第4章：有理式与根式

作者

Fred Safier

发布于

2024年1月1日

第4章：有理式与根式

有理式

有理式是指可以表示为两个多项式之商的表达式。（因此，任何多项式也是有理式。）有理式对于使分母为零的变量以外的所有实数值均有定义。

例4.1 \(\frac{x^{2}}{y^{3}}, (y \neq 0)\)；\(\frac{x^{2} - 5x + 6}{x^{3} + 8}, (x \neq -2)\)；\(y^{3} - 5y^{2}\)；\(x^{3} - 3x^{2} + 8x - \frac{2x}{x^{2} - 1}\)，\((x \neq \pm 1)\) 均为有理式的例子。

分数的基本原理

对于所有实数 \(a, b, k (b, k \neq 0)\)：

\[\frac{a}{b} = \frac{ak}{bk} \quad \text{（通分）} \qquad \frac{ak}{bk} = \frac{a}{b} \quad \text{（约分）}\]

例4.2 约分至最简形式：\(\frac{x^{2}-2xy+y^{2}}{x^{2}-y^{2}} = \frac{(x-y)^{2}}{(x-y)(x+y)} = \frac{x-y}{x+y}\)

有理式的运算

有理式的运算（假设所有分母 \(\neq 0\)）：

\[\begin{aligned} \left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a} & \quad \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} & \quad \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc} \\ \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c} & \quad \frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd} \end{aligned}\]

注意：对于分母不同的表达式，结果通常化为最简形式，并使用最小公分母（LCD）进行通分。

例4.3 减法：\(\frac{5}{x^{3}y^{2}} - \frac{6}{x^{2}y^{4}} = \frac{5y^{2} - 6x}{x^{3}y^{4}}\)

繁分式

繁分式是指分子和/或分母中含有分数的表达式。可以通过两种方法化为简单分式：

方法1： 将分子和分母合并为单一商式，然后进行除法。

例4.4

\[\frac{\frac{x}{x-1} - \frac{a}{a-1}}{x-a} = \frac{a-x}{(x-1)(a-1)(x-a)} = \frac{-1}{(x-1)(a-1)}\]

方法2： 将分子和分母同时乘以所有内部分数的最小公分母（LCD）：

例4.5

\[\frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{x}{y^{2}} + \frac{y}{x^{2}}} = \frac{xy(x-y)}{x^{2}-xy+y^{2}}\]

当分子和分母中的分数涉及非常相似的表达式时，方法2更为方便。

负指数有理式

有理式通常用负指数表示。

例4.6 化简：\(x^{-3}y^{5} - 3x^{-4}y^{6}\)

\[x^{-3}y^{5} - 3x^{-4}y^{6} = \frac{y^{5}}{x^{3}} - \frac{3y^{6}}{x^{4}} = \frac{xy^{5} - 3y^{6}}{x^{4}}\]

根式

对于自然数 \(n > 1\) 和实数 \(x\)，n次方根定义为 \(x\) 的主n次方根：

\[\sqrt[n]{x} = x^{1/n}\]

如果 \(n = 2\)，则写作 \(\sqrt{x}\) 而非 \(\sqrt[2]{x}\)。

符号 \(\sqrt{}\) 称为根号，\(n\) 称为根指数，\(x\) 称为被开方数。

根式的性质

\[(\sqrt[n]{x})^{n} = x \quad \text{（若 $\sqrt[n]{x}$ 有定义）}\]

\[\sqrt[n]{x^{n}} = x \quad \text{（若 $x \geq 0$）}\]

\[\sqrt[n]{x^{n}} = |x| \quad \text{（若 $x < 0$，$n$ 为偶数）}\]

\[\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\]

\[\sqrt[n]{\sqrt[m]{x}} = \sqrt[mn]{x}\]

\[\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\]

除非另有说明，通常假设变量底数为非负实数。

最简根式

根式的最简形式需满足：

  1. 被开方数不能包含指数大于或等于根指数的因子。
  2. 被开方数的指数与根指数不能有大于1的公约数。
  3. 分母中不能出现根号。
  4. 根号内不能出现分数。

例4.7

  1. \(\sqrt[3]{16x^{3}y^{5}}\) 违反条件1。化简如下：

\[\sqrt[3]{16x^{3}y^{5}} = \sqrt[3]{8x^{3}y^{3} \cdot 2y^{2}} = 2xy\sqrt[3]{2y^{2}}\]

  1. \(\sqrt[6]{t^{3}}\) 违反条件2。化简如下：

\[\sqrt[6]{t^{3}} = \sqrt{\sqrt[3]{t^{3}}} = \sqrt{t}\]

