第8章 - 三角形基础

作者

Seth Braver

第三部分 三角学

第8章 三角形基础

为什么是三角学？

对三角学了解不多……

但我知道一加一等于二，

如果这个一能和你在一起，

这将是一个多么美妙的世界。

——山姆·库克，《这是一个多么美妙的世界》。

从词源学上讲，三角学意味着”三角形测量”（来自古希腊）。但为什么三角形在数学课程中有自己的特殊地位？这是强大的三角形游说的工作吗？并非如此。三角形是基础。它们是所有其他多边形构建的基石。要分析一个八边形，我们不需要”八边形测量”。相反，我们将八边形三角化（如右图所示），然后用三角学研究三角形的各个部分。一旦我们理解了三角形，我们就理解了所有多边形。

三角学也涉及圆。这是因为三角形测量涉及角度测量，而角度测量本身本质上是圆形的：\(360^{\circ}\)是完整的圆旋转，而任何更小的角度都代表圆旋转的一部分。三角学的圆形方面将出现在后面的章节中。现在，我只想指出，圆旋转——一个点无限地绕着圆心旋转——在科学和数学中被作为周期性行为（连续重复）的典型例子。三角学与周期性的联系使其在旋转、振动和波动（包括声波和光波）的研究中不可或缺。

角度的特殊对（和三元组）

某些角对有特殊的名称。和为\(90^{\circ}\)的角是余角。和为\(180^{\circ}\)的角是补角。（因此，\(40^{\circ}\)的余角是\(50^{\circ}\)。\(40^{\circ}\)的补角是\(140^{\circ}\)。）

当两条线交叉时（如字母X），得到的相邻角称为对顶角。\(^{*}\)

对顶角显然彼此相等。

如果我们定义”锯齿”为三条线段首尾相连，其中两条平行，那么锯齿角相等。锯齿角相等对大多数人来 说显然是显而易见的（如此显而易见，以至于我没有证明，而是诉诸你的直觉），但少数读者可能有兴趣知道，事实上，在这个地方，深刻的逻辑水域在地下流淌。\(^{†}\)

最后，我所说的旗角（见下图）总是彼此相等。“旗”是两条平行线从同一直线上的不同点出现（“旗杆”）的结果。就像星座一样，需要一些想象力才能看到旗。

现在让我们考虑一个三元角。假设明天，一个喝醉的蒙眼澳大利亚人将三支飞镖扔向一面墙。这个事件发生在未来，但我现在可以告诉你（在地球的另一边）他飞镖尖端形成的三角形的三个角的总和。什么魔法？这是？是的，每个人和他的母亲”知道”每个三角形的角和是\(180^{\circ}\)，但很少有人理解为什么是这样。读完并消化以下重述欧几里得自己的证明（Elements I.32）后，你将是少数自豪的人之一。我希望你享受这个2300年前的艺术作品。

定理。 每个三角形的角和是\(180^{\circ}\)。

证明。 如果三角形的角是\(\alpha, \beta, \gamma\)，我们必须证明\(\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}\)。为此，延长三角形的一条底边穿过其中一个顶点，并画出通过该顶点且平行于三角形对边的直线。

图中标记为\(\beta\)的角相等，因为它们是锯齿角。

标记为\(\gamma\)的角相等，因为它们是旗角。

我们现在看到角\(\alpha, \beta,\)和\(\gamma\)，放在一起，组成一条直线。因此，由于”平角”是\(180^{\circ}\)，所以\(\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}\)，如主张。

顺便说一句，你可以用一种非常可触的方式感受这个著名定理的真理：剪出一个纸三角形，撕掉它的角，然后……重新排列它们形成一条直线。

练习

    1. 在右图中，假设我们知道三条水平线平行。关于十二个标记角，我们能得出什么结论（如果有的话）？用上面介绍的词汇解释你的推理。
  1. 如果我们不知道三条水平线是否平行，关于标记角我们能得出什么结论（如果有的话）？再次解释你的推理。
  1. 所有四边形都有相同的角和吗？如果是，证明它。如果不是，为什么？

