第1章 预备知识

第1章 预备知识

代数中使用的数集

代数中使用的数集一般是实数集 \(\mathbb{R}\) 的子集。

自然数 \(\mathbb{N}\)

计数数，例如 \(1, 2, 3, 4, \ldots\)

整数 \(\mathbb{Z}\)

计数数连同其相反数和 \(0\)，例如 \(0, 1, 2, 3, \ldots, -1, -2, -3, \ldots\)

有理数 \(\mathbb{Q}\)

所有可写成商 \(a/b\)（\(b \neq 0\)，\(a\) 和 \(b\) 为整数）的数的集合，例如 \(3/17, 10/3, -5.13, \ldots\)

无理数 \(\mathbb{H}\)

所有不是有理数的实数，例如 \(\pi, \sqrt{2}, \sqrt[3]{5}, -\pi/3, \ldots\)

例 1.1 数 \(-5\) 属于集合 \(\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\)。数 \(156.73\) 属于集合 \(\mathbb{Q}, \mathbb{R}\)。数 \(5\pi\) 属于集合 \(\mathbb{H}, \mathbb{R}\)。

实数系的公理

有两种基本运算——加法和乘法，具有以下性质（\(a, b, c\) 为任意实数）：

封闭律

和 \(a + b\) 与积 \(a \cdot b\)（即 \(ab\)）是唯一确定的实数。

交换律

\(a + b = b + a\)：加法中次序无关。

\(ab = ba\)：乘法中次序无关。

结合律

\(a + (b + c) = (a + b) + c\)：反复相加时，分组无关紧要。

\(a(bc) = (ab)c\)：反复相乘时，分组无关紧要。

注意（去括号）： 由于 \(a + (b + c) = (a + b) + c\)，\(a + b + c\) 可表示任一量。同样，由于 \(a(bc) = (ab)c\)，\(abc\) 可表示任一量。

分配律

\(a(b+c)=ab+ac\)；也有 \((a+b)c=ac+bc\)：乘法对加法具有分配性。

单位元律

存在唯一数 \(0\)，使得 \(0 + a = a + 0 = a\)。

存在唯一数 \(1\)，使得 \(1 \cdot a = a \cdot 1 = a\)。

逆元律

对任意实数 \(a\)，存在实数 \(-a\)，使得 \(a + (-a) = (-a) + a = 0\)。

对任意非零实数 \(a\)，存在实数 \(a^{-1}\)，使得 \(aa^{-1} = a^{-1}a = 1\)。

\(-a\) 称为 \(a\) 的加法逆元（或负数）。\(a^{-1}\) 称为 \(a\) 的乘法逆元（或倒数）。

例 1.2 结合律和交换律：化简 \((3 + x) + 5\)。

\[\begin{aligned}(3+x)+5&=(x+3)+5 &\text{交换律}\\&=x+(3+5) &\text{结合律}\\&=x+8\end{aligned}\]

例 1.3 FOIL 法（首外内末）。证明 \((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\)。

\[\begin{aligned}(a+b)(c+d)&=a(c+d)+b(c+d) &\text{分配律第二形式}\\&=ac+ad+bc+bd &\text{分配律第一形式}\end{aligned}\]

零因子律

  1. 对任意实数 \(a\)，\(a \cdot 0 = 0\)。
  2. 若 \(ab = 0\)，则 \(a = 0\) 或 \(b = 0\)。

负数律

  1. \(-(-a)=a\)
  2. \((-a)(-b)=ab\)
  3. \(-ab=(-a)b=a(-b)=-(-a)(-b)\)
  4. \((-1)a = -a\)

减法与除法

减法定义： \(a - b = a + (-b)\)

除法定义： \(\dfrac{a}{b}=a\div b=a\cdot b^{-1}\)。因此，\(b^{-1}=1\cdot b^{-1}=1\div b=\dfrac{1}{b}\)。

注意： 由于 \(0\) 没有乘法逆元，\(a \div 0\) 无意义。

商的运算律

\[-\frac{a}{b}=\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}=-\frac{-a}{-b}\]

  1. \(\dfrac{-a}{-b}=\dfrac{a}{b}\)

  2. \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) 当且仅当 \(ad=bc\)。

  3. \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{ka}{kb}\)，其中 \(k\) 为任意非零实数。（分数基本原理）

