第十三章 函数的代数运算与反函数

函数的代数运算与反函数

函数的代数组合

给定两个函数 \(f\) 和 \(g\)，可以定义它们的和、差、积、商函数如下：

名称 定义 定义域
和 \((f+g)(x) = f(x) + g(x)\) \(f\) 和 \(g\) 定义域的公共部分
差 \((f-g)(x) = f(x) - g(x)\) \(f\) 和 \(g\) 定义域的公共部分
差 \((g-f)(x) = g(x) - f(x)\) \(f\) 和 \(g\) 定义域的公共部分
积 \((fg)(x) = f(x)g(x)\) \(f\) 和 \(g\) 定义域的公共部分
商 \(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}\) \(f\) 和 \(g\) 定义域的公共部分，且 \(g(x) \neq 0\)
商 \(\left(\dfrac{g}{f}\right)(x) = \dfrac{g(x)}{f(x)}\) \(f\) 和 \(g\) 定义域的公共部分，且 \(f(x) \neq 0\)

例 13.1 已知 \(f(x) = x^2\)，\(g(x) = \sqrt{x-2}\)，求 \((f+g)(x)\) 和 \((f/g)(x)\)，并说明定义域。

\((f+g)(x) = x^2 + \sqrt{x-2}\)，定义域为 \(\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 2\}\)。

\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{x^2}{\sqrt{x-2}}\)，定义域为 \(\{x \in \mathbb{R} \mid x > 2\}\)。

复合函数的定义

两个函数 \(f\) 和 \(g\) 的复合函数 \(f \circ g\) 定义为：

\[f \circ g(x) = f(g(x))\]

\(f \circ g\) 的定义域是 \(g\) 的定义域中满足 \(g(x)\) 在 \(f\) 的定义域内的所有 \(x\) 的集合。

例 13.2 已知 \(f(x) = 3x - 8\)，\(g(x) = 1 - x^2\)，求 \(f \circ g\) 及其定义域。

\(f \circ g(x) = f(1 - x^2) = 3(1 - x^2) - 8 = -5 - 3x^2\)，定义域为 \(\mathbb{R}\)。

例 13.3 已知 \(f(x) = x^2\)，\(g(x) = \sqrt{x-5}\)，求 \(f \circ g\) 及其定义域。

\(f \circ g(x) = (\sqrt{x-5})^2 = x - 5\)，定义域为 \(\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 5\}\)。

一一对应函数

定义域为 \(D\)、值域为 \(R\) 的函数称为一一对应函数（单射函数），若 \(D\) 中每个元素与 \(R\) 中恰好一个元素对应。

例 13.4 设 \(f(x) = x^2\)，\(g(x) = 2x\)。证明 \(f\) 不是一一对应函数，\(g\) 是一一对应函数。

由于 \(f(3) = f(-3) = 9\)，\(3\) 和 \(-3\) 对应同一个值，\(f\) 不是一一对应。对 \(g\)，若 \(2u = 2v\)，则 \(u = v\)，故 \(g\) 是一一对应。

等价条件：

  1. 只要 \(f(u) = f(v)\)，就有 \(u = v\)；
  2. 只要 \(u \neq v\)，就有 \(f(u) \neq f(v)\)。

水平线检验

若某条水平线 \(y = c\) 与函数图形的交点超过一个，则该函数不是一一对应函数。

反函数的定义

设 \(f\) 是定义域为 \(D\)、值域为 \(R\) 的一一对应函数。对 \(R\) 中每个 \(y\)，有唯一 \(x \in D\) 使 \(y = f(x)\)，定义函数 \(g\)，其定义域为 \(R\)、值域为 \(D\)，且 \(g(y) = x\)。\(g\) 称为 \(f\) 的反函数。

