第7章 - 指数函数与对数
第7章 指数函数与对数
棋盘与米粒
沉迷于象棋，皇帝召见了这种游戏的创造者来到他的宫殿，答应赐予他任何想要的东西。令皇帝惊讶的是，这位天才绅士只要求米粒：在棋盘的第一个方格上放2粒，第二个方格上放4粒，然后8粒、16粒，以此类推。皇帝点头同意，叫来一个奴隶进行计数。
当皇帝和这个人交谈时，奴隶的米袋已经空了。他取来第二个米袋，但这也很快见底了。他毫不气馁，又搬来好几个，但这些也相继用完了。他一次又一次地搬来更多的米，直到皇帝看到他的奴隶还没走到棋盘的第二排，就威胁要严厉惩罚他。在随后的沉默中，知识在皇帝和奴隶心中觉醒：这个任务是不可能的——即使把全世界所有的米都聚集到宫殿来，仍然不够。皇帝惊恐万分，撕裂了长袍，离开了宫殿，再也没有出现。奴隶在花园里上吊自杀了。那个人回到了家中。
——龙舒，《编年史》，第三卷，第十一部分。
在上述记载中，那个人为棋盘的第一个方格请求2粒米，第二个方格请求\(2^{2}\)粒米，第三个方格请求\(2^{3}\)粒米，以此类推。用代数方式表述，棋盘第\(n\)个方格将有\(2^{n}\)粒米。当皇帝和奴隶意识到这一点时，函数\(y = 2^{n}\)以惊人的速度增长。你可以心算出前十个左右方格的米粒数，但很快就需要计算器了。例如，计算器告诉我们第32个方格应该有4,294,967,296粒米。由于大多数计算器只能给出不超过10位的精确数值，你需要一台计算机（或足够的纸、墨水和耐心）来发现棋盘第64个（也是最后一个）方格恰好有18,446,744,073,709,551,616粒米——比世界上存在的米还要多得多。
在本章中，我们将考虑像\(f(x) = 2^{x}\)这样的函数，它们对所有实数（而不仅仅是整数）都有定义。这种自变量作为指数出现的函数被称为指数函数。
练习
解释为什么图像的y截距是1。
我们知道\(f(1) = 2\)，\(f(2) = 4\)。\(f(1.5)\)是多少？（给出精确值和近似值。）
负x轴是图像的渐近线吗？你怎么知道的？
指数增长
人类种族最大的缺点是我们无法理解指数函数。
——阿尔伯特·巴特利特
形式为\(y = a^{x}\)（其中\(a > 1\)）的指数函数被称为呈现指数增长。底数\(a\)越大，增长越陡峭，正如我们在比较右侧图像时所看到的。指数增长发生在某物以固定百分比每单位时间增加的情况下，我将很快解释这一点。
一个常见的例子是银行的复利。当然，你银行里的钱正处于曲线的早期缓慢增长部分，要到很长时间以后增长才会变得爆发性。到那时，你已经不在人世，无法享受了。
一个人口增长的潜在危险例子是地球的人类人口。如果你不幸在见证这场指数爆炸的后果时还活着，那真是够幸运的了。
例题。 假设100个细菌在一个封闭空间中。每分钟，细菌数量增加64%。1分钟后有多少细菌？2分钟后呢？3分钟后呢？将细菌数量表示为已过去分钟数的函数，并画出这个函数的图像。
解。 每分钟人口增加64%，所以第一分钟，人口从100增长到100(1.64)。第二分钟，它从100(1.64)增长到100(1.64)\(^{2}\)。第三分钟，它从100(1.64)\(^{2}\)增长到100(1.64)\(^{3}\)。按照这个规律，\(t\)分钟后，人口将达到100(1.64)\(^{t}\)。因此，如果\(B(t)\)代表时间\(t\)时的细菌数量，那么
\[B(t)=100(1.64)^{t}.\]
这很容易通过变换来画图。首先，我们知道更简单的函数\(B = (1.64)^{t}\)的图像类似于本页顶部描述的标准指数增长图像：它从负x轴匍匐而上，在\((0,1)\)处穿过y轴，然后飞向天空。将这个图像垂直拉伸100倍，就会变成我们寻求的图像。这种拉伸不会特别改变图像的整体形状（你应该说服自己相信这一点），只是现在它的y截距是100而不是1。因此它看起来像右边的图。
练习
在上面的例题中，找出封闭空间中1分钟、2分钟、3分钟、30分钟和1小时后的细菌数量（四舍五入到最近的细菌）。
假设一张纸的厚度是\(1/4 \, mm\)。如果你把它切成两半并叠放，结果将是\(1/2 \, mm\)厚。在新堆上重复操作，结果将是\(1 \, mm\)厚。通过使用计算器摸索，确定……
你必须切割和堆叠多少次才能形成比你高的纸堆。
你必须切割和堆叠多少次才能形成能到达月亮的纸堆。
[提示：月亮平均距离地球384,400公里。]
假设某个银行账户每年年末支付2%的利息。如果你将2000美元存入这个账户，然后转身让它累积利息，1年后账户里有多少钱？2年后呢？20年后呢？200年后呢？（答案四舍五入到最近的美元。）
画出以下指数函数的图像，标注渐近线和截距：
\(y=3^{x}\)
\(y = 42(10^{x})\)
\(f(x)=20(5^{x})\)
