第十章 线性函数

线性函数

线性函数的定义

线性函数是指由如下形式的规则指定的函数：\(f: x \to mx + b\)，其中 \(m \neq 0\)。若 \(m = 0\)，则该函数不被视为线性函数；\(f(x) = b\) 这样的函数称为常数函数。线性函数的图形始终是一条直线，常数函数的图形是一条水平直线。

直线的斜率

不平行于 \(y\) 轴的直线的斜率定义如下（参见图 10-1 和图 10-2）：设 \((x_1, y_1)\) 和 \((x_2, y_2)\) 是直线上的两个不同点，则直线的斜率为：

\[m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{y \text{ 的变化量}}{x \text{ 的变化量}} = \frac{\text{纵向位移}}{\text{横向位移}}\]

    1. 正斜率（直线上升）（图 10-1）
    1. 负斜率（直线下降）（图 10-2）

例 10.1 求过以下两点的直线斜率：(a) \((5, 3)\) 和 \((8, 12)\)；(b) \((3, -4)\) 和 \((-5, 6)\)。

  1. 取 \((x_1, y_1) = (5, 3)\)，\((x_2, y_2) = (8, 12)\)，则 \(m = \dfrac{12 - 3}{8 - 5} = 3\)。

  2. 取 \((x_1, y_1) = (3, -4)\)，\((x_2, y_2) = (-5, 6)\)，则 \(m = \dfrac{6 - (-4)}{-5 - 3} = -\dfrac{5}{4}\)。

水平线与竖直线

  1. 水平线（平行于 \(x\) 轴的直线）的斜率为 \(0\)，因为直线上任意两点的 \(y\) 坐标相同。水平线方程形如 \(y = k\)。（见图 10-3）

  2. 竖直线（平行于 \(y\) 轴的直线）的斜率不存在，因为直线上任意两点的 \(x\) 坐标相同。竖直线方程形如 \(x = h\)。（见图 10-4）

直线方程

直线方程可以写成多种形式，以下几种最常用：

  1. 斜截式：斜率为 \(m\)，\(y\) 轴截距为 \(b\) 的直线方程为 \(y = mx + b\)。

  2. 点斜式：过点 \((x_0, y_0)\)，斜率为 \(m\) 的直线方程为：

\[y - y_0 = m(x - x_0)\]

  1. 标准式：直线方程可写成 \(Ax + By = C\) 的形式，其中 \(A\)、\(B\)、\(C\) 为无公因数的整数，且 \(A\) 和 \(B\) 不同时为零。

例 10.2 求过 \((-6, 4)\)，斜率为 \(\dfrac{2}{3}\) 的直线方程。

利用点斜式：\(y - 4 = \dfrac{2}{3}[x - (-6)]\)。化简为斜截式：\(y = \dfrac{2}{3}x + 8\)。标准式为 \(2x - 3y = -24\)。

平行线

若两条非竖直直线平行，则它们的斜率相等。反之，若两条直线斜率相同，则它们平行；两条竖直线也互相平行。

例 10.3 求过 \((3, -8)\)，平行于 \(5x + 2y = 7\) 的直线方程。

将给定直线化为斜截式：\(y = -\dfrac{5}{2}x + \dfrac{7}{2}\)，斜率为 \(-\dfrac{5}{2}\)。所求直线斜率也为 \(-\dfrac{5}{2}\)，过点 \((3, -8)\)，用点斜式得 \(y - (-8) = -\dfrac{5}{2}(x - 3)\)，标准式为 \(5x + 2y = -1\)。

垂直线

若一条直线是水平线，则与之垂直的直线是竖直线，反之亦然。若两条非竖直直线斜率分别为 \(m_1\) 和 \(m_2\)，且互相垂直，则 \(m_1 m_2 = -1\)，即 \(m_2 = -1/m_1\)。

例 10.4 求过 \((3, -8)\)，垂直于 \(5x + 2y = 7\) 的直线方程。

由上例知给定直线斜率为 \(-\dfrac{5}{2}\)，故所求直线斜率为 \(\dfrac{2}{5}\)，过点 \((3, -8)\)，由点斜式得 \(y - (-8) = \dfrac{2}{5}(x - 3)\)，标准式为 \(2x - 5y = 46\)。

已解例题

10.1. 对于形如 \(f(x) = mx + b\) 的线性函数，证明 \(\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = m\)。

由 \(f(x) = mx + b\)，得 \(f(x + h) = m(x + h) + b\)，故：

\[\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{[m(x+h)+b] - [mx+b]}{h} = \frac{mx+mh+b-mx-b}{h} = \frac{mh}{h} = m\]

10.2. 以下哪些规则表示线性函数？

  1. \(f(x) = \dfrac{2}{3}\)；(b) \(f(x) = \dfrac{2}{3}x + 7\)；(c) \(f(x) = \dfrac{2}{3x} + 7\)

