第2章 多项式

第2章 多项式

多项式的定义

多项式是可以写成一项或多项之和的表达式，每一项的形式为 \(ax_{1}^{n_{1}}x_{2}^{n_{2}}\ldots x_{m}^{n_{m}}\)，其中 \(a\) 为常数，\(x_{1},\ldots,x_{m}\) 为变量。只有一项的多项式称为单项式，有两项的称为二项式，有三项的称为三项式。

例 2.1 \(5, -20, \pi, t, 3x^{2}, -15x^{3}y^{2}, \dfrac{2}{3}xy^{4}zw\) 是单项式。

例 2.2 \(x + 5, x^{2} - y^{2}, 3x^{5}y^{7} - \sqrt{3}x^{3}z\) 是二项式。

例 2.3 \(x + y + 4z, 5x^{2} - 3x + 1, x^{3} - y^{3} + t^{3}, 8xyz - 5x^{2}y + 20t^{3}u\) 是三项式。

项的次数

多项式中一项的次数是该变量的指数，若有多个变量，则为各变量指数之和。若一项中没有变量，称为常数项，次数为 \(0\)。

例 2.4 (a) \(3x^{8}\) 的次数为 \(8\)；(b) \(12xy^{2}z^{2}\) 的次数为 \(5\)；(c) \(\pi\) 的次数为 \(0\)。

多项式的次数

多于一项的多项式的次数是各项次数中的最大值。

例 2.5 (a) \(x^{4} + 3x^{2} - 250\) 的次数为 \(4\)；(b) \(x^{3}y^{2} - 30x^{4}\) 的次数为 \(5\)；(c) \(16 - x - x^{10}\) 的次数为 \(10\)；(d) \(x^{3} + 3x^{2}h + 3xh^{2} + h^{3}\) 的次数为 \(3\)。

同类项与异类项

两项或多项若都是常数项，或者包含相同变量且各变量指数相同（仅常系数可能不同），称为同类项。不是同类项的称为异类项。

例 2.6 \(3x\) 与 \(5x\)，\(-16x^{2}y\) 与 \(2x^{2}y\)，\(tu^{5}\) 与 \(6tu^{5}\) 是同类项的例子。\(3\) 与 \(3x\)，\(x^{2}\) 与 \(y^{2}\)，\(a^{3}b^{2}\) 与 \(a^{2}b^{3}\) 是异类项的例子。

加法

两个或多个多项式的和通过合并同类项求得。次序不影响结果，但一元多项式通常按次数从高到低排列。一个关于 \(x\) 的一元多项式总可以写成：

\[a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}\]

这种形式通常称为标准形式，次数为 \(n\)。

例 2.7

\[5x^{3}+6x^{4}-8x+2x^{2}=6x^{4}+5x^{3}+2x^{2}-8x \quad (\text{次数}4)\]

例 2.8

\[\begin{aligned}(x^{3}-3x^{2}+8x+7)+(-5x^{3}-12x+3)&=x^{3}-3x^{2}+8x+7-5x^{3}-12x+3\\&=-4x^{3}-3x^{2}-4x+10\end{aligned}\]

减法

两个多项式的差利用减法定义求得：\(A - B = A + (-B)\)。注意，从 \(A\) 中减去 \(B\) 写作 \(A - B\)。

例 2.9

\[\begin{aligned}(y^{2}-5y+7)-(3y^{2}-5y+12)&=(y^{2}-5y+7)+(-3y^{2}+5y-12)\\&=y^{2}-5y+7-3y^{2}+5y-12\\&=-2y^{2}-5\end{aligned}\]

乘法

两个多项式的积利用分配律的各种形式及指数第一定律 \(x^{a}x^{b}=x^{a+b}\) 求得。

例 2.10

\[\begin{aligned}x^{3}(3x^{4}-5x^{2}+7x+2)&=x^{3}\cdot3x^{4}-x^{3}\cdot5x^{2}+x^{3}\cdot7x+x^{3}\cdot2\\&=3x^{7}-5x^{5}+7x^{4}+2x^{3}\end{aligned}\]