\(g(x)=3(2^{x})+5\)
\(y = 12(8^{x}) - 10\)
\(y = 2^{-x}\) [指数衰减的一个例子，我们很快会讨论。]
- 细菌如此，人亦如此。
世界人口正在指数增长，我们的物种显然已经相当疯狂了。目前，世界人口以每年约1%的速度增长。如果这种增长率保持不变，考虑到2022年世界人口为80亿，2050年将是多少（精确到十亿）？2075年呢？2100年呢？
1990年，威斯康星州阿尔塞的人口为950。此后每年，人口增加10人。假设这种趋势继续，将阿尔塞的人口表示为自2000年以来经过的年数\(t\)的函数。2050年阿尔塞的预计人口是多少？
在上一题中，将”人”字改为”百分”，重新做这道题。然后思考线性增长和指数增长之间的区别。
一些指数复习。尽可能简化以下内容：
\[a)\frac{\left(5^{-1}5^{3}\right)^{2}}{5^{4}} \quad b)8^{2/3} \quad c)\left(\frac{\left(6^{7}6^{3}\right)^{2}}{(6^{6})^{3}}\right)^{1.5} \quad d)\left(2^{5}(4^{-2})\big(16^{3/4}\big)\right)^{-3/2} \quad e)\left(\frac{3^{\pi}e^{2/3}e^{1/6}}{3^{e}e^{\pi}}\right)^{0}\]
指数衰减
无论何时，人口以固定百分比每单位时间增加，结果就是指数增长。无论何时，人口以固定百分比每单位时间减少，结果就是指数衰减。
例题1。 故事问题镇，俄亥俄州的人口在1980年达到顶峰，当时有30,000名公民，其中大部分受雇于测量旗杆、计算围栏理想尺寸等工作。然而，自顶峰以来，该镇人口每年下降3%。将故事问题的人口表示为自1980年以来经过的年数\(t\)的函数，并找出2020年的人口。
解。 1年后，人口是原来的97%。也就是说，是30,000(.97)。2年后，人口只有这个值的97%。也就是说，人口降至30,000(.97)\(^{2}\)。显然，\(t\)年后，故事问题的种群\(P\)将是
\[P(t)=30,000(.97)^{t}.\]
特别是，在2020年（即1980年后的40年），该镇人口约为\(P(40) \approx 8871\)。
任何指数衰减函数的核心是一个形式为\(y = a^{x}\)的方程，其中\(a < 1^{*}\)。（例如，上面例题中函数的核心是\(y = (.97)^{x}\)。）确保你理解为什么是这样。这类函数的图像原来是其指数增长”兄弟姐妹”的镜像，这借助一些代数技巧很容易看出。
例如，考虑函数\(y = (.8)^{x}\)，它描述了每单位时间过去人口减少20%。我们可以将函数重写为
\[y=(.8)^{x}=\left(\frac{8}{10}\right)^{x}=\left(\frac{10}{8}\right)^{-x}=(1.25)^{-x}.\]
只要你还记得前一章关于变换的内容，你应该认识到这个函数的图像只是\(y = (1.25)^{x}\)（指数增长曲线）关于y轴的反射。可以对任何指数衰减函数进行类似的分析。因此，所有形式为\(y = a^{x}\)的指数衰减函数都表现出相同的行为：它们从天而降，在\((0,1)\)处穿过y轴，并渐近地滑向零。
也许指数衰减最令人惊讶的应用是碳14年代测定，关于这一点我将在本章后面详细说明。
练习
当地妓院提高入场费10%，但一周后又决定降价10%。这两个变化的净效果是什么？
35岁时，一个人有1000颗弹珠。此后每年，他失去1.9%的弹珠。将他的弹珠数量表示为他35岁生日以来经过的年数\(t\)的函数。[这些是特殊的数学弹珠，有点流动的性质；可以有分数。]
如果我们能逆转时间，看着前面问题中的人越来越年轻，从而每年获得新的弹珠，他的弹珠收藏会每年增长1.9%吗？
画出以下指数函数的图像，标注渐近线和截距：
\(y=(.6)^{x}\)
\(y=232(.6184)^{x}\)
\(f(x)=\pi\left(\frac{3}{14}\right)^{x}\)
\(g(x)=3(2^{-x})+5\)
\(y=-12(8^{x})-10\)
\(y=(2.71828)^{x}\)
\(y=-\frac{1}{2}\Big(\frac{1}{8}\Big)^{x}+1\)
- 将以下每个函数表示为\(y = ba^{t}\)的形式，其中0 < a < 1，并说明每单位时间(t)函数值损失的百分比。
\(y = 5^{-t}\)
\(y = 2(2)^{-t}\)
\(y = \frac{5}{2}\left(\frac{4}{3}\right)^{-t}\)