  1. \(\frac{12x^{2}}{\sqrt[4]{27xy^{2}}}\) 违反条件3。化简如下（有理化分母）：

\[\frac{12x^{2}}{\sqrt[4]{27xy^{2}}} = \frac{4x\sqrt[4]{3x^{3}y^{2}}}{y}\]

  1. \(\sqrt[4]{\frac{3x}{5y^{3}}}\) 违反条件4。化简如下：

\[\sqrt[4]{\frac{3x}{5y^{3}}} = \frac{\sqrt[4]{375xy}}{5y}\]

共轭表达式

对于二项式 \(a + b\)，其共轭表达式为 \(a - b\)，反之亦然。

例4.8 有理化分母：\(\frac{x-4}{\sqrt{x}-2}\)

\[\frac{x-4}{\sqrt{x}-2} = \frac{x-4}{\sqrt{x}-2} \cdot \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2} = \sqrt{x}+2\]

例4.9 有理化分子：\(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}\)

\[\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a} = \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a} \cdot \frac{\sqrt{x}+\sqrt{a}}{\sqrt{x}+\sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}\]

根式与指数的转换

对于正整数 \(m, n (n > 1)\) 和 \(x \geq 0\)（当 \(n\) 为偶数时）：

\[\sqrt[n]{x^{m}} = x^{m/n}\]

反之，\(x^{m/n} = \sqrt[n]{x^{m}}\)

还有，\(x^{m/n} = (\sqrt[n]{x})^{m}\)

例4.10 (a) \(\sqrt[3]{x} = x^{1/3}\)；(b) \(\sqrt[4]{x^{3}} = x^{3/4}\)；(c) \(\sqrt[5]{x^{5}} = x^{5/2}\)

复数运算

复数可以写成标准形式 \(a + bi\)。在此形式下，它们可以使用实数运算规则结合虚数单位 \(i\) 的定义：\(i^{2} = -1\)。复数 \(z\) 的共轭记为 \(\bar{z}\)。如果 \(z = a + bi\)，则 \(\bar{z} = a - bi\)。

例4.11 (a) 将 \(4 - \sqrt{-25}\) 写成标准形式。(b) 求 \(3 - 7i\) 的共轭。(c) 化简 \((3 + 4i)^{2}\)。

  1. \(4 - \sqrt{-25} = 4 - 5i\)

  2. \(3 - 7i\) 的共轭是 \(3 + 7i\)。

  3. \((3 + 4i)^{2} = 9 + 24i + 16i^{2} = -7 + 24i\)

例题解答

4.1 约分至最简形式：(a) \(\frac{5x^{2}-8x+3}{25x^{2}-9}\) (b) \(\frac{x^{3}-a^{3}}{x-a}\) (c) \(\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}\)

\[\frac{5x^{2}-8x+3}{25x^{2}-9} = \frac{(5x-3)(x-1)}{(5x-3)(5x+3)} = \frac{x-1}{5x+3}\]

\[\frac{x^{3}-a^{3}}{x-a} = x^{2}+ax+a^{2}\]

\[\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h} = 2x + h\]

4.2 解释为什么每个多项式也是有理式。

有理式是可以写成两个多项式之商的表达式。每个多项式 \(P\) 都可以写成 \(P/1\)，其中分子和分母都是多项式；因此，每个多项式也是有理式。

4.3 执行指定运算：

  1. \(\frac{x^{2}-7x+12}{x^{2}-9} \cdot \frac{x^{3}-6x^{2}+9x}{x^{3}-4x^{2}}\)

  2. \(\frac{x^{2}-4y^{2}}{xy+2y^{2}} \div (x^{2}-3xy+2y^{2})\)

  3. \(\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}\)

  4. \(\frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+1} - \frac{4x-2}{x^{2}-1}\)

4.4 将繁分式化为最简分式：

  1. \(\frac{y + \frac{x^{2}}{y}}{y^{2}}\)

  2. \(\frac{\frac{x}{x-1} - \frac{x}{x+1}}{\frac{x}{x-1} + \frac{x}{x+1}}\)

  3. \(\frac{\frac{2}{x+2} - 3}{\frac{4}{x} - x}\)

  4. \(\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{a}}{x-a}\)

4.5 化简：(a) \(3(x + 3)^{2}(2x - 1)^{-4} - 8(x + 3)^{3}(2x - 1)^{-5}\) (b) \(\frac{(x + h)^{-2} - x^{-2}}{h}\)

4.6 写成最简根式：

  1. \(\sqrt{20x^{3}y^{4}z^{5}}\)

  2. \(\sqrt[3]{108x^{5}(x+y)^{6}}\)

  3. \(\sqrt{\frac{3x}{5y}}\)

