第9章：函数

作者

Fred Safier

发布于

2024年1月1日

第9章：函数

9.1 函数的定义

从集合 \(D\) 到集合 \(E\) 的函数 \(f\) 是这样一种规则或对应关系：它为集合 \(D\) 中的每个元素 \(x\) 恰好指定一个集合 \(E\) 中的元素 \(y\)。集合 \(D\) 称为函数的定义域。\(E\) 中的元素 \(y\) 称为 \(x\) 在 \(f\) 下的像，或 \(f\) 在 \(x\) 处的函数值，记作 \(f(x)\)。由 \(D\) 中所有元素的像组成的 \(E\) 的子集 \(R\) 称为函数的值域。\(D\) 和 \(R\) 的成员分别称为输入值和输出值。

例9.1 设 \(D\) 为所有少于20个字母的英文单词集合。设 \(f\) 为将每个单词映射为其字母数的规则。则 \(E\) 可以是所有整数的集合（或某个更大的集合）；\(R\) 是 \(\{x \in \mathbb{N} | 1 \leq x < 20\}\)。\(f\) 将单词 “truth” 映射为数字5；这记作 \(f(\text{truth}) = 5\)。此外，\(f(a) = 1\) 和 \(f(\text{president}) = 9\)。

注意：函数为其定义域中的每个元素指定唯一的函数值；但是，多个元素可以被指定相同的函数值。

例9.2 设 \(D\) 为实数集合，\(g\) 为规则 \(g(x) = x^{2} + 3\)。求：\(g(4)\)、\(g(-4)\)、\(g(a) + g(b)\)、\(g(a+b)\)。\(g\) 的值域是什么？

通过将 \(x\) 代入规则 \(g(x) = x^{2} + 3\) 来求函数值：

  • \(g(4) = 19\)
  • \(g(-4) = 19\)
  • \(g(a) + g(b) = a^{2} + b^{2} + 6\)
  • \(g(a+b) = a^{2} + 2ab + b^{2} + 3\)

\(g\) 的值域：注意 \(x^{2}\) 总是大于或等于零。因此 \(g(x) = x^{2} + 3 \geq 3\)。所以 \(g\) 的值域是 \(\{y \in \mathbb{R} | y \geq 3\}\)。

9.2 函数记号

函数用记号 \(f: D \to E\) 表示。函数对 \(D\) 中元素的作用记作 \(f: x \to f(x)\)。通常用如图9-1所示的图来可视化函数关系。

9.3 定义域和值域

函数的定义域和值域通常是实数集。如果函数由表达式定义且未声明定义域，则定义域默认为使表达式有意义的所有实数。这个集合称为函数的隐含定义域或最大可能定义域。

例9.3 求以下函数的（最大可能）定义域：

  1. \(f(x) = \frac{x-3}{x+6}\)

  2. \(g(x) = \sqrt{x-5}\)

  3. \(h(x) = x^{2} - 4\)

  4. 表达式 \(\frac{x-3}{x+6}\) 对除了 \(x + 6 = 0\)（即 \(x = -6\)）以外的所有实数有定义。因此 \(f\) 的定义域是 \(\{x \in \mathbb{R} | x \neq -6\}\)。

  5. 表达式 \(\sqrt{x-5}\) 在 \(x - 5 \geq 0\)（即 \(x \geq 5\)）时有定义。因此 \(g\) 的定义域是 \(\{x \in \mathbb{R} | x \geq 5\}\)。

  6. 表达式 \(x^{2} - 4\) 对所有实数有定义。因此 \(h\) 的定义域是 \(\mathbb{R}\)。

9.4 函数的图形

函数 \(f\) 的图形是所有满足 \(x\) 在 \(f\) 的定义域中且 \(y = f(x)\) 的点 \((x, y)\) 的图形。

9.5 垂直线检验

由于对于 \(f\) 的定义域中的每个 \(x\) 值，恰好有一个 \(y\) 值满足 \(y = f(x)\)，因此垂直线 \(x = c\) 至多与函数图形相交一次。因此，如果一条垂直线与图形相交多于一次，则该图形不是函数的图形。

