第6章：线性与非线性不等式

作者

Fred Safier

发布于

2024年1月1日

第6章：线性与非线性不等式

6.1 不等式关系

如果 \(b - a\) 为正，则称 \(a\) 小于 \(b\)，记作 \(a < b\)。则称 \(b\) 大于 \(a\)，记作 \(b > a\)。如果 \(a\) 小于或等于 \(b\)，记作 \(a \leq b\)。则称 \(b\) 大于或等于 \(a\)，记作 \(b \geq a\)。

几何解释： 如果 \(a < b\)，则在数轴上 \(a\) 位于 \(b\) 的左侧。如果 \(a > b\)，则 \(a\) 位于 \(b\) 的右侧。

例6.1

在数轴上，\(a < d\) 且 \(b > c\)。还有，\(a < c\) 且 \(b > d\)。

6.2 复合不等式与区间

如果 \(a < x\) 且 \(x < b\)，通常合并写作：\(a < x < b\)。

满足 \(a < x < b\) 的所有实数 \(x\) 的集合称为开区间，记作 \((a, b)\)。

类似地，满足 \(a \leq x \leq b\) 的所有实数 \(x\) 的集合称为闭区间，记作 \([a, b]\)。

下表显示了各种常见不等式及其区间表示：

不等式 记号 图示
\(a < x < b\) \((a, b)\) （图示）
\(a \leq x \leq b\) \([a, b]\) （图示）
\(x \geq a\) \([a, \infty)\) （图示）
\(x < b\) \((-\infty, b)\) （图示）
\(x \leq b\) \((-\infty, b]\) （图示）

6.3 含变量的不等式陈述

与方程一样，含变量的不等式陈述一般来说既非真也非假；它的真实性取决于变量的值。

对于单变量不等式陈述，使陈述成立的值称为不等式的解。所有解的集合称为不等式的解集。

6.4 等价不等式

如果两个不等式具有相同的解集，则它们是等价不等式。

例6.2

不等式 \(x < -5\) 和 \(x + 5 < 0\) 是等价的。它们的解集都是所有小于 \(-5\) 的实数，即 \((-\infty, -5)\)。

解不等式的过程包括将其转化为解显而易见的等价不等式。转化不等式为等价不等式的运算包括：

  1. 加上或减去： 对于任何实数 \(c\)，\(a < b\)、\(a + c < b + c\) 和 \(a - c < b - c\) 是等价的。
  2. 乘以或除以正数： 对于任何正实数 \(c\)，\(a < b\)、\(ac < bc\) 和 \(a/c < b/c\) 是等价的。
  3. 乘以或除以负数： 对于任何负实数 \(c\)，\(a < b\)、\(ac > bc\) 和 \(a/c > b/c\) 是等价的。注意：当乘以或除以负数时，不等号方向改变。
  4. 化简不等式两边的表达式。

对于 \(a > b\) 等形式的不等式，规则类似。

6.5 线性不等式

线性不等式是形式为 \(ax + b < 0\)、\(ax + b > 0\)、\(ax + b \leq 0\) 或 \(ax + b \geq 0\)，或可转化为这种形式的不等式。

一般来说，线性不等式的解集是下表所示形式之一的无穷集合。线性不等式通过类似于解方程的方法分离变量来求解。

例6.3

解： \(5 - 3x > 4\)

\[5-3x > 4\] \[-3x > -1\] \[x < \frac{1}{3}\]

注意：两边除以 \(-3\) 时，不等号方向改变。

不是线性的不等式称为非线性不等式。

6.6 解非线性不等式

如果不等式的左边可以写成线性因子或素二次因子（的乘积或商）的形式，则可以通过符号图求解。如果任何因子在区间上不为零，则它在整个区间上要么为正要么为负。因此：

  1. 确定每个因子为零的点。这些点称为临界点。
  2. 画出数轴并标出临界点。
  3. 确定每个因子在每个区间的符号；然后，利用乘法或除法规则，确定不等式左边整个量的符号。
  4. 写出解集。