- 将以下每个函数表示为\(y = ba^{-t}\)的形式，其中a > 1，并说明每单位时间(t)函数值损失的百分比。
\(y=(.61)^{t}\)
\(y=4\left(\frac{1}{10}\right)^{t}\)
\(y=\frac{7}{8}\left(\frac{3}{5}\right)^{t}\)
- 在线观看阿尔伯特·巴特利特讲座”算术、人口与能源”至少前20分钟。学习了对数之后，你将能够理解他所描述材料的数学基础：指数函数的固定倍增时间和”70法则”。我将在本章末尾解释这两个，但巴特利特会提供一些令人深思的背景。
对数：解指数方程的工具
对数——我有没有——喝——
这是一种干酒——
——艾米莉·狄金森（《让我们玩昨天》）
接下来，我们将开发一个工具——自然对数——来解指数方程（如\(2^{x} = 5\)）。这个工具涉及一个无理数\(e\)，它的本质在你学习微积分之前必然保持神秘。试图理解为什么\(e\)是”自然的”而不理解导数，就像试图不理解圆就来理解\(\pi\)一样。如果你不相信我，只需在任何其他预科教材中阅读关于\(e\)的解释。你可能会看到一种涉及”连续复利”的牵强解释，你不会觉得有任何启发。别在意。在本课程中，关于\(e\)你只需要知道它是一个数，\(e \approx 2.7\)。
自然对数的定义
右侧\(y = e^{x}\)的图像是指数增长的典型图片。如果你能够回答以下关于它的简单问题，你就已经理解了自然对数。
要达到1，我们必须将e提高到多少次方？
（答案：0，因为\(e^{0} = 1\)。）
要达到2，我们必须将e提高到多少次方？
（答案：约0.7，我们从图中可以看出。）
要达到0.5，我们必须将e提高到多少次方？
（答案：约-0.7，我们从图中可以看出。）
要达到\(\pi\)，我们必须将e提高到多少次方？
（答案：约1.2，我们可以从图中看出，因为\(\pi \approx 3.1\)）
要达到e，我们必须将e提高到多少次方？
（答案：恰好是1，因为\(e^{1} = e\)。）
不知不觉间，你一直在回答关于自然对数的问题。
定义。 \(x\)的自然对数是我们必须将e提高到多少次方才能得到\(x\)。
写出”\(x\)的自然对数”这个短语很麻烦，所以我们采用简写符号：\(\ln x\)。使用这个符号，我们可以将上面的问答重写为紧凑形式：\(\ln(1)=0\)；\(\ln(2)\approx0.7\)；\(\ln(0.5)\approx-0.7\)；\(\ln(\pi)\approx1.2\)；\(\ln(e)=1\)。
自然对数非常重要，值得在科学计算器上拥有自己的按钮。我们在前段中心算出的\(\ln(2)\)、\(\ln(0.5)\)和\(\ln(\pi)\)的视觉估计是粗略的，但借助计算器，我们可以获得高度精确的近似值——精确到计算器显示的那么多小数位。通过我的计算器运行这三个对数，我发现
\[\ln(2)\approx0.693147181;\qquad\ln(0.5)\approx-0.693147181;\qquad and\qquad\ln(\pi)\approx1.144729886.\]
这些精确到最近的十亿分之一，这对于任何科学应用都绰绰有余。注意\(\ln(2)\)和\(\ln(0.5)\)之间惊人的关系：它们互为相反数！这并非巧合。学习了对数的一些最重要性质之后，你就会理解为什么会这样。
自然对数的逆性质
乔治·华盛顿的白马是什么颜色？
——格劳乔·马克思
根据定义，\(\ln(e^{x})\)是我们必须将e提高到多少次方才能得到\(e^{x}\)。那个幂显然是\(x\)，所以
\[\ln(e^{x})=x.\]
这是自然对数两个重要”逆性质”中的第一个。如果你理解了自然对数的定义，逆性质就像格劳乔问题的答案一样显而易见。
很明显，如果我们把e提高到我们必须将e提高到多少次方才能得到\(x\)的那个幂，结果将是……\(x\)。将这个明显的陈述翻译成符号，我们有
\[e^{\ln\left(x\right)}=x.\]
这是对数的第二个逆性质。（哦，顺便说一句，谁埋在格兰特的墓里？）请记住，在每个这样的恒等式中，\(x\)代表任何东西。所以例如，我们有
\[\ln(e^{3t+7})=3t+7,\quad\ln(e^{666})=666,\quad\ln\left(e^{\textcircled{\textup{c}}}\right)=\textcircled{\textup{c}}\]
\[e^{\ln(999)}=999,\qquad e^{\ln(72x^{2}+14)}=72x^{2}+14,\qquad e^{\ln(\textcircled{\otimes})}=\textcircled{\otimes}.\]