9.6 增函数、减函数和常数函数

  1. 增函数：如果在某个区间上，随着 \(x\) 增大，\(f(x)\) 的值也增大，即函数的图形从左到右上升，则称函数 \(f\) 在该区间上是增函数。在整个定义域上递增的函数称为增函数。代数上，如果对于 \((a, b)\) 中所有 \(x_{1}, x_{2}\)，当 \(x_{1} < x_{2}\) 时有 \(f(x_{1}) < f(x_{2})\)，则 \(f\) 在 \((a, b)\) 上递增。

  2. 减函数：如果在某个区间上，随着 \(x\) 增大，\(f(x)\) 的值减小，即函数的图形从左到右下降，则称函数 \(f\) 在该区间上是减函数。在整个定义域上递减的函数称为减函数。代数上，如果对于 \((a, b)\) 中所有 \(x_{1}, x_{2}\)，当 \(x_{1} < x_{2}\) 时有 \(f(x_{1}) > f(x_{2})\)，则 \(f\) 在 \((a, b)\) 上递减。

  3. 常数函数：如果函数在某个区间上的值不变，即函数的图形是一条水平线段，则称函数在该区间上是常数函数。在整个定义域上恒定的函数称为常数函数。代数上，如果对于 \((a, b)\) 中所有 \(x_{1}, x_{2}\)，\(f(x_{1}) = f(x_{2})\)，则 \(f\) 在 \((a, b)\) 上恒定。

例9.4 给定图9-2中 \(f(x)\) 的图形，假设 \(f\) 的定义域是 \(\mathbb{R}\)，识别 \(f\) 递增或递减的区间：

随着 \(x\) 穿过 \(f\) 的定义域，\(y\) 减小到 \(x = 2\)，然后增加。因此函数在 \((-\infty, 2)\) 上递减，在 \((2, \infty)\) 上递增。

9.7 偶函数和奇函数

  1. 偶函数：如果对于函数 \(f\) 定义域中的所有 \(x\)，有 \(f(-x) = f(x)\)，则称该函数为偶函数。由于对于偶函数，当用 \(-x\) 替换 \(x\) 时方程 \(y = f(x)\) 不变，因此偶函数的图形关于 \(y\) 轴对称。

  2. 奇函数：如果对于函数 \(f\) 定义域中的所有 \(x\)，有 \(f(-x) = -f(x)\)，则称该函数为奇函数。由于对于奇函数，当用 \(-x\) 替换 \(x\) 和用 \(-y\) 替换 \(y\) 时方程 \(y = f(x)\) 不变，因此奇函数的图形关于原点对称。

  3. 大多数函数既不是偶函数也不是奇函数。

例9.5 判断以下函数是偶函数、奇函数还是都不是：

  1. \(f(x) = 7x^{2}\)

  2. \(g(x) = 4x + 6\)

  3. \(h(x) = 6x - \sqrt[3]{x}\)

  4. \(F(x) = \frac{4}{x-6}\)

  5. \(f(-x) = 7(-x)^{2} = 7x^{2} = f(x)\)，所以 \(f\) 是偶函数。

  6. \(g(-x) = -4x + 6\)，既不等于 \(g(x)\) 也不等于 \(-g(x)\)，所以 \(g\) 既不是偶函数也不是奇函数。

  7. \(h(-x) = -6x + \sqrt[3]{x} = -h(x)\)，所以 \(h\) 是奇函数。

  8. \(F(-x) = -\frac{4}{x+6}\)，既不等于 \(F(x)\) 也不等于 \(-F(x)\)，所以 \(F\) 既不是偶函数也不是奇函数。

9.8 函数的平均变化率

设 \(f\) 为一个函数。\(f(x)\) 关于 \(x\) 在区间 \([a, b]\) 上的平均变化率定义为：

\[\frac{\text{f(x) 的变化量}}{\text{x 的变化量}} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\]

