第十四章 多项式函数

多项式函数

多项式函数的定义

多项式函数是由如下规则指定的函数：\(f: x \to a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0\)，其中 \(a_n \neq 0\)。\(n\) 称为多项式函数的次数。多项式函数的定义域若无特别说明，为 \(\mathbb{R}\)。

特殊多项式函数

次数	方程	名称	图形
\(n = 0\)	\(f(x) = a_0\)	常数函数	水平直线
\(n = 1\)	\(f(x) = a_1 x + a_0\)	线性函数	斜率为 \(a_1\) 的直线
\(n = 2\)	\(f(x) = a_2 x^2 + a_1 x + a_0\)	二次函数	抛物线

整数幂函数

若 \(f\) 的次数为 \(n\) 且除 \(a_n\) 外所有系数均为零，则 \(f(x) = ax^n\)（\(a = a_n \neq 0\)）：

• \(n = 1\)：图形是过原点的直线；
• \(n = 2\)：图形是顶点在原点的抛物线；
• \(n\) 为奇整数：函数为奇函数；
• \(n\) 为偶整数：函数为偶函数。

例 14.1 画出图形：(a) \(f(x) = x^3\)；(b) \(f(x) = x^5\)；(c) \(f(x) = x^7\)（图 14-1、14-2、14-3）。

例 14.2 画出图形：(a) \(f(x) = x^4\)；(b) \(f(x) = x^6\)；(c) \(f(x) = x^8\)（图 14-4、14-5、14-6）。

多项式的零点

若 \(f(c) = 0\)，则 \(c\) 称为多项式 \(f(x)\) 的零点。

多项式的除法

若多项式 \(g(x)\) 是多项式 \(f(x)\) 的因子，则 \(f(x)\) 被 \(g(x)\) 整除。若不能整除，可用长除法求商式和余式。

例 14.3 求 \((2x^4 - x^2 - 2) \div (x^2 + 2x - 1)\) 的商式和余式。

\[2x^2 - 4x + 9 + \frac{-22x + 7}{x^2 + 2x - 1}\]

商式为 \(2x^2 - 4x + 9\)，余式为 \(-22x + 7\)。

多项式除法算法

若 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 是多项式且 \(g(x) \neq 0\)，则存在唯一多项式 \(q(x)\) 和 \(r(x)\)，使得：

\[f(x) = g(x)q(x) + r(x) \quad \text{且} \quad \frac{f(x)}{g(x)} = q(x) + \frac{r(x)}{g(x)}\]

其中 \(r(x) = 0\) 或 \(r(x)\) 的次数低于 \(g(x)\) 的次数。

例 14.4 求 \((x^3 - 5x^2 + 7x - 9) \div (x - 4)\) 的商式和余式。

商式为 \(x^2 - x + 3\)，余式为 \(3\)。

综合除法

将多项式 \(f(x)\) 除以 \(x - c\) 的综合除法（即合成除法）：

\[c \mid a_n \quad a_{n-1} \quad \cdots \quad a_1 \quad a_0\]

例 14.5 用综合除法求 \((x^3 - 5x^2 + 7x - 9) \div (x - 4)\) 的商式和余式。

\[4 \mid 1 \quad -5 \quad 7 \quad -9 \\ \phantom{4|} \quad 4 \quad -4 \quad 12 \\ \hline \quad 1 \quad -1 \quad 3 \quad 3\]

商式为 \(x^2 - x + 3\)，余式为 \(3\)。

余数定理

当多项式 \(f(x)\) 除以 \(x - c\) 时，余数等于 \(f(c)\)。

例 14.6 验证余数定理：\(f(x) = x^3 - 5x^2 + 7x - 9\) 除以 \(x - 4\)。

\(f(4) = 64 - 80 + 28 - 9 = 3\)，与上例余数一致。

因式定理

多项式 \(f(x)\) 有因子 \(x - c\) 当且仅当 \(f(c) = 0\)，即 \(c\) 是 \(f(x)\) 的零点。

例 14.7 用因式定理验证 \(x + 2\) 是 \(x^5 + 32\) 的因子。

\(f(-2) = (-2)^5 + 32 = 0\)，故 \(x + 2\) 是因子。

代数基本定理

每个正次数的复系数多项式至少有一个复零点。

代数基本定理的推论

1. 每个 \(n\) 次正次数多项式可以分解为 \(P(x) = a_n(x - r_1)(x - r_2) \cdots (x - r_n)\)，其中 \(r_i\) 不一定互不相同。若 \(x - r_i\) 出现 \(m\) 次，则 \(r_i\) 是 \(m\) 重零点。

