第3章指数

自然数指数

自然数指数定义为：

\[x^{n}=\underbrace{x \cdot x \cdots x}_{n \text{ 个 } x}\]

例 3.1 (a) $x^{5} = xxxxx$；(b) $5x^{4}yz^{3} = 5xxxxyzzz$；(c) $5a^{3}b + 3(2ab)^{3} = 5aaab + 3(2ab)(2ab)(2ab)$

零指数

$x^{0} = 1$，其中 $x$ 为任意非零实数。$0^{0}$ 无意义。

负整数指数

负整数指数定义为：

\[x^{-n} = \frac{1}{x^{n}}\]

其中 $x$ 为任意非零实数。对任意正整数 $n$，$0^{-n}$ 无意义。

例 3.2 (a) $x^{-5} = \dfrac{1}{x^{5}}$；(b) $4y^{-3} = \dfrac{4}{y^{3}}$；(c) $5^{-3} = \dfrac{1}{125}$；(d) $-4^{-2} = -\dfrac{1}{16}$

有理数指数

$x^{1/n}$（$x$ 的 $n$ 次主根）对大于 $1$ 的整数 $n$ 定义如下：

若 $n$ 为奇数，$x^{1/n}$ 是唯一一个 $n$ 次幂等于 $x$ 的实数 $y$。
若 $n$ 为偶数：
- 若 $x > 0$，$x^{1/n}$ 是使 $n$ 次幂等于 $x$ 的正实数 $y$。
- 若 $x = 0$，$x^{1/n} = 0$。
- 若 $x < 0$，$x^{1/n}$ 不是实数。

注意： 正数的 $n$ 次主根为正。

例 3.3 (a) $8^{1/3} = 2$；(b) $(-8)^{1/3} = -2$；(c) $-8^{1/3} = -2$；(d) $16^{1/4} = 2$；(e) $(-16)^{1/4}$ 不是实数；(f) $-16^{1/4} = -2$

$x^{m/n}$ 定义为：$x^{m/n} = (x^{1/n})^{m}$，前提是 $x^{1/n}$ 为实数。

\[x^{-m/n}=\frac{1}{x^{m/n}}\]

例 3.4 (a) $125^{2/3} = (125^{1/3})^{2} = 5^{2} = 25$；(b) $8^{-4/3} = \dfrac{1}{(8^{1/3})^{4}} = \dfrac{1}{16}$；(c) $(-64)^{5/6}$ 不是实数。

指数运算律

对有理数 $a, b$ 和实数 $x, y$（避免负数的偶次根和除以 $0$）：

\[x^{a}x^{b}=x^{a+b}\]

\[(xy)^{a}=x^{a}y^{a} \qquad (x^{a})^{b}=x^{ab}\]

\[\frac{x^{a}}{x^{b}}=x^{a-b} \qquad \left(\frac{x}{y}\right)^{a}=\frac{x^{a}}{y^{a}}\]

\[\left(\frac{x}{y}\right)^{-m}=\left(\frac{y}{x}\right)^{m} \qquad \frac{x^{-n}}{y^{-m}}=\frac{y^{m}}{x^{n}}\]

一般地，$x^{m/n} = (x^{1/n})^{m} = (x^{m})^{1/n}$，前提是 $x^{1/n}$ 为实数。

除非另有说明，通常假设变量底数为正数。在此假设下，$(x^{n})^{1/n} = x$。但若不满足此假设：

若 $n$ 为奇数，或 $n$ 为偶数且 $x \geq 0$：$(x^{n})^{1/n} = x$
若 $n$ 为偶数且 $x$ 为负数：$(x^{n})^{1/n} = |x|$

例 3.5 已知 $x > 0$：(a) $(x^{2})^{1/2} = x$；(b) $(x^{3})^{1/3} = x$；(c) $(x^{4})^{1/2} = x^{2}$；(d) $(x^{6})^{1/2} = x^{3}$

例 3.6 对一般 $x$：(a) $(x^{2})^{1/2} = |x|$；(b) $(x^{3})^{1/3} = x$；(c) $(x^{4})^{1/2} = x^{2}$；(d) $(x^{6})^{1/2} = |x^{3}|$

科学计数法

处理极大或极小数时，常使用科学计数法。一个数用科学计数法表示时，写成一个 $1$ 到 $10$ 之间的数乘以 $10$ 的幂。

例 3.7 (a) $51,000,000 = 5.1 \times 10^{7}$；(b) $0.0000000000352 = 3.52 \times 10^{-11}$；