  4. \(\sqrt[3]{\frac{2x^{4}}{9yz^{2}}}\)

4.7 有理化分母：

  1. \(\frac{x^{3}y^{2}}{\sqrt[3]{2xy^{2}}}\)

  2. \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)

  3. \(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{h}}{\sqrt{x}-\sqrt{h}}\)

  4. \(\frac{x^{2}-16y^{2}}{\sqrt{x}-2\sqrt{y}}\)

4.8 有理化分子：

  1. \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)

  2. \(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{h}}{\sqrt{x}-\sqrt{h}}\)

  3. \(\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\)

4.9 写成指数形式：(a) \(\sqrt{xy^{3}}\) (b) \(\sqrt[3]{a^{2}b(x-y)^{5}}\)

4.10 写成指数形式的和或差：

  1. \(\frac{x-1}{\sqrt{x}}\)

  2. \(\frac{x^{3}-6x^{2}+3x+1}{6\sqrt[3]{x^{5}}}\)

4.11 写成分数的最简形式。不有理化分母。

  1. \(\sqrt{x-2}+\frac{2}{\sqrt{x-2}}\)

  2. \(\frac{\sqrt{x^{2}-1}-\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-1}}}{x^{2}-1}\)

  3. \(\frac{x^{2}(x^{2}+9)^{-1/2}-\sqrt{x^{2}+9}}{x^{2}}\)

4.12 设 \(z = 4 - 7i\) 和 \(w = -6 + 5i\) 为两个复数。求

  1. \(z + w\) (b) \(w - z\) (c) \(wz\) (d) \(\frac{w}{z}\) (e) \(w^{2} - i\bar{z}\)

补充习题

4.13 约分至最简形式：

  1. \(\frac{x^{4}-y^{4}}{x^{4}-2x^{2}y^{2}+y^{4}}\)

  2. \(\frac{x^{3}+x^{2}+x+1}{x^{3}+3x^{2}+3x+1}\)

  3. \(\frac{(x^{2}+1)^{2}3x^{2}-x^{3}(2x)(x^{2}+1)2}{(x^{2}+1)^{4}}\)

  4. \(\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}\)

答案： (a) \(\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}\)；(b) \(\frac{x^{2}+1}{x^{2}+2x+1}\)；(c) \(\frac{3x^{2}-x^{4}}{(x^{2}+1)^{3}}\)；(d) \(3x^{2}+3xh+h^{2}\)

4.14 执行指定运算：

  1. \(\frac{1}{(x+1)(x+2)}-\frac{3}{(x-1)(x+2)}+\frac{3}{(x-1)(x+1)}\)

  2. \(\frac{5}{x-2}+\frac{3}{x+2}-\frac{x-1}{x^{2}+4}\)

  3. \(\frac{3x-1}{(x^{2}+4)^{2}}+\frac{2x-5}{x^{2}+4}\)

  4. \((x^{2}-3x+2) \cdot \frac{x^{2}-5x+4}{x^{3}-6x^{2}+8x}\)

答案： (a) \(\frac{1}{(x-1)(x+1)}\)；(b) \(\frac{7x^{3}+5x^{2}+36x+12}{x^{4}-16}\)；(c) \(\frac{2x^{3}-5x^{2}+11x-21}{(x^{2}+4)^{2}}\)；(d) \(\frac{x^{2}-2x+1}{x}\)

4.15 写为最简分式：

  1. \(\frac{\frac{1}{t-1}+\frac{1}{t+1}}{\frac{1}{t}-\frac{1}{t^{2}}}\)

  2. \(\frac{\frac{2x}{x+1}-\frac{2a}{a+1}}{x-a}\)

  3. \(\frac{(x^{2}-4)^{3}(2x)-x^{2}(3)(x^{2}-4)^{2}(2x)}{(x^{2}-4)^{6}}\)

答案： (a) \(\frac{2t^{3}}{(t-1)(t^{2}-1)}\)；(b) \(\frac{2}{(x+1)(a+1)}\)；(c) \(\frac{-4x^{3}-8x}{(x^{2}-4)^{4}}\)

4.16 写为最简分式：

  1. \(\frac{(x+5)^{-5}-(x+5)^{-4}}{(x+5)^{-3}}\)

  2. \(\frac{(x+h)^{-1}-x^{-1}}{h}\)

  3. \(\frac{x^{-2}-a^{-2}}{x-a}\)

答案： (a) \(\frac{-4-x}{(x+5)^{2}}\)；(b) \(\frac{-1}{x(x+h)}\)；(c) \(\frac{-x-a}{a^{2}x^{2}}\)

4.17 写成最简根式：

  1. \(\sqrt[4]{48x^{6}y^{7}z^{8}}\)