2. \(n\) 次多项式至多有 \(n\) 个复零点（重零点按重数计则恰好有 \(n\) 个零点）。

关于零点的进一步定理

1. 若实系数多项式 \(P(x)\) 有复零点 \(z\)，则复共轭 \(\bar{z}\) 也是零点，即实系数多项式的复零点成共轭对出现。

2. 任何 \(n > 0\) 次实系数多项式都有用线性和二次因子构成的完全分解。

3. 有理零点定理：若整系数多项式 \(P(x) = a_n x^n + \cdots + a_0\) 有有理零点 \(r = p/q\)（最简分数），则 \(p\) 是常数项 \(a_0\) 的因子，\(q\) 是首项系数 \(a_n\) 的因子。

例 14.8 求次数最低的实系数多项式，使其零点为 \(2\) 和 \(1 - 3i\)。

由于 \(1 - 3i\) 是零点，\(1 + 3i\) 也是零点，故：

\[\begin{aligned} P(x) &= a(x-2)[x-(1-3i)][x-(1+3i)] \\ &= a(x-2)(x^2 - 2x + 10) \\ &= a(x^3 - 4x^2 + 14x - 20) \end{aligned}\]

例 14.9 列出 \(3x^2 + 5x - 8\) 的所有可能有理零点。

\[\frac{\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8}{\pm 1, \pm 3} = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{4}{3}, \pm \frac{8}{3}\]

零点定位定理

1. 介值定理：若多项式 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续且 \(f(a) \neq f(b)\)，则 \(f(x)\) 取遍 \(f(a)\) 与 \(f(b)\) 之间的每个值。

2. 推论：若 \(f(a)\) 和 \(f(b)\) 异号，则 \(f(x)\) 在 \((a, b)\) 内至少有一个零点。

3. 笛卡尔符号法则：\(f(x)\) 的正实零点个数等于其系数变号次数，或比此数少一个偶数。负实零点个数由 \(f(-x)\) 系数变号次数确定。

4. 综合除法中若 \(r > 0\) 时第三行全为正数，则 \(r\) 是所有零点的上界；若 \(r < 0\) 时第三行符号交替，则 \(r\) 是所有零点的下界。

多项式方程的求解

以下命题等价：

1. \(c\) 是 \(P(x)\) 的零点；
2. \(c\) 是方程 \(P(x) = 0\) 的解；
3. \(x - c\) 是 \(P(x)\) 的因子；
4. 对实数 \(c\)，\(y = P(x)\) 的图形在 \(c\) 处有 \(x\) 轴截距。

多项式函数的作图步骤

1. 将多项式写成因式分解形式；
2. 由各因子的符号确定多项式的符号；
3. 在 \(x\) 轴上标出 \(x\) 轴截距；
4. 必要时列函数值表；
5. 将图形画成光滑曲线。

例 14.10 画出 \(y = 2x(x-3)(x+2)\) 的图形。

零点为 \(-2, 0, 3\)，根据符号分析（图 14-7），\(x \in (-\infty, -2)\) 和 \((0, 3)\) 时 \(y < 0\)，\(x \in (-2, 0)\) 和 \((3, +\infty)\) 时 \(y > 0\)（图 14-8）。

已解例题

14.1. 证明余数定理。

由除法算法，存在 \(q(x)\) 使 \(f(x) = q(x)(x - c) + r\)（\(r\) 为常数）。令 \(x = c\)：\(f(c) = q(c) \cdot 0 + r = r\)，故余数为 \(f(c)\)。