$\dfrac{(50,000,000)(0.0000000006)}{(20,000)^{3}} = \dfrac{(5\times10^{7})(6\times10^{-10})}{(2\times10^{4})^{3}} = \dfrac{30\times10^{-3}}{8\times10^{12}} = 3.75\times10^{-15}$

已解答的习题

3.1. 化简：(a) $2(3x^{2}y)^{3}(x^{4}y^{3})^{2}$；(b) $\dfrac{(4x^{5}y^{3})^{2}}{2(xy^{4})^{3}}$

$2(3x^{2}y)^{3}(x^{4}y^{3})^{2}=2\cdot3^{3}x^{6}y^{3}\cdot x^{8}y^{6}=54x^{14}y^{9}$
$\dfrac{(4x^{5}y^{3})^{2}}{2(xy^{4})^{3}}=\dfrac{16x^{10}y^{6}}{2x^{3}y^{12}}=\dfrac{8x^{7}}{y^{6}}$

3.2. 化简并用正指数表示：

$\dfrac{x^{2}y^{-3}}{x^{3}y^{3}}=\dfrac{1}{xy^{6}}$
$\dfrac{(x^{2}y^{-3})^{-2}}{(x^{3}y^{4})^{-4}}=x^{8}y^{22}$
$(x^{2}+y^{2})^{-2}=\dfrac{1}{x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}}$
$(3x^{-5})^{-2}(5y^{-4})^{3}=\dfrac{125x^{10}}{9y^{12}}$
$(x^{-2}+y^{-2})^{2}=\dfrac{1}{x^{4}}+\dfrac{2}{x^{2}y^{2}}+\dfrac{1}{y^{4}}$
$\left(\dfrac{t^{3}u^{4}}{4t^{5}u^{3}}\right)^{-3}=\dfrac{64t^{6}}{u^{3}}$

3.3. 化简：

$x^{1/2}x^{1/3}=x^{5/6}$
$x^{2/3}/x^{5/8}=x^{1/24}$
$(x^{4}y^{4})^{-1/2}=\dfrac{1}{x^{2}y^{2}}$
$(x^{4}+y^{4})^{-1/2}=\dfrac{1}{(x^{4}+y^{4})^{1/2}}$

3.4. 化简：

$3x^{2/3}y^{3/4}(2x^{5/3}y^{1/2})^{3}=24x^{17/3}y^{9/4}$
$\dfrac{(8x^{2}y^{2/3})^{2/3}}{2(x^{3/4}y)^{3}}=\dfrac{2}{x^{11/12}y^{23/9}}$

3.5. 化简：

$x^{2/3}(x^{2}+x+3)=x^{8/3}+x^{5/3}+3x^{2/3}$
$(x^{1/2}+y^{1/2})^{2}=x+2x^{1/2}y^{1/2}+y$
$(x^{1/3}-y^{1/3})^{2}=x^{2/3}-2x^{1/3}y^{1/3}+y^{2/3}$
$(x^{2}+y^{2})^{1/2}$ 不能化简。

3.6. 因式分解：

$x^{-4} + 3x^{-2} + 2 = (x^{-2} + 1)(x^{-2} + 2)$
$x^{2/3} + x^{1/3} - 6 = (x^{1/3} + 3)(x^{1/3} - 2)$
$x^{11/3} + 7x^{8/3} + 12x^{5/3} = x^{5/3}(x + 3)(x + 4)$

3.7. 提取公因式：

$(x+2)^{-2}+(x+2)^{-3}=(x+2)^{-3}(x+3)$
$6x^{5}y^{-3}-3y^{-4}x^{6}=3x^{5}y^{-4}(2y-x)$
$4(3x+2)^{3}3(x+5)^{-3}-3(x+5)^{-4}(3x+2)^{4}=3(3x+2)^{3}(x+5)^{-4}(x+18)$
$5x^{3}(3x+1)^{2/3}+3x^{2}(3x+1)^{5/3}=x^{2}(3x+1)^{2/3}(14x+3)$

3.8. 化简：

$\dfrac{x^{p+q}}{x^{p-q}}=x^{2q}$
$(x^{p+1})^{2}(x^{p-1})^{2}=x^{4p}$
$\left(\dfrac{x^{mn}}{x^{n^{2}}}\right)^{1/n}=x^{m-n}$

