第十二章 二次函数

二次函数

二次函数的定义

二次函数是指由如下规则指定的函数：\(f: x \to ax^2 + bx + c\)，其中 \(a \neq 0\)。\(ax^2 + bx + c\) 的形式称为标准形式。

例 12.1 \(f(x) = x^2\)、\(f(x) = 3x^2 - 2x + 15\)、\(f(x) = -3x^2 + 5\)、\(f(x) = -2(x+5)^2\) 都是二次函数。\(f(x) = 3x + 5\) 和 \(f(x) = x^3\) 是非二次函数。

基本二次函数

基本二次函数是 \(f(x) = x^2\) 和 \(f(x) = -x^2\)。每个函数的图形都是以原点 \((0, 0)\) 为顶点、\(y\) 轴为对称轴的抛物线（图 12-1 和图 12-2）。

一般二次函数的图形

任何二次函数都可以通过配方改写为 \(f(x) = a(x - h)^2 + k\) 的形式。因此，任何二次函数的图形都可以看作是对两个基本函数 \(f(x) = x^2\) 或 \(f(x) = -x^2\) 的图形进行简单变换的结果，即一抛物线。

例 12.2 二次函数 \(f(x) = 2x^2 - 12x + 4\) 可以改写为：

\[\begin{aligned} f(x) &= 2x^2 - 12x + 4 \\ &= 2(x^2 - 6x) + 4 \\ &= 2(x^2 - 6x + 9) - 18 + 4 \\ &= 2(x-3)^2 - 14 \end{aligned}\]

开口向上的抛物线

\(f(x) = a(x - h)^2 + k\)（\(a > 0\)）的图形与基本二次函数 \(f(x) = x^2\) 的图形相比，伸展（若 \(a > 1\)）或压缩（若 \(0 < a < 1\)）后，顶点从 \((0, 0)\) 移动到 \((h, k)\)，图形关于直线 \(x = h\) 对称。这种抛物线称为开口向上的抛物线。

开口向下的抛物线

\(f(x) = a(x - h)^2 + k\)（\(a < 0\)）的图形与基本二次函数 \(f(x) = -x^2\) 的图形相比，伸展（若 \(|a| > 1\)）或压缩（若 \(0 < |a| < 1\)）后，顶点从 \((0, 0)\) 移动到 \((h, k)\)，图形关于直线 \(x = h\) 对称。这种抛物线称为开口向下的抛物线。

最大值与最小值

当 \(a > 0\) 时，\(f(x) = a(x - h)^2 + k\) 的最小值为 \(k\)，在 \(x = h\) 时取得。

当 \(a < 0\) 时，\(f(x) = a(x - h)^2 + k\) 的最大值为 \(k\)，在 \(x = h\) 时取得。

例 12.3 考虑函数 \(f(x) = x^2 + 4x - 7\)。配方得 \(f(x) = (x+2)^2 - 11\)。图形是 \(f(x) = x^2\) 向左平移 \(2\) 个单位、向下平移 \(11\) 个单位后的结果（图 12-3）。

图形是以 \((-2, -11)\) 为顶点、开口向上的抛物线。函数的最小值为 \(-11\)，在 \(x = -2\) 时取得。

例 12.4 考虑函数 \(f(x) = 6x - x^2\)。配方得 \(f(x) = -(x-3)^2 + 9\)（图 12-4）。图形是以 \((3, 9)\) 为顶点、开口向下的抛物线。函数的最大值为 \(9\)，在 \(x = 3\) 时取得。

定义域与值域

任何二次函数的定义域均为 \(\mathbb{R}\)。当 \(a > 0\) 时，函数的最小值为 \(k\)，值域为 \([k, +\infty)\)；当 \(a < 0\) 时，函数的最大值为 \(k\)，值域为 \((-\infty, k]\)。

已解例题

12.1. 证明抛物线 \(y = ax^2 + bx + c\) 的顶点位于 \(\left(-\dfrac{b}{2a}, \dfrac{4ac - b^2}{4a}\right)\)。

对 \(y = ax^2 + bx + c\) 配方：

\[\begin{aligned} y &= a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c \\ &= a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\right) - \frac{b^2}{4a} + c \\ &= a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a} \end{aligned}\]

故顶点坐标为 \(\left(-\dfrac{b}{2a}, \dfrac{4ac-b^2}{4a}\right)\)。

12.2. 分析 \(y = ax^2 + bx + c\) 图形的截距。

令 \(x = 0\)，得 \(y = c\)，故图形的 \(y\) 轴截距在 \((0, c)\)。

令 \(y = 0\)，方程变为 \(ax^2 + bx + c = 0\)，其解的个数取决于判别式 \(b^2 - 4ac\)：

• 若 \(b^2 - 4ac < 0\)：无实数解，图形无 \(x\) 轴截距；
• 若 \(b^2 - 4ac = 0\)：一个解 \(x = -b/(2a)\)，图形有一个 \(x\) 轴截距；
• 若 \(b^2 - 4ac > 0\)：两个解，图形有两个 \(x\) 轴截距，且关于直线 \(x = -b/(2a)\) 对称。

