第十一章 函数变换与图形

函数变换与图形

基本变换

许多函数的图形可以看作是由更基本的图形经过一种或多种基本变换而得到的。本章介绍的基本变换包括：平移、伸缩与压缩以及关于坐标轴的反射。

基本函数

给定基本函数 \(y = f(x)\)，其图形如图 11-1 所示，以下变换对图形有明确的效果。

竖直平移

\(y = f(x) + k\)（\(k > 0\)）的图形与 \(y = f(x)\) 的图形相比，向上平移 \(k\) 个单位。

\(y = f(x) + k\)（\(k < 0\)）的图形与 \(y = f(x)\) 的图形相比，向下平移 \(|k|\) 个单位。

例 11.1 对图 11-1 所示的基本函数，在同一坐标系中画出：\(y = f(x)\) 与 \(y = f(x) + 2\)（图 11-2）；\(y = f(x)\) 与 \(y = f(x) - 2.5\)（图 11-3）。

竖直伸缩与压缩

\(y = af(x)\)（\(a > 1\)）的图形与 \(y = f(x)\) 的图形相比，沿 \(y\) 轴方向伸展，伸展因子为 \(a\)。

\(y = af(x)\)（\(0 < a < 1\)）的图形与 \(y = f(x)\) 的图形相比，沿 \(y\) 轴方向压缩，压缩因子为 \(1/a\)。

例 11.2 对图 11-1 所示的基本函数，在同一坐标系中画出：\(y = f(x)\) 与 \(y = 2f(x)\)（图 11-4）；\(y = f(x)\) 与 \(y = \dfrac{1}{3}f(x)\)（图 11-5）。

水平平移

\(y = f(x + h)\)（\(h > 0\)）的图形与 \(y = f(x)\) 的图形相比，向左平移 \(h\) 个单位。

\(y = f(x - h)\)（\(h > 0\)）的图形与 \(y = f(x)\) 的图形相比，向右平移 \(h\) 个单位。

例 11.3 对图 11-1 所示的基本函数，在同一坐标系中画出：\(y = f(x)\) 与 \(y = f(x + 2)\)（图 11-6）；\(y = f(x)\) 与 \(y = f(x - 1)\)（图 11-7）。

水平伸缩与压缩

\(y = f(ax)\)（\(a > 1\)）的图形与 \(y = f(x)\) 的图形相比，沿 \(x\) 轴方向压缩，压缩因子为 \(a\)。

\(y = f(ax)\)（\(0 < a < 1\)）的图形与 \(y = f(x)\) 的图形相比，沿 \(x\) 轴方向伸展，伸展因子为 \(1/a\)。

例 11.4 对图 11-1 所示的基本函数，在同一坐标系中画出：\(y = f(x)\) 与 \(y = f(2x)\)（图 11-8）；\(y = f(x)\) 与 \(y = f\left(\dfrac{1}{2}x\right)\)（图 11-9）。

关于坐标轴的反射

\(y = -f(x)\) 的图形是 \(y = f(x)\) 的图形关于 \(x\) 轴的反射。

\(y = f(-x)\) 的图形是 \(y = f(x)\) 的图形关于 \(y\) 轴的反射。

例 11.5 对图 11-1 所示的基本函数，在同一坐标系中画出：\(y = f(x)\) 与 \(y = -f(x)\)（图 11-10）；\(y = f(x)\) 与 \(y = f(-x)\)（图 11-11）。

已解例题

11.1. 解释为什么当 \(h > 0\) 时，\(y = f(x) + h\) 的图形相对 \(y = f(x)\) 向上平移 \(h\) 个单位，而 \(y = f(x + h)\) 的图形向左平移 \(h\) 个单位。

考虑 \(y = f(x)\) 上的点 \((a, f(a))\)。\(y = f(x) + h\) 上对应点为 \((a, f(a) + h)\)，其 \(y\) 坐标比原点多 \(h\)，故向上平移 \(h\) 个单位。

对于 \(y = f(x + h)\)，考虑 \(x\) 坐标为 \(a - h\) 的点，其 \(y\) 坐标为 \(f(a - h + h) = f(a)\)，点 \((a - h, f(a))\) 的 \(x\) 坐标比原点 \((a, f(a))\) 少 \(h\)，故向左平移 \(h\) 个单位。