只有 (b) 表示线性函数。(a) 表示常数函数，(c) 是非线性函数。

10.3. 求过 \((5, -3)\) 的水平线方程。

水平线方程形如 \(y = k\)，此处 \(k = -3\)，故方程为 \(y = -3\)。

10.4. 求过 \((5, -3)\) 的竖直线方程。

竖直线方程形如 \(x = h\)，此处 \(h = 5\)，故方程为 \(x = 5\)。

10.5. 求过 \((-6, 8)\)，斜率为 \(\dfrac{3}{4}\) 的直线方程（写成斜截式和标准式）。

用点斜式，取 \(m = \dfrac{3}{4}\)，\((x_0, y_0) = (-6, 8)\)：

\[y - 8 = \frac{3}{4}[x - (-6)]\]

化简得斜截式：\(y = \dfrac{3}{4}x + \dfrac{25}{2}\)；标准式：\(-3x + 4y = 50\)。

10.6. 求过 \((3, -4)\) 和 \((-7, 2)\) 的直线方程（写成斜截式和标准式）。

先求斜率：取 \((x_1, y_1) = (3, -4)\)，\((x_2, y_2) = (-7, 2)\)，则：

\[m = \frac{2 - (-4)}{-7 - 3} = -\frac{3}{5}\]

用点斜式，取 \((3, -4) = (x_0, y_0)\)：

\[y - (-4) = -\frac{3}{5}(x - 3)\]

斜截式：\(y = -\dfrac{3}{5}x - \dfrac{11}{5}\)；标准式：\(3x + 5y = -11\)。

10.7. (a) 证明 \(x\) 轴截距为 \(a\)、\(y\) 轴截距为 \(b\)（\(a, b\) 均不为零）的直线方程可写成 \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\)（截距式）。(b) 将 \(x\) 轴截距为 \(5\)、\(y\) 轴截距为 \(-6\) 的直线写成标准式。

  1. 直线过 \((a, 0)\) 和 \((0, b)\)，斜率 \(m = \dfrac{b - 0}{0 - a} = -\dfrac{b}{a}\)。斜截式为 \(y = -\dfrac{b}{a}x + b\)，即 \(\dfrac{b}{a}x + y = b\)。两边除以 \(b\) 得 \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\)。

  2. 由 (a) 得 \(\dfrac{x}{5} + \dfrac{y}{-6} = 1\)，去分母得标准式 \(6x - 5y = 30\)。

10.8. 在微积分中可以证明，曲线 \(y = x^2\) 在点 \((a, a^2)\) 处切线的斜率为 \(2a\)。求 \(y = x^2\) 在以下点处的切线方程：(a) \((3, 9)\)；(b) \((a, a^2)\)。

  1. 切线斜率为 \(2 \cdot 3 = 6\)，过 \((3, 9)\)：\(y - 9 = 6(x - 3)\)，即 \(y = 6x - 9\)。

  2. 切线斜率为 \(2a\)，过 \((a, a^2)\)：\(y - a^2 = 2a(x - a)\)，即 \(y = 2ax - a^2\)。

10.9. 证明两条非竖直直线平行当且仅当它们的斜率相等（见图 10-5）。

设 \(l_1\)、\(l_2\) 是斜率分别为 \(m_1\)、\(m_2\)，\(y\) 轴截距分别为 \(b_1\)、\(b_2\) 的两条不同直线，方程分别为 \(y = m_1 x + b_1\) 和 \(y = m_2 x + b_2\)。两直线有交点当且仅当对某个 \(x\)，\(y\) 值相等，即：

\[m_1 x + b_1 = m_2 x + b_2 \implies (m_1 - m_2)x = b_2 - b_1\]

这有解当且仅当 \(m_1 \neq m_2\)，即两直线有交点当且仅当 \(m_1 \neq m_2\)。故平行当且仅当 \(m_1 = m_2\)。

10.10. 求过 \((5, -3)\)，平行于以下直线的方程：(a) \(y = 3x - 5\)；(b) \(2x + 7y = 4\)；(c) \(x = -1\)。

  1. 斜率为 \(3\)，过 \((5, -3)\)：\(y - (-3) = 3(x - 5)\)，化简得 \(y = 3x - 18\)。

  2. 平行线形如 \(2x + 7y = C\)。代入 \((5, -3)\)：\(C = 2(5) + 7(-3) = -11\)，故 \(2x + 7y = -11\)。

