第9章 - 直角三角形三角学
第9章 直角三角形三角学
直角为王：解直角三角形
在接下来的几章中，你将学习如何”解”任何已决定的三角形——也就是说，找出它的缺失部分。这是三角学的基本问题，其历史存在的理由。在本章中，你将专门学习如何解直角三角形，它们是多边形世界的原子：任何多边形都可以被切割成三角形，任何三角形都可以被切割成直角三角形。
关于直角三角形的关键事实——也是整个三角学基础的事实——是：直角三角形的比例完全由其一个锐角决定。例如，所有带有\(30^{\circ}\)角的直角三角形都相似（由AA），所以它们都具有相同的比例。\(^{*}\)
考虑一个相关现象。所有圆都相似，所以所有圆都具有相同的比例。特别是，周长与直径的比值在所有圆中都相同。这个比值非常重要，我们给它一个特殊的符号：\(\pi\)。如右图所示，\(\pi\)略大于3。\(\pi\)当然是一个老朋友。让我们现在认识一些以同样方式定义的朋友（双关语）：不是基于圆，而是基于直角三角形。
设\(\theta\)是任意固定的锐角。如上所述，所有包含\(\theta\)的直角三角形都相似，因此具有相同的比例。特别是，在所有这样的三角形中，对边与斜边的比值是相同的。这个比值被称为”theta的正弦”，我们用符号\(\sin \theta\)表示。
定义。 对于每个锐角\(\theta\)，我们定义\(\sin \theta\)如下：在任何包含\(\theta\)的直角三角形中，
\[\mathbf{sin}\theta=\frac{\mathrm{opposite}}{\mathrm{hypotenuse}},\]
其中”opposite”指\(\theta\)对面的腰。
例如，右图表明在任何带有\(22^{\circ}\)角的直角三角形中，对边与斜边的比值约为1/2.7。因此，\(\sin 22^{\circ} \approx 1/2.7 \approx 0.4\)。当然，这是完全基于目测一个图的粗略近似，但它应该澄清正弦背后的简单思想。
古希腊天文学家是第一个构建正弦表的人。例如，托勒密在大约公元150年成功地找到了\(\sin 0.5^{\circ}\)、\(\sin 1^{\circ}\)、\(\sin 1.5^{\circ}\)、\(\sin 2^{\circ}\)等的值（直到\(\sin 89.5^{\circ}\)），精确到小数点后五位。他的表——更好的是，他关于如何构建它的解释——保存在他的杰作《 Almagest》中，这是地心天文学的圣经。几个世纪以来，世界各地的人制作了越来越精确的表，你可以用它们来近似\(\sin 34.82^{\circ}\)精确到小数点后10位。直到1980年代，任何学习三角学的人都会手边有一个正弦表。廉价的手持科学计算器已经取代了这些表，但它们的功能完全相同。
大多数科学计算器会将任何角度的正弦近似到大约9个小数位。例如，将\(\sin 22^{\circ}\)输入你的计算器，它会告诉你\(\sin 22^{\circ} \approx 0.374606593\)。在第12章末尾，我将广泛描述计算器如何产生该近似。然而，现在让我们暂停一下，赞赏托勒密的正弦表（或其现代后代，科学计算器）完成的事情：它允许我们解任何已决定的直角三角形。
这个想法很简单：\(\sin\theta\)涉及直角三角形的三个部分：一个锐角\(\theta\)、其对边和斜边。如果我们知道这三个部分中的两个，表格（或计算器）可以给我们第三个。
例题1（使用计算器求边）。 解右边的三角形。
解。 剩余的角显然是\(68^{\circ}\)。
如果我们称斜边为\(c\)，那么\(\sin 22° = 5/c\)。
等价地，\(c = 5/\sin 22^{\circ}\)。
通过计算器（或正弦表）运行这个，得到\(c \approx 13.35\)。
现在我们有了两边，我们可以用勾股定理得到第三边。这样做，我们发现长腰大约是12.38单位长。
例题2（使用计算器求角）。 解右边的三角形：
解。 斜边是\(\sqrt{29}\)（由勾股定理）。
