第8章：解析几何

作者

Fred Safier

发布于

2024年1月1日

解析几何

直角坐标系

直角坐标系由两条相互垂直的实数线组成，称为坐标轴，它们在原点相交。通常一条水平放置称为 \(x\) 轴，另一条垂直放置称为 \(y\) 轴。坐标轴将坐标平面（或 \(xy\) 平面）分成四部分，称为象限，分别编号为第一、第二、第三和第四象限，或 I、II、III、IV。坐标轴上的点不属于任何象限。

一一对应

有序数对 \((a, b)\) 与坐标平面上的点之间存在一一对应关系（见图8-1）。因此：

  1. 每个点 \(P\) 对应一个有序数对 \((a, b)\)，称为 \(P\) 的坐标。\(a\) 称为 \(x\) 坐标或横坐标；\(b\) 称为 \(y\) 坐标或纵坐标。
  2. 每个有序数对对应一个点，称为该有序数对的图形。图形可以用一个点表示。

两点间的距离

在直角坐标系中，两点 \(P_{1}(x_{1}, y_{1})\) 和 \(P_{2}(x_{2}, y_{2})\) 之间的距离由距离公式给出：

\[d(P_{1}, P_{2}) = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}}\]

例8.1 求 \((-3, 5)\) 和 \((4, -1)\) 之间的距离。

设 \(P_{1}(x_{1}, y_{1}) = (-3, 5)\) 和 \(P_{2}(x_{2}, y_{2}) = (4, -1)\)。代入距离公式：

\[d(P_{1}, P_{2}) = \sqrt{[4-(-3)]^{2} + [(-1)-5]^{2}} = \sqrt{7^{2}+(-6)^{2}} = \sqrt{85}\]

方程的图形

二元方程的图形是其解集的图形，即满足方程的所有有序对 \((a, b)\) 的图形。由于通常有无穷多个解，通常只需要画出草图。画图的一种简单方法是找出几个解，标出这些点，然后用光滑曲线或直线连接。

例8.2 画出方程 \(x - 2y = 10\) 的图形。

列一个表；然后标点并连接。图形是一条直线（见图8-2）。

x -2 0 2 4 6 8 10
y -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

截距

方程图形与坐标轴交点的坐标有特殊名称：

  1. 图形与 \(x\) 轴交点的 \(x\) 坐标称为图形的 \(x\) 截距。求法：设 \(y = 0\)，解 \(x\)。
  2. 图形与 \(y\) 轴交点的 \(y\) 坐标称为图形的 \(y\) 截距。求法：设 \(x = 0\)，解 \(y\)。

例8.3 在上例中，\(x\) 截距是 \(10\)（图形在 \((10, 0)\) 处与 \(x\) 轴相交）；\(y\) 截距是 \(-5\)（图形在 \((0, -5)\) 处与 \(y\) 轴相交）。

例8.4 求方程 \(y = 4 - x^{2}\) 的截距。

设 \(x = 0\)；则 \(y = 4 - 0^{2} = 4\)。因此 \(y\) 截距是 \(4\)。

设 \(y = 0\)。若 \(0 = 4 - x^{2}\)，则 \(x^{2} = 4\)；因此 \(x = \pm 2\)。因此 \(x\) 截距是 \(2\) 和 \(-2\)。

对称性

对称性是画更复杂图形的重要辅助手段：

  1. 如果只要 \((a, b)\) 在图形上，\((-a, b)\) 就在图形上，则图形关于 \(y\) 轴对称。（\(y\) 轴对称）
  2. 如果只要 \((a, b)\) 在图形上，\((a, -b)\) 就在图形上，则图形关于 \(x\) 轴对称。（\(x\) 轴对称）
  3. 如果只要 \((a, b)\) 在图形上，\((-a, -b)\) 就在图形上，则图形关于原点对称。（原点对称）
  4. 如果只要 \((a, b)\) 在图形上，\((b, a)\) 就在图形上，则图形关于直线 \(y = x\) 对称。