在从 \(x\) 到 \(x + h\) 的区间上，这个量变为：

\[\frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]

这称为差商。

例9.6 求 \(f(x) = x^{2}\) 在区间 \([1, 4]\) 上的平均变化率。

\[\frac{f(4) - f(1)}{4-1} = \frac{16-1}{3} = 5\]

例9.7 求 \(f(x) = x^{2}\) 的差商：

\[\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{(x+h)^{2} - x^{2}}{h} = 2x + h \quad (h \neq 0)\]

9.9 自变量和因变量

在应用中，如果 \(y = f(x)\)，则用语言”\(y\) 是 \(x\) 的函数”。\(x\) 称为自变量，\(y\) 称为因变量。

例9.8 在公式 \(A = \pi r^{2}\) 中，圆的面积 \(A\) 可以写成半径 \(r\) 的函数。要将半径写成面积的函数，解出 \(r\)：\(r = \pm\sqrt{A/\pi}\)。由于半径是正数，\(r = \sqrt{A/\pi}\) 给出了 \(A\) 的函数。

例题解答

9.1 下列方程中，哪些将 \(y\) 定义为 \(x\) 的函数？

[分析每个方程是否为每个 \(x\) 值恰好指定一个 \(y\) 值]

9.2 给定 \(f(x) = x^{2} - 4x + 2\)，求 (a) \(f(5)\)；(b) \(f(-3)\)；(c) \(f(a)\)；(d) \(f(a+b)\)；(e) \(f(a) + f(b)\)

解： - (a) \(f(5) = 7\) - (b) \(f(-3) = 23\) - (c) \(f(a) = a^{2} - 4a + 2\) - (d) \(f(a+b) = a^{2} + 2ab + b^{2} - 4a - 4b + 2\) - (e) \(f(a) + f(b) = a^{2} + b^{2} - 4a - 4b + 4\)

9.3 给定 \(g(x) = -2x^{2} + 3x\)，求并化简 (a) \(g(h)\)；(b) \(g(x+h)\)；(c) \([g(x+h) - g(x)]/h\)

解： - (a) \(g(h) = -2h^{2} + 3h\) - (b) \(g(x+h) = -2x^{2} - 4xh - 2h^{2} + 3x + 3h\) - (c) \([g(x+h) - g(x)]/h = -4x - 2h + 3\)

9.4 给定 \(f(x) = 1/x^{2}\) 和 \(g(x) = 4 - x^{2}\)，求 (a) \(f(a)g(b)\)；(b) \(f(g(a))\)；(c) \(g(f(b))\)

解： - (a) \(f(a)g(b) = \frac{4-b^{2}}{a^{2}}\) - (b) \(f(g(a)) = \frac{1}{(4-a^{2})^{2}}\) - (c) \(g(f(b)) = 4 - \frac{1}{b^{4}}\)

9.5 求以下各函数的定义域： - (a) \(f(x) = 3x - x^{3}\)：定义域为 \(\mathbb{R}\) - (b) \(f(x) = \frac{5}{x^{2}-9}\)：定义域为 \(\{x \in \mathbb{R} | x \neq \pm 3\}\) - (c) \(f(x) = \frac{x^{2}-3x+2}{x^{3}+2x^{2}-24x}\)：定义域为 \(\{x \in \mathbb{R} | x \neq 0, 4, -6\}\) - (d) \(f(x) = \sqrt{x+5}\)：定义域为 \([-5, \infty)\) - (e) \(f(x) = \sqrt{x^{2}-8x+12}\)：定义域为 \(\{x \in \mathbb{R} | x \leq 2 \text{ 或 } x \geq 6\}\) - (f) \(f(x) = \sqrt[3]{\frac{x+1}{x^{3}-8}}\)：定义域为 \(\{x \in \mathbb{R} | x \neq 2\}\)

9.6 将圆的周长 \(C\) 写为其面积 \(A\) 的函数。

解：\(C = 2\pi\sqrt{A/\pi}\)

