第5章：线性与非线性方程

作者

Fred Safier

发布于

2024年1月1日

线性与非线性方程

方程

方程是表示两个表达式相等的陈述。含有变量的方程一般来说既非真也非假；它的真实性取决于变量的值。对于单变量方程，使方程成立的值称为方程的解。所有解的集合称为方程的解集。对于所有使方程有意义的变量值都成立的方程称为恒等式。

等价方程

如果两个方程具有相同的解集，则它们是等价方程。

例5.1 方程 \(x = -5\) 和 \(x + 5 = 0\) 是等价的。它们的解集均为 \(\{-5\}\)。

例5.2 方程 \(x = 5\) 和 \(x^{2} = 25\) 不等价；第一个方程的解集是 \(\{5\}\)，而第二个方程的解集是 \(\{-5, 5\}\)。

解方程的过程包括将其转化为解显而易见的等价方程。转化方程为等价方程的运算包括：

  1. 两边同时加上相同的数。因此，\(a = b\) 和 \(a + c = b + c\) 是等价的。
  2. 两边同时减去相同的数。因此，\(a = b\) 和 \(a - c = b - c\) 是等价的。
  3. 两边同时乘以相同的非零数。因此，\(a = b\) 和 \(ac = bc (c \neq 0)\) 是等价的。
  4. 两边同时除以相同的非零数。因此，\(a = b\) 和 \(\frac{a}{c} = \frac{b}{c} (c \neq 0)\) 是等价的。
  5. 化简方程两边的表达式。

线性方程

线性方程是形式为 \(ax + b = 0\) 或可转化为这种形式的方程。如果 \(a \neq 0\)，线性方程恰好有一个解。如果 \(a = 0\)，则除非 \(b = 0\)（此时方程是恒等式），否则方程无解。不是线性的方程称为非线性方程。

例5.3 \(2x + 6 = 0\) 是单变量线性方程的例子。它有一个解 \(-3\)，解集为 \(\{-3\}\)。

例5.4 \(x^{2} = 16\) 是单变量非线性方程的例子。它有两个解 \(4\) 和 \(-4\)，解集为 \(\{4, -4\}\)。

线性方程通过分离变量来求解。对方程进行等价变换，将所有变量项移到一边，常数项移到另一边，然后两边除以变量的系数。

例5.5 解方程 \(3x - 8 = 7x + 9\)。

\[3x - 8 = 7x + 9\] \[-4x - 8 = 9\] \[-4x = 17\] \[x = -\frac{17}{4}\]

解集：\(\{-\frac{17}{4}\}\)

二次方程

二次方程是形式为 \(ax^{2} + bx + c = 0 (a \neq 0)\)（标准形式）或可转化为这种形式的方程。解二次方程有四种方法：

  1. 因式分解法。如果多项式 \(ax^{2} + bx + c\) 可以写成有理系数的线性因子之积，则将其写成因式分解形式，然后应用零因子性质：若 \(AB = 0\)，则 \(A = 0\) 或 \(B = 0\)。

  2. 平方根法。如果方程形式为 \(A^{2} = b\)（\(b\) 为常数），则其解为 \(A = \pm\sqrt{b}\)。

  3. 配方法。

      1. 将方程化为 \(x^{2} + px = q\) 的形式。
      1. 两边同时加上 \(p^{2}/4\)，得 \(x^{2} + px + p^{2}/4 = q + p^{2}/4\)。
      1. 左边现在是完全平方，写成 \((x + p/2)^{2} = q + p^{2}/4\)，然后应用平方根法。

  4. 求根公式。\(ax^{2} + bx + c = 0 (a \neq 0)\) 的解总是可以写成：

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\]

通常，解二次方程时首先检查是否容易因式分解。如果可以，则使用因式分解法；否则使用求根公式。

例5.6 解 \(3x^{2} + 5x + 2 = 0\)

\[3x^{2}+5x+2=0\] \[(3x+2)(x+1)=0\] \[x = -\frac{2}{3} \quad \text{或} \quad x = -1\]

例5.7 解 \(x^{2} + 5x + 2 = 0\)

多项式不可因式分解，使用公式：

\[x = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}\]