例 2.11 计算：\((x + 2y)(x^{3} - 3x^{2}y + xy^{2})\)

\[\begin{aligned}(x+2y)(x^{3}-3x^{2}y+xy^{2})&=(x+2y)x^{3}-(x+2y)3x^{2}y+(x+2y)xy^{2}\\&=x^{4}+2x^{3}y-3x^{3}y-6x^{2}y^{2}+x^{2}y^{2}+2xy^{3}\\&=x^{4}-x^{3}y-5x^{2}y^{2}+2xy^{3}\end{aligned}\]

FOIL（首外内末）法

用于两个二项式的乘法：

\[(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\]

（首）（外）（内）（末）

例 2.12

\[(2x+3)(4x+5)=8x^{2}+10x+12x+15=8x^{2}+22x+15\]

特殊乘积公式

\[\begin{aligned}&(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2} &\text{（平方差）}\\&(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} &\text{（和的平方）}\\&(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} &\text{（差的平方）}\\&(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3} &\text{（立方差）}\\&(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}+b^{3} &\text{（立方和）}\\&(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} &\text{（和的立方）}\\&(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} &\text{（差的立方）}\end{aligned}\]

因式分解

因式分解是乘法中分配运算的逆过程。不能再分解的多项式称为不可约多项式（素多项式）。常用的因式分解方法包括：提公因式、分组分解、逆FOIL分解和特殊形式分解。

例 2.13 提取单项式公因式：\(3x^{5}-24x^{4}+12x^{3}=3x^{3}(x^{2}-8x+4)\)

例 2.14 提取非单项式公因式：

\[\begin{aligned}12(x^{2}-1)^{4}(3x+1)^{3}+8x(x^{2}-1)^{3}(3x+1)^{4}&=4(x^{2}-1)^{3}(3x+1)^{3}[3(x^{2}-1)+2x(3x+1)]\\&=4(x^{2}-1)^{3}(3x+1)^{3}(9x^{2}+2x-3)\end{aligned}\]

注意，公因式中每个底数取各项中该底数最小指数。

例 2.15 分组分解：

\[3x^{2}+4xy-3xt-4ty=(3x^{2}+4xy)-(3xt+4ty)=x(3x+4y)-t(3x+4y)=(3x+4y)(x-t)\]

逆FOIL分解遵循以下模式：

\[\begin{aligned}x^{2}+(a+b)x+ab&=(x+a)(x+b)\\acx^{2}+(bc+ad)xy+bdy^{2}&=(ax+by)(cx+dy)\end{aligned}\]

例 2.16 逆FOIL分解：

  1. 分解 \(x^{2}-15x+50\)，寻找乘积为 \(50\)、和为 \(-15\) 的两个因数：\(-5\) 和 \(-10\)。

\[x^{2}-15x+50=(x-5)(x-10)\]

  1. 分解 \(4x^{2} + 11xy + 6y^{2}\)，寻找乘积为 \(4 \cdot 6 = 24\)、和为 \(11\) 的两个因数：\(8\) 和 \(3\)。

\[4x^{2}+11xy+6y^{2}=4x^{2}+8xy+3xy+6y^{2}=4x(x+2y)+3y(x+2y)=(x+2y)(4x+3y)\]

特殊因式分解公式

\[\begin{aligned}&a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b) &\text{（平方差）}\\&a^{2}+b^{2}\text{ 是不可约的} &\text{（平方和）}\\&a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2} &\text{（完全平方和）}\\&a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2} &\text{（完全平方差）}\\&a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}) &\text{（立方和）}\\&a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}) &\text{（立方差）}\end{aligned}\]

通用因式分解策略

第一步： 提取所有项的公因式。

第二步： 注意项数。

  • 若第一步后剩下两项，寻找平方差，或立方和/差。
  • 若第一步后剩下三项，寻找完全平方式或尝试逆FOIL分解。
  • 若第一步后剩下四项或更多项，尝试分组分解。

已解答的习题

2.1. 求次数：(a) \(12\)；(b) \(35x^{3}\)；(c) \(3x^{3} - 5x^{4} + 3x^{2} + 9\)；(d) \(x^{8} - 64\)

  1. 一项无变量，次数为 \(0\)。
  2. 一项，变量指数为 \(3\)，次数为 \(3\)。
  3. 各项次数为 \(3, 4, 2, 0\)，最大为 \(4\)，故次数为 \(4\)。
  4. 各项次数为 \(8\) 和 \(0\)，最大为 \(8\)，故次数为 \(8\)。