序关系性质

正实数集记为 \(\mathbb{R}^{+}\)，是实数集的一个子集，具有以下性质：

  1. 若 \(a\) 和 \(b\) 属于 \(\mathbb{R}^{+}\)，则 \(a + b\) 和 \(ab\) 也属于 \(\mathbb{R}^{+}\)。
  2. 对任意实数 \(a\)，\(a\) 属于 \(\mathbb{R}^{+}\)，或 \(a = 0\)，或 \(-a\) 属于 \(\mathbb{R}^{+}\)，三者之一成立。

若 \(a\) 属于 \(\mathbb{R}^{+}\)，称 \(a\) 为正数；若 \(-a\) 属于 \(\mathbb{R}^{+}\)，称 \(a\) 为负数。

若 \(b - a\) 为正，则称 \(a\) 小于 \(b\)，记作 \(a < b\)，此时 \(b\) 大于 \(a\)，记作 \(b > a\)。若 \(a\) 小于或等于 \(b\)，记作 \(a \leq b\)，此时 \(b\) 大于或等于 \(a\)，记作 \(b \geq a\)。

例 1.4 \(3 < 5\)，因为 \(5 - 3 = 2\) 为正。\(-5 < 3\)，因为 \(3 - (-5) = 8\) 为正。

由这些定义可推出：

  1. \(a > 0\) 当且仅当 \(a\) 为正。
  2. 若 \(a \neq 0\)，则 \(a^{2} > 0\)。
  3. 若 \(a < b\)，则 \(a + c < b + c\)。
  4. 若 \(a < b\)，则 \(\begin{cases}ac < bc & \text{若} c > 0 \\ac > bc & \text{若} c < 0\end{cases}\)
  5. 对任意实数 \(a\)，\(a > 0\)、\(a = 0\) 或 \(a < 0\) 三者之一成立。
  6. 若 \(a < b\) 且 \(b < c\)，则 \(a < c\)。

数轴

实数可用直线 \(l\) 上的点来表示，使得对每个实数 \(a\) 恰好有一个点与之对应，反之亦然。

例 1.5 在数轴上表示集合 \(\{3, -5, 0, 2/3, \sqrt{5}, -1.5, -\pi\}\)。

数的绝对值

实数 \(a\) 的绝对值，记为 \(|a|\)，定义如下：

\[|a|=\begin{cases}a & \text{若} a\geq0\\ -a & \text{若} a<0\end{cases}\]

复数

并非所有数都是实数。形如 \(a + bi\)（其中 \(a\) 和 \(b\) 为实数，\(i^{2} = -1\)）的数的集合 \(\mathbb{C}\) 称为复数集。由于每个实数 \(x\) 都可写成 \(x + 0i\)，因此每个实数也是复数。

例 1.6 \(3 + \sqrt{-4} = 3 + 2i\)，\(-5i\)，\(2\pi i\)，\(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\) 是非实复数的例子。

运算顺序

在涉及混合运算的表达式中，遵循以下顺序：

  1. 首先执行分组符号内的运算。若分组符号嵌套，从最内层向外依次计算。
  2. 在执行乘除法之前先计算指数（除非分组符号另有指示）。
  3. 从左到右按序执行乘除法，然后再执行加减法（也从左到右），除非运算符号另有指示。

例 1.7 计算 (a) \(-5 - 3^{2}\)，(b) \(3 - 4[5 - 6(2 - 8)]\)，(c) \([3 - 8 \cdot 5 - (-1 - 2 \cdot 3)] \cdot (3^{2} - 5^{2})^{2}\)

  1. \(-5 - 3^{2} = -5 - 9 = -14\)

  2. \[\begin{aligned}3-4[5-6(2-8)]&=3-4[5-6(-6)]\\&=3-4[5+36]\\&=3-4[41]=3-164=-161\end{aligned}\]

  3. \[\begin{aligned}[3-8\cdot5-(-1-2\cdot3)]\cdot(3^{2}-5^{2})^{2}&=[3-8\cdot5-(-1-6)]\cdot(9-25)^{2}\\&=[3-(8\cdot5)-(-7)]\cdot(-16)^{2}\\&=[3-40+7]\cdot256\\&=-30\cdot256=-7680\end{aligned}\]