在求根公式中，量 \(b^{2} - 4ac\) 称为判别式。这个量的符号决定二次方程解的个数：

判别式符号 实数解的个数
正数 2
零 1
负数 0

有时需要考虑复数解。判别式决定复数解的个数：

判别式符号 解的个数和类型
正数 2个实数解
零 1个实数解
负数 2个虚数解

例5.8 对于 \(x^{2} - 8x + 25 = 0\)，求 (a) 所有实数解；(b) 所有复数解。

使用求根公式，\(a = 1\)，\(b = -8\)，\(c = 25\)。

  1. \(x = \frac{8 \pm \sqrt{-36}}{2}\)，无实数解。

  2. \(x = \frac{8 \pm \sqrt{-36}}{2} = 4 \pm 3i\)

许多初看不是线性或二次的方程可以转化为线性或二次方程，或可以用因式分解法求解。

例5.9 解 \(x^{3} - 5x^{2} - 4x + 20 = 0\)

\[x^{3}-5x^{2}-4x+20 = 0\] \[x^{2}(x-5)-4(x-5) = 0\] \[(x-5)(x^{2}-4) = 0\] \[(x-5)(x-2)(x+2) = 0\] \[x = 5 \quad \text{或} \quad x = 2 \quad \text{或} \quad x = -2\]

含根号的方程

解含根号的方程需要一个额外的运算：一般来说，\(a = b\) 与 \(a^{n} = b^{n}\) 不等价；但是，如果 \(n\) 为奇数，它们有相同的实数解。如果 \(n\) 为偶数，\(a = b\) 的所有解都包含在 \(a^{n} = b^{n}\) 的解中。因此，允许将方程两边同时升至奇数次幂；如果检查结果是否为原方程的解，也允许升至偶数次幂。

例5.10 解 \(\sqrt{x + 2} = x - 4\)

\[\sqrt{x+2} = x-4\] \[(\sqrt{x+2})^{2} = (x-4)^{2}\] \[x+2 = x^{2}-8x+16\] \[0 = x^{2}-9x+14\] \[0 = (x-2)(x-7)\] \[x = 2 \quad \text{或} \quad x = 7\]

检验：\(x=2\)：\(\sqrt{2+2} = 2-4\)？\(2 \neq -2\)，不是解；\(x=7\)：\(\sqrt{7+2} = 7-4\)？\(3 = 3\)，7是唯一解。

应用：公式、文字方程和多元方程

在这些情况下，字母用作系数而非特定数字。然而，求解指定变量的过程基本相同；其他变量简单地被视为常数。

例5.11 解 \(A = P + Prt\) 求 \(P\)。

该方程是关于 \(P\) 的线性方程。提取公因子 \(P\)，然后除以 \(P\) 的系数。

\[P = \frac{A}{1+rt}\]

例5.12 解 \(s = \frac{1}{2}gt^{2}\) 求 \(t\)。

该方程是关于 \(t\) 的二次方程。分离 \(t^{2}\)，然后应用平方根法。

\[t = \pm\sqrt{\frac{2s}{g}}\]

在实际应用中，通常只保留正解：\(t = \sqrt{2s/g}\)

应用：文字题

这里，用日常语言描述情况并提出问题。有必要用变量表示未知量建立模型，构造描述量之间关系的方程（稍后是方程组），解方程，然后解释解来回答原始问题。

例5.13 一个直角三角形的边长是三个连续的偶整数。求各边长度。

设最短边长度为 \(x\)，则另外两边长度为 \(x + 2\) 和 \(x + 4\)（斜边）。

应用勾股定理：\(a^{2} + b^{2} = c^{2}\)

\[x^{2}+(x+2)^{2} = (x+4)^{2}\] \[x^{2}+x^{2}+4x+4 = x^{2}+8x+16\] \[x^{2}-4x-12 = 0\] \[(x-6)(x+2) = 0\] \[x = 6 \quad \text{或} \quad x = -2\]

舍去负解。因此，边长为：\(x = 6\)、\(x + 2 = 8\) 和 \(x + 4 = 10\)。

例题解答

5.1 解：\(\frac{x}{5} - \frac{3x}{4} = 2 - \frac{x}{8}\)