9.7 剧院运营商估计，如果票价定为每张7美元，可以卖出500张票；每涨0.25美元，就会少卖两张票。将收入 \(R\) 写为票价格上涨次数 \(n\) 的函数。

解：\(R = (7 + 0.25n)(500 - 2n)\)

9.8 一块场地要围成长方形，其中一边以直河为界。如果可用围栏长度为100英尺，将矩形面积 \(A\) 写为一个等边的长度 \(x\) 的函数。

解：\(A = x(100 - 2x)\)

9.9 一个矩形内接于半径为 \(r\) 的圆。将矩形的面积 \(A\) 写为矩形一边 \(x\) 的函数。

解：\(A = x\sqrt{4r^{2} - x^{2}}\)

9.10 一个直圆柱内接于一个高为 \(H\)、底面半径为 \(R\) 的直圆锥。将圆柱的体积 \(V\) 写为其底面半径 \(r\) 的函数。

解：\(V = \pi\frac{H}{R}(R-r)r^{2}\)

9.11 设 \(F(x) = mx\)，\(G(x) = x^{2}\)。

  1. 证明 \(F(kx) = kF(x)\)
  2. 证明 \(F(a+b) = F(a) + F(b)\)
  3. 证明这些关系一般对函数 \(G\) 不成立

解： - (a) \(F(kx) = mkx = kmx = kF(x)\) - (b) \(F(a+b) = ma + mb = F(a) + F(b)\) - (c) \(G(kx) = k^{2}x^{2}\) 而 \(kG(x) = kx^{2}\)；\(G(a+b) = a^{2} + 2ab + b^{2}\) 而 \(G(a) + G(b) = a^{2} + b^{2}\)

9.12 列出数值表并画出以下函数的图形： - (a) \(f(x) = 4\) - (b) \(f(x) = \frac{4x+3}{5}\) - (c) \(f(x) = 4x - x^{2}\) - (d) \(f(x) = \begin{cases} 4 & \text{若 } x \geq 0 \\ -4 & \text{若 } x < 0 \end{cases}\) - (e) \(f(x) = \begin{cases} 4 & \text{若 } x \geq 2 \\ -x & \text{若 } -1 < x < 2 \\ x+2 & \text{若 } x \leq -1 \end{cases}\)

[解包含数值表和图形描述]

9.13 求上题定义的每个函数的值域： - (a) \(\{4\}\) - (b) \(\mathbb{R}\) - (c) \((-\infty, 4]\) - (d) \(\{4, -4\}\) - (e) \((-\infty, 1] \cup \{4\}\)

9.14 求以下函数的平均变化率： - (a) \(f(x) = 7x + 12\) 在 \([2, 8]\) 上：\(7\) - (b) \(f(x) = \frac{3-5x}{9}\) 在 \([-5, 0]\) 上：\(-\frac{5}{9}\)

9.15 求以下函数的差商： - (a) \(f(x) = x^{3}\)：\(3x^{2} + 3xh + h^{2}\) - (b) \(f(x) = 1/x^{2}\)：\(-\frac{2x+h}{x^{2}(x+h)^{2}}\)

补充习题

9.16 设 \(F\) 是这样一个函数：只要它包含 \(x\)，就包含 \(-x\)。定义：\(g(x) = [F(x) + F(-x)]/2\) 和 \(h(x) = [F(x) - F(-x)]/2\)。

  1. 证明 \(g\) 是偶函数，\(h\) 是奇函数。
  2. 证明 \(F(x) = g(x) + h(x)\)。因此，任何函数都可以写成一个奇函数和一个偶函数的和。
  3. 证明既是偶函数又是奇函数的唯一函数是 \(f(x) = 0\)。