对称性检验

对称性检验（见图8-3）：

  1. 如果用 \(-x\) 替换 \(x\) 后方程不变，则图形关于 \(y\) 轴对称。
  2. 如果用 \(-y\) 替换 \(y\) 后方程不变，则图形关于 \(x\) 轴对称。
  3. 如果同时用 \(-x\) 替换 \(x\) 和用 \(-y\) 替换 \(y\) 后方程不变，则图形关于原点对称。
  4. 如果交换 \(x\) 和 \(y\) 后方程不变，则图形关于直线 \(y = x\) 对称。
术语 检验 图示
关于 \(y\) 轴对称 用 \(-x\) 替换 \(x\) 时方程不变 （图示）
关于 \(x\) 轴对称 用 \(-y\) 替换 \(y\) 时方程不变 （图示）
关于原点对称 用 \(-x\) 替换 \(x\) 和 \(-y\) 替换 \(y\) 时方程不变 （图示）
关于直线 \(y = x\) 对称 交换 \(x\) 和 \(y\) 时方程不变 （图示）

注意：图形可能没有这些对称性，也可能有一种或全部三种。不可能恰好有两种对称性。

例8.5 检验方程 \(y = 4 - x^{2}\) 的对称性并画图。

用 \(-x\) 替换 \(x\)：\(y = 4 - (-x)^{2} = 4 - x^{2}\)。由于方程不变，图形有 \(y\) 轴对称（见图8-4）。

用 \(-y\) 替换 \(y\)：\(-y = 4 - x^{2}\)；\(y = -4 + x^{2}\)。由于方程改变，图形没有 \(x\) 轴对称。图形不可能有原点对称。由于图形有 \(y\) 轴对称，只需要找出 \(x\) 非负的点，然后关于 \(y\) 轴反射。

x 0 1 2 3 4
y 4 3 0 -5 -12

圆

圆心为 \(C(h, k)\)、半径为 \(r > 0\) 的圆是平面上所有与 \(C\) 距离为 \(r\) 的点的集合（见图8-5）。

圆的方程

圆心为 \(C(h, k)\)、半径为 \(r > 0\) 的圆的方程可以写成（标准式）：

\[(x-h)^{2} + (y-k)^{2} = r^{2}\]

如果圆心在原点 \((0, 0)\)，则简化为：

\[x^{2} + y^{2} = r^{2}\]

如果 \(r = 1\)，则称为单位圆。

线段的中点

端点为 \(P_{1}(x_{1}, y_{1})\) 和 \(P_{2}(x_{2}, y_{2})\) 的线段的中点由中点公式给出：

\[P_{1}P_{2} \text{ 的中点} = \left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\]

例题解答

8.1 证明距离公式

在图8-6中，\(P_{1}\) 和 \(P_{2}\) 已标出。引入 \(Q(x_{2}, y_{1})\)。则 \(P_{1}\) 和 \(Q\) 之间的距离是它们 \(x\) 坐标之差：\(|x_{2} - x_{1}|\)；类似地，\(Q\) 和 \(P_{2}\) 之间的距离是它们 \(y\) 坐标之差：\(|y_{2} - y_{1}|\)。在直角三角形 \(P_{1}P_{2}Q\) 中，应用勾股定理：\(d^{2} = |x_{2} - x_{1}|^{2} + |y_{2} - y_{1}|^{2} = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}\)。因此，取平方根，注意距离 \(d\) 总是正的，\(d(P_{1}, P_{2}) = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}\)。

8.2 求距离 \(d(P_{1}, P_{2})\)

  1. \(P_{1}(-5, -4)\)，\(P_{2}(-8, 0)\)；(b) \(P_{1}(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})\)，\(P_{2}(0, 5\sqrt{2})\)；(c) \(P_{1}(x, x^{2})\)，\(P_{2}(x+h, (x+h)^{2})\)