3.9. 不假设变量底数为正，化简：

$(x^{4})^{1/4}=|x|$
$(x^{2}y^{4}z^{6})^{1/2}=|x|y^{2}|z^{3}|$
$(x^{3}y^{6}z^{9})^{1/3}=xy^{2}z^{3}$
$[x(x+h)^{2}]^{1/2}=x^{1/2}|x+h|$

3.10. (a) 用科学计数法表示：光速为 $186,000$ 英里/秒。(b) 计算一年的秒数并用科学计数法表示。(c) 用科学计数法表示光在一年内传播的距离。

$186,000 = 1.86 \times 10^{5}$ 英里/秒
$1$ 年 $= 365 \times 24 \times 60 \times 60 = 31,536,000 = 3.15 \times 10^{7}$ 秒
距离 = 速度 × 时间 $= (1.86\times10^{5})\times(3.15\times10^{7}) = 5.87\times10^{12}$ 英里

补充习题

3.11. 化简：(a) $(xy^{3})^{4}(3x^{2}y)^{3}$；(b) $\dfrac{(x^{2}y^{3})^{3}}{(2x^{3}y^{4})^{2}}$

答： (a) $27x^{10}y^{15}$；(b) $\dfrac{y}{4}$

3.12. 化简：(a) $2(xy^{-3})^{-2}(4x^{-3}y^{2})^{-1}$；(b) $\left(\dfrac{3x^{3}y^{-2}}{2xy^{-5}}\right)^{-2}$

答： (a) $\dfrac{xy^{4}}{2}$；(b) $\dfrac{4}{9x^{4}y^{6}}$

3.13. 化简（假设所有变量底数为正）：

$(8y^{3}z^{4})^{2/3} = 4y^{2}z^{8/3}$
$(100x^{8}y^{3})^{-1/2} = \dfrac{1}{10x^{4}y^{3/2}}$
$\left(\dfrac{8x^{4}}{27y^{6}}\right)^{-2/3} = \dfrac{9y^{4}}{4x^{8/3}}$
$\left(\dfrac{z}{25x^{6}}\right)^{-3/2} = \dfrac{125x^{9}}{z^{3/2}}$

3.14. 化简（假设所有变量底数为正）：

$(x^{4}y^{3})^{1/2}(8x^{6}y)^{2/3} = 4x^{6}y^{13/6}$
$(9x^{8}y)^{-1/2}(16x^{-4}y^{3})^{3/2} = \dfrac{64y^{4}}{3x^{10}}$

3.15. 计算：

$25^{-1/2} - 16^{-1/2} = -\dfrac{1}{20}$
$(25 - 16)^{-1/2} = \dfrac{1}{3}$
$16^{3/4} + 16^{-3/4} = \dfrac{65}{8}$

3.16. 化简：

$x^{0} + y^{0} + (x + y)^{0} = 3$
$\left(\dfrac{8x^{0}y^{5}}{3x^{5}y^{-3}}\right)^{-2} = \dfrac{9x^{10}}{64y^{16}}$
$\left(\dfrac{32x^{2}y^{-4}}{x^{7}y^{6}}\right)^{3/5} = \dfrac{8}{x^{3}y^{6}}$
$\dfrac{px^{p-1}}{q(x^{p/q})^{q-1}} = \dfrac{px^{p/q-1}}{q}$

3.17. 从负指数的定义和标准分数运算出发，推导 $\dfrac{x^{-m}}{y^{-n}} = \dfrac{y^{n}}{x^{m}}$ 和 $\left(\dfrac{x}{y}\right)^{-m} = \left(\dfrac{y}{x}\right)^{m}$。

3.18. 执行运算：

$(x^{1/2} + y^{1/2})(x^{1/2} - y^{1/2}) = x - y$
$(x^{1/3} + y^{1/3})(x^{1/3} - y^{1/3}) = x^{2/3} - y^{2/3}$
$(x^{1/3}+y^{1/3})(x^{2/3}-x^{1/3}y^{1/3}+y^{2/3}) = x + y$
$(x^{1/3}+y^{1/3})(x^{2/3}+x^{1/3}y^{1/3}+y^{2/3}) = x+2x^{2/3}y^{1/3}+2x^{1/3}y^{2/3}+y$
$(x^{2/3}-y^{2/3})^{3} = x^{2}-3x^{4/3}y^{2/3}+3x^{2/3}y^{4/3}-y^{2}$