故事的寓意是函数\(e^{x}\)和\(\ln(x)\)“抵消”彼此：如果你对一个表达式应用其中一个，然后立即应用另一个，你将回到原来的表达式。这种”抵消”类似于先加2再减2，或者先取立方根然后立方。彼此”抵消”的函数被称为反函数，这就是为什么我称这两个性质为逆性质。
练习
- 简化：a) \(\ln(e^{32})\) b) \(\ln(e^{5x})\) c) \(\ln(e)\) d) \(e^{\ln 5}\) e) \(e^{\ln(x^{2}+1)}\) f) \(e^{\ln(e^{\ln 1})}\)
20. （反函数的一般介绍）
我们定义\(f^{-1}(x)\)（读作”\(f\)的逆\(x\)“）为\(f\)发送给\(x\)的数。
由此定义的函数\(f^{-1}\)称为\(f\)的反函数。
这里有一些问题帮助你掌握这个概念（和 notation）：
如果\(g(x) = 4x\)，求\(g^{-1}(8)\)。
如果\(h(x) = 4x^{3} + 2\)，求\(h^{-1}(-2)\)。
如果\(k(x) = e^{x}\)，求\(k^{-1}(2)\)。
反函数彼此”抵消”；相继将它们应用于一个表达式会产生你开始时的相同表达式。使用上面的定义解释为什么\(f(f^{-1}(\star)) = \star\)。
[提示：哪座城市以波士顿烤豆闻名？]
- 反函数这个抽象概念在高等数学中至关重要，但在（预）微积分中则不那么重要，在那里你将使用的少数反函数是具体的并有自己特定的符号，使\(f^{-1}\)的符号变得多余。[例如，我们把\(f(x) = e^{x}\)发送给\(x\)的数称为\(\ln x\)，而不是\(f^{-1}(x)\)。] 这也好，因为反函数的抽象符号设计得很差（唉，现在改变已经太晚了），困扰着许多预科学生。注意：虽然\(f^{-1}(x)\)中的\(-1\)看起来像指数，但它不是！你的问题：如果\(g(x) = \frac{1}{x+1}\)，求\(g^{-1}(10)\)和\([g(10)]^{-1}\)。验证它们不相等。
自然对数的指数性质
解指数方程时，我们的主要工具将是对数的以下性质：
\[\ln\big(a^{b}\big)=b\ln(a).\]
注意这里发生的事情：对数把指数拉下来，然后把它变成一个因子，这让我们能够将涉及指数运算的问题简化为涉及乘法的问题。我们可以按如下方式证明这个”对数指数性质”。
主张。 对于任何使下列表达式有定义的\(a\)和\(b\)，\(\ln(a^{b}) = b \ln(a)\)。
证明。 因为\(a = e^{\ln(a)}\)（通过对数的一个逆性质），我们可以用\(e^{\ln(a)}\)代替\(a\)。在表达式\(\ln(a^{b})\)中这样做，我们得到
\[\begin{aligned}\ln\big(a^{b}\big)&=\ln\Big(\big(e^{\ln(a)}\big)^{b}\Big)\quad&(通过对数的一个逆性质)\\ &=\ln\big(e^{b\ln(a)}\big)\quad&(通过指数的熟悉性质)\\ &=b\ln(a)\quad&(通过对数的另一个逆性质). \end{aligned}\]
因此，我们证明了\(\ln\left(a^{b}\right)=b\ln(a)\)，如 claims。
前面证明中的第一步（将\(a\)写成\(e^{\ln(a)}\)）在数学的其他地方也很方便。这只是改变事物形式同时保持其值的代数主题的另一种变体。注意最后几节的优雅逻辑流程：自然对数的定义引出对数的逆性质，然后我们用逆性质获得对数的指数性质。
我们现在能够理解为什么\(\ln(0.5) = -\ln(2)\)，这是我们在几页前摆弄计算器时偶然发现的奇怪事实。解释如下：
\[\ln(0.5)=\ln\left(\frac{1}{2}\right)=\ln(2^{-1})=(-1)\ln(2)=-\ln(2).^{*}\]
最后，我想提醒你注意一个常见错误。初学者经常错误地假设，例如，\(\ln(ab^{c})\)等于\(c \ln(ab)\)。对数的指数性质不适用于这种情况，因为指数\(c\)只覆盖\(b\)，而不是\(ab\)。[相比之下，\(\ln((ab)^{c}) = c \ln(ab)\)则是正确的。] 下面的练习应该帮助你理解这个小小的但重要的 point。
练习。
- 判断对错：
\[a)\ln(x^{3})=3\ln x\]
\[b)2\ln3=\ln9\]
\[c)\ln\bigl(2x^{3}\bigr)=3\ln(2x)\]
\[d)\ln\left(8x^{3}\right)=3\ln(2x)\]
- \(3 \ln(2a) = 8a^{3}\)
\[f)e\ln(e^{3})=3e\]
\[g)\ln(a^{2}b^{2})=2\ln(ab)\]