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

12.3. 证明当 \(a > 0\) 时，\(f(x) = a(x-h)^2 + k\) 的最小值为 \(k\)，在 \(x = h\) 时取得。

对所有实数 \(x\)，\(x^2 \geq 0\)，故 \((x - h)^2 \geq 0\)，其最小值在 \(x = h\) 时为 \(0\)。因此：

\[\begin{aligned} (x-h)^2 &\geq 0 \\ a(x-h)^2 &\geq 0 \quad (a > 0) \\ a(x-h)^2 + k &\geq k \end{aligned}\]

故最小值为 \(k\)，在 \(x = h\) 时取得。

12.4. 分析并画出二次函数 \(f(x) = 3x^2 - 5\) 的图形。

顶点为 \((0, -5)\)，开口向上。图形是基本抛物线 \(y = x^2\) 沿 \(y\) 轴伸展 \(3\) 倍后向下平移 \(5\) 个单位（图 12-5）。

12.5. 分析并画出二次函数 \(f(x) = -1 - \dfrac{1}{3}x^2\) 的图形。

改写为 \(f(x) = -\dfrac{1}{3}x^2 - 1\)，顶点为 \((0, -1)\)，开口向下。图形是基本抛物线 \(y = -x^2\) 沿 \(y\) 轴压缩 \(3\) 倍后向下平移 \(1\) 个单位（图 12-6）。

12.6. 分析并画出二次函数 \(f(x) = 2x^2 - 6x\) 的图形。

配方：

\[f(x) = 2\left(x^2 - 3x\right) = 2\left(x^2 - 3x + \frac{9}{4}\right) - \frac{9}{2} = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{2}\]

顶点为 \(\left(\dfrac{3}{2}, -\dfrac{9}{2}\right)\)，开口向上（图 12-7）。

12.7. 分析并画出二次函数 \(f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + 2x + 3\) 的图形。

配方：

\[f(x) = \frac{1}{2}(x^2 + 4x) + 3 = \frac{1}{2}(x + 2)^2 + 1\]

顶点为 \((-2, 1)\)，开口向上（图 12-8）。

12.8. 分析并画出二次函数 \(f(x) = -2x^2 + 4x + 5\) 的图形。

配方：\(f(x) = -2(x - 1)^2 + 7\)，顶点为 \((1, 7)\)，开口向下（图 12-9）。

12.9. 说明习题 12.4—12.8 中各二次函数的定义域和值域。

• 习题 12.4：\(f(x) = 3x^2 - 5\)，最小值为 \(-5\)，定义域为 \(\mathbb{R}\)，值域为 \([-5, +\infty)\)。
• 习题 12.5：\(f(x) = -\dfrac{1}{3}x^2 - 1\)，最大值为 \(-1\)，定义域为 \(\mathbb{R}\)，值域为 \((-\infty, -1]\)。
• 习题 12.6：\(f(x) = 2x^2 - 6x\)，最小值为 \(-\dfrac{9}{2}\)，定义域为 \(\mathbb{R}\)，值域为 \(\left[-\dfrac{9}{2}, +\infty\right)\)。
• 习题 12.7：\(f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + 2x + 3\)，最小值为 \(1\)，定义域为 \(\mathbb{R}\)，值域为 \([1, +\infty)\)。
• 习题 12.8：\(f(x) = -2x^2 + 4x + 5\)，最大值为 \(7\)，定义域为 \(\mathbb{R}\)，值域为 \((-\infty, 7]\)。

12.10. 一块矩形田地，一边沿直河，另外三边用篱笆围成，共有 \(100\) 英尺篱笆，求面积最大时的尺寸。

设两条等长边各长 \(x\)，则面积 \(A = x(100 - 2x) = -2x^2 + 100x\)，配方得 \(A = -2(x-25)^2 + 1250\)，最大面积 \(1250\) 平方英尺，此时 \(x = 25\)，尺寸为 \(25 \times 50\) 英尺。

12.11. 在上题中，面积函数 \(A(x)\) 的定义域是什么？在此定义域上画出函数图形。

面积为正要求 \(x > 0\) 且 \(100 - 2x > 0\)，故定义域为 \(\{x \in \mathbb{R} \mid 0 < x < 50\}\)。