例6.4

解： \((x - 1)(x + 2) > 0\)

临界点是 \(1\) 和 \(-2\)。画出数轴，标出临界点。这些点将实数轴分为三个区间：\((-\infty, -2)\)、\((-2, 1)\) 和 \((1, \infty)\)。

  • 在 \((-\infty, -2)\) 中：\(x - 1\) 和 \(x + 2\) 均为负；因此积为正。
  • 在 \((-2, 1)\) 中：\(x - 1\) 为负，\(x + 2\) 为正；因此积为负。
  • 在 \((1, \infty)\) 中：两个因子均为正；因此积为正。

不等式在积为正时成立。因此解集为：\((-\infty, -2) \cup (1, \infty)\)。

6.7 例题解答

6.1

解： \(3(y - 5) - 4(y + 6) \leq 7\)

\[3y-15-4y-24 \leq 7\] \[-y-39 \leq 7\] \[-y \leq 46\] \[y \geq -46\]

解集： \([-46, \infty)\)

6.2

解： \(\frac{2x-3}{3} - \frac{5x+4}{6} > 5 - \frac{3x}{8}\)

两边乘以24（所有分母的最小公倍数），然后求解：

\[16x-24-20x-16 > 120-9x\] \[-4x-40 > 120-9x\] \[5x > 160\] \[x > 32\]

解集： \((32, \infty)\)

6.3

解： \(-8 < 2x - 7 \leq 5\)

这种复合不等式可以通过分离中间变量来求解：

\[-1 < 2x \leq 12\] \[-\frac{1}{2} < x \leq 6\]

解集： \((-\frac{1}{2}, 6]\)

6.4

解： \(0 < 3 - 5x \leq 10\)

\[\frac{3}{5} > x \geq -\frac{7}{5}\] \[-\frac{7}{5} \leq x < \frac{3}{5}\]

解集： \([-\frac{7}{5}, \frac{3}{5})\)

6.5

化学溶液应保持在 \(-30\) 和 \(-22.5^\circ\)C 之间。转换为华氏度是多少？

\[-30 < C < -22.5\] \[-30 < \frac{5}{9}(F-32) < -22.5\] \[-54 < F-32 < -40.5\] \[-22 < F < -8.5\]

范围： \(-22^\circ\)F 到 \(-8.5^\circ\)F 之间。

6.6

解： \(x^{2} - 8x \leq 20\)

\[x^{2}-8x-20 \leq 0\] \[(x-10)(x+2) \leq 0\]

临界点是 \(10\) 和 \(-2\)。符号图为：

解集： \([-2, 10]\)

6.7

解： \(2x^{2} + 2 \geq 5x\)

\[2x^{2}-5x+2 \geq 0\] \[(x-2)(2x-1) \geq 0\]

解集： \((-\infty, \frac{1}{2}] \cup [2, \infty)\)

6.8

解： \(x^{3} < x^{2} + 6x\)

\[x^{3}-x^{2}-6x < 0\] \[x(x-3)(x+2) < 0\]

临界点是 \(-2\)、\(0\) 和 \(3\)。

解集： \((-\infty, -2) \cup (0, 3)\)

6.9

解： \(\frac{x+5}{x-3} \leq 0\)

临界点是 \(-5\) 和 \(3\)。在 \(x = -5\) 处，不等式成立；在 \(x = 3\) 处，表达式无定义。

解集： \([-5, 3)\)

6.10

解： \(\frac{2x}{x-3} \geq 3\)

将右边化为0，合并为单一分式：

\[\frac{2x}{x-3} - 3 \geq 0\] \[\frac{2x-3(x-3)}{x-3} \geq 0\] \[\frac{9-x}{x-3} \geq 0\]

临界点是 \(3\) 和 \(9\)。

解集： \((3, 9]\)

6.11

解： \(\frac{(x-2)^{1/3}(2x+3)^{2}}{(x+5)^{3}(x^{2}+4)} \geq 0\)