函数与反函数的关系

若 \(g\) 是 \(f\) 的反函数，则：

  1. \(g(f(x)) = x\)，对所有 \(x \in D\) 成立；
  2. \(f(g(y)) = y\)，对所有 \(y \in R\) 成立。

反函数的记号

若 \(f\) 是一一对应函数，其反函数记为 \(f^{-1}\)。则 \(x = f^{-1}(y)\) 当且仅当 \(y = f(x)\)，且：

  1. \(f^{-1}(f(x)) = x\)，对所有 \(x \in D\) 成立；
  2. \(f(f^{-1}(y)) = y\)，对所有 \(y \in R\) 成立。

求反函数的步骤

  1. 验证 \(f\) 是一一对应函数。
  2. 解方程 \(y = f(x)\) 得 \(x = f^{-1}(y)\)。
  3. 交换 \(x\) 和 \(y\)，得 \(y = f^{-1}(x)\)。

例 13.5 求 \(f(x) = 3x - 1\) 的反函数。

先验证 \(f\) 是一一对应：若 \(f(u) = f(v)\)，则 \(3u - 1 = 3v - 1\)，故 \(u = v\)，确实是一一对应。

解 \(y = 3x - 1\) 得 \(x = \dfrac{y+1}{3}\)，交换 \(x\) 和 \(y\)：\(y = f^{-1}(x) = \dfrac{x+1}{3}\)。

反函数的图形

\(y = f(x)\) 与 \(y = f^{-1}(x)\) 的图形关于直线 \(y = x\) 对称。

已解例题

13.1. 已知 \(f(x) = ax + b\)，\(g(x) = cx + d\)（\(a, c \neq 0\)），求 \(f+g\)，\(f-g\)，\(fg\)，\(f/g\) 及其定义域。

\[\begin{aligned} (f+g)(x) &= (a+c)x + (b+d) \\ (f-g)(x) &= (a-c)x + (b-d) \\ (fg)(x) &= acx^2 + (ad+bc)x + bd \end{aligned}\]

以上三者定义域均为 \(\mathbb{R}\)。\((f/g)(x) = \dfrac{ax+b}{cx+d}\)，定义域为 \(\left\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq -\dfrac{d}{c}\right\}\)。

13.2. 已知 \(f(x) = \dfrac{x+1}{x^2-4}\)，\(g(x) = \dfrac{2}{x}\)，求 \(f+g\)，\(f-g\)，\(fg\)，\(f/g\) 及其定义域。

\[\begin{aligned} (f+g)(x) &= \frac{3x^2+x-8}{x(x^2-4)} \\ (f-g)(x) &= \frac{-x^2+x+8}{x(x^2-4)} \\ (fg)(x) &= \frac{2x+2}{x(x^2-4)} \end{aligned}\]

以上三者定义域均为 \(\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq -2, 2, 0\}\)。

\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{x^2+x}{2x^2-8}\)，定义域同为 \(\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq -2, 2, 0\}\)（因 \(g(x)\) 永不为零）。

13.3. 若 \(f\) 和 \(g\) 是偶函数，证明 \(f+g\) 和 \(fg\) 也是偶函数。

\((f+g)(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = (f+g)(x)\)，故 \(f+g\) 是偶函数。

\((fg)(-x) = f(-x)g(-x) = f(x)g(x) = (fg)(x)\)，故 \(fg\) 是偶函数。

13.4. 已知 \(f(x) = \sqrt{1-x}\)，\(g(x) = \sqrt{x^2-4}\)，求 \(g+f\)，\(g-f\)，\(gf\)，\(f/g\) 及其定义域。

\[\begin{aligned} (g+f)(x) &= \sqrt{x^2-4} + \sqrt{1-x} \\ (g-f)(x) &= \sqrt{x^2-4} - \sqrt{1-x} \\ (gf)(x) &= \sqrt{x^2-4} \cdot \sqrt{1-x} \end{aligned}\]

\(f\) 的定义域为 \(\{x \leq 1\}\)，\(g\) 的定义域为 \(\{x \leq -2 \text{ 或 } x \geq 2\}\)，公共定义域为 \(\{x \leq -2\}\)。