9.17 下列函数是偶函数、奇函数还是都不是？ - (a) \(f(x) = \frac{x^{3}}{x^{4}+1}\)：奇函数 - (b) \(f(x) = \frac{x^{4}}{x^{3}+1}\)：既不是 - (c) \(f(x) = |x| - \frac{1}{x^{2}}\)：偶函数 - (d) \(f(x) = (x-1)^{3} + (x+1)^{3}\)：奇函数

9.18 求以下函数的定义域： - (a) \(f(x) = \sqrt{x-3}\)：\([3, \infty)\) - (b) \(f(x) = \sqrt{3-x}\)：\((-\infty, 3]\) - (c) \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-3}}\)：\((3, \infty)\) - (d) \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{3-x}}\)：\((-\infty, 3)\)

9.19 求以下函数的定义域： - (a) \(g(x) = |x-3|\)：\(\mathbb{R}\) - (b) \(g(x) = \frac{x^{2}+9}{x-3}\)：\(\{x \in \mathbb{R} | x \neq 3\}\) - (c) \(g(x) = \sqrt{\frac{x-3}{x^{2}-3x+2}}\)：\((1, 2) \cup [3, \infty)\) - (d) \(g(x) = \sqrt{x^{3}-9x^{2}}\)：\([9, \infty)\)

9.20 某州的所得税税率规定：应税收入在30,000以下为4%，30,000到50,000之间为5%，50,000以上为6%。将所得税 \(T(x)\) 写为应税收入 \(x\) 的函数。

解： \[T(x) = \begin{cases} 0.04x & \text{若 } 0 < x \leq 30,000 \\ 1200 + 0.05(x-30,000) & \text{若 } 30,000 < x \leq 50,000 \\ 2200 + 0.06(x-50,000) & \text{若 } x > 50,000 \end{cases}\]

9.21 (a) 将正方形的对角线长度 \(d\) 写为一边长度 \(s\) 的函数。(b) 将 \(d\) 写为正方形面积 \(A\) 的函数。(c) 将 \(d\) 写为正方形周长 \(P\) 的函数。

解：(a) \(d(s) = s\sqrt{2}\)；(b) \(d(A) = \sqrt{2A}\)；(c) \(d(P) = \frac{P\sqrt{2}}{4}\)

9.22 (a) 将等边三角形的面积 \(A\) 写为一边 \(s\) 的函数。(b) 将三角形的周长 \(P\) 写为面积 \(A\) 的函数。

解：(a) \(A(s) = \frac{s^{2}\sqrt{3}}{4}\)；(b) \(P(A) = \frac{6\sqrt{A}}{\sqrt[3]{3}}\)

9.23 半径为 \(r\) 的圆内接一个边长为 \(s\) 的等边三角形。

  1. 将 \(s\) 写为 \(r\) 的函数：\(s(r) = r\sqrt{3}\)
  2. 将三角形的面积 \(A\) 写为 \(r\) 的函数：\(A(r) = \frac{3r^{2}\sqrt{3}}{4}\)
  3. 将三角形的面积 \(A\) 写为圆面积 \(a\) 的函数：\(A(a) = \frac{3a\sqrt{3}}{4\pi}\)

9.24 (a) 将球的体积 \(V\) 写为其半径 \(r\) 的函数。(b) 将球的表面积 \(S\) 写为 \(r\) 的函数。(c) 将 \(r\) 写为 \(S\) 的函数。(d) 将 \(V\) 写为 \(S\) 的函数。

解： - (a) \(V(r) = \frac{4}{3}\pi r^{3}\) - (b) \(S(r) = 4\pi r^{2}\) - (c) \(r(S) = \sqrt{\frac{S}{4\pi}}\) - (d) \(V(S) = \frac{1}{3}\sqrt{\frac{S^{3}}{4\pi}}\)

9.25 一个直圆柱内接于半径为 \(R\) 的球。（\(R\) 是常数。）

  1. 将圆柱的高 \(h\) 写为圆柱半径 \(r\) 的函数：\(h(r) = 2\sqrt{R^{2}-r^{2}}\)
  2. 将圆柱的总表面积 \(S\) 写为 \(r\) 的函数：\(S(r) = 4\pi r\sqrt{R^{2}-r^{2}} + 2\pi r^{2}\)
  3. 将圆柱的体积 \(V\) 写为 \(r\) 的函数：\(V(r) = 2\pi r^{2}\sqrt{R^{2}-r^{2}}\)

