抛物线，如所声称的。
结合我们早期关于绘制二次函数的工作，我们可以得出结论
每个二次函数（即形式为\(y = ax^{2} + bx + c\)的函数）的图形都是抛物线。
• 如果首项系数为正，抛物线向上开口；如果为负，向下开口。
• 要绘制二次函数，我们配方法然后应用由此揭示的变换。
练习
随机选择一个数字。称它为n。平方它。点\((n, n^{2})\)位于\(y = x^{2}\)的图形上。计算其到抛物线焦点和准线的距离，并验证这些确实相等。
\(y = 2x^{2}\)的图形是抛物线吗？如果是，找到其顶点、焦点和准线。
\(y = \left(\frac{1}{2}\right)x^{2}\)的图形是抛物线吗？如果是，找到其顶点、焦点和准线。
找到顶点在\((0,0)\)且焦点在\((0,5)\)的抛物线方程。
找到顶点在\((0,0)\)且焦点在\((0,1/5)\)的抛物线方程。
证明如果我们水平拉伸\(y = x^{2}\)的图形，结果仍然是抛物线。
找到方程为\(y = 3x^{2} - 12x + 13\)的抛物线的焦点和准线。
[提示：配方法，思考每个几何变换如何影响焦点和准线。]
- 找到方程为\(y = -3x^{2} - 6x + 1\)的抛物线的焦点和准线。
抛物线的反射性质
在任何点P在抛物线上，画该点处抛物线的切线。接下来，画连接P与焦点的线段。最后，从P画一条与抛物线对称轴平行的射线。我们可以证明线段和射线与切线形成相等的角度。这个所谓的抛物线”反射性质”不适用于其他U形：只有抛物线。从这个抛物线反射性质可能看起来深奥，但它有显著的物理后果，在阅读以下关于光学的段落后你将能够欣赏。
光线以简单的方式从平坦表面反弹：当光线撞击平坦表面时，它以与撞击时相同的角度反射。图右边描绘了光线撞击（然后离开）反射表面在\(24^{\circ}\)角。
如果光线撞击曲面，相同的规则成立，但现在角度是在光线与曲面切入处切线之间测量的。如果你能想象在切入处充分放大，使得曲线和切线变得无法区分，你就会明白为什么是这样。顺便说一句，曲线及其切线在微观尺度下的这种虚拟恒等——这是微积分的一个主要主题。
现在让我们回到抛物线的反射性质。如果光线从抛物线的焦点发出并击中抛物线上点P，它将向什么方向反射？如果你理解了前面三段，你应该能够说服自己以下：由于反射性质，击中P的抛物线的光线将”弹回”平行于抛物线对称轴。既然这样，假设我们在抛物线焦点处照亮一个灯泡，让光线以所有方向向外流动。令人惊讶的是，所有击中抛物线的光线将以相同的方向弹回：平行于抛物线的对称轴！正因为如此，手电筒、前灯等使用抛物面镜。
抛物面镜也可以反向使用，将平行光线集中到一点。例如，到达地球上我们的太阳光线实际上是平行的，因为地球和太阳之间的距离太大了。如果我们用抛物面镜捕捉太阳光线，我们可以将它们集中到镜子焦点处的一个非常热的点。（因此名字focus，在拉丁语中意思是”壁炉”。）你可以在线找到这种”燃烧镜”或”太阳炉”的照片，包括位于法国比利牛斯山脉一个村庄的世界上最大的一个。另一个例子：卫星接收盘是抛物形的，以将卫星的信号集中到盘的焦点，在那里设有发射器。
抛物线反射性质的证明
我们的证明将使用以下相当明显的几何事实。
线段AB的垂直平分线将平面分为三组点：在平分线A侧的点（比B更靠近A）；在平分线B侧的点（比A更靠近B）；以及平分线上的点（与A和B等距）；
例如，在右边的图中，我们必须有PA = PB，但QB < QA。
命题。从抛物线焦点发出的光在抛物线上反射。
证明。首先我们设置舞台。设P是抛物线上的任意点。
现在画连接它到焦点F的线段FP，并画与对称轴平行的射线\(PD'\)。在所有不进入角度\(F\hat{P}D'\)的通过P的直线中，只有一条使FP和\(PD'\)成相等角度。我用灰色画了这条线\((PS')\)。接下来，延长射线\(PD'\)直到它在准线上与D相交。由于\(PD'\)平行于对称轴，延长线必须垂直于准线。最后，设\(FD'\)与灰色线的交点为S。舞台现在设置好了。
证明的第一幕（三幕中的第一幕），我们将证明灰色线是\(FD'\)的垂直平分线。关键是证明\(\Delta FPS \cong \Delta DPS\)，我们可以如下进行：首先，FP = PD根据抛物线的定义性质。接下来，\(F\hat{P}S = D\hat{P}S\)（因为两个角度都等于\(D'\hat{P}S'\)；一个根据灰色线的定义，另一个根据垂直角）。最后，SP是两个三角形的公共边。因此，由SAS全等，\(\Delta FPS \cong \Delta DPS\)如所声称的。由此得出FS = DS。也就是说，灰色线平分FD。而且，\(F\hat{S}P = D\hat{S}P\)，由于它们形成一条直线，这些相等的角必须是直角。
因此灰色线确实是\(FD'\)的垂直平分线。
在第二幕中，我们将证明灰色线与抛物线相切，方法证明除了P以外，抛物线的所有点都位于灰色线的一侧。为此，设Q为抛物线上的任何其他点，并向准线作垂线QR。根据抛物线的定义，QF = QR，它小于QD（在任何直角三角形中，直角边 < 斜边），所以QF < QD。因此，Q在FD的垂直平分线的F侧，即灰色线。由于Q是任意的，抛物线的所有点（除P外）都位于灰色线的F侧，因此它是抛物线在P处的切线，如所声称的。
第三幕也是最后一幕：想象从抛物线焦点F发出的光线在P处击中抛物线，如图所示。如前所述，光线被反射的角度等于它击中抛物线在P处的切线的角度。但这条切线是灰色线。由于光线以角度\(F\hat{P}S\)击中这条线，它以相同大小的角度反射。但根据灰色线的定义，那个角度是\(D'\hat{P}S'\)。也就是说，光线沿着射线\(PD'\)从抛物线反射，根据定义，它平行于抛物线的对称轴。