\[h)\ln\left(ab^{5}\right)=5\ln(ab)\]
用对数解指数方程
……一个精神错乱的人错误地把来访的亲戚当成星系、对数、低蹲的鬣狗——但也有疯子——他们是刀枪不入的——他们把自己当成疯子——这里圈子封闭了。
——辛辛纳图斯·C，弗拉基米尔·纳博科夫《一寸大师》第十三章
通过对指数方程两边取自然对数，我们可以把变量放到地面上，让我们能够处理它。
例题1。 解方程\(2^{x} = 5\)。
解。
\[\begin{aligned}2^{x}&=5\\ \ln(2^{x})&=\ln\left(5\right)&\quad\left(取两边自然对数^{*}\right)\\ x\ln(2)&=\ln\left(5\right)&\quad\left(通过自然对数的指数性质\right)\\ x&=\frac{\ln\left(5\right)}{\ln\left(2\right)}. \end{aligned}\]
因此，方程的精确解是\(\ln(5)/\ln(2)\)。如果你需要它的十进制近似，你当然可以从计算器得到，它会告诉你\(x \approx 2.322\)。
在几乎每个预科课堂中，有些学生会想象在像\(\ln(5)/\ln(2)\)这样的表达式中，他可以”消去\(\ln\)“，从而”简化”为5/2。请不要做这种人。不要忘记：你只能从分数的分子和分母中消去公共因子。
例题2。 解方程：\(2 = 5(7)^{-2t}\)
解。 如果立即对两边取自然对数，那个5因子会给我们带来一些麻烦，所以为了避免麻烦，我们首先将两边除以5。剩下的就简单了：
\[\begin{aligned}2&=5(7)^{-2t}\\ 2/5&=7^{-2t}\\ \ln(2/5)&=\ln(7^{-2t})\\ \ln(2/5)&=(-2t)\ln(7)\\ t&=\frac{\ln\left(2/5\right)}{-2\ln(7)}\approx0.235 \end{aligned}\]
（通过对数的指数性质）
练习。
- 求指定变量的解。（给出精确值和近似值。）
\[a)5^{x}=14\]
\[b)3^{x}=1/4\]
\[c)e^{5x}=17\]
\[d)4^{4x-5}=38\]
\[e)\ 1000(1.03)^{t}=5000\]
\[f)18(1.06)^{t}=550\]
\[g)50e^{-0.12t}=10\]
\[h)100-100\left(\frac{1}{4}\right)^{x}=70\]
\[i)13+8(10^{x})=20\]
\[j)\;5e^{0.02t}=3\]
自然对数的乘法和除法性质
对数的指数性质将指数运算转化为更简单的乘法运算。同样，以下对数的”乘法性质”将乘法转化为加法：
主张1。 对于任何使下列表达式有定义的\(a\)和\(b\)，我们有
\[\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b).\]
证明。 如果你仔细比较，你会发现这个证明与指数性质的证明基本相同。确保你理解每一步。
\[\begin{aligned}\ln(ab)&=\ln\big(e^{\ln(a)}e^{\ln(b)}\big)\quad&(通过对\ln的一个逆性质)\\ &=\ln\big(e^{\ln(a)+\ln(b)}\big)\quad&(通过指数的普通代数)\\ &=\ln(a)+\ln(b)\quad&(通过对\ln的另一个逆性质) \end{aligned}\]
因此，我们证明了\(\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\)，如主张。
有一个类似的对数”除法性质”将除法转化为减法。
主张2。 对于任何使下列表达式有定义的\(a\)和\(b\)，
\[\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b).\]
证明。（我把它留给你作为练习。如果你理解了指数性质和乘法性质的证明，这应该相当简单。）
你可能不会在后续课程中经常使用对数的乘法和除法性质，但它们确实时有出现，所以你应该知道它们。传统的预科书包含大量如下问题：
问题。 通过将其写为单个对数来简化表达式\(\ln(3x) + \ln(5x^{2}) - \ln(3)\)。
\[\begin{aligned}Solution.\ \ln(3x)+\ln(5x^{2})-\ln(3)&=\ln(3x\cdot5x^{2})-\ln(3)\quad&(通过乘法性质)\\ &=\ln(15x^{3})-\ln\ (3)\\ &=\ln(15x^{3}/3)\quad&(通过除法性质)\\ &=\ln(5x^{3}). \end{aligned}\]