称较大的锐角为θ。那么\(\sin \theta = 5/\sqrt{29} \approx 0.9285\)。
如果我们使用正弦表，我们会扫描它直到找到正弦为0.9285的角；这个角将是我们的θ近似值。为了用计算器完成同样的目的，我们使用它的”逆正弦”按钮，它看起来像这样：\(\sqrt{\sin^{-1}}\)。在解直角三角形的背景下，\(x\)的逆正弦只是”正弦为\(x\)的角”。因此，由于我们寻求正弦为\(5/\sqrt{29}\)的角，我们将\(\sin^{-1}(5/\sqrt{29})\)输入计算器，它告诉我们
\[\theta=\sin^{-1}\left(\frac{5}{\sqrt{29}}\right)\approx\mathbf{68.2^{\circ}}.\]
因此剩余的角大约是\(90^{\circ}-68.2^{\circ}=21.8^{\circ}\)。
练习
使用计算器解右边的三个直角三角形，找出它们的角（精确），以及缺失边的长度（精确到最近的百分之一单位）。
使用计算器解右边的三个直角三角形，找出它们的边长（精确），以及它们的角（精确到最近的十分之一度）。
创建你自己有足够信息决定的直角三角形，并解它。
测量不可及的距离
你已经学会足够的知识来掌握三角学的一个基本应用：测量不可及的距离。这个想法是识别一个已决定的三角形，它的一边是你想要的距离。然后用三角学求这个距离。
例题（必要的旗杆问题）。 你想测量一个旗杆但不想爬到顶部，在身后拖着卷尺。你怎么能做到？
解。 从旗杆走十英尺，然后测量从你站立处到杆顶的仰角。假设这是\(63^{\circ}\)。现在我们有一个已决定的直角三角形（由ASA），所以我们可以用三角学解它。
三角形的另一个锐角是\(27^{\circ}\)。如果我们令\(c\)为斜边，那么
\(\sin 27^{\circ} = 10/c\)。等价地，\(c = 10/\sin 27^{\circ} \approx 22.02689265\)英尺。
现在我们有了三角形的两边，所以我们可以用勾股定理得到第三边。这样做，我们发现旗杆的高度约为19.626英尺，即约19’7.5”，你应该验证。
在你学到一些进一步的三角技术后，我们会忘记旗杆，承接更令人印象深刻的应用：测量不可及的天文距离。然而，即使那样，三角学游戏的精神仍然是相同的——寻找和解已决定的三角形。
练习
- 如果我们只从旗杆走5英尺，仰角会是多少？
[提示：别忘了，你已经找到了旗杆的高度。]
通过测量旗杆和码尺（码尺，像旗杆一样，应该垂直于地面）投射的阴影长度，人们可以不用三角学找到旗杆的高度。解释怎么做。
旗杆问题的一个转变（如练习5中所解）出现在福尔摩斯的故事”马斯格雷夫仪式历险记”中。如果愿意，可以读一读。
摩西需要测量约旦河对面的距离，但不能穿过它。他盯着对面岸上正对着他的一棵树。“哎呀，”他喃喃自语，“要是我能回到埃及的肉锅旁就好了。”沿着河岸走二十英尺后，他转身看着那棵树。突然受到启发，他测量了图中的角，结果是\(53^{\circ}\)。河有多宽（精确到英寸）？
插曲：正弦的三个精确值
到目前为止，我们满足于从计算器获得正弦的近似值。然而，某些角度的正弦我们可以精确计算。这是让数学家心灵温暖的那种东西。在本节中，我们将考虑三个这样的角度，它们都出现在简单的形状中：正方形的一半和等边三角形的一半。
让我们从将等边三角形分成两半开始，如右图所示。结果是一个”30-60-90三角形”。所有这样的三角形都相似（由AAA），所以我们可以自由地研究任何大小的30-60-90三角形。我将使短腰为1单位。（你可以使其为任何你喜欢的长度，但这个选择会简化我们的工作。）其他边的长度现在是确定的。显然，等边三角形的每条边等于直角三角形短腰的两个副本（见图表）。因此，直角三角形的斜边，作为等边三角形的一条边，是2单位。然后勾股定理给出长腰的长度：\(\sqrt{3}\)单位。
从上面的图，我们可以读出两个正弦的精确值：
\[\sin30^{\circ}=\frac{1}{2},\qquad\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\]