2.2. 求次数：(a) \(x^{2}y\)；(b) \(xy - y^{3} + 7\)；(c) \(x^{4} + 4x^{3}h + 6x^{2}h^{2} + 4xh^{3} + h^{4}\)

  1. \(2 + 1 = 3\)，次数为 \(3\)。
  2. 各项次数为 \(2, 3, 0\)，最大为 \(3\)，次数为 \(3\)。
  3. 每项次数均为 \(4\)，次数为 \(4\)。

2.3. 若 \(A = x^{2} - 6x + 10\)，\(B = 3x^{3} - 7x^{2} + x + 1\)，求 (a) \(A + B\)；(b) \(A - B\)。

\[\begin{aligned}A+B&=3x^{3}-6x^{2}-5x+11\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}A-B&=-3x^{3}+8x^{2}-7x+9\end{aligned}\]

2.4. 将 \(8x^{3}-y^{3}\) 与 \(x^{2}-5xy^{2}+y^{3}\) 相加。

\[(8x^{3}-y^{3})+(x^{2}-5xy^{2}+y^{3})=8x^{3}+x^{2}-5xy^{2}\]

2.5. 从 \(x^{2}-5xy^{2}+y^{3}\) 中减去 \(8x^{3}-y^{3}\)。

\[(x^{2}-5xy^{2}+y^{3})-(8x^{3}-y^{3})=-8x^{3}+x^{2}-5xy^{2}+2y^{3}\]

2.6. 化简：\(3x^{2}-5x-(5x+8-(8-5x^{2}+(3x^{2}-x+1)))\)

\[\begin{aligned}&3x^{2}-5x-(5x+8-(8-5x^{2}+(3x^{2}-x+1)))\\&=3x^{2}-5x-(5x+8-(-2x^{2}-x+9))\\&=3x^{2}-5x-(5x+8+2x^{2}+x-9)\\&=3x^{2}-5x-(2x^{2}+6x-1)\\&=x^{2}-11x+1\end{aligned}\]

2.7. 计算：(a) \(12x^{2}(x^{2}-xy+y^{2})\)；(b) \((a+b)(2a-3)\)；(c) \((3x-1)(4x^{2}-8x+3)\)

  1. \(12x^{4}-12x^{3}y+12x^{2}y^{2}\)

  2. \(2a^{2} - 3a + 2ab - 3b\)

  3. \(12x^{3}-28x^{2}+17x-3\)

2.8. 用竖式乘法：\((4p - 3q)(2p^{3} - p^{2}q + pq^{2} - 2q^{3})\)

\[8p^{4}-10p^{3}q+7p^{2}q^{2}-11pq^{3}+6q^{4}\]

2.9. 计算：

  1. \((cx - d)(cx + d) = c^{2}x^{2} - d^{2}\)

  2. \((3x - 5)^{2} = 9x^{2} - 30x + 25\)

  3. \((2t - 5)(4t^{2} + 10t + 25) = 8t^{3} - 125\)（利用立方差公式）

  4. \(4(-2x)(1 - x^{2})^{3} = -8x + 24x^{3} - 24x^{5} + 8x^{7}\)

  5. \([(r-s)+t][(r-s)-t] = r^{2}-2rs+s^{2}-t^{2}\)（先用平方差，再用差的平方）

2.10. 计算：(a) \((x + h)^{3} - (x - h)^{3}\)；(b) \((1 + t)^{4}\)

  1. \((1+t)^{4} = 1+4t+6t^{2}+4t^{3}+t^{4}\)

2.11. 因式分解：

  1. \(15x^{4} - 10x^{3} + 25x^{2} = 5x^{2}(3x^{2}-2x+5)\)

  2. \(x^{2} + 12x + 20 = (x + 10)(x + 2)\)

  3. \(9x^{2}-25y^{2}=(3x-5y)(3x+5y)\)

  4. \(6x^{5}-48x^{4}-54x^{3}=6x^{3}(x-9)(x+1)\)

  5. \(5x^{2} + 13xy + 6y^{2} = (5x + 3y)(x + 2y)\)

  6. \(P(1 + r) + P(1 + r)r = P(1 + r)^{2}\)