3.19. 提取公因式：

$x^{-8}y^{-7}+x^{-7}y^{-8}=x^{-8}y^{-8}(y+x)$
$x^{-5/3}y^{3}-x^{-2/3}y^{2}=x^{-5/3}y^{2}(y-x)$
$x^{p+q}+x^{p}=x^{p}(x^{q}+1)$
$4(x^{2}+4)^{3/2}(3x+5)^{1/3}+(3x+5)^{4/3}(x^{2}+4)^{1/2}3x=(3x+5)^{1/3}(x^{2}+4)^{1/2}(13x^{2}+15x+16)$

3.20. 提取公因式：

$x^{-5} + 2x^{-4} + 2x^{-3} = x^{-5}(1+2x+2x^{2})$
$6x^{2}(x^{2}-1)^{3/2}+x^{3}(x^{2}-1)^{1/2}(6x)=6x^{2}(x^{2}-1)^{1/2}(2x^{2}-1)$
$-4x^{-5}(1-x^{2})^{3}+x^{-4}(6x)(1-x^{2})^{2}=2x^{-5}(1-x^{2})^{2}(5x^{2}-2)$
$x^{-4}(1-2x)^{-3/2}-4x^{-5}(1-2x)^{-1/2}=x^{-5}(1-2x)^{-3/2}(9x-4)$

3.21. 提取公因式：

$-(x-2)^{-2}(3x-7)^{-3}-3(x-2)^{-1}(3x-7)^{-4}(3) = -(x-2)^{-2}(3x-7)^{-4}(12x-25)$
$-4(x^{2}-4)^{-5}(2x)(x^{2}+4)^{3}+3(x^{2}-4)^{-4}(x^{2}+4)^{2}(2x) = (x^{2}-4)^{-5}(x^{2}+4)^{2}(2x)(-x^{2}-28)$

3.22. 提取公因式：

$3(x+3)^{2}(3x-1)^{1/2}+(x+3)^{3}\left(\dfrac{1}{2}\right)(3x-1)^{-1/2}(3) = \dfrac{3}{2}(x+3)^{2}(3x-1)^{-1/2}(7x+1)$
$\dfrac{3}{2}(2x+3)^{1/2}(3x+4)^{4/3}(2)+(2x+3)^{3/2}\left(\dfrac{4}{3}\right)(3x+4)^{1/3}(3) = (2x+3)^{1/2}(3x+4)^{1/3}(17x+24)$
$-\dfrac{3}{2}(4x^{2}-1)^{-5/2}(8x)(1+x^{2})^{2/3}+(4x^{2}-1)^{-3/2}\left(\dfrac{2}{3}\right)(1+x^{2})^{-1/3}(2x) = \dfrac{4}{3}x(4x^{2}-1)^{-5/2}(1+x^{2})^{-1/3}(-5x^{2}-10)$

3.23. 化简并用科学计数法表示：

$(7.2 \times 10^{-3})(5 \times 10^{12}) = 3.6\times10^{10}$
$(7.2\times10^{-3})\div(5\times10^{12}) = 1.44\times10^{-15}$
$\dfrac{(3\times10^{-5})(6\times10^{-3})^{3}}{(9\times10^{-12})^{2}} = 8\times10^{10}$

3.24. 1克氢大约含有 $6.01 \times 10^{23}$ 个氢原子。计算一个氢原子的近似质量（克）。

答： $1.67 \times 10^{-24}$ 克

3.25. 根据美国商务部数据，2017年美国国内生产总值（GDP）为 $19,390,000,000,000。根据美国人口普查局数据，2017年1月美国人口为 325,700,000。用科学计数法表示这些数字，并估算2017年人均GDP（用科学计数法和标准形式表示）。

答： $1.939\times10^{13}$，$3.257\times10^{8}$，$5.953\times10^{4}$（即约 $59,530）

3.26. 2017年3月，联邦债务上限设为 $19,808,800,000,000。用科学计数法表示这一数字，并估算每位美国居民的债务份额（用科学计数法和标准形式表示）。

答： $1.98088\times10^{13}$，$6.0816\times10^{4}$（即约 $60,816）

第3章 指数