  2. 代入距离公式：\(d = 5\)

  3. 代入距离公式：\(d = \sqrt{26}\)

  4. 代入距离公式并化简：\(d = \sqrt{h^{2} + 4x^{2}h^{2} + 4xh^{3} + h^{4}}\)

8.3 分析截距和对称性，然后画图：

  1. \(y = 12 - 4x\)；(b) \(y = x^{2} + 3\)；(c) \(y^{2} + x = 5\)；(d) \(2y = x^{3}\)。

  2. \(y\) 截距：12；\(x\) 截距：3；无对称性。

  3. \(y\) 截距：3；无 \(x\) 截距；有 \(y\) 轴对称。

  4. \(y\) 截距：\(\pm\sqrt{5}\)；\(x\) 截距：5；有 \(x\) 轴对称。

  5. 截距：0；原点对称。

8.4 分析截距和对称性，然后画图：

  1. \(y = |x| - 4\)；(b) \(4x^{2} + y^{2} = 36\)；(c) \(|x| + |y| = 3\)；(d) \(x^{2}y = 12\)。

  2. \(x\) 截距：\(\pm4\)；\(y\) 截距：\(-4\)；\(y\) 轴对称。

  3. \(x\) 轴、\(y\) 轴和原点对称。

  4. \(x\) 轴、\(y\) 轴和原点对称。

  5. \(y\) 轴对称。

8.5 求下列圆的圆心和半径：

  1. \(x^{2} + y^{2} = 9\)；(b) \((x-3)^{2} + (y+2)^{2} = 25\)；(c) \((x+5)^{2} + (y+\frac{1}{2})^{2} = 21\)

  2. 圆心：\((0, 0)\)；半径：\(3\)

  3. 圆心：\((3, -2)\)；半径：\(5\)

  4. 圆心：\((-5, -\frac{1}{2})\)；半径：\(\sqrt{21}\)

8.6 求下列圆的方程：

  1. 圆心在原点，半径7；(b) 圆心在 \((2, -3)\)，半径 \(\sqrt{14}\)；(c) 圆心在 \((-5\sqrt{2}, 0)\)，半径 \(5\sqrt{2}\)

  2. \(x^{2} + y^{2} = 49\)

  3. \((x-2)^{2} + (y+3)^{2} = 14\)

  4. \((x + 5\sqrt{2})^{2} + y^{2} = 50\)

8.7 求方程 \(x^{2} + y^{2} - 4x - 12y = 9\) 所表示的圆的圆心和半径

对 \(x\) 和 \(y\) 配方：

\[(x-2)^{2} + (y-6)^{2} = 49\]

圆心：\((2, 6)\)；半径：\(7\)

8.8 证明中点公式

从平面几何可知，投影线段与原始线段的比例相同。因此，从 \(x_{1}\) 到 \(x\) 的距离等于从 \(x\) 到 \(x_{2}\) 的距离。解 \(x_{2} - x = x - x_{1}\) 得 \(x = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}\)。类似地，通过投影到 \(y\) 轴可得 \(y = \frac{y_{1} + y_{2}}{2}\)。

8.9 求线段 \(P_{1}P_{2}\) 的中点 \(M\)，已知 \(P_{1}(3, -8)\)，\(P_{2}(-6, 6)\)

\[M = \left(-\frac{3}{2}, -1\right)\]

8.10 求圆的方程，已知 \((0, 6)\) 和 \((8, -8)\) 是直径的端点

第1步：圆心是直径的中点。\((4, -1)\)

第2步：半径是圆心到任一端点的距离。\(r = \sqrt{65}\)

第3步：\((x-4)^{2} + (y+1)^{2} = 65\)