  3. 平行于 \(x = -1\) 的竖直线形如 \(x = h\)，此处 \(h = 5\)，故 \(x = 5\)。

10.11. 证明若两直线斜率 \(m_1\) 和 \(m_2\) 互相垂直，则 \(m_1 m_2 = -1\)（图 10-6）。

设 \(l_1\) 斜率为正的 \(m_1\)，\(l_2\) 斜率为负的 \(m_2\)。在图中，\(l_1\) 横向走 \(1\)（线段 PB）时，沿 \(l_1\) 纵向升高 \(m_1\)（线段 CB）；\(l_2\) 横向走 \(1\) 时，纵向为 \(m_2\)（负值），即线段 AB 长度为 \(-m_2\)。因两线垂直，三角形 PCB 与 APB 相似，对应边之比相等：

\[\frac{CB}{PB} = \frac{PB}{AB} \implies \frac{m_1}{1} = \frac{1}{-m_2} \implies m_1 m_2 = -1\]

10.12. 求过 \((8, -2)\)，垂直于以下直线的方程：(a) \(y = \dfrac{4}{5}x + 2\)；(b) \(x + 3y = 6\)；(c) \(x = 7\)。

  1. 垂直线斜率满足 \(\dfrac{4}{5}m = -1\)，故 \(m = -\dfrac{5}{4}\)。过 \((8, -2)\)：\(y - (-2) = -\dfrac{5}{4}(x - 8)\)，化简得 \(5x + 4y = 32\)。

  2. 给定直线等价于 \(y = -\dfrac{1}{3}x + 2\)，斜率为 \(-\dfrac{1}{3}\)。垂直线斜率 \(m\) 满足 \(-\dfrac{1}{3}m = -1\)，故 \(m = 3\)。过 \((8, -2)\)：\(y - (-2) = 3(x - 8)\)，化简得 \(y = 3x - 26\)。

  3. 给定直线为竖直线，其垂直线为水平线，形如 \(y = k\)，此处 \(k = -2\)，故 \(y = -2\)。

10.13. 已知 \(f(0) = 5\)，\(f(10) = 12\)，求线性函数的规则。

直线过 \((0, 5)\) 和 \((10, 12)\)，\(y\) 轴截距为 \(5\)，斜率 \(m = \dfrac{12 - 5}{10 - 0} = \dfrac{7}{10}\)。故 \(f(x) = \dfrac{7}{10}x + 5\)。

10.14. 已知 \(f(a)\) 和 \(f(b)\)，求线性函数规则的一般表达式。

直线过 \((a, f(a))\) 和 \((b, f(b))\)，斜率 \(m = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\)，由点斜式：

\[f(x) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a) + f(a)\]

10.15. 已知 \(f(10) = 25000\)，\(f(25) = 10000\)，求线性函数规则。

由上题公式，取 \(a = 10\)，\(b = 25\)：

\[f(x) = \frac{10000 - 25000}{25 - 10}(x - 10) + 25000 = -1000x + 35000\]

10.16. 设生产 \(50\) 单位商品的成本为 \(27000\)，生产 \(100\) 单位的成本为 \(38000\)。若成本函数 \(C(x)\) 是线性的，求 \(C(x)\) 的规则，并估算生产 \(80\) 单位的成本。

直线过 \((50, 27000)\) 和 \((100, 38000)\)，斜率 \(m = \dfrac{38000 - 27000}{100 - 50} = 220\)。由点斜式：\(y - 27000 = 220(x - 50)\)，化简得 \(C(x) = 220x + 16000\)。

生产 \(80\) 单位的成本：\(C(80) = 220 \times 80 + 16000 = 33600\)。

10.17. 某设备按直线折旧法在 \(20\) 年内折旧完毕，其价值 \(V(t)\) 是时间 \(t\) 的线性函数。

  1. 设 \(t = 0\) 时价值为 \(V_0\)，\(20\) 年后价值为零，求 \(V(t)\) 的规则。

  2. 设备初始价值为 \(7500\) 美元，求 \(12\) 年后的价值。

  3. 直线过 \((0, V_0)\) 和 \((20, 0)\)，斜率 \(m = \dfrac{0 - V_0}{20 - 0} = -\dfrac{V_0}{20}\)，故 \(V(t) = -\dfrac{V_0}{20}t + V_0\)。

  4. 取 \(V_0 = 7500\)：\(V(t) = 7500 - 375t\)，\(V(12) = 7500 - 375 \times 12 = 3000\) 美元。

补充习题

10.18. 将以下方程改写为标准式：

  1. \(y = 3x - 2\)；(b) \(y = -\dfrac{1}{2}x + 8\)；(c) \(y = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{3}{5}\)

答： (a) \(3x - y = 2\)；(b) \(x + 2y = 16\)；(c) \(10x - 15y = 9\)

10.19. 将以下方程改写为斜截式：

答： (a) \(y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{7}{6}\)；(b) \(y = \dfrac{3}{5}x - 3\)；(c) \(y = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{9}{8}\)