你应该记住这些，如果你忘记了它们，你应该能够在几秒钟内重新推导它们，方法是通过思考前面的论证。
求\(\sin 45^{\circ}\)更容易，因为我们可以在正方形的一半中找到这个角——在一个直角等腰三角形中，如图中。令这样的三角形的每条腰为1单位，勾股定理告诉我们斜边必须是\(\sqrt{2}\)。因此，
\[\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{n}4\mathbf{5}^{\circ}=\frac{\mathbf{1}}{\sqrt{2}}\left(=\frac{\sqrt{2}}{\mathbf{2}}\right).\]
你也应该记住这个——并理解它。
练习
- 求正弦的精确表达式（即用根式表示）是困难的，在大多数情况下是不可能的。因此每当我们能做到时就是庆祝的原因。在这个问题中，你将用一个巧妙的几何论证找到另外两个精确值（你不需要记住的值！）
画一个正方形和一个等边三角形在同一底边上。通过三角形的顶部顶点画一条垂直于底边的线。现在 given 图表中的标签……
求\(\Delta AED\)和\(\Delta DEF\)中的角。[提示：\(\Delta AED\)是一种特殊类型的三角形。]
设AG = 1。求\(\Delta DEF\)的边，这将给出其锐角的正弦。
SOH CAH TOA：直角三角形的神
所有包含给定锐角\(\theta\)的直角三角形具有相同的比例。它们的边的各种比率有不同的名称，你已经知道其中一个。以下是我们将反复使用的三个。
定义。 对于每个锐角\(\theta\)，我们定义以下三角比：
\[\sin\theta=\frac{opposite}{hypotenuse},\qquad\cos\theta=\frac{adjacent}{hypotenuse},\qquad\tan\theta=\frac{opposite}{adjacent},\]
其中每个比率中的术语指的是任何包含\(\theta\)的直角三角形的边。（“Opposite”和”adjacent”指的是三角形的腰相对于\(\theta\)的位置。）
大多数人会通过调用直角三角形之神的伟大名字SOH CAH TOA来记住这三个比（分别读作”theta的正弦”、“theta的余弦”和”theta的正切”）。\(^{*}\)
我们可以用正弦单独解任何已决定的直角三角形，但有余弦和正切可以大大缩短我们的工作。考虑两页前我们的旗杆例子。要使用正弦 alone 求它的高度，我们首先必须将注意力转移到我们没有得到的锐角上；然后我们用正弦求斜边，用勾股定理得到旗杆的高度。比较下面简单得多的解。
例题。 求右边旗杆的高度。
解。 我们有邻\(\theta = 63^{\circ}\)角的腰。我们想要对边。现在我们吟唱SOH CAH TOA的名字……我们记得：啊！我们应该用正切，因为正切关联对边和邻边。特别是，如果我们令\(x\)为旗杆的高度，那么
\[\tan63^{\circ}=x/10.\]
或者，等价地，
\[x=10\tan63^{\circ}\approx19.6261\ feet.\]
也就是说，旗杆大约19英尺8英寸高。赞美SOH CAH TOA！
练习
不用计算器，找出\(30^{\circ}\)、\(60^{\circ}\)和\(45^{\circ}\)的余弦和正切的精确值。
不用勾股定理，求右边每个三角形的缺失边。
一个直角三角形有边3、4和5。使用逆正切近似其最小角到最近的十分之一度。（逆正切类似于逆正弦。）
同一性危机——以及为什么余弦叫余弦
任何直角三角形中的两个锐角当然是余角。意识到这一点，看着图，我们发现任何角\(\theta\)的余弦是其补角的正弦。
（因为根据右图上的标签，它们都等于a/c。）
事实上，“co”在余弦中代表complement：余弦字面意思是”补角的正弦”。我们刚刚建立了你将在本课程中看到的第一个三角恒等式：对于任何锐角\(\theta\)，
\[\mathbf{\cos\theta}=\mathbf{\sin(90^{\circ}-\theta)}.\]