两边乘以40（所有分母的最小公倍数）：

\[8x - 30x = 80 - 5x\] \[-17x = 80\] \[x = -\frac{80}{17}\]

5.2 解：\(2(3x + 4) + 5(6x - 7) = 7(5x - 4) + 1 + x\)

去括号并合并同类项：

\[6x+8+30x-35 = 35x-28+1+x\] \[36x-27 = 36x-27\]

该陈述对所有（实）变量值都成立；该方程是一个恒等式。

5.3 解：\(5x = 2x - (1 - 3x)\)

\[5x = 5x - 1\] \[0 = -1\]

该陈述对变量的任何值都不成立；该方程无解。

5.4 解：\(\frac{x+5}{x-3} = 7\)

两边乘以 \(x - 3\)（唯一分母）。注意：\(x \neq 3\)。

\[x+5 = 7x-21\] \[-6x = -26\] \[x = \frac{13}{3}\]

5.5 解：\(\frac{6}{x+1} = 5 - \frac{6x}{x+1}\)

两边乘以 \(x + 1\)。注意：\(x \neq -1\)。

\[6 = 5x+5-6x\] \[1 = -x\] \[x = -1\]

但由于 \(x \neq -1\)，该方程无解。

5.6 解：\((x + 5)^{2} + (2x - 7)^{2} = 82\)

\[x^{2}+10x+25+4x^{2}-28x+49=82\] \[5x^{2}-18x-8=0\] \[(5x+2)(x-4)=0\] \[x = -\frac{2}{5} \quad \text{或} \quad x = 4\]

5.7 解：\(5x^{2} + 16x + 2 = 0\)

该方程在整数范围内不可因式分解；使用求根公式，\(a = 5\)，\(b = 16\)，\(c = 2\)。

\[x = \frac{-16 \pm \sqrt{216}}{10} = \frac{-8 \pm 3\sqrt{6}}{5}\]

5.8 用配方法解 \(x^{2} - 8x + 13 = 0\)

\[x^{2}-8x = -13\] \[x^{2}-8x+16 = 3\] \[(x-4)^{2} = 3\] \[x = 4 \pm \sqrt{3}\]

5.9 解：\(\frac{2}{x} + \frac{3}{x+1} = 4\)

\[2(x+1)+3x = 4x(x+1)\] \[5x+2 = 4x^{2}+4x\] \[0 = 4x^{2}-x-2\]

使用求根公式，\(a = 4\)，\(b = -1\)，\(c = -2\)：

\[x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}\]

5.10 求 \(x^{3} - 64 = 0\) 的所有解（实数和复数）。

首先将多项式因式分解为两个立方之差：

\[x^{3}-4^{3} = 0\] \[(x-4)(x^{2}+4x+16) = 0\] \[x = 4 \quad \text{或} \quad x^{2}+4x+16 = 0\]

对二次因子应用求根公式：\(x = -2 \pm 2i\sqrt{3}\)

解：\(4, -2 \pm 2i\sqrt{3}\)

5.11 解：\(x^{4} - 5x^{2} - 36 = 0\)

这是二次型方程的例子。引入代换 \(u = x^{2}\)：

\[u^{2}-5u-36 = 0\] \[(u-9)(u+4) = 0\] \[u = 9 \quad \text{或} \quad u = -4\]

回代 \(x^{2} = u\)：

\[x^{2} = 9 \quad \text{或} \quad x^{2} = -4\] \[x = \pm 3 \quad \text{无实数解}\]

5.12 解：\(x^{2/3} - x^{1/3} - 6 = 0\)

这是二次型方程。引入代换 \(u = x^{1/3}\)：

\[u^{2}-u-6 = 0\] \[(u-3)(u+2) = 0\] \[u = 3 \quad \text{或} \quad u = -2\]

回代：\(x = 27\) 或 \(x = -8\)

5.13 解：\(\sqrt{2x} = \sqrt{x+1} + 1\)

\[2x = x+1+2\sqrt{x+1}+1\] \[x-2 = 2\sqrt{x+1}\] \[(x-2)^{2} = 4(x+1)\] \[x^{2}-4x+4 = 4x+4\] \[x^{2}-8x = 0\] \[x(x-8) = 0\] \[x = 0 \quad \text{或} \quad x = 8\]