[提示：画一条对角线——即连接两个非相邻顶点的线段。]

  1. 所有五边形（即五边形）都有相同的角和吗？如果是，证明它。如果不是，为什么？

  2. 所有n边形都有相同的角和吗？如果是，证明它。如果不是，为什么？

  3. 正多边形是多边形的边都相等且角都相等的多边形。

  1. 正五边形的每个角是多少度？

  2. 正八边形的每个角是多少度？

  3. 正千边形（1000边形）的每个角是多少度？

  4. 你是否觉得奇怪，虽然你不可能想象一个正千边形，但你仍然可以确定它的角的精确大小？笛卡尔是第一个思考正千边形的哲学家（顺便说一下，它读作KILL-ee-a-gon，与辣炖无关）。

  1. 平行四边形，按定义，是对边平行于彼此的四边形。证明所有平行四边形的对角相等。[提示：见练习2的提示。]

  2. 三角形能有两个钝角吗？如果能，描述一个这样的三角形的例子。如果不能，为什么？

哪些数据决定一个三角形？

你是谁？我是谁？没有人知道谁是任何人。生命提供的关于形成对任何存在的真实评价的数据，与几何中一边不足以决定三角形一样不充分。

——马克·温索姆，来自赫尔曼·梅尔维尔的《 confidence man》，第36章。

三角形有六个部分：三条边和三个角。然而，通常只需要知道三个部分就足以决定三角形的形状和大小。但要做到这一点，我们知道的三个部分必须是正确部分以正确顺序。各种三元组可以做到这一点，在本节中我们将准确说明哪些可以。我们将从两个最明显的开始。

SAS。 三角形的形状和大小由两边及其夹角决定。

证明。 如果我们知道两边及其夹角（如左图所示），那么显然只有一种方法完成三角形——即连接其两个自由顶点。由于三角形只能以一种方式完成，因此其形状和大小由SAS完全决定，如主张。

ASA。 三角形的形状和大小由两角及其夹边决定。

证明。 如果我们知道两角及其夹边（见左图），那么我们可以清楚地以唯一的方式完成三角形：延长”未知”线段直到它们相遇。因此，三角形的形状和大小由ASA决定，如主张。

我们接下来的两个”决定三元组”本质上是前两个的推论：

AAS。 三角形的形状和大小由两角和一条不在它们之间的边决定。

证明。 第三个角也决定了：它必须是\([180^{\circ} - (\text{两个给定角的总和})]\)。因此，给定的边位于两个已知角之间。因此，三角形由ASA决定。

SSS。 三角形的形状和大小由三条边决定。

证明。 假设三条边散落在盒子里。连接两条，让它们共同的顶点作为铰链。改变这个”铰链角”会改变两个自由端点之间的距离。显然，只有一个角的大小使这个距离等于剩余边的长度，所以这个角必须是三角形的一个角。这个新确定的角位于两边之间，所以三角形由SAS决定。

让我们总结一下。只有六种可能的有序三元组三角形部分（一个三元组有三条边：SSS；两个有两条边：SAS、ASS；两个有一条边：ASA、AAS；一个没有边：AAA）。在这六个中，我们研究了四个。只剩下AAA和ASS。不幸的是，这两个都不能完全决定一个三角形。

AAA不足以决定三角形的尺寸和形状。

例如，右图显示两个三角形具有相同的三个角，但三角形的大小非常不同。

AAA足以决定三角形的形状（如我们将讨论的），但我们感兴趣的是同时决定形状和大小的三元组，所以AAA被排除。

ASS不足以决定三角形的尺寸和形状。

观察图中，相同的”ASS三元组”出现在两个形状不同的三角形中：\(\Delta ABC\)和\(\Delta ABD\)。事实上，每个ASS三元组，其中已知角是锐角，就像这个一样，与两个不同的三角形兼容。（尝试通过画一些图来说服自己。）因此，“歧义ASS”（我这样称呼它）通常不足以决定三角形的形状和大小。