我们将像使用代数恒等式如\(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\)一样使用三角恒等式。每个恒等式给我们两种形式来表达相同的东西。有时候一种形式比另一种更方便。我们使用最适合场合的形式。
盯着我们上面小图中的通用直角三角形，我们看出另一个三角恒等式：对于每个锐角\(\theta\)，
\[\mathbf{t a n}\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}.\]
为了证明这一点，只需调用SAH CAH TOA将这个方程的每边重写为a、b和c的三角比：你应该验证，每边都等于b/a。因此它们相等，如主张。
学习这两个恒等式。我们将经常使用它们。
练习
- 将以下每个余弦重写为正弦。（例如，\(\cos 50^{\circ} = \sin 40^{\circ}\)。）
\(\cos 10^{\circ}\)
\(\cos 25^{\circ}\)
\(\cos 88^{\circ}\)
到目前为止，你应该记住\(30^{\circ}\)、\(60^{\circ}\)和\(45^{\circ}\)的正弦值。你也应该知道这些角的余弦值。好消息是你不需要单独记住它们。解释为什么。
证明\(\sin\theta=\cos(90^{\circ}-\theta)\)对所有锐角\(\theta\)成立。
[提示：使用上图，将这个方程中的三角表达式重写为a、b和c的项。]
将以下每个正弦重写为余弦：a) \(\sin 70^{\circ}\) b) \(\sin 89.9^{\circ}\) c) \(\sin(\alpha + 20^{\circ})\)
将以下每个正切重写为正弦和余弦的项：a) \(\tan 10^{\circ}\) b) \(\tan 25^{\circ}\) c) \(\tan 88^{\circ}\)
现在你应该能够用两种不同的方法得到\(30^{\circ}\)、\(60^{\circ}\)和\(45^{\circ}\)的正切精确值。这样做。
这三个值值得记住。
- 尽可能简化以下表达式。
- \(\frac{\sin 19^{\circ}}{\cos 19^{\circ}}\) b) \(\frac{\sin \alpha}{\sin(90^{\circ}-\alpha)}\) c) \(\sqrt{\left(\frac{1}{\tan \beta}\right)\left(\frac{\cos(90^{\circ}-\beta)}{\cos \beta}\right)}\)
证明\((\cos\theta)^{2}+(\sin\theta)^{2}=1\)对所有锐角\(\theta\)成立。[提示：见练习14的提示。]
\(\cos 86\)和福尔摩斯有什么关系？
倒数三角函数
三个基本三角比的倒数有特殊的名称和符号：
定义。 对于每个锐角\(\theta\)，
\(\cos \theta\)的倒数称为\(\theta\)的正割。
\(\sin \theta\)的倒数称为\(\theta\)的余割。
\(\tan \theta\)的倒数称为\(\theta\)的余切。
\((\sec \theta = 1/\cos \theta)\)
\((\csc \theta = 1/\sin \theta)\)
\((\cot \theta = 1/\tan \theta)\)
因此，例如，\(\sec 30^{\circ} = \frac{1}{\cos 30^{\circ}} = \frac{1}{\sin 60^{\circ}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \left( = \frac{2\sqrt{3}}{3} \right)\)。
倒数函数严格是异性：sec与cos配对，csc与sin配对。这完成了我们的三角函数集合。
练习
找出\(30^{\circ}\)、\(60^{\circ}\)和\(45^{\circ}\)的正割、余割和余切的精确表达式。