检验：\(x = 0\) 不是解；\(x = 8\) 是唯一解。

5.14 解文字方程 \(S = 2xy + 2xz + 2yz\) 求 \(y\)

\[S - 2xz = y(2x + 2z)\] \[y = \frac{S-2xz}{2x+2z}\]

5.15 解 \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f}\) 求 \(f\)。

\[qf+pf = pq\] \[f(q+p) = pq\] \[f = \frac{qp}{q+p}\]

5.16 解 \(s = \frac{1}{2}gt^{2} - v_{0}t + s_{0}\) 求 \(t\)。

这是关于 \(t\) 的二次方程。应用求根公式：

\[t = \frac{v_{0} \pm \sqrt{v_{0}^{2}-2g(s_{0}-s)}}{g}\]

5.17 将9000美元投资，一部分年利率6%，一部分年利率10%。如果希望总回报率为9%，各应投资多少？

设 \(x\) = 年利率6%的投资额；表格排列有助于求解：

投资额 P 利率 r 利息 I
第一账户 x 0.06 0.06x
第二账户 9000 - x 0.1 0.1(9000-x)
总投资 9000 0.09 0.09(9000)

\[0.06x + 0.1(9000-x) = 0.09(9000)\] \[x = 2250\]

因此，2250美元投资6%，6750美元投资10%。

5.18 一个无盖盒子由一块正方形纸板做成，在每个角剪去一个3英寸的正方形，然后折起边。如果盒子要容纳75立方英寸，应该用多大的纸板？

设 \(x\) = 原始正方形的边长。则盒子底面的边长为 \(x - 6\)。

体积 = 长 × 宽 × 高：

\[3(x-6)^{2} = 75\] \[x-6 = \pm 5\] \[x = 11 \text{ 英寸}\]

5.19 两个人有一个通话范围为 \(\frac{3}{4}\) 英里的对讲机。其中一人中午开始向东走，速度3英里/小时。5分钟后另一人开始向西走，速度4英里/小时。他们何时会超出通话范围？

设 \(t\) = 距离中午的小时数。表格排列：

行走时间 速度 距离
第一个人 t 3 3t
第二个人 t - 5/60 4 4(t - 5/60)

\[3t + 4(t - \frac{5}{60}) = \frac{3}{4}\] \[t = \frac{13}{84} \text{ 小时}\]

时间约为12:09。

5.20 一个容器装满8升20%盐溶液。需要加入多少升纯水才能得到15%的盐溶液？

设 \(x\) = 加入水的升数。

溶液量 盐的百分比 盐量
原始溶液 8 0.2 1.6
水 x 0 0
混合物 8 + x 0.15 0.15(8+x)

\[1.6 = 1.2 + 0.15x\] \[x = \frac{8}{3} \text{ 升}\]

5.21 机器A单独完成工作需要6小时，机器B单独完成需要10小时。两台机器一起工作需要多长时间？

设 \(t\) = 每台机器的工作时间。

效率 时间 工作量
机器A 1/6 t t/6
机器B 1/10 t t/10

\[\frac{t}{6} + \frac{t}{10} = 1\] \[t = \frac{15}{4} \text{ 小时}\]

补充习题

5.22 解：\(3 - \frac{x}{8} = \frac{5x}{2} - \frac{2}{3}(x - 4) + 5\)

答案： \(-\frac{112}{47}\)

5.23 解：\(7(x - 6) - 6(x + 3) = 5(x - 6) - 2(3 + 2x)\)

答案： 无解

5.24 解：\(\frac{5}{x} - \frac{4}{x(x-2)} = \frac{x-4}{x-2}\)

答案： 7

5.25 求所有实数解：

  1. \(x^{2} - 9x = 36\)；(b) \(3x^{2} = 2x + 8\)；(c) \(4x^{2} + 3x + 5 = 0\)；(d) \(x^{2} - 5 = 2x + 3\)；(e) \((x-8)(x+6) = 32\)；(f) \(8x^{2} - 3x + 4 = 3x^{2} + 12\)；(g) \((x-5)^{2} = 7\)；(h) \(4x^{2} + 3x - 5 = 0\)