传统的，但不是特别有成效的。我会给你一些，但不会赘述。
练习
- 通过写为单个对数来简化：
- \(\ln(6x^{9}) - \ln(3x^{2})\) b) \(\ln(14t) + \ln(2t^{-1})\) c) \(3\ln(2x) - \ln(4x^{2})\)
- 写为对数的和（或差），每个对数的参数尽可能简单：
\(\ln\left(\frac{a^{2}b^{3}}{c^{5}}\right)\)
\(\ln\left(x^{2}y^{3} \cdot \sqrt[7]{x^{3}y^{9}}\right)\)
\(\ln\left(x^{3}yx^{2}y^{3}x^{-5}\right)\)
自然对数函数的图像
如果你玩函数\(y = \ln(x)\)，思考它对各种输入的处理，很容易看到它的图像像右图一样。注意其显著特征：
- 该函数仅对正输入有定义。
[你明白为什么吗？思考\(\ln(x)\)的定义。]
- 负y轴是图像的渐近线。
[你明白为什么吗？将自然对数的定义应用于一些微小的正数。]
- 当\(x\)接近\(\infty\)时，\(\ln(x)\)也接近\(\infty\)，但它需要时间才能到达那里。
正如指数增长因爆炸性快速生长而闻名一样，对数增长因缓慢增长而闻名。下面的练习探讨了对数缓慢性。
在相同坐标轴上画\(y = \ln(x)\)和\(y = e^{x}\)的图像揭示了一个显著的对称性：两个图像关于直线\(y = x\)互为镜像。
事实上，如果在相同坐标轴上画任何一对反函数，它们将展示关于直线\(y = x\)的相同对称性，这偶尔是一个 handy 的事实。
如果你理解到现在为止你所读的一切，那么你可以祝贺自己：你掌握了自然对数几乎所有重要的数学性质。
练习
- \(x\)必须有多大才能使\(\ln(x)\)的值超过10？超过100？超过1000？
[提示：要解涉及\(\ln(x)\)的方程，将（以e为底的）指数函数应用于方程两边。]
- 我们如何解一个变量位于自然对数内部的方程？我们将，对数隔离在方程一边，然后通过将对数底e指数函数应用于方程两边来”抵消”对数（如例1所示）。或者，如果变量位于多个对数内部（如例2），我们首先尝试合并这些对数（通过使用乘法或除法性质），然后如前所述继续。
例题1。
\[\begin{aligned}1&=3-\ln(2x+1)\\ &\ln(2x+1)=2\\ &e^{\ln(2x+1)}=e^{2}\\ &2x+1=e^{2}\\ &x=\frac{e^{2}-1}{2}.\quad\text{♦} \end{aligned}\]
例题2。
\[\begin{aligned}\ln x+\ln(2x)&=1\\ \ln(2x^{2})&=1\\ e^{\ln(2x^{2})}&=e^{1}\\ 2x^{2}&=e\\ x&=\sqrt{e/2}\text{．}^{*}\\ \quad\text{♦} \end{aligned}\]
解以下方程。
- \(2 \ln x = 5\)
\[b)\ln x+\ln\left(\frac{1}{x^{2}}\right)=2\]
\[c)\ln(x^{2})-\ln x=1\]
\[d)\ln x=\ln(2-x^{2})\]
“不自然”的对数：底10（和其他）
基于e以外数字的对数确实存在。例如，底10对数经常出现在科学应用中，偶尔在野外也能看到底2对数，通常与计算机科学家为伴。幸运的是，你所知道的关于自然对数的一切都适用于其不自然的同类；我们只需要做一些小的（而且显而易见的）调整。
定义。 \(x\)的底10对数是我们必须将10提高到多少次方才能得到\(x\)。
符号。 我们写\(\log x\)来表示\(x\)的底10对数。
例子。 \(\log 100 = 2\)（因为\(10^{2} = 100\)）。\(\log(0.1) = -1\)（因为\(10^{-1} = 0.1\)）。
科学计算器有一个”log”按钮来获得底10对数的十进制近似值。
练习
底10对数的逆性质是\(\log(10^{x}) = x\)和\(10^{\log(x)} = x\)。用一两句话解释为什么每个性质都成立。[提示：告诉他们格劳乔派你来的。]
底10对数的指数性质正如你所期望的那样：\(\log(a^{b}) = b \log(a)\)。
证明它。[提示：回顾自然对数的相应证明并做适当的调整。]
- 底10对数的乘法和除法性质也正是你所期望的：
\[\mathbf{log}(ab)=\mathbf{log}(a)+\mathbf{log}(b),\mathrm{and}\mathbf{log}(a/b)=\mathbf{log}(a)-\mathbf{log}(b).\]