\(\sec\theta\)是包含\(\theta\)的直角三角形的边比吗？如果是，是哪个边比？如果不是，为什么不是？
正弦和余弦被称为互余函数，因为，如你所知，任何锐角的正弦是其补角的余弦，反之亦然。正割和余割，顾名思义，构成了第二对互余函数，而正切和余切构成了第三对互余函数。
你的问题：证明正割和余割确实是互余函数。然后对正切和余切做同样的事。
[提示：调整我们在上一页证明正弦和余弦是互余函数时使用的策略。]
- 使用互余函数将以下重写为小于\(45^{\circ}\)的角（例如，\(\sin 80^{\circ} = \cos 10^{\circ}\)）。：
- \(\cos 72^{\circ}\) b) \(\csc 88^{\circ}\) c) \(\sin 70^{\circ}\) d) \(\sec 46^{\circ}\) e) \(\tan 75^{\circ}\) f) \(\cot 89.99^{\circ}\)
- 使用互余函数将以下重写为大于\(45^{\circ}\)的角。
- \(\cos 10^{\circ}\) b) \(\csc 20^{\circ}\) c) \(\sin 35^{\circ}\) d) \(\sec 40^{\circ}\) e) \(\tan 1^{\circ}\) f) \(\cot 25^{\circ}\)
- 判断对错？（解释你的答案。）对于每个锐角\(\theta\)，
- \(\csc\theta = \sec(90^{\circ} - \theta)\) b) \(\csc\theta = \sin(90^{\circ} - \theta)\) c) \(\csc\theta = 1/\cos(90^{\circ} - \theta)\) d) \(\csc\theta = 1/\sin\theta\) e) \(\cos\theta = 1/\sin\theta\) f) \(\cot\theta = 1/\tan\theta\) g) \(\tan\theta/\sin\theta = \sec\theta\) h) \(\tan\theta\cot\theta = \sin\theta\cos\theta\) i) \(\sec\theta\cos\theta/\cot\theta = \tan\theta\)
- 简化以下表达式。
- \(\frac{\sin\theta}{(\sin\alpha\csc\alpha)^{3}\sin(90^{\circ}-\theta)}\) b) \(\tan\alpha\cos\alpha\) c) \(\frac{\sqrt{\sec(90^{\circ}-\beta)\sin\beta}}{\csc(90^{\circ}-\beta)}\) d) \(\frac{\sin10^{\circ}}{\cos80^{\circ}}-\frac{\cos10^{\circ}}{\sin80^{\circ}}\)
- 余弦只是”带扭曲的正弦”，因为\(\cos\theta=\sin(90^{\circ}-\theta)\)。正切也是一样（带更大的扭曲），因为\(\tan\theta=\sin\theta/[\sin(90^{\circ}-\theta)]\)。展示每个倒数三角函数如何也能被理解为正弦的扭曲版本。
[寓意：三角学本质上就是正弦函数的研究。]
基本直角三角学：快捷公式
浪漫主义术语称天才或才能或灵感或直觉为
不过是通过经验找到正确的道路，跟着鼻子走，走捷径……
——伊塔洛·卡尔维诺，“控制论与幽灵”，出自《文学的用途》
在上一章中，你学习了应用勾股定理的两个快捷公式。解直角三角形有类似的快捷公式。这是一件非常好的事情，因为用SOH CAH TOA解直角三角形涉及相当多的苦差事：首先你必须为你寻求的未知引入一个新符号；然后你必须建立一个方程；最后，你必须解那个方程。一旦你通过这种机械过程几次，它就变得乏味了。最好压缩过程，把苦差事留给苦差人。