然而，当ASS中的角恰好是直角时，ASS就足以决定三角形。

RASS。 直角三角形由其直角、一条直角边和其斜边决定。

证明。 知道直角三角形的两边，我们可以用勾股定理得到第三方。因此，三角形由SSS决定。因此，RASS完全决定一个三角形，如主张。

最容易用否定的方式记住我们的决定三元组列表：

决定三元组（摘要）。

  • AAA和歧义ASS不能决定三角形的形状和大小。
  • 其他三元组（SSS、SAS、ASA、AAS——以及特殊情况RASS）可以。

在接下来的几章中，我们将构建一个”三角学机器”，能够找到任何已决定三角形的缺失部分。例如，如果三角形有一个\(54^{\circ}\)角被长度为2和3的两边包围，我们已经知道三角形是由SAS决定的，但我们的三角学机器会告诉我们更多：当我们正确使用它时，它会告诉我们三角形未知部分的实际数值。\(^{*}\)

知道在哪里应用三角学机器是战斗的一半。例如，考虑右图。假设我们知道标记部分的大小（两边长和三个角），我们的问题是求CD。

有经验的三角学家可能会这样想：

\(\Delta ABC\)是确定的（由SAS），所以我可以用三角学求其边CB。然后\(\Delta BCD\)将是确定的（由ASA），所以三角学将给我CD。好的。我可以解决此问题。现在我只需要执行细节。

你将在接下来的几章中学习细节。现在，这里有一些练习。

练习

  1. 假设你知道图中标记的边和角的大小。你还知道四边形EGHF是一个正方形。你的问题：概述一种求GH的策略，你可以将其提供给已经知道如何使用三角学找到已决定三角形缺失部分的人。

  2. 与前一个问题相同的故事，但这次给出求左下图中半圆弧长度的策略。

  3. 相同的故事，但这次你必须概述求右下图中角度\(\widehat{CFD}\)的策略。

全等三角形

如果两个三角形具有相同的形状和大小，则称它们为全等。除了它们的位置，全等三角形是相同的：你可以将一个放在另一个上面，完美匹配。

为了证明两个三角形全等，我们只需证明它们具有相同的遗传物质：相同的决定三元组。\(^{*}\) 因此，各种决定三元组（SSS、SAS、ASA、AAS和RASS）通常被称为全等条件。

在几何中，我们经常使用全等条件来证明两边（或两角）相等。基本技术是证明它们是全等三角形的对应部分。

例题。 证明平行四边形的对边相等。

证明。 考虑平行四边形ABCD。画对角线AC，将平行四边形分成两个三角形。我们现在将证明这两个三角形全等。

这两个三角形有两个公共角（锯齿角\(A\hat{C}D = C\hat{A}B\)和\(D\hat{A}C = A\hat{C}B\)），它们确实共享中间的边：AC。换句话说，三角形具有相同的决定三元组（ASA）。因此，三角形全等。

这是好消息，因为我们知道全等三角形的对应部分相等。特别是，我用一个弧标记的角对面的边相等（即AD = BC）。同样，我用两个弧标记的角对面的边必须相等，所以DC = AB。我们现在已经证明了平行四边形的对边确实相等，如主张。

最后，符号\(\cong\)通常用来表示”与……全等”。例如，在前一个问题中，我们确立了\(\Delta ABC \cong \Delta CDA\)（由ASA）。

练习

  1. 菱形，按定义，是四条边都相等的四边形。画一些菱形。每个菱形的对角一定相等吗？如果是，证明它。如果不是，给出反例。

[提示：重读前面例题前的短段落。]