8.11 证明顶点为 \(A(1, 3)\)、\(B(-1, 2)\)、\(C(5, -5)\) 的三角形是直角三角形

第1步：用距离公式求各边长：

\[d(A, B) = \sqrt{5} = c\] \[d(B, C) = \sqrt{85} = a\] \[d(A, C) = \sqrt{80} = b\]

第2步：应用勾股定理的逆定理。

由于 \(a^{2} = 85\) 和 \(b^{2} + c^{2} = 80 + 5 = 85\)，关系 \(a^{2} = b^{2} + c^{2}\) 成立；因此该三角形是直角三角形。

8.12 证明 \(P(-12, 11)\) 在线段 \(A(0, -3)\) 和 \(B(6, 15)\) 的垂直平分线上

垂直平分线上的点与其端点等距。因此如果 \(PA = PB\)，则 \(P\) 在 \(AB\) 的垂直平分线上。

\[d(A, P) = \sqrt{340} = PA\] \[d(P, B) = \sqrt{340} = PB\]

因此 \(PA = PB\)，\(P\) 在 \(AB\) 的垂直平分线上。

8.13 求线段 \(A(7, -8)\) 和 \(B(-2, 5)\) 的垂直平分线的方程

设 \(P(x, y)\)，则 \(PA = PB\)：

\[(x-7)^{2} + (y+8)^{2} = (x+2)^{2} + (y-5)^{2}\]

化简得：

\[9x - 13y = 42\]

这是 \(A\) 和 \(B\) 等距的点的方程。因此它是 \(AB\) 的垂直平分线方程。

补充习题

8.14 描述满足以下关系的点集：

  1. \(x = 0\)；(b) \(x > 0\)；(c) \(xy < 0\)；(d) \(y > 1\)

答案： (a) \(y\) 轴上的所有点；(b) \(y\) 轴右侧的所有点；(c) 第二和第四象限的所有点；(d) 直线 \(y = 1\) 上方的所有点

8.15 求以下各对点之间的距离：

  1. \((0, -7)\) 和 \((7, 0)\)；(b) \((-3\sqrt{3}, -3)\) 和 \((3\sqrt{3}, 3)\)

答案： (a) \(7\sqrt{2}\)；(b) \(12\)

8.16 求线段的长度和中点：

  1. \(A(1, 8)\)，\(B(-3, 4)\)；(b) \(A(3, -7)\)，\(B(0, 8)\)；(c) \(A(1, \sqrt{2})\)，\(B(-1, 5\sqrt{2})\)

答案： (a) 长度 \(4\sqrt{2}\)，中点 \((-1, 6)\)；(b) 长度 \(3\sqrt{26}\)，中点 \((\frac{3}{2}, \frac{1}{2})\)；(c) 长度 \(6\)，中点 \((0, 3\sqrt{2})\)

8.17 分析以下方程的对称性：

  1. \(xy^{2} = 4\)；(b) \(x^{3}y = 4\)；(c) \(|xy| = 4\)；(d) \(x^{2} + xy = 4\)；(e) \(x^{2} + y + y^{2} = 4\)；(f) \(x^{2} + xy + y^{2} = 4\)

答案： (a) \(x\) 轴对称；(b) 原点对称；(c) \(x\) 轴、\(y\) 轴、原点对称；(d) 原点对称；(e) \(y\) 轴对称；(f) 原点对称

8.18 分析对称性和截距，然后画以下图形：

  1. \(3x + 4y + 12 = 0\)；(b) \(y^{2} = 10 + x\)；(c) \(y^{2} - x^{2} = 9\)；(d) \(|y| - |x| = 3\)

答案： (a) \(x\) 截距 \(-4\)，\(y\) 截距 \(-3\)，无对称性；(b) \(x\) 截距 \(-10\)，\(y\) 截距 \(\pm\sqrt{10}\)，\(x\) 轴对称；(c) 无 \(x\) 截距，\(y\) 截距 \(\pm3\)，\(x\) 轴、\(y\) 轴、原点对称；(d) 无 \(x\) 截距，\(y\) 截距 \(\pm3\)，\(x\) 轴、\(y\) 轴、原点对称

