第7章：绝对值在方程与不等式中的应用
第7章：绝对值在方程与不等式中的应用
绝对值的定义
实数 \(a\) 的绝对值，记作 \(|a|\)，定义为（第1章）：
\[|a| = \begin{cases} a & \text{若 } a \geq 0 \\ -a & \text{若 } a < 0 \end{cases}\]
绝对值的几何解释
几何上，实数的绝对值是它到原点的距离（见图7-1）。
类似地，两个实数 \(a\) 和 \(b\) 之间的距离是它们之差的绝对值：\(|a-b|\) 或 \(|b-a|\)。
绝对值的性质
\(|-a| = |a|\)
\(|a| = \sqrt{a^{2}}\)
\(|ab| = |a||b|\)
\(|a+b| \leq |a| + |b|\) （三角不等式）
例7.1 (a) \(|-5| = |5| = 5\)；(b) \(|-6| = 6\)；\(\sqrt{(-6)^{2}} = \sqrt{36} = 6\)，因此 \(|-6| = \sqrt{(-6)^{2}}\)
例7.2 (a) \(|-5x^{2}| = |-5||x^{2}| = 5x^{2}\)；(b) \(|3y| = |3||y| = 3|y|\)
例7.3 三角不等式：\(|5 + (-7)| = 2 \leq |5| + |-7| = 5 + 7 = 12\)
绝对值方程
由于 \(|a|\) 是 \(a\) 到原点的距离：
方程 \(|a| = b\)（\(b > 0\)）等价于两个方程 \(a = b\) 和 \(a = -b\)。（\(a\) 到原点的距离等于 \(b\)，恰好当 \(a\) 等于 \(b\) 或 \(-b\) 时成立。）
方程 \(|a| = |b|\) 等价于两个方程 \(a = b\) 和 \(a = -b\)。
例7.4 解：\(|x + 3| = 5\)
\[x + 3 = 5 \quad \text{或} \quad x + 3 = -5\] \[x = 2 \quad \text{或} \quad x = -8\]
例7.5 解：\(|x - 4| = |3x + 1|\)
\[x - 4 = 3x + 1 \quad \text{或} \quad x - 4 = -(3x + 1)\] \[x = -\frac{5}{2} \quad \text{或} \quad x = \frac{3}{4}\]
绝对值不等式
对于 \(b > 0\)：
不等式 \(|a| < b\) 等价于复合不等式 \(-b < a < b\)。（由于 \(a\) 到原点的距离小于 \(b\)，\(a\) 比 \(b\) 更接近原点。）
不等式 \(|a| > b\) 等价于两个不等式 \(a > b\) 和 \(a < -b\)。（由于 \(a\) 到原点的距离大于 \(b\)，\(a\) 比 \(b\) 更远离原点。）
例7.6 解：\(|x - 5| > 3\)
\[x - 5 > 3 \quad \text{或} \quad x - 5 < -3\] \[x > 8 \quad \text{或} \quad x < 2\]
例题解答
7.1 解：\(|x - 7| = 2\)
\[x - 7 = 2 \quad \text{或} \quad x - 7 = -2\] \[x = 9 \quad \text{或} \quad x = 5\]
7.2 解：\(|x + 5| = 0.01\)
\[x + 5 = 0.01 \quad \text{或} \quad x + 5 = -0.01\] \[x = -4.99 \quad \text{或} \quad x = -5.01\]
7.3 解：\(|6x + 7| = 10\)
\[6x + 7 = 10 \quad \text{或} \quad 6x + 7 = -10\] \[x = \frac{1}{2} \quad \text{或} \quad x = -\frac{17}{6}\]
7.4 解：\(5|x| - 3 = 6\)
首先分离绝对值表达式：
\[5|x| = 9\] \[|x| = \frac{9}{5}\] \[x = \frac{9}{5} \quad \text{或} \quad x = -\frac{9}{5}\]
7.5 解：\(3|5 - 2x| + 4 = 9\)
首先分离绝对值表达式：
\[3|5-2x| = 5\] \[|5-2x| = \frac{5}{3}\]
\[5-2x = \frac{5}{3} \quad \text{或} \quad 5-2x = -\frac{5}{3}\] \[x = \frac{5}{3} \quad \text{或} \quad x = \frac{10}{3}\]