已解答的习题

1.1. 证明扩展分配律 \(a(b + c + d) = ab + ac + ad\)。

\[\begin{aligned}a(b+c+d)&=a[(b+c)+d] &\text{结合律}\\&=a(b+c)+ad &\text{分配律}\\&=ab+ac+ad &\text{分配律}\end{aligned}\]

1.2. 证明乘法对减法也有分配性：\(a(b - c) = ab - ac\)。

\[\begin{aligned}a(b-c)&=a[b+(-c)] &\text{减法定义}\\&=ab+a(-c) &\text{分配律}\\&=ab+(-ac) &\text{负数律}\\&=ab-ac &\text{减法定义}\end{aligned}\]

1.3. 证明 \(-(a+b)=-a-b\)。

\[\begin{aligned}-(a+b)&=(-1)(a+b) &\text{负数律}\\&=(-1)a+(-1)b &\text{分配律}\\&=(-a)+(-b) &\text{负数律}\\&=-a-b &\text{减法定义}\end{aligned}\]

1.4. 证明若 \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)，则 \(ad=bc\)。

假设 \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)。由除法定义，这意味着 \(ab^{-1}=cd^{-1}\)。因此：

\[\begin{aligned}ad&=ad\cdot1 &\text{单位元律}\\&=adbb^{-1} &\text{逆元律}\\&=ab^{-1}db &\text{结合律与交换律}\\&=cd^{-1}db &\text{由假设}\\&=c\cdot1\cdot b &\text{逆元律}\\&=bc &\text{单位元律与交换律}\end{aligned}\]

1.5. 证明若 \(a < b\)，则 \(a + c < b + c\)。

假设 \(a < b\)，则 \(b - a\) 为正。但 \(b - a = b - a + 0 = b - a + c + (-c)\)（由单位元律和逆元律）。由于 \(b - a + c + (-c) = b - a + c - c = b + c - (a + c)\)（由减法定义、结合律、交换律和习题 1.3），故 \(b + c - (a + c)\) 为正。因此 \(a + c < b + c\)。

1.6. 判断下列数属于哪些集合 \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{H}, \mathbb{R}, \mathbb{C}\)：

  1. \(-7\)；(b) \(0.7\)；(c) \(\sqrt{7}\)；(d) \(\dfrac{7}{0}\)；(e) \(\sqrt{-7}\)

  2. \(-7\) 是负整数，故也是有理数、实数和复数。\(-7 \in \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}\)。

  3. \(0.7 = 7/10\)，故是有理数，也是实数和复数。\(0.7 \in \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}\)。

  4. \(\sqrt{7}\) 是无理数，也是实数和复数。\(\sqrt{7} \in \mathbb{H}, \mathbb{R}, \mathbb{C}\)。

  5. \(\dfrac{7}{0}\) 无意义，不属于这些集合中的任何一个。

  6. \(\sqrt{-7}\) 不是实数，但可写作 \(i\sqrt{7}\)，故是复数。\(\sqrt{-7} \in \mathbb{C}\)。

1.7. 判断真假：

  1. \(-7 < -8\)；(b) \(\pi = 22/7\)；(c) 对所有实数 \(x\)，\(x^{2} \geq 0\)。

  2. 由于 \((-8)-(-7)=-1\) 为负，故 \(-8<-7\)，所以原陈述为假。

  3. 由于 \(\pi\) 是无理数而 \(22/7\) 是有理数，所以原陈述为假。

  4. 这由不等式性质2得出，陈述为真。

1.8. 不用绝对值符号改写并化简：

  1. \(|3-5|\)；(b) \(|3|-|5|\)；(c) \(|2-\pi|\)；(d) 若 \(x > 5\)，则 \(|x - 5|\)；(e) 若 \(x < -6\)，则 \(|x + 6|\)

  2. \(|3-5|=|-2|=2\)

  3. \(|3|-|5|=3-5=-2\)

  4. 由于 \(2 < \pi\)，\(2 - \pi\) 为负。故 \(|2 - \pi| = -(2 - \pi) = \pi - 2\)。

  5. 已知 \(x > 5\)，\(x - 5\) 为正。故 \(|x - 5| = x - 5\)。

  6. 已知 \(x < -6\)，\(x - (-6) = x + 6\) 为负。故 \(|x + 6| = -(x + 6) = -x - 6\)。

补充习题

1.9. 指出下列各陈述所使用的运算律：

  1. \((2x + 3) + 5 = 2x + (3 + 5)\)