  7. \(x^{3} - 64 = (x - 4)(x^{2} + 4x + 16)\)

  8. \(3(x+3)^{2}(x-8)^{4}+4(x+3)^{3}(x-8)^{3} = (x+3)^{2}(x-8)^{3}(7x-12)\)

  9. \(x^{4}-y^{4}+x^{3}-xy^{2} = (x-y)(x+y)(x^{2}+y^{2}+x)\)

  10. \(x^{6}-64y^{6}=(x-2y)(x^{2}+2xy+4y^{2})(x+2y)(x^{2}-2xy+4y^{2})\)

2.12. 利用”添项补完全平方再减去”的技巧分解：

  1. \(x^{4}+4y^{4}\)

\[\begin{aligned}x^{4}+4y^{4}&=x^{4}+4x^{2}y^{2}+4y^{4}-4x^{2}y^{2}\\&=(x^{2}+2y^{2})^{2}-(2xy)^{2}\\&=(x^{2}+2y^{2}-2xy)(x^{2}+2y^{2}+2xy)\end{aligned}\]

  1. \(x^{4}+2x^{2}y^{2}+9y^{4}\)

\[\begin{aligned}x^{4}+2x^{2}y^{2}+9y^{4}&=x^{4}+6x^{2}y^{2}+9y^{4}-4x^{2}y^{2}\\&=(x^{2}+3y^{2})^{2}-(2xy)^{2}\\&=(x^{2}+3y^{2}-2xy)(x^{2}+3y^{2}+2xy)\end{aligned}\]

补充习题

2.13. 求次数：(a) \(8\)；(b) \(8x^{7}\)；(c) \(5x^{2} - 5x + 5\)；(d) \(5\pi^{2} - 5\pi + 5\)；(e) \(x^{2} + 2xy + y^{2} - 6x + 8y + 25\)

答： (a) \(0\)；(b) \(7\)；(c) \(2\)；(d) \(0\)；(e) \(2\)

2.14. 设 \(P\) 为 \(m\) 次多项式，\(Q\) 为 \(n\) 次多项式。证明：(a) \(PQ\) 是 \(m + n\) 次多项式；(b) \(P + Q\) 的次数不超过 \(m, n\) 中的较大值。

2.15. 设 \(A = x^{2} - xy + 2y^{2}\)，\(B = x^{3} - y^{3}\)，\(C = 2x^{2} - 5x + 4\)，\(D = 3x^{2} - 2y^{2}\)。求：

  1. \(A + D = 4x^{2} - xy\)

  2. \(BD = 3x^{5} - 2x^{3}y^{2} - 3x^{2}y^{3} + 2y^{5}\)

  3. \(B - Cx = -x^{3} - y^{3} + 5x^{2} - 4x\)

  4. \(x^{2}A^{2} - B^{2} = -2x^{5}y+5x^{4}y^{2}-2x^{3}y^{3}+4x^{2}y^{4}-y^{6}\)

  5. \(AD - B^{2} = 3x^{4}-3x^{3}y+4x^{2}y^{2}+2xy^{3}-4y^{4}-x^{6}+2x^{3}y^{3}-y^{6}\)

2.16. 从 \(A\) 与 \(D\) 之和中减去 \(C\)。答： \(2x^{2}-xy+5x-4\)

2.17. 执行运算：

  1. \(-(x-5)^{2} = -x^{2} + 10x - 25\)

  2. \(2x-(x-3)^{2} = -x^{2} + 8x - 9\)

  3. \(5a(2a-1)^{2}-3(a-2)^{3} = 17a^{3} - 2a^{2} - 31a + 24\)

  4. \(-(4x+1)^{3}-2(4x+1)^{2} = -64x^{3}-80x^{2}-28x-3\)

2.18. 执行运算：

  1. \(-3(x-2)^{2} = -3x^{2} + 12x - 12\)

  2. \(-3-4(x+4)^{2} = -4x^{2} - 32x - 67\)

  3. \(4(x+3)^{2}-3(x-2)^{2} = x^{2} + 36x + 24\)

  4. \((x+3)(x+4)-(x+5)^{2} = -3x - 13\)

  5. \(-(x+2)^{3}-(x+2)^{2}-5(x+2)+10 = -x^{3}-7x^{2}-21x-12\)