  1. 正五边形的一条对角线是连接任意两个非相邻顶点的线段。证明正五边形的每个角被通过它的两条对角线三等分（切成三等份）。

[提示：在等腰三角形中，对等边的对角相等。还要回想练习5a。]

  1. 正如存在各种全等条件一样，也存在各种平行条件。这里有一个你可能知道的：如果Z形中的两个角相等，那么Z的”顶部”和”底部”平行。使用这个平行条件来证明每个菱形都是平行四边形。

[提示：你将如何证明那些角相等？记住练习11的提示。]

  1. 每个平行四边形都是菱形吗？每个正方形都是菱形吗？每个菱形都是正方形吗？每个正方形都是平行四边形吗？你怎么知道？

相似三角形

具有相同形状（即相同比例）的三角形被称为相似三角形。例如，如果你在电脑屏幕上放大一个三角形，放大的三角形将类似于（但不全等）原始三角形。三角形有各种相似条件，但在本课程中我们只需要一个：AAA。

AAA相似。 如果两个三角形具有相同的角，它们就相似。

证明。 在右图中，如果虚线平行，则两个三角形（一个在另一个内部）必须相似。大多数人稍加思考就会觉得这是显而易见的，我将假设你也是如此。\(^{*}\)

现在假设\(\Delta ABC\)和\(\Delta A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}\)是两个具有相同角的三角形。将它们叠加，使角A和\(A^{\prime}\)重合，导致如上的图形。因此，为了建立我们三角形的相似性，只需要证明BC和\(B^{\prime}C^{\prime}\)平行。但这些线必须平行，因为它们与同一直线\((BB^{\prime})\)以相等的角相交。因此，三角形相似，如主张。

AAA相似条件可以称为AA相似条件，因为如果三角形有两个角\((\alpha \text{ 和 } \beta)\)相同，那么它们自动具有所有三个角相同；在两个三角形中，第三个角必须是\(180^{\circ} - (\alpha + \beta)\)。我们将用符号\(\sim\)表示”类似于”。

相似图形的比例正是允许我们从它们中提取信息的原因。你肯定已经在简单的问题中使用过相似三角形，比如这个：

问题。 求图中边x的长度。

解。 三角形相似（由AAA），所以它们具有相同的比例。特别是，\(x/3 = 10/4\)。

解这个得到\(x = 15/2\)。

你可能也见过这个漂亮的小结果，我们将在下一节中惊讶地使用。

主张。 在任何直角三角形中，如果我们从直角向斜边作垂线，我们得到两个与彼此相似……并与原始三角形相似的子三角形。

证明。 设\(\Delta ABC\)是直角在C的直角三角形，A和B处的角分别为\(\alpha\)和\(\beta\)。从C向AB作垂线，称之为D。

由AA相似标准，我们知道\(\Delta ACD \sim \Delta ABC\)（两个三角形都包含一个直角和\(\alpha\)）和\(\Delta CBD \sim \Delta ABC\)（两个三角形都包含一个直角和\(\beta\)）。因此，我们知道两个子三角形都与原始三角形相似。而且，

两个与第三个相似的三角形显然彼此相似，所以所有三个三角形都相似，如主张。

练习

  1. 快速符号提醒。

  1. \(\Delta ABC \cong \Delta DEF\)是什么意思？

  2. \(\Delta ABC \sim \Delta XYZ\)什么意思？

  1. 右图中有10个三角形。

  1. 它们都彼此相似吗？为什么或为什么不？

  2. 假设我们希望将模式进一步向顶点B延伸。我们可以在\(\Delta D_{7}D_{8}B\)中打包多少个更多的相似三角形？

  1. 画一个正五边形的五条对角线会产生一个五芒星，古代毕达哥拉斯派、中世纪基督徒和各种 stripes 的现代神秘主义者都在其中辨别出神秘的意义。\(^{*}\) 你可以在这里探索它的一些迷人的几何属性。在你做的时候，不要忘记你在练习12中建立的结果。