10.20. 求满足以下条件的直线方程（标准式）：

  1. 水平线，过 \(\left(\dfrac{2}{3}, \dfrac{3}{4}\right)\)。

  2. 斜率为 \(-0.3\)，过 \((1.3, -5.6)\)。

  3. \(x\) 轴截距为 \(7\)，斜率为 \(-4\)。

  4. 平行于 \(y = 3 - 2x\)，过原点。

  5. 垂直于 \(3x - 5y = 7\)，过 \(\left(-\dfrac{5}{2}, \dfrac{8}{3}\right)\)。

  6. 过 \((a, b)\) 和 \((c, d)\)。

答： (a) \(4y = 3\)；(b) \(30x + 100y = -521\)；(c) \(4x + y = 28\)；(d) \(2x + y = 0\)；(e) \(10x + 6y = -9\)；(f) \((b-d)x + (c-a)y = (b-d)a + (c-a)b\)

10.21. 求满足以下条件的直线方程（斜截式）：

  1. 水平线，过 \((-3, 8)\)。(b) 斜率为 \(-\dfrac{2}{3}\)，过 \((-5, 1)\)。(c) \(x\) 轴截距为 \(-2\)，斜率为 \(\dfrac{1}{2}\)。(d) 平行于 \(2x + 5y = 1\)，过 \((2, -8)\)。(e) 垂直于 \(y = \dfrac{3}{8}x - 1\)，过 \((6, 0)\)。

答： (a) \(y = 8\)；(b) \(y = -\dfrac{2}{3}x - \dfrac{7}{3}\)；(c) \(y = \dfrac{1}{2}x + 1\)；(d) \(y = -\dfrac{2}{5}x - \dfrac{36}{5}\)；(e) \(y = -\dfrac{8}{3}x + 16\)

10.22. 求以下直线的斜率和 \(y\) 轴截距：(a) \(y = 5 - 3x\)；(b) \(2x + 6y = 9\)；(c) \(x + 5 = 0\)。

答： (a) 斜率 \(-3\)，截距 \(5\)；(b) 斜率 \(-\dfrac{1}{3}\)，截距 \(\dfrac{3}{2}\)；(c) 斜率不存在，无 \(y\) 轴截距

10.23. 过 \((4, 3)\) 的直线在第一象限内与坐标轴正半轴围成面积为 \(27\) 的三角形，求该直线所有可能的斜率。

答： \(-\dfrac{3}{2}\) 或 \(-\dfrac{3}{8}\)

10.24. 将上题中面积改为 \(24\)，求可能的斜率。

答： 唯一可能斜率为 \(-\dfrac{3}{4}\)。

10.25. 利用切线垂直于半径的性质，求以下圆的切线方程：

  1. 圆 \(x^2 + y^2 = 25\) 在 \((-3, 4)\) 处的切线。(b) 圆 \((x-2)^2 + (y+4)^2 = 4\) 在 \((2, -2)\) 处的切线。

答： (a) \(3x - 4y = -25\)；(b) \(y = -2\)

10.26. 在微积分中可证曲线 \(y = x^3\) 在点 \((a, a^3)\) 处切线斜率为 \(3a^2\)。求 \(y = x^3\) 在以下点处的切线方程：(a) \((2, 8)\)；(b) \((a, a^3)\)。

答： (a) \(y = 12x - 16\)；(b) \(y = 3a^2 x - 2a^3\)

10.27. 曲线在切点处垂直于切线的直线称为法线。求 \(y = x^3\) 在 \((2, 8)\) 处的法线方程。

答： \(y = -\dfrac{1}{12}x + \dfrac{49}{6}\)

10.28. 三角形的高是从顶点向对边所作的垂线。求从 \(A(0, 0)\) 到边 \(BC\)（\(B(3,4)\)，\(C(5,-2)\)）的高的方程。

答： \(x - 3y = 0\)

10.29. 三角形的中线是从顶点向对边中点所作的线段。求从 \(A(5, -2)\) 到边 \(BC\)（\(B(-3,9)\)，\(C(4,-7)\)）中点的中线方程。

答： \(2x + 3y = 4\)

10.30. 已知 \(f(5) = -7\)，\(f(-5) = 10\)，求线性函数的规则。

答： \(f(x) = -\dfrac{17}{10}x + \dfrac{3}{2}\)

10.31. 已知 \(f(0) = a\)，\(f(c) = b\)，求线性函数的规则。

答： \(f(x) = \dfrac{b - a}{c}x + a\)

10.32. 在折旧问题中，设备在使用期结束后仍有残值。

  1. 设 \(t = 0\) 时价值为 \(V_0\)，\(20\) 年后残值为 \(R\)，求 \(V(t)\) 的规则。

  2. 设备初始价值 \(7500\) 美元，\(20\) 年后残值 \(500\) 美元，求 \(12\) 年后的价值。

答： (a) \(V(t) = \dfrac{R - V_0}{20}t + V_0\)；(b) \(3300\) 美元