证明这两个性质。[提示：从上一个练习中适应提示。]
在相同坐标轴上画\(y = \log x\)和\(y = \ln x\)的图像。[提示：思考这些对数的定义。]
评估（不使用计算器）：
- \(\ln(1)\) b) \(\log(1)\) c) \(\ln(e)\) d) \(\log(10)\) e) \(\log(10000)\) f) \(\log\left(\frac{1}{100}\right)\) g) \(10^{\log(42)}\) h) \(\log(10^{27})\) i) \(\ln(\log(10))\) j) \(\log(\ln(e))\) k) \(10^{\log(\log(100))}\) l) \(\frac{\log(1000)}{\log(100000)}\)
- 解方程，给出精确值和近似值。[提示（针对某些部分）：要”抵消”底10对数，将底10指数函数应用于相关方程两边。]
\(2\ln(3x) + 3 = -1\) b) \(\log(x^{3}) = 2\) c) \(4(2.4)^{x} = 6(1.2)^{x}\)
\(5e^{0.12t} = 10e^{0.08t}\) e) \(\log(x + 5) - \log(x + 2) = 2\) f) \(\log(x) + \log(x - 3) = 1\)
将\(y = \log(x)\)的图像关于直线\(y = x\)反射将产生什么函数的图像？
\(x\)的底2对数定义为，当然是我们必须将2提高到多少次方才能得到\(x\)。它用符号\(\log_{2} x\)表示。因此，例如，\(\log_{2} 8 = 3\)。
陈述底2对数的逆性质，并解释为什么它们成立。
陈述底2对数的指数性质，并证明它。
陈述底2对数的乘法和除法性质，并证明它们。
\(y = \log_{2} x\)的图像是关于直线\(y = x\)的什么函数的图像的反射？
倍增时间
……而在奥科尼河畔，顶部的Sawyer的岩石没有夸大它们自己到劳伦斯县的绅士
而它们一直在嘀咕它们的骗子……
——詹姆斯·乔伊斯，《芬尼根守灵夜》
函数以不同的速率增长。有些，如\(y = t^{3}\)，增长很快。其他，如\(y = \sqrt{t}\)，增长缓慢。如果我们把函数的自变量看作代表时间（例如，以年为单位），我们可以问函数的输出从某个初始值翻倍需要多长时间。
考虑初始值为8的\(y = t^{3}\)。多少年过去后它的值会达到，比如说，16？嗯，当\(t = 2\)年时，函数的输出是8，当\(t = \sqrt[3]{16} \approx 2.52\)年时，它的输出将是16。因此，函数的值从8翻倍到16大约需要0.52年。
以下关于倍增时间的练习将为 一个令人惊讶的结论铺平道路。
练习
- 如果t以年为单位，……需要多长时间才能翻倍？
\(y = t^{3}\)从1到2？从2到4？从50到100？
\(y = \sqrt{t}\)从1到2？从2到4？从50到100？
\(y = \ln t\)从1到2？从2到4？从50到100？
指数函数（形式为\(y = ca^{t}\)）在倍增时间方面是特殊的：任何这样的函数的倍增时间对于所有初始值都是相同的。你可以从数字上看到：\(y = 2(5^{t})\)从8到16翻倍需要多长时间？从16到32？从500到1000？
创建一个你自己形式的指数增长函数\(y = ca^{t}\)，计算从8到16、从250到500、以及从你自己选择的某个数翻倍到其两倍需要多长时间。
你在前面练习中看到的数字证据很有说服力，但我们可以明确证明形式为\(y = ca^{t}\)的所有指数增长函数具有固定的倍增时间，独立于初始值。为了证明这一点，我们需要对数。你的问题：尝试自己证明。如果大约半小时后你没有成功，那么研究以下证明直到你理解它。
主张。 如果\(f(t) = ca^{t}\)，其中\(a > 1\)（以确保指数增长），\(f\)具有固定的倍增时间。
证明。 设\(v\)是任意正值。
解\(ca^{t}=v\)求\(t\)，我们看到当\(t=\ln(v/c)/\ln a\)时，函数达到值\(v\)。
当\(ca^{t}=2v\)时，函数的值翻倍。
再次解\(t\)，我们看到当\(t = \ln(2v/c) / \ln a\)时，函数达到值\(2v\)。
因此，\(f\)将其值从\(v\)翻倍到\(2v\)所需的时间为
\[\frac{\ln\left(\frac{2v}{c}\right)}{\ln a}-\frac{\ln\left(\frac{v}{c}\right)}{\ln a}=\frac{\ln\left(\frac{2v}{c}\right)-\ln\left(\frac{v}{c}\right)}{\ln a}=\frac{\ln\left(\frac{\frac{2v}{c}}{\frac{v}{c}}\right)}{\ln a}=\frac{\ln2}{\ln a}.^{*}\]