11.2. 解释为什么偶函数的图形关于 \(y\) 轴反射后不变。

关于 \(y\) 轴的反射将 \(y = f(x)\) 变为 \(y = f(-x)\)。对于偶函数，\(f(-x) = f(x)\)，故图形不变。

11.3. 解释为什么奇函数的图形关于 \(x\) 轴或 \(y\) 轴反射的效果完全相同。

关于 \(x\) 轴的反射将图形变为 \(y = -f(x)\)；关于 \(y\) 轴的反射将图形变为 \(y = f(-x)\)。对于奇函数，\(f(-x) = -f(x)\)，故两种反射效果相同。

11.4. 已知 \(y = |x|\) 的图形（图 11-12），画出以下函数的图形：

1. \(y = |x| - 1\)；(b) \(y = |x - 2|\)；(c) \(y = |x + 2| - 1\)；(d) \(y = -2|x| + 3\)。

2. \(y = |x| - 1\)（图 11-13）是 \(y = |x|\) 向下平移 \(1\) 个单位。

3. \(y = |x - 2|\) 是 \(y = |x|\) 向右平移 \(2\) 个单位。

4. \(y = |x + 2| - 1\)（图 11-15）是 \(y = |x|\) 向左平移 \(2\) 个单位后再向下平移 \(1\) 个单位。

5. \(y = -2|x| + 3\)（图 11-16）是 \(y = |x|\) 以 \(y\) 轴为对称轴伸展 \(2\) 倍，关于 \(x\) 轴反射，再向上平移 \(3\) 个单位。

11.5. 已知 \(y = \sqrt{x}\) 的图形（图 11-17），画出以下函数的图形：

1. \(y = \sqrt{-x}\)；(b) \(y = -3\sqrt{x}\)；(c) \(y = \dfrac{1}{2}\sqrt{x + 3}\)；(d) \(y = -1.5\sqrt{x - 1} + 2\)。

2. \(y = \sqrt{-x}\)（图 11-18）是 \(y = \sqrt{x}\) 关于 \(y\) 轴的反射。

3. \(y = -3\sqrt{x}\)（图 11-19）是 \(y = \sqrt{x}\) 沿 \(y\) 轴伸展 \(3\) 倍后关于 \(x\) 轴反射。

4. \(y = \dfrac{1}{2}\sqrt{x + 3}\)（图 11-20）是 \(y = \sqrt{x}\) 向左平移 \(3\) 个单位，再沿 \(y\) 轴压缩 \(2\) 倍。

5. \(y = -1.5\sqrt{x - 1} + 2\)（图 11-21）是 \(y = \sqrt{x}\) 向右平移 \(1\) 个单位，伸展 \(1.5\) 倍后关于 \(x\) 轴反射，再向上平移 \(2\) 个单位。

11.6. 已知 \(y = x^3\) 的图形（图 11-22），画出以下函数的图形：

1. \(y = 4 - x^3\)；(b) \(y = \left(\dfrac{1}{2}x\right)^3 - \dfrac{1}{2}\)。

2. \(y = 4 - x^3\)（图 11-23）是 \(y = x^3\) 关于 \(x\) 轴反射后向上平移 \(4\) 个单位。

3. \(y = \left(\dfrac{1}{2}x\right)^3 - \dfrac{1}{2}\)（图 11-24）是 \(y = x^3\) 沿 \(x\) 轴伸展 \(2\) 倍后向下平移 \(\dfrac{1}{2}\) 个单位。

补充习题

11.7. 已知 \(y = x^{1/3}\) 的图形（图 11-25），画出以下函数的图形：

1. \(y = 2x^{1/3} + 1\)；(b) \(y = 2(x+1)^{1/3}\)；(c) \(y = 2 - x^{1/3}\)；(d) \(y = (-2x)^{1/3} - 1\)。

答： (a) 见图 11-26；(b) 见图 11-27；(c) 见图 11-28；(d) 见图 11-29。

11.8. (a) 描述 \(y = |f(x)|\) 的图形与 \(y = f(x)\) 的图形的关系。(b) 已知 \(y = x^2\) 的图形（图 11-30），先画 \(y = x^2 - 4\) 的图形，再画 \(y = |x^2 - 4|\) 的图形。

答： (a) \(x\) 轴以上的部分与原图相同，\(x\) 轴以下的部分关于 \(x\) 轴反射到轴上方。

2. 见图 11-31 和图 11-32。

11.9. (a) 描述 \(x = f(y)\) 的图形与 \(y = f(x)\) 的图形的关系。(b) 由上题图形，画出 \(x = y^2\) 和 \(x = |y^2 - 4|\) 的图形。

答： (a) 图形关于直线 \(y = x\) 反射。

2. 见图 11-33 和图 11-34。