以下快捷公式将使你的工作更简洁，因为它们不需要每次都引入新符号。通过压缩苦差事，它们也释放你的思想，集中在你可能正在研究的任何三角问题的更多概念部分。
快捷公式1。 给出锐角和斜边，
对边是斜边乘以该角正弦的结果；
邻边是斜边乘以该角余弦的结果。
证明。 设\(h\)和\(\theta\)为斜边和给定锐角。
根据定义，\(\sin\theta = \text{opposite}/h\)。将两边乘以\(h\)得到第一个结果。
根据定义，\(\cos \theta = \frac{adjacent}{h}\)。将两边乘以\(h\)得到第二个结果。
快捷公式2。 给出锐角及其邻腰，
对边是给定边乘以该角正切的结果；
斜边是给定边乘以该角正割的结果。
证明。 设\(a\)和\(\theta\)为邻腰和给定锐角。
根据定义，\(\tan\theta = \text{opposite}/a\)。将两边乘以\(a\)得到第一个结果。
根据定义，\(\sec\theta = \frac{hypotenuse}{a}\)。将两边乘以\(a\)得到第二个结果。
这些快捷公式最好通过其附图来记住。请记住，它们只是SOH CAH TOA穿着漂亮衣服。因此，每当我使用一个时，我会用”通过基本直角三角学”或”通过基本三角学”这样的短语来表明这一点。你也应该这样做。
为了欣赏这些快捷公式，回去重读我们旗杆问题的第一个解，在那里我们只使用了正弦。然后重读我们的第二个解，在那里我们调用了SOH CAH TOA的帮助。现在考虑这个第三个解，为此我们将使用我们的\(2^{nd}\)快捷公式。
例题1。 求右边旗杆的高度。
解。 通过基本直角三角学，它的高度是\(10 \tan 63^{\circ} \approx 19.626\)英尺。
（或四舍五入到最近的英寸，19’8”。）
如果没有我们的快捷公式，以下问题会很乏味，但有了它们，只需要几秒钟。
例题2。 在右图中，求长度ED。
解。
首先，\(BC = 3 \sin 22^{\circ} \approx 1.12\)
接下来，\(CD = BC \tan 59^{\circ} \approx 1.87\)（通过\(\Delta ABC\)的基本三角学）。
（通过\(\Delta BCD\)的基本三角学）。\(^{*}\)
最后，\(ED = CD \sec 37^{\circ} \approx 2.34\)（通过\(\Delta ECD\)的基本三角学）。\(^{\dagger}\)
在那个解中，观察每当我应用基本三角学时，我都提到了我应用它的特定三角形。每当你解涉及多个三角形的问题时，你都应该这样做。
你当然不需要使用这两个快捷公式中的任何一个。你可以随时调用SOH CAH TOA并求出比值。但仍然，任何学习微积分或物理的人都应该非常习惯使用第一个快捷公式。事实上，如果你不知道它，在你不知道的情况下，未来课堂上的人会对你侧目——不是因为你做错了什么，而是因为你到现在应该能够快速做到。例如，在物理中，我们经常使用第一个快捷公式将向量分解为水平和垂直分量。如果你不知道那个快捷公式，每次这样的三角形出现时都必须祈祷SOH CAH TOA，你的物理老师会看着你侧目。第二个快捷公式也很有用，这是一个令人印象深刻的技巧，但不是必须——但它很简单，为什么不花十分钟学习它并习惯使用它呢？
练习
- 解右边的每个三角形，使用本节介绍的快捷公式求缺失边。
[第一个的提示：
首先得到剩余的锐角。]
在下图中，解\(\Delta AEF\)。
在下图中，解\(\Delta AEF\)。
解释为什么本节介绍的快捷公式有效。
埃拉托斯特尼测量地球
在观察地球时，我得到的主要感觉是，我的上帝，那个小东西在那里是如此脆弱。
——迈克尔·柯林斯，宇航员。
埃拉托斯特尼是公元前三世纪的亚历山大地理学家、数学家和各种知识 trades 的大师，他知道在某一时刻，太阳将在位于亚历山大以南500英里的城市锡恩正上方。因为亚历山大和锡恩位于同一条子午线上，正午同时发生在两个城市。在约定的那一天的正午，埃拉托斯特尼将他的权杖垂直于地面放置，并从其阴影顶端到其顶部测量仰角。借助这个角（82.8°），他确定了地球的周长。