  1. 证明\(\Delta EDC \cong \Delta EA'C\)。这个三角形有多少个全等副本出现在五芒星中？

  2. 证明\(CDEA'\)是菱形。它有多少个全等副本出现在五芒星中？

  3. 证明\(\Delta EDC \sim \Delta AA'B\)。有多少这个形状的三角形出现在五芒星中？

  4. 证明\(\Delta EDE'\)是等腰的。[提示：如果三角形中的两个角相等，它们的对边也相等。] 它有多少个全等副本在五芒星中？有多少个相似副本？

  5. 如果原始五边形的每条边是1，每条对角线有多长？[提示：称对角线为\(d\)。使用前两部分的结果建立一个包含\(d\)的比例。解出\(d\)。] 这个数字，任何正五边形中的对角线与边的比率，被称为黄金比例。阅读相关内容。

  6. 证明内部五边形\(A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}E^{\prime}\)是一个正五边形。

勾股定理——及相关捷径

关于直角三角形最著名的定理当然是勾股定理。我们已经在前一章中用几种方法证明了它。这里有一个使用相似三角形的漂亮证明。

勾股定理。 在任何直角三角形中，斜边的平方等于两腰的平方和。

证明。 设直角三角形的斜边为\(c\)，两腰为\(a\)和\(b\)。

从直角向斜边作垂线，

将其分成长度为\(c_{1}\)和\(c_{2}\)的两段，如图所示。

正如我们在上一节中看到的，垂线产生两个子三角形，每个都与（并具有与）原始三角形相同的比例。因此，我们知道……

左子三角形和原始三角形必须有相同的斜边与短腰比。即，\(b/c_{1} = c/b\)。清除分数，这变成\(b^{2} = cc_{1}\)。

右子三角形和原始三角形具有相同的斜边与长腰比。即，\(a/c_{2} = c/a\)。清除分数，这变成\(a^{2} = cc_{2}\)。

将前两段粗体方程的对应边相加得到

\[a^{2}+b^{2}=cc_{1}+cc_{2}.\]

或者，等价地，

\[a^{2}+b^{2}=c(c_{1}+c_{2}).\]

由于括号中的表达式等于\(c\)（见图表），这给了我们寻求的结果：

\[a^{2}+b^{2}=c^{2}.\]

也就是说，斜边的平方等于两腰的平方和，如主张。

我们将在接下来的章节中如此频繁地使用勾股定理，以至于你最好证明并记住一些快捷公式，我们在下面的练习中介绍。

练习

  1. 证明第一个PT快捷公式：如果\(a\)和\(b\)是腰，斜边是\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)。

    1. 使用前一个练习的快捷公式，心算图中每个直角三角形的斜边。
  1. 不是很简单，每次都定义一个新变量和解方程吗？

  1. 证明另一个PT快捷公式：如果\(c\)是斜边，\(l\)是一条腰，另一条腰是\(\sqrt{c^{2}-l^{2}}\)。

  2. 使用你在前一个练习中证明的快捷公式，心算右图中每个三角形的缺失腰。

  3. 现在你知道两个PT快捷公式，用它们心算以下直角三角形的缺失边：

  4. 再做更多像前一个问题中的问题，并解答。用”长方式”（即通过为未知边引入符号，通过PT建立方程，最后解方程求未知）验证你的答案。

    1. 直角等腰三角形的角是多少？

  1. 画一些直角等腰三角形，感受它们的样子。

  2. 证明在任何直角等腰三角形中，斜边是腰的\(\sqrt{2}\)倍。

现在使用C部分快速回答以下问题，不要写任何东西……

  1. 直角等腰三角形的腰是3单位长。斜边有多长？

  2. 直角等腰三角形的腰是\(7\sqrt{2}\)单位长。斜边有多长？

  3. 直角等腰三角形的斜边是\(4\sqrt{2}\)单位长。腰有多长？

  4. 直角等腰三角形的斜边是3单位长。腰有多长？