\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{x^2-4}}\)，定义域为 \(\{x < -2\}\)。

13.5. 已知 \(f(x) = x^4\)，\(g(x) = 3x + 5\)，求 \(f \circ g\) 和 \(g \circ f\) 及其定义域。

\[f \circ g(x) = (3x+5)^4, \quad g \circ f(x) = 3x^4 + 5\]

两者定义域均为 \(\mathbb{R}\)。

13.6. 已知 \(f(x) = |x|\)，\(g(x) = -5\)，求 \(f \circ g\) 和 \(g \circ f\) 及其定义域。

\(f \circ g(x) = |-5| = 5\)，\(g \circ f(x) = -5\)，定义域均为 \(\mathbb{R}\)。

13.7. 已知 \(f(x) = \sqrt{x-6}\)，\(g(x) = x^2 + 5x\)，求 \(f \circ g\) 和 \(g \circ f\) 及其定义域。

\(f \circ g(x) = \sqrt{x^2+5x-6}\)，定义域为 \(\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 1 \text{ 或 } x \leq -6\}\)。

\(g \circ f(x) = x - 6 + 5\sqrt{x-6}\)，定义域为 \(\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 6\}\)。

13.8. 已知 \(f(x) = |x-1|\)，\(g(x) = 1/x\)，求 \(f \circ g\) 和 \(g \circ f\) 及其定义域。

\(f \circ g(x) = \left|\dfrac{1-x}{x}\right|\)，定义域为 \(\{x \neq 0\}\)。

\(g \circ f(x) = \dfrac{1}{|x-1|}\)，定义域为 \(\{x \neq 1\}\)。

13.9. 已知 \(f(x) = \sqrt{x^2+5}\)，\(g(x) = \sqrt{4-x^2}\)，求 \(f \circ g\) 和 \(g \circ f\) 及其定义域。

\(f \circ g(x) = \sqrt{9-x^2}\)，定义域为 \(\{-2 \leq x \leq 2\}\)。

\(g \circ f(x) = \sqrt{-1-x^2}\)，因 \(-1 - x^2\) 对所有实数 \(x\) 为负，定义域为空集。

13.10. 为以下各式找出复合函数形式：

  1. \(y = (5x-3)^4\)：令 \(y = u^4\)，\(u = 5x-3\)，则 \(y = f(g(x))\)。

  2. \(y = \sqrt{1-x^2}\)：令 \(y = \sqrt{u}\)，\(u = 1-x^2\)，则 \(y = f(g(x))\)。

  3. \(y = \dfrac{1}{(x^2-5x+6)^{2/3}}\)：令 \(y = u^{-2/3}\)，\(u = x^2-5x+6\)，则 \(y = f(g(x))\)。

13.11. 一个球形气球以 \(6\pi\ \text{ft}^3/\text{min}\) 的速率充气，设 \(t = 0\) 时 \(r = 0\)，将半径 \(r\) 表示为时间 \(t\) 的函数。

由 \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\) 得 \(r = \sqrt[3]{\dfrac{3V}{4\pi}}\)，又 \(V = 6\pi t\)，故 \(r = f(g(t)) = \sqrt[3]{\dfrac{9t}{2}}\) 英尺。

13.12. 某商品的收入函数 \(R(x) = 20x - x^2/200\)，成本函数 \(C(x) = 4x + 8000\)，求利润函数。

\[P(x) = R(x) - C(x) = -x^2/200 + 16x - 8000\]

13.13. 由上题，若需求 \(x\) 与价格 \(p\) 的关系为 \(x = f(p) = 4000 - 200p\)（\(0 \leq p \leq 20\)），将利润写成价格 \(p\) 的函数。

\[F(p) = P \circ f(p) = -(4000-200p)^2/200 + 16(4000-200p) - 8000\]

13.14. 由上题，求使利润最大的价格及最大利润。

化简得 \(F(p) = -200p^2 + 4800p - 24000 = -200(p-12)^2 + 4800\)，在 \(p = 12\) 美元时利润最大为 \(4800\) 美元。