为了理解他是怎么做到的，考虑右图，它显示了包含亚历山大和锡恩（A和S）的地球子午线、埃拉托斯特尼的权杖（AB：不是按比例！）、以及几道阳光，它们由于太阳和地球与它们之间的距离相比都非常小，因此实际上平行。当太阳直接在锡恩上方时，埃拉托斯特尼对\(A\hat{C}B\)的测量让他同时测量地球中心的一个角。瞧：
\[A\hat{E}S=C\hat{B}A=90^{\circ}-A\hat{C}B=7.2^{\circ}.\]
这当然是你所见过的锯齿角最巧妙的运用。因为这个中心角\(7.2^{\circ}\)恰好是一个完整\(360^{\circ}\)的1/50，因此它所对应的圆弧AS必须是地球完整周长的1/50。因此，地球的周长大约是
\[50(500)=25,000\text{英里}.\]
将其除以\(2\pi\)揭示地球的半径：约4000英里，这个数字我们将在下一页用于将三角学应用于天文学。
练习
- 每个圆在其每个点都有唯一的切线。圆的完美对称性保证每条切线都垂直于它所接触的半径。我们可以使用这个重要属性将直角——从而将三角学—— smuggle 进入关于圆的问题中。我们将在接下来的几页中多次这样做。
证明如果我们从圆外的点画两条到同一圆的切线，那么从该点到两个切点的距离必须相等。[提示：找到两个全等的直角三角形。]
月亮有多高
嘀咕咕咕咕咕咕咕咕咕……
——艾拉·菲茨杰拉德
我将用来计算月亮大小和与地球距离的方法涉及我将在此愉快忽略的实际困难；我也将随意处理有效数字。这样的科学细节在这里不感兴趣。我希望演示一个小奇迹：原则上，三角学允许我们，仅使用在地球表面进行的测量，来计算这些月球距离。
问题1。 仅使用在地球上进行的测量，求到月亮的距离。
解。 首先，在地球上找到具有此属性的两点：当站在A的人看到月亮在天顶时，站在B的人会在地平线看到它。
其次，找到这些点之间的距离，沿地球表面测量。
假设你已经做到了，要么在A和B之间进行长距离旅行并进行测量，要么咨询一位友好的地理学家，他已经知道距离。这将是约6186英里。
第三，找出弧AB在地球中心所对的角度\(A\hat{E}B\)。我们不需要前往地球中心来做这件事。一个比例就够了：
\[\frac{A\hat{E}B}{360^{\circ}}=\frac{\mathrm{arc}\;AB}{\mathrm{Earth's\;circumference}}.\]
多亏了埃拉托斯特尼，我们已经知道地球的周长：约25000英里。此外，我们已经确定弧AB约6186英里。将这些值代入比例，我们可以解\(A\hat{E}B\)。（你应该验证它略大于\(89^{\circ}\)。）
第四，也是最后，注意\(\Delta EBM\)现在由ASA决定。通过基本三角学，我们有\(EM = EB \sec(A\hat{E}B)\)。我们知道\(A\hat{E}B\)，我们知道EB约4000英里（又是埃拉托斯特尼），所以我们可以计算EM，即到月亮的距离，如要求。如果你进行计算，你会发现月亮离地球近二十五万英里。
问题2。 仅使用在地球上进行的测量，求月亮的半径。
解。 从地球上的一点E，测量满月在你眼睛所对的角。（这大约是\(0.5^{\circ}\)。）
由于到月亮的距离约250000英里，直角三角形\(\Delta EMT\)由ASA决定。应用基本直角三角学，我们得到月亮的半径：
\[TM \approx 250,000 \tan(0.25^{\circ}),\]
这约1000英里。
练习
我们现在已经看到地球的半径大约是月亮的四倍。这对地球和月亮体积的相对大小意味着什么？
立方体的体对角线是通过立方体中心并连接两个相对角点的线段。相反，面对角线连接立方体一个面上的两个相对角点。（在图中，和\(AC'\)是体对角线，AC是面对角线。）求体对角线和面对角线之间的角。
在右图中，十个小圆（相同大小）被包装到一个大圆中；每个小圆在大圆上接触一点，相邻小圆也接触一点。如果大圆的半径是1，求小圆的半径（精确到小数点后三位）。
[提示：首先，一个来自几何的事实：当圆在单点接触彼此时，通过它们中心的线经过它们的接触点。其次，一个解决问题的方法：找到同一事物的两个表达式（一个包含你寻求的未知），然后将它们相等并解出未知。]