12.12. 一抛射体以初速度 \(144\ \text{ft/sec}\) 从地面向上投出，\(t\) 秒后的高度为 \(h(t) = -16t^2 + 144t\)。求最大高度及落地时间。

配方：\(h(t) = -16\left(t - \dfrac{9}{2}\right)^2 + 324\)，最大高度为 \(324\) 英尺，在 \(t = \dfrac{9}{2}\) 秒时取得。

令 \(h(t) = 0\)：\(-16t(t - 9) = 0\)，得 \(t = 0\)（出发）或 \(t = 9\)，故 \(9\) 秒后落地。

12.13. 一悬索桥的缆索在两塔之间呈抛物线形状。两塔相距 \(400\) 英尺，高出路面 \(100\) 英尺，缆索中点距路面 \(10\) 英尺，建立如图 12-12 所示的坐标系。

1. 求该坐标系中抛物线方程。

2. 求距桥中点 \(50\) 英尺处的缆索高度。

3. 顶点在 \((0, 10)\)，方程为 \(y = ax^2 + 10\)。代入点 \((200, 100)\)：\(100 = a(200)^2 + 10\)，解得 \(a = \dfrac{9}{4000}\)，故方程为 \(y = \dfrac{9x^2}{4000} + 10\)。

4. 代入 \(x = 50\)：\(y = \dfrac{9(50)^2}{4000} + 10 = 15.625\) 英尺。

12.14. 求两个实数，使其和为 \(S\) 且乘积最大。

设一个数为 \(x\)，另一个为 \(S - x\)，乘积 \(P(x) = x(S-x) = -x^2 + Sx\)，配方得 \(P(x) = -(x - S/2)^2 + S^2/4\)，最大值在 \(x = S/2\) 时取得，两数均为 \(S/2\)。

12.15. 某推销员每周拜访 \(20\) 家商店时，每店平均销售 \(30\) 件；每多拜访一家，每店销售减少 \(1\) 件。每周拜访多少家商店时总销售量最大？

设多拜访 \(x\) 家，总销售量 \(S(x) = (30 - x)(20 + x) = 600 + 10x - x^2\)，配方得 \(S(x) = -(x-5)^2 + 625\)，\(x = 5\) 时最大，应共拜访 \(25\) 家。

补充习题

12.16. 证明当 \(a < 0\) 时，\(f(x) = a(x-h)^2 + k\) 的最大值为 \(k\)，在 \(x = h\) 时取得。

12.17. 求二次函数 \(f(x) = x^2 + 6x + 9\) 的最大/最小值并画图。

答： 最小值为 \(0\)，在 \(x = -3\) 时取得（见图 12-13）。

12.18. 求二次函数 \(f(x) = 6x^2 - 15x\) 的最大/最小值并画图。

答： 最小值为 \(-\dfrac{75}{8}\)，在 \(x = \dfrac{5}{4}\) 时取得（见图 12-14）。

12.19. 求二次函数 \(f(x) = -\dfrac{3}{2}x^2 - \dfrac{4}{3}x + 6\) 的最大/最小值并画图。

答： 最大值为 \(\dfrac{170}{27}\)，在 \(x = -\dfrac{4}{9}\) 时取得（见图 12-15）。

12.20. 说明各二次函数的定义域和值域：

答： (a) 定义域 \(\mathbb{R}\)，值域 \([5, +\infty)\)；(b) 定义域 \(\mathbb{R}\)，值域 \((-\infty, -7]\)；(c) 定义域 \(\mathbb{R}\)，值域 \((-\infty, 6]\)；(d) 定义域 \(\mathbb{R}\)，值域 \([-16, +\infty)\)

12.21. 一抛射体从 \(72\) 英尺高处以初速度 \(160\ \text{ft/sec}\) 向上投出，高度 \(h(t) = -16t^2 + 160t + 72\)。求最大高度、达到最大高度的时间及落地时间。

答： 最大高度 \(472\) 英尺；达到最大高度时间 \(5\) 秒；落地时间 \(5 + \sqrt{118/2} \approx 10.4\) 秒。

12.22. 用 \(1500\) 英尺链式围栏建造如图 12-16 所示的六个动物笼，将总面积表示为宽度 \(x\) 的函数，求面积的最大值及对应尺寸。

答： 面积 \(A(x) = \dfrac{1}{4}x(1500 - 3x)\)；最大面积 \(46875\) 平方英尺；尺寸 \(250 \times 187.5\) 英尺。

12.23. 求两实数，使其差为 \(S\) 且乘积最小。

答： \(S/2\) 和 \(-S/2\)

12.24. 某篮球队每张票售价 \(25\) 美元时，平均每场上座率为 \(400\) 人；每降价 \(0.50\) 美元，上座率增加 \(10\) 人。票价定为多少时收入最大？

答： \(22.50\) 美元