8.19 分析对称性和截距，然后画以下图形：

  1. \(x + y = 0\)；(b) \(y + |x| = 4\)；(c) \(x^{2} = 4|y|\)；(d) \(|y| = |4 - x^{2}|\)；(e) \(|x| = 4y^{2}\)；(f) \(-xy^{2} = 4\)

答案： (a) 原点对称；(b) \(y\) 轴对称；(c) \(x\) 轴、\(y\) 轴、原点对称；(d) \(x\) 轴、\(y\) 轴、原点对称；(e) \(x\) 轴、\(y\) 轴、原点对称；(f) \(x\) 轴对称

8.20 求下列圆的方程：

  1. 圆心 \((5, -2)\)，半径 \(\sqrt[4]{10}\)；(b) 圆心 \((\frac{1}{2}, -\frac{5}{2})\)，直径3；(c) 圆心 \((3, 8)\)，经过原点；(d) 圆心 \((-3, -4)\)，与 \(y\) 轴相切

答案： (a) \((x-5)^{2} + (y+2)^{2} = \sqrt{10}\)；(b) \((x-\frac{1}{2})^{2} + (y+\frac{5}{2})^{2} = \frac{9}{4}\)；(c) \((x-3)^{2} + (y-8)^{2} = 73\)；(d) \((x+3)^{2} + (y+4)^{2} = 9\)

8.21 求下列圆的方程：

  1. 圆心 \((5, 2)\)，点 \((3, -1)\) 在圆上；(b) \((5, -5)\) 和 \((-3, -9)\) 是直径的端点

答案： (a) \((x-5)^{2} + (y-2)^{2} = 13\)；(b) \((x-1)^{2} + (y+7)^{2} = 20\)

8.22 判断下列方程是否表示圆，如果是，求圆心和半径：

  1. \(x^{2} + y^{2} + 8x + 2y = 5\)；(b) \(x^{2} + y^{2} - 4x - 8y + 20 = 0\)；(c) \(2x^{2} + 2y^{2} - 6x + 14y = 3\)；(d) \(x^{2} + y^{2} + 12x + 20y + 200 = 0\)

答案： (a) 圆，圆心 \((-4, -1)\)，半径 \(\sqrt{22}\)；(b) 不是圆，图形仅由点 \((2, 4)\) 组成；(c) 圆，圆心 \((\frac{3}{2}, -\frac{7}{2})\)，半径 \(4\)；(d) 不是圆，图形上没有点

8.23 证明顶点为 \((-10, 7)\)、\((-6, -2)\)、\((3, 2)\) 的三角形是等腰三角形

8.24 证明顶点为 \((4, \sqrt{3})\)、\((5, 0)\)、\((6, \sqrt{3})\) 的三角形是等边三角形

8.25 证明顶点为 \((6, 9)\)、\((1, 1)\)、\((9, -4)\) 的三角形是等腰直角三角形

8.26 证明顶点为 \((-3, -3)\)、\((5, -1)\)、\((7, 7)\)、\((-1, 5)\) 的四边形是菱形

8.27 证明顶点为 \((7, 2)\)、\((10, 0)\)、\((8, -3)\)、\((5, -1)\) 的四边形是正方形

8.28 (a) 求端点为 \((-2, -5)\) 和 \((7, -1)\) 的线段的垂直平分线方程。

  1. 证明端点为 \((x_{1}, y_{1})\) 和 \((x_{2}, y_{2})\) 的线段的垂直平分线方程可以写成 \(\frac{x-\bar{x}}{y_{2}-y_{1}} + \frac{y-\bar{y}}{x_{2}-x_{1}} = 0\)，其中 \((\bar{x}, \bar{y})\) 是线段中点的坐标。

答案： (a) \(18x + 8y = 21\)