  2. \(2x + (5 + 3x) = 2x + (3x + 5)\)

  3. \(x^{2}(x + y) = x^{2} \cdot x + x^{2} \cdot y\)

  4. \(100[0.01(50 - x)] = [100(0.01)](50 - x)\)

  5. 若 \(a + b = 0\)，则 \(b = -a\)。

  6. 若 \((x - 5)(x + 3) = 0\)，则 \(x - 5 = 0\) 或 \(x + 3 = 0\)。

答： (a) 加法结合律；(b) 加法交换律；(c) 分配律；(d) 乘法结合律；(e) 加法逆元律；(f) 零因子律

1.10. 下列陈述真假如何？

  1. \(3\) 是实数。(b) \(\pi = 3.14\)。(c) \(|x-5|=x+5\)。(d) 每个有理数也是复数。

答： (a) 真；(b) 假；(c) 假；(d) 真

1.11. 在下列各式中填写正确的不等号：

  1. \(9 \;?\; -8\)；(b) \(\pi \;?\; 4\)；(c) \(\dfrac{1}{3} \;?\; 0.33\)；(d) \(\dfrac{22}{7} \;?\; \pi\)；(e) \(-1.414 \;?\; -\sqrt{2}\)

答： (a) \(>\)；(b) \(<\)；(c) \(>\)；(d) \(>\)；(e) \(>\)

1.12. 证明若 \(ad = bc\)，则 \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\)。（提示：假设 \(ad = bc\)，然后从 \(ab^{-1}\) 出发，仿照习题 1.4 的思路变换为 \(cd^{-1}\)。）

1.13. 证明 \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{ak}{bk}\) 由 “\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) 当且仅当 \(ad=bc\)” 推出。

1.14. 不用绝对值符号改写并化简：

  1. \(|(-5)-[-(-9)]|\)；(b) \(-|\sqrt{2}-1.4|\)；(c) \(|6 - x|\)（若 \(x > 6\)）；(d) \(-|-4 - x^{2}|\)

答： (a) \(14\)；(b) \(1.4 - \sqrt{2}\)；(c) \(x - 6\)；(d) \(-4 - x^{2}\)

1.15. 计算 (a) \(2 \cdot 3 - 4 \cdot 5^{2}\)；(b) \(7 + 3[2(5 - 8) - 4]\)；(c) \(\{4 \cdot 8 - 6[7 - (5 - 8)^{2}]\}^{2}\)

答： (a) \(-94\)；(b) \(-23\)；(c) \(1936\)

1.16. 考虑集合 \(\left\{-5, -\dfrac{5}{3}, 0, \sqrt{5}, \pi, \dfrac{50}{7}, \sqrt{625}\right\}\)

  1. 哪些成员属于 \(\mathbb{N}\)？(b) 哪些成员属于 \(\mathbb{Z}\)？(c) 哪些成员属于 \(\mathbb{Q}\)？(d) 哪些成员属于 \(\mathbb{H}\)？

答： (a) \(\sqrt{625}\)；(b) \(-5, 0, \sqrt{625}\)；(c) \(-5, -\dfrac{5}{3}, 0, \dfrac{50}{7}, \sqrt{625}\)；(d) \(\sqrt{5}, \pi\)

1.17. 若对集合中任意成员施加某运算所得结果仍在该集合中，则称该集合对该运算是封闭的。例如，整数集 \(\mathbb{Z}\) 对加法封闭，而无理数集 \(\mathbb{H}\) 对加法不封闭（例如 \(\pi + (-\pi) = 0\) 不是无理数）。判断真假：

  1. \(\mathbb{Z}\) 对乘法封闭。(b) \(\mathbb{H}\) 对乘法封闭。(c) \(\mathbb{N}\) 对减法封闭。(d) \(\mathbb{Q}\) 对加法封闭。(e) \(\mathbb{Q}\) 对乘法封闭。

答： (a) 真；(b) 假；(c) 假；(d) 真；(e) 真