  2. \(\sqrt[4]{\frac{15x^{2}}{8y^{7}z}}\)

  3. \(\frac{M_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\)

答案： (a) \(2xyz^{2}\sqrt[4]{3x^{2}y^{3}}\)；(b) \(\frac{\sqrt[4]{30x^{2}yz^{3}}}{2y^{2}z}\)；(c) \(\frac{M_{0}c\sqrt{c^{2}-v^{2}}}{c^{2}-v^{2}}\)

4.18 有理化分母：

  1. \(\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

  2. \(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}\)

答案： (a) \(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}\)；(b) \(\frac{x+3\sqrt{x}+2}{x-1}\)

4.19 有理化分子：

  1. \(\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{a+1}}{x-a}\)

  2. \(\frac{\frac{1}{\sqrt{x+h}}-\frac{1}{\sqrt{x}}}{h}\)

  3. \(\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{a}}{x-a}\)

答案： (a) \(\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{a+1}}\)；(b) \(\frac{-1}{\sqrt{x}\sqrt{x+h}(\sqrt{x}+\sqrt{x+h})}\)；(c) \(\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{xa}+\sqrt[3]{a^{2}}}\)

4.20 写成指数形式的和或差：

  1. \(\frac{3x^{2}-2x}{x\sqrt{x}}\)

  2. \(\frac{4x^{3}-5x^{2}-8x+1}{2x^{1/3}}\)

答案： (a) \(3x^{1/2}-2x^{-1/2}\)；(b) \(2x^{8/3}-\frac{5}{2}x^{5/3}-4x^{2/3}+\frac{1}{2}x^{-1/3}\)

4.21 写为最简分式。不有理化分母。

  1. \(\frac{2x\sqrt{4-x^{2}}+\frac{x^{2} \cdot 2x}{\sqrt{4-x^{2}}}}{4-x^{2}}\)

  2. \(\frac{\frac{2}{3}x(x^{2}+4)^{1/2}(x^{2}-9)^{-2/3}-x(x^{2}-9)^{1/3}(x^{2}+4)^{-1/2}}{x^{2}+4}\)

答案： (a) \(\frac{8x}{(4-x^{2})^{3/2}}\)；(b) \(\frac{-x^{3}+35x}{3(x^{2}-9)^{2/3}(x^{2}+4)^{3/2}}\)

4.22 写为最简分式。不有理化分母：

  1. \(\frac{x\left(\frac{1}{2}\right)(x^{2}+9)^{-1/2}(2x)-\sqrt{x^{2}+9}}{x^{2}}\)

  2. \(\frac{(x^{2}-1)^{3/2}-x\left(\frac{3}{2}\right)(x^{2}-1)^{1/2}(2x)}{(x^{2}-1)^{3}}\)

  3. \(\frac{(x^{2}-1)^{4/3}(2x)-(x^{2}+4)\left(\frac{4}{3}\right)(x^{2}-1)^{1/3}(2x)}{(x^{2}-1)^{8/3}}\)

答案： (a) \(\frac{-9}{x^{2}(x^{2}+9)^{1/2}}\)；(b) \(\frac{-1-2x^{2}}{(x^{2}-1)^{5/2}}\)；(c) \(\frac{-2x^{3}-38x}{3(x^{2}-1)^{7/3}}\)

4.23 设 \(z = 5 - 2i\)，\(w = -3 + i\)。写成复数标准形式：

  1. \(z + w\)；(b) \(z - w\)；(c) \(zw\)；(d) \(z/w\)

答案： (a) \(2 - i\)；(b) \(8 - 3i\)；(c) \(-13 + 11i\)；(d) \(-\frac{17}{10} + \frac{1}{10}i\)

4.24 写成复数标准形式：

  1. \(\sqrt{5^{2}-4 \cdot 1 \cdot 10}\)

  2. \(i^{6}\)

  3. \((1+2i)^{3}\)

  4. \(\frac{1+2i}{2+3i}-\frac{4+5i}{6i^{3}}\)

答案： (a) \(i\sqrt{15}\)；(b) \(-1\)；(c) \(-11 - 2i\)；(d) \(\frac{59}{78} - \frac{41}{39}i\)

4.25 对于复数 \(z\)，\(w\)，证明：

  1. \(\overline{z+w} = \overline{z}+\overline{w}\)

  2. \(\overline{z-w} = \overline{z}-\overline{w}\)

  3. \(\overline{zw} = \overline{z}\overline{w}\)

  4. \(\overline{z/w} = \overline{z}/\overline{w}\)

  5. \(\overline{z} = z\) 当且仅当 \(z\) 为实数。