临界点是 \(-5\)、\(-\frac{3}{2}\) 和 \(2\)。注意：\(x^{2}+4\) 对所有实数 \(x\) 均为正，不影响符号。

解集： \((-\infty, -5) \cup \{-\frac{3}{2}\} \cup [2, \infty)\)

6.12

对于哪些 \(x\) 值，表达式 \(\sqrt{9-x^{2}}\) 表示实数？

当 \(9 - x^{2} \geq 0\) 时，表达式表示实数。解不等式 \((3-x)(3+x) \geq 0\)：

当 \(x\) 在 \([-3, 3]\) 时，表达式表示实数。

6.13

对于哪些 \(x\) 值，表达式 \(\sqrt{\frac{x}{(2-x)(5+x)}}\) 表示实数？

当根号下的量非负时，表达式表示实数。解 \(\frac{x}{(2-x)(5+x)} \geq 0\)：

临界点是 \(-5\)、\(0\) 和 \(2\)。

解集： \((-\infty, -5) \cup [0, 2)\)

6.8 补充习题

6.14

解： (a) \(\frac{2x+7}{5} < \frac{5x-3}{2}\)；(b) \(0.05(2x-3) + 0.02x > 15\)；(c) \(4(5x-6) - 3(6x-3) > 2x + 1\)

答案： - (a) \((\frac{29}{21}, \infty)\) - (b) \((126.25, \infty)\) - (c) 无解

6.15

解： (a) \(-0.01 < x-5 < 0.01\)；(b) \(\frac{1}{2} \leq \frac{5x-6}{4} < 7\)；(c) \(-6 < 3-7x \leq 8\)

答案： - (a) \((4.99, 5.01)\) - (b) \([\frac{8}{5}, \frac{34}{5})\) - (c) \([-\frac{5}{7}, \frac{9}{7})\)

6.16

解： (a) \(5x - x^{2} < 6\)；(b) \((x+6)^{2} \geq (2x-1)^{2}\)；(c) \(t^{2}+(t+1)^{2} > (t+2)^{2}\)

答案： - (a) \((-\infty, 2) \cup (3, \infty)\) - (b) \([-\frac{5}{3}, 7]\) - (c) \((-\infty, -1) \cup (3, \infty)\)

6.17

解： (a) \(x^{2} \leq 1\)；(b) \(x^{2}+1 < 1\)；(c) \(\frac{1}{x} < 1\)；(d) \(\frac{1}{x^{2}} \leq 1\)；(e) \(\frac{1}{1-x^{2}} \leq 1\)

答案： - (a) \([-1, 1]\) - (b) 无解 - (c) \((-\infty, 0) \cup (1, \infty)\) - (d) \((-\infty, -1] \cup [1, \infty)\) - (e) \((-\infty, -1) \cup \{0\} \cup (1, \infty)\)

6.18

解： (a) \(5 > \frac{x+3}{x}\)；(b) \(-\frac{9x^{2}}{x^{2}-9} \leq 0\)；(c) \(\frac{x^{2}-4x}{3x^{2}-12} \geq 0\)

答案： - (a) \((-\infty, 0) \cup (\frac{3}{4}, \infty)\) - (b) \((-\infty, -3) \cup \{0\} \cup (3, \infty)\) - (c) \((-\infty, -2) \cup [0, 2) \cup [4, \infty)\)

6.19

对于哪些 \(x\) 值，以下表示实数？

  1. \(\sqrt{x^{2}-25}\)；(b) \(\sqrt{\frac{x-4}{x+4}}\)

答案： - (a) \((-\infty, -5] \cup [5, \infty)\) - (b) \((-\infty, -4) \cup [4, \infty)\)

6.20

对于哪些 \(x\) 值，以下表示实数？

  1. \(\frac{1}{\sqrt{x^{2}-16}}\)；(b) \(\frac{1}{\sqrt{36-x^{2}}}\)

答案： - (a) \((-\infty, -4) \cup (4, \infty)\) - (b) \((-6, 6)\)