13.15. 证明每个递增函数在其定义域上都是一一对应函数。

设 \(f\) 是递增函数，对所有 \(a, b\) 在定义域中，若 \(a < b\) 则 \(f(a) < f(b)\)。若 \(u \neq v\)，则或 \(u < v\) 或 \(u > v\)，故 \(f(u) \neq f(v)\)，\(f\) 是一一对应函数。

13.16. 判断以下函数是否为一一对应函数：

  1. \(f(x) = 5\)：不是（\(f(2) = f(3) = 5\)）。

  2. \(f(x) = 5x\)：是（若 \(5u = 5v\)，则 \(u = v\)）。

  3. \(f(x) = x^2 + 5\)：不是（\(f(2) = f(-2) = 9\)）。

  4. \(f(x) = \sqrt{x-5}\)：是（若 \(\sqrt{u-5} = \sqrt{v-5}\)，则 \(u = v\)）。

13.17. 用函数-反函数关系验证 \(f\) 和 \(g\) 互为反函数，并在同一坐标系中画出 \(f\)、\(g\) 及直线 \(y = x\) 的图形。

  1. \(f(x) = 2x - 3\)，\(g(x) = \dfrac{x+3}{2}\)：

\(g(f(x)) = \dfrac{2x-3+3}{2} = x\)；\(f(g(y)) = 2 \cdot \dfrac{y+3}{2} - 3 = y\)，互为反函数（图 13-3）。

  1. \(f(x) = x^2 + 3\)（\(x \geq 0\)），\(g(x) = \sqrt{x-3}\)（\(x \geq 3\)）：

\(g(f(x)) = \sqrt{x^2} = x\)（在 \([0, +\infty)\) 上）；\(f(g(y)) = y\)，互为反函数（图 13-4）。

  1. \(f(x) = -\sqrt{4-x}\)（\(x \leq 4\)），\(g(x) = 4 - x^2\)（\(x \leq 0\)）：

\(g(f(x)) = 4 - (4-x) = x\)；\(f(g(y)) = -|y| = y\)（在 \((-\infty, 0]\) 上），互为反函数（图 13-5）。

13.18. 求以下一一对应函数的反函数：

  1. \(f(x) = 4x - 1\)：令 \(y = 4x - 1\)，解得 \(x = \dfrac{y+1}{4}\)，故 \(f^{-1}(x) = \dfrac{x+1}{4}\)。

  2. \(f(x) = \dfrac{2}{x+3}\)：令 \(y = \dfrac{2}{x+3}\)，解得 \(x = \dfrac{2}{y} - 3\)，故 \(f^{-1}(x) = \dfrac{2}{x} - 3\)。

  3. \(f(x) = x^2 - 9\)（\(x \geq 0\)）：令 \(y = x^2 - 9\)，解得 \(x = \sqrt{y+9}\)，故 \(f^{-1}(x) = \sqrt{x+9}\)。

  4. \(f(x) = 4 + (x+3)^2\)（\(x \leq -3\)）：令 \(y = 4 + (x+3)^2\)，解得 \(x = -3 - \sqrt{y-4}\)，故 \(f^{-1}(x) = -3 - \sqrt{x-4}\)。

13.19. \(F(x) = (x-4)^2\) 不是一一对应函数。将其定义域限制后求反函数：

  1. \(x \geq 4\)：\(f^{-1}(x) = 4 + \sqrt{x}\)，定义域 \([0, +\infty)\)。

  2. \(x \leq 4\)：\(f^{-1}(x) = 4 - \sqrt{x}\)，定义域 \([0, +\infty)\)。

补充习题

13.20. 若 \(f\) 和 \(g\) 是奇函数，证明 \(f+g\) 和 \(f-g\) 是奇函数，但 \(fg\) 和 \(f/g\) 是偶函数。

13.21. 已知 \(f(x) = \dfrac{3x-1}{5}\)，\(g(x) = \dfrac{5x+1}{3}\)，求 \(f \circ g\) 和 \(g \circ f\) 及其定义域。