2.19. 执行运算：

  1. \((x - h)^{2} + (y - k)^{2} = x^{2}-2xh+h^{2}+y^{2}-2yk+k^{2}\)

  2. \((x + h)^{4} - x^{4} = 4x^{3}h+6x^{2}h^{2}+4xh^{3}+h^{4}\)

  3. \(R^{2} - (R - x)^{2} = 2Rx-x^{2}\)

  4. \((ax + by + c)^{2} = a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}+2abxy+2acx+2bcy\)

2.20. 因式分解：

  1. \(x^{2}-12x+27 = (x-3)(x-9)\)

  2. \(x^{2}+10x+25 = (x+5)^{2}\)

  3. \(x^{4}-6x^{2}+9 = (x^{2}-3)^{2}\)

  4. \(x^{3}-64 = (x-4)(x^{2}+4x+16)\)

  5. \(3x^{2}-7x-10 = (3x-10)(x+1)\)

  6. \(3x^{3}+15x^{2}-18x = 3x(x+6)(x-1)\)

  7. \(x^{5}+x^{2} = x^{2}(x+1)(x^{2}-x+1)\)

  8. \((x^{2}+2)(4x^{2}-9) = (x^{2}+2)(2x-3)(2x+3)\)

  9. \(x^{4}-9x^{2}y^{2}+y^{4} = (x^{2}-3xy-y^{2})(x^{2}+3xy-y^{2})\)

2.21. 因式分解：

  1. \(t^{2} + 6t - 27 = (t + 9)(t - 3)\)

  2. \(4x^{3} - 20x^{2} - 24x = 4x(x + 1)(x - 6)\)

  3. \(3x^{2} - x - 14 = (3x - 7)(x + 2)\)

  4. \(5x^{2} - 3x - 14 = (5x + 7)(x - 2)\)

  5. \(4x^{6} - 37x^{3} + 9 = (4x^{3}-1)(x^{3}-9)\)

  6. \((x-2)^{3}-(x-2)^{2} = (x-2)^{2}(x-3)\)

  7. \(x^{2}-6x+9-y^{2}-2yz-z^{2} = (x-3-y-z)(x-3+y+z)\)

  8. \(16x^{4}-x^{2}y^{2}+y^{4} = (4x^{2}+y^{2}-3xy)(4x^{2}+y^{2}+3xy)\)

2.22. 因式分解：

  1. \(x^{2} - 6xy + 9y^{2} = (x - 3y)^{2}\)

  2. \(x^{4} - 5x^{2} + 4 = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)\)

  3. \(x^{4} - 3x^{2} - 4 = (x - 2)(x + 2)(x^{2} + 1)\)

  4. \(x^{3} + y^{3} + x^{2} - y^{2} = (x + y)(x^{2} - xy + y^{2} + x - y)\)

  5. \(P + 3Pr + 3Pr^{2} + Pr^{3} = P(1 + r)^{3}\)

  6. \(a^{6}x^{6}-64y^{6} = (ax-2y)(ax+2y)(a^{2}x^{2}+2axy+4y^{2})(a^{2}x^{2}-2axy+4y^{2})\)

  7. \(a^{6}x^{6}+64y^{6} = (a^{2}x^{2}+4y^{2})(a^{4}x^{4}-4a^{2}x^{2}y^{2}+16y^{4})\)

2.23. 因式分解：

  1. \(x^{5}(x+2)^{3}+x^{4}(x+2)^{4} = x^{4}(x+2)^{3}(2x+2)\)

  2. \(5x^{4}(3x-5)^{4}+12x^{5}(3x-5)^{3} = x^{4}(3x-5)^{3}(27x-25)\)

  3. \(2(x+3)(x+5)^{4}+4(x+3)^{2}(x+5)^{3} = 2(x+3)(x+5)^{3}(3x+11)\)

  4. \(3(5x+2)^{2}(5)(3x-4)^{4}+(5x+2)^{3}(4)(3x-4)^{3} = 3(5x+2)^{2}(3x-4)^{3}(35x-12)\)

  5. \(5(x^{2} + 4)^{4}(8x - 1)^{2}(2x) + 2(x^{2} + 4)^{5}(8x - 1)(8) = 2(x^{2}+4)^{4}(8x-1)(48x^{2}-5x+32)\)