注意，这个倍增时间的表达式仅取决于\(a\)；它不依赖于初始值\(v\)。因此，函数的倍增时间对于所有初始值必然相同。
“70法则”
“70法则”：如果一个种群每年增长\(r\%\)，那么它大约每\(70/r\)年翻倍。例如，如果一项投资每年赚7%，投入的资金大约在\(70/7 = 10\)年内翻倍。（不错。在银行赚1%的利息，你的钱需要大约70年才能翻倍。）
为了了解为什么这样有效，考虑一个每年增长\(r\%\)的种群。因为\(r\%\)意味着\(r/100\)，我们知道\(t\)年后，种群的大小将是
\[f(t)=c\left(1+\frac{r}{100}\right)^{t},\]
其中\(c\)是种群的初始大小。当然，这是一个指数函数，所以根据练习38中的证明，它的倍增时间是
\[\frac{\ln2}{\ln\left(1+\frac{r}{100}\right)}.\]
现在让我们为了易懂性牺牲一些准确性。我们需要两个事实来近似这个倍增时间。首先，分子大约是0.7，任何科学计算器都会确认。其次，当\(r\)很小时，我们有
\[\ln\left(1+\frac{r}{100}\right)\approx\frac{r}{100}.^{*}\]
既然如此，我们的函数的倍增时间大约是
\[\frac{\ln2}{\ln\left(1+\frac{r}{100}\right)}\approx\frac{\ln2}{\frac{r}{100}}\approx\frac{.7}{\frac{r}{100}}=\frac{70}{r},\]
如主张。
为了近似那个分母，我们不得不假设\(r\)是”小的”。70法则在商业中是众所周知的，因为金融增长率几乎总是足够小，使那个近似成立。以一个极端例子为例：70法则意味着35%的增长率（商业中难以置信地高）的倍增时间为2年。即使在这个极端情况下，法则仍然接近：精确的倍增时间是\(\ln 2 / \ln 1.35 \approx 2.31\)年。对于更典型的增长率，近似当然会更好。
练习
- 在与朋友漫步于树林时，她提到她听说世界人口在2022年达到80亿，以每年1.1%的速度增长。\(^{\dagger}\) 如果这种增长率继续持有……
在你的脑海中（你在树林里没有计算器），使用”70法则”对世界人口何时达到160亿进行粗略估计。
在计算器的帮助下——但不使用”70法则”，那只是一种快速近似——找出世界人口何时达到140亿的更准确估计。
- 对于形式为\(f(t) = ca^{t}\)的指数增长函数，四倍时间是常数还是依赖于要四倍的初始值？那么三倍时间呢？
半衰期
克洛夫：你相信来世吗？
哈姆：我的一直是那个。
——塞缪尔·贝克特，《终局》
正如每个指数增长函数都有固定的倍增时间，每个指数衰减函数都有固定的半衰期，称为”半衰期”，这个名字来自化学。最好用一个例子来解释。
所有活的植物和动物都含有碳，碳本身有几种不同的形式，包括化学上不稳定的放射性碳：随着时间推移，放射性碳会”衰变”成氮。当植物或动物活着时，其放射性碳与普通碳的比例保持恒定。但一旦它死亡，从而停止摄入新的放射性碳（通过呼吸或新陈代谢），这个比例开始下降，因为其组织中的放射性碳会衰变，而普通碳在化学上保持稳定。事实上，这个比例每年以固定百分比下降，这意味着它呈指数衰减，因此具有固定的半衰期。放射性碳的半衰期恰好约为5600年。\(^{*}\) 因此，一块来自5600年前死去的树木的木头，或来自5600年前死去的人或动物的骨头，与它们活着的对应物相比，放射性碳（按比例）只有一半。
碳14年代测定是一种测定任何由有机材料制成的物体中放射性碳与普通碳比例的方法，然后使用这个比例来确定物体的近似年龄。例如，如果我们正在研究一块由史前人类用骨头或角雕刻的工具，发现其放射性碳与普通碳的比例只是通常比例的1/4，那么，意识到1/4是一半的一半，我们可以得出结论，该动物大约在两个”半衰期”前死亡；也就是说，它大约在\(2(5600) = 11,200\)年前死亡。另一方面，如果我们发现该工具具有比如说40%的通常放射性碳与普通碳比例，那么从动物死亡以来已经过去了多少半衰期就不是立即明显了。但是……很容易找到。毕竟，我们只需要解方程\((1/2)^{t} = .4\)。解这个方程，我们发现，你应该验证，\(t \approx 1.32\)。因此，该动物大约在\(1.32(5600) \approx 7400\)年前死亡。
碳14年代测定是威拉德·利比在20世纪40年代末开发的，他因此获得了诺贝尔奖。