答： \(f \circ g(x) = g \circ f(x) = x\)，定义域均为 \(\mathbb{R}\)。

13.22. 收入函数 \(R(x) = 60x - x^2/100\)，成本函数 \(C(x) = 15x + 40000\)，求利润函数。

答： \(P(x) = -x^2/100 + 45x - 40000\)

13.23. 由上题，设需求与价格关系为 \(x = 5000 - 50p\)（\(0 \leq p \leq 100\)），将利润写成价格 \(p\) 的函数。

答： \(F(p) = -(5000-50p)^2/100 + 45(5000-50p) - 40000\)

13.24. 由上题，求使利润最大的价格及最大利润。

答： 票价 \(55\) 美元时利润最大为 \(10625\) 美元。

13.25. 一根长 \(300\) 英尺、初始直径 \(5\) 英寸的电缆浸入海水中，因腐蚀表面积以 \(1250\ \text{in}^2/\text{年}\) 的速率减小，将直径 \(d\) 表示为时间 \(t\)（年）的函数。

答： \(d = 5 - \dfrac{25t}{72\pi}\) 英寸

13.26. 证明每个递减函数在其定义域上都是一一对应函数。

13.27. 若函数 \(f\) 是周期函数（存在非零实数 \(p\) 使 \(f(x+p) = f(x)\) 对所有 \(x\) 成立），证明 \(f\) 不是一一对应函数。

13.28. 证明 \(f^{-1}\) 和 \(f\) 的图形关于直线 \(y = x\) 互为反射：(a) 若 \(P(u,v)\) 在 \(f\) 图形上，则 \(Q(v,u)\) 在 \(f^{-1}\) 图形上；(b) \(PQ\) 的中点在直线 \(y = x\) 上；(c) 直线 \(PQ\) 垂直于 \(y = x\)。

13.29. 求以下一一对应函数的反函数：

  1. \(f(x) = 5 - 10x\)；(b) \(f(x) = \dfrac{4x}{x-2}\)；(c) \(f(x) = \dfrac{x+5}{3x-1}\)；(d) \(f(x) = 2 - x^3\)；(e) \(f(x) = \sqrt{9-x^2}\)（\(0 \leq x \leq 3\)）；(f) \(f(x) = 3 - \sqrt{x-2}\)

答： (a) \(f^{-1}(x) = \dfrac{5-x}{10}\)；(b) \(f^{-1}(x) = \dfrac{2x}{x-4}\)；(c) \(f^{-1}(x) = \dfrac{x+5}{3x-1}\)；(d) \(f^{-1}(x) = \sqrt[3]{2-x}\)；(e) \(f^{-1}(x) = \sqrt{9-x^2}\)（\(0 \leq x \leq 3\)）；(f) \(f^{-1}(x) = (3-x)^2 + 2\)（\(x \leq 3\)）

13.30. 求以下一一对应函数的反函数：

  1. \(f(x) = 2 + \sqrt{4-x^2}\)（\(0 \leq x \leq 2\)）；(b) \(f(x) = 2 + \sqrt{4-x^2}\)（\(-2 \leq x \leq 0\)）；(c) \(f(x) = 2 - \sqrt{4-x^2}\)（\(0 \leq x \leq 2\)）；(d) \(f(x) = 2 - \sqrt{4-x^2}\)（\(-2 \leq x \leq 0\)）

答： (a) \(f^{-1}(x) = \sqrt{4x - x^2}\)（\(2 \leq x \leq 4\)）；(b) \(f^{-1}(x) = -\sqrt{4x-x^2}\)（\(2 \leq x \leq 4\)）；(c) \(f^{-1}(x) = \sqrt{4x-x^2}\)（\(0 \leq x \leq 2\)）；(d) \(f^{-1}(x) = -\sqrt{4x-x^2}\)（\(0 \leq x \leq 2\)）