答案： (a) \(\{-3, 12\}\)；(b) \(\{-\frac{4}{3}, 2\}\)；(c) 无实数解；(d) \(\{-2, 4\}\)；(e) \(\{-4, 14\}\)；(f) \(\{-\frac{4}{5}, 1\}\)；(g) \(\{5 \pm \sqrt{7}\}\)；(h) \(\{\frac{-3 \pm \sqrt{89}}{8}\}\)

5.26 解：(a) \(\sqrt[3]{5x + 9} = -6\) (b) \(\sqrt{5x + 9} = -6\)

答案： (a) -45 (b) 无解

5.27 求所有实数解：

  1. \(x^{4} - 5x^{2} + 4 = 0\)；(b) \(x^{2/3} - 8x^{1/3} + 15 = 0\)；(c) \(x^{3} + 8 = 0\)

答案： (a) \(\{-\sqrt{3}, \sqrt{3}\}\)；(b) \(\{-1, 64\}\)；(c) \(\{-2, \sqrt[3]{2}\}\)

5.28 解：(a) \(x - \sqrt{x} = 12\)；(b) \(\sqrt{2x + 1} + 1 = x\)；(c) \(\sqrt{4x + 1} - \sqrt{2x - 3} = 2\)

答案： (a) \(\{16\}\)；(b) \(\{4\}\)；(c) \(\{2, 6\}\)

5.29 求 \(x^{3} - 5x^{2} + 4x - 20 = 0\) 的所有复数解

答案： \(5, 2i, -2i\)

5.30 解：\(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f}\) 求 \(q\)

答案： \(q = \frac{pf}{p-f}\)

5.31 解：\(LI^{2} + RI + \frac{1}{C} = 0\) 求 \(I\)

答案： \(I = \frac{-RC \pm \sqrt{R^{2}C^{2}-4LC}}{2LC}\)

5.32 解：\((x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}\) 求 \(y\)

答案： \(y = k \pm \sqrt{r^{2}-(x-h)^{2}}\)

5.33 解出用 \(x\) 表示 \(y\)：(a) \(3x - 5y = 8\)；(b) \(x^{2} - 2xy + y^{2} = 4\)；(c) \(\frac{x+y}{x-y} = 5\)；(d) \(x = \sqrt{y^{2} - 2y}\)

答案： (a) \(y = \frac{3x-8}{5}\)；(b) \(y = x + 2\) 或 \(y = x - 2\)；(c) \(y = \frac{2}{3}x\)；(d) \(y = 1 \pm \sqrt{x^{2}+1}\)

5.34 一个矩形的周长是44厘米。如果它的长度比宽度的2倍少5厘米，求它的尺寸。

答案： 宽度 = 9厘米，长度 = 13厘米

5.35 如果两人同时出发，但第二个人向北走，解这个对讲机问题(5.19)。

答案： 正好12:09

5.36 一家商店希望将每磅6.50美元的咖啡与每磅9.00美元的咖啡混合，以得到60磅售价为每磅7.50美元的混合咖啡。每种咖啡应使用多少？

答案： 36磅6.50美元/磅的咖啡，24磅9.00美元/磅的咖啡

5.37 一个容器装满8厘升30%酸溶液。必须加入多少厘升纯酸才能得到50%酸溶液？

答案： 3.2 cl

5.38 一个化学储藏室有两种酒精溶液，分别是30%和75%。必须混合多少分升才能得到90分升65%溶液？

答案： 20 dl的30%溶液，70 dl的75%溶液

5.39 一个6加仑的散热器装满了40%防冻剂/水溶液。必须排出多少溶液并替换为纯防冻剂才能得到65%溶液？

答案： 2.5加仑

5.40 机器A单独完成工作需要8小时。与机器B一起工作，需要5小时完成。机器B单独完成工作需要多长时间？

答案： \(13\frac{1}{3}\) 小时

5.41 机器A单独完成工作比机器B少用4小时。一起工作时，他们可以在5小时内完成工作。每台机器单独完成工作需要多长时间？

答案： 机器A：约8.4小时；机器B：约12.4小时