7.6 解：\(|2x - 5| = -8\)
由于一个数的绝对值永远不为负，该方程无解。
7.7 解：\(|2x - 5| = |8x + 3|\)
\[2x-5 = 8x+3 \quad \text{或} \quad 2x-5 = -(8x+3)\] \[x = -\frac{4}{3} \quad \text{或} \quad x = \frac{1}{5}\]
7.8 解：\(|x + 5| > 3\)
\[x + 5 > 3 \quad \text{或} \quad x + 5 < -3\] \[x > -2 \quad \text{或} \quad x < -8\]
解集：\((-\infty, -8) \cup (-2, \infty)\)
7.9 解：\(|x - 3| \leq 10\)
\[-10 \leq x-3 \leq 10\] \[-7 \leq x \leq 13\]
解集：\([-7, 13]\)
7.10 解：\(4|2x - 7| + 5 < 19\)
分离绝对值符号：
\[4|2x-7| < 14\] \[|2x-7| < \frac{7}{2}\] \[-\frac{7}{2} < 2x-7 < \frac{7}{2}\] \[\frac{7}{4} < x < \frac{21}{4}\]
解集：\((\frac{7}{4}, \frac{21}{4})\)
7.11 解：\(|5x - 3| > -1\)
由于实数的绝对值总是正数或零，因此总是大于任何负数，所有实数都是解。
7.12 将以下内容写成带绝对值符号和不带绝对值符号的不等式，并在数轴上标出解：\(x\) 与 \(a\) 的距离小于 \(\delta\)。
用绝对值符号表示：\(|x - a| < \delta\)
改写为复合不等式：
\[a - \delta < x < a + \delta\]
解集：\((a - \delta, a + \delta)\)
补充习题
7.13 证明：\(|ab| = |a||b|\)。（提示：分别考虑 \(a\) 和 \(b\) 的各种符号情况。）
7.14 (a) 证明：对于任何实数 \(x\)，\(-|x| \leq x \leq |x|\)。(b) 用(a)证明三角不等式。
7.15 写成方程或不等式并求解：
- \(x\) 与 \(3\) 的距离等于 \(7\)。
- \(5\) 是 \(x\) 与 \(6\) 距离的 \(2\) 倍。
- \(x\) 与 \(-3\) 的距离大于 \(2\)。
答案： (a) \(|x-3| = 7\)；\(\{-4, 10\}\)；(b) \(5 = 2|x-6|\)；\(\{\frac{17}{2}, \frac{7}{2}\}\)；(c) \(|x+3| > 2\)；\((-\infty, -5) \cup (-1, \infty)\)
7.16 解：(a) \(|x+8| = 5\)；(b) \(|x+5| < 8\)；(c) \(|x-3| \geq 4\)
答案： (a) \(\{-13, -3\}\)；(b) \((-13, 3)\)；(c) \((-\infty, -1] \cup [7, \infty)\)
7.17 解：(a) \(|x| + 8 = 5\)；(b) \(2|x| + 5 \leq 8\)；(c) \(|x+8| - 5 > 1\)
答案： (a) 无解；(b) \([-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}]\)；(c) \((-\infty, -14) \cup (-2, \infty)\)
7.18 解：\(|5-2x| = 3|x+1|\)
答案： \(\{-8, \frac{2}{5}\}\)
7.19 解：\(|3-5x| \geq 9\)
答案： \((-\infty, -\frac{6}{5}] \cup [\frac{12}{5}, \infty)\)
7.20 解：\(|3x+4| + 5 < 1\)
答案： 无解
7.21 解：(a) \(0 < |x-5| < 8\)；(b) \(0 < |2x+3| \leq 7\)；(c) \(0 < |x-c| \leq \delta\)
答案： (a) \((-3, 5) \cup (5, 13)\)；(b) \([-5, -\frac{3}{2}) \cup (-\frac{3}{2}, 2]\)；(c) \([c-\delta, c) \cup (c, c+\delta]\)