- 当你凝视地平线时，从技术上讲，你看到的不是地平线，而是你的地平线。特别是，如果一个6英尺高的人和其5英尺高的妻子并肩站在海边，凝视着天空和海洋相遇的线，他们实际上凝视的是略微不同的地平线。
解释为什么是这样。
假设地球的半径是4000英里，人的眼睛到地平线的距离是多少（用视线测量）？他妻子的地平线呢？（两个答案都应该用英里和英尺表示。1英里=5280英尺。）
必须有多高才能看到5英里到地平线？看到10英里呢？
相对于b部分中的人，哪个距离更大：他的眼睛到地平线的距离（用视线测量），还是他的脚到地平线的距离（沿地球曲面测量）？大多少？假设地球是完全球形的。
[提示：当我们发现到月亮的距离和地球大小时，我们使用了一个比例将圆的弧与它们在圆心所对的角度联系起来。这个技术在这里也适用。]
- 阅读《大白鲸》第XXXV章，“桅杆顶”。不——读完整本书，你这土地lubber！
- 三十英尺分隔 Quixote 和 Sancho，他们站在河的一岸，凝视着对面岸上一位手有残疾的西班牙绅士静静地坐着。过了一会儿，他们转身相互看着，交换了一个意味深长的眼神。如果Quixote转动\(65^{\circ}\)将视线从那位残疾的西班牙人转向Sancho，而Sancho转动\(34^{\circ}\)迎接他主人的目光，河有多宽？
[提示：回想练习36的第二个提示。]
- 找出\(72^{\circ}\)和\(18^{\circ}\)的正弦、余弦和正切的精确值。
[提示：沉思五芒星。见上一章的练习17。你能在那里找到一个\(72^{\circ}\)角吗？]
- 埃拉托斯特尼仅使用基本几何找到了地球的半径。这里有一个实现相同事情的三角方法。一个人站在山顶上3英里高于海平面，仔细测量到海洋地平线的俯角（\(Z\widehat{M}H\)在图中），发现它是\(2.23^{\circ}\)。
由此计算地球的半径。
- 按定义，\(\pi\)是任何圆的直径在其周长中拟合的次数。合理仔细的 drawing 显示，作为第一个粗略近似，\(\pi \approx 3\)。
阅读列王纪上7:23-26，它描述了所罗门神殿中的一个奇怪的器皿。\(\pi\)如何与其尺寸相关？大量学术墨水在这个看似无害的段落上被倾注。
每个人”知道”\(\pi\)的小数展开永不结束，它没有可辨认的模式，以3.14159265358979开头。\(^{*}\) 当然，我们大多数人对\(\pi\)的这些事实只是道听途说——我们”知道”大多数事物的方式。考虑你是如何知道以下每一项的：
\[iii.\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\qquad iv.\pi\approx3.14159...\]
假设你真的在学习三角学（而不只是记住一些事实和技术），你对(iii)的答案应该与你对(iv)的答案显著不同。是吗？
那么\(\pi\)的那些著名数字（截至2023年，已计算出超过100万亿位）从何而来？大多数生成它们的方法依赖于无穷级数，这是微积分的主题，但三角学会让你走完一半的路。考虑一个内接于单位圆（即半径为1的圆）的正多边形。多边形的面积近似（但略小于）圆的面积，而圆的面积是\(\pi\)。因此，多边形面积的任何十进制近似将给我们\(\pi\)的十进制展开的下界。多边形边数越多，\(\pi\)的近似越好。解释为什么会这样。然后用三角学求内接于单位圆的180边正多边形的面积。
为了获得\(\pi\)的上界，我们可以考虑围绕单位圆的外接正多边形。用三角学求外接180边正多边形的面积，并解释这如何结合你在c部分的工作表明\(\pi\)的小数展开必须以3.14开头。
你在c和d部分的数值工作需要一个计算器——但你的计算器如何”知道”如何求三角函数的值？你现在应该对为什么\(\pi \approx 3.14\)有一些见解，但是……你还应该认识到我们只是搬迁了谜团：我们将近似\(\pi\)的问题减少到近似三角函数值的问题。稍后，我会解释你的计算器在做什么……这自然会再次搬迁谜团！在那之前，思考这个问题。