9.26 图9-11到9-14中哪些是函数的图形？

答案：(a)和(c)是函数的图形；(b)和(d)不符合垂直线检验，不是函数的图形。

9.27 给定 \(f(x) = x^{2} - 3x + 1\)，求 (a) \(f(2)\)；(b) \(f(-3)\)；(c) \([f(2+h) - f(2)]/h\)

答案：(a) \(-1\)；(b) \(19\)；(c) \(1 + h\)

9.28 给定 \(f(x) = \frac{1}{x} - x\)，求 (a) \(f(2)\)；(b) \(f(-3)\)；(c) \([f(3+h) - f(3)]/h\)

答案：(a) \(-\frac{3}{2}\)；(b) \(\frac{8}{3}\)；(c) \(\frac{-10-3h}{3(3+h)}\)

9.29 物体从静止开始下落的距离 \(s\)（英尺）由 \(s(t) = 16t^{2}\) 给出（\(t\) 秒）。求 (a) \(s(2)\)；(b) \(s(3)\)；(c) \([s(3.01) - s(3)]/0.01\)

答案：(a) 64英尺；(b) 144英尺；(c) 96.16英尺

9.30 给定 \(f(x) = \frac{3x+1}{x-3}\)，求并化简：(a) \(f(f(b))\)；(b) \([f(x) - f(a)]/(x-a)\)

答案：(a) \(b\)；(b) \(-\frac{10}{(x-3)(a-3)}\)

9.31 给定 \(f(x) = x^{2}\)，求并化简：(a) \(f(f(b))\)；(b) \([f(x) - f(a)]/(x-a)\)；(c) \([f(x+h) - f(x)]/h\)

答案：(a) \(b^{4}\)；(b) \(x + a\)；(c) \(2x + h\)

9.32 给定 \(f(x) = 1/x\)，求并化简：(a) \(f(f(b))\)；(b) \([f(x) - f(a)]/(x-a)\)；(c) \([f(x+h) - f(x)]/h\)

答案：(a) \(b\)；(b) \(-\frac{1}{ax}\)；(c) \(-\frac{1}{x(x+h)}\)

9.33 给定 \(f(x) = \frac{x}{1+x^{2}}\)，求并化简：(a) \(f(f(b))\)；(b) \([f(x) - f(a)]/(x-a)\)

答案：(a) \(\frac{b+b^{3}}{1+3b^{2}+b^{4}}\)；(b) \(\frac{1-ax}{(1+x^{2})(1+a^{2})}\)

9.34 求 \(f(x) = 9x - 7\) 在区间 \([0, 5]\) 上的平均变化率。

答案：\(9\)

9.35 (a) 求 \(f(x) = \sqrt{x}\) 在区间 \([4, 9]\) 上的平均变化率。(b) 求 \(f(x) = \sqrt{x}\) 的差商。分子有理化。

答案：(a) \(\frac{1}{5}\)；(b) \(\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\)

9.36 求 \(f(x) = x^{2} - 6x + 9\) 的平均变化率：(a) 在区间 \([0, 6]\) 上；(b) 在区间 \([1, 7]\) 上。

答案：(a) \(0\)；(b) \(2\)

9.37 求 \(f(x) = \frac{1}{x+6}\) 在区间 \([0, 5]\) 上的平均变化率。

答案：\(-\frac{1}{66}\)

9.38 求以下函数的差商：(a) \(f(x) = \frac{x}{x+1}\)；(b) \(f(x) = \sqrt{2x-1}\)。分子有理化。

答案：(a) \(\frac{1}{(x+1)(x+h+1)}\)；(b) \(\frac{2}{\sqrt{2(x+h)-1}+\sqrt{2x-1}}\)