14.2—14.7. 各种多项式的长除法和综合除法练习（略，见例题）。

14.8. 证明因式定理（由余数定理直接得出）。

14.9. 证明对所有整数 \(n\)，\(x - a\) 是 \(x^n - a^n\) 的因子。

\(f(a) = a^n - a^n = 0\)，由因式定理得 \(x - a\) 是因子。

14.10. 用二次公式和因式定理分解：(a) \(x^2 - 12x + 3\)；(b) \(x^2 - 4x + 13\)。

1. 零点为 \(6 \pm \sqrt{33}\)，故 \(x^2 - 12x + 3 = [(x-6) - \sqrt{33}][(x-6) + \sqrt{33}]\)。

2. 零点为 \(2 \pm 3i\)，故 \(x^2 - 4x + 13 = [(x-2) - 3i][(x-2) + 3i]\)。

14.11. 已知 \(3\) 是 \(P(x) = x^4 - 7x^3 + 13x^2 + 3x - 18\) 的二重零点，将 \(P(x)\) 分解为一次因子之积。

两次用综合除法除以 \(x - 3\)，得 \(P(x) = (x-3)^2(x-2)(x+1)\)。

14.12. 已知 \(-3 - i\) 是 \(P(x) = 2x^3 + 2x^2 - 40x - 100\) 的零点，将 \(P(x)\) 分解，求所有零点。

\(-3 + i\) 也是零点，两次综合除法后得 \(P(x) = [x-(-3-i)][x-(-3+i)](2x-10)\)，零点为 \(-3 \pm i\) 和 \(5\)。

14.13. 求次数最低的实系数多项式，使 \(4\) 是三重零点，\(-2\) 是二重零点，\(0\) 是零点，\(5 + 2i\) 是零点。

由复共轭定理，\(5 - 2i\) 也是零点，故：

\[P(x) = a(x-4)^3(x+2)^2 \cdot x \cdot (x^2 - 10x + 29)\]

14.14. 求最低次整系数多项式，使 \(\dfrac{2}{3}, \dfrac{3}{4}, -\dfrac{1}{2}\) 是零点。

\[P(x) = b(3x-2)(4x-3)(2x+1)\]（\(b\) 为任意整数）

14.15—14.16. 用介值定理推论验证各多项式的零点位置（略）。

14.17. 用笛卡尔符号法则分析 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 8\) 的零点组合。

\(f(x)\) 有两次变号，故有 \(2\) 或 \(0\) 个正实零点。\(f(-x) = -x^3 - 3x^2 - 2x + 8\)，有一次变号，故有 \(1\) 个负实零点。

正实零点	负实零点	虚零点
2	1	0
0	1	2

14.18—14.20. 用笛卡尔符号法则分析其他多项式（略）。

14.21. 求 \(f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x - 5\) 零点的最小正整数上界和最大负整数下界。

综合除法结果：\(c = 2\) 时第三行全为正，\(c = -3\) 时第三行符号交替，故上界为 \(2\)，下界为 \(-3\)。

14.26. 求 \(f(x) = x^3 + 3x^2 - 10x - 24\) 的所有零点。

经测试，\(3\) 是零点，\(f(x) = (x-3)(x+2)(x+4)\)，零点为 \(3, -2, -4\)。

14.27. 求 \(f(x) = 3x^4 + 16x^3 + 20x^2 - 9x - 18\) 的所有零点。

经测试，\(-2\) 和 \(-3\) 是零点，\(f(x) = (x+2)(x+3)(3x^2+x-3)\)，另两个零点为 \(\dfrac{-1 \pm \sqrt{37}}{6}\)。

14.28. 求 \(f(x) = 4x^4 - 4x^3 - 7x^2 - 6x + 18\) 的所有零点。

\(\dfrac{3}{2}\) 是二重零点，\(f(x) = (2x-3)^2(x^2+2x+2)\)，另两个零点为 \(-1 \pm i\)。

补充习题

14.30. 求以下各式的商式和余式：

1. \((5x^4 + x^2 - 8x + 2) \div (x^2 - 3x + 1)\)；(b) \((x^5 + x^4 + 3x^3 - x^2 - x - 3) \div (x^2 + x + 1)\)；(c) \((x^3 - 3x^2 + 8x - 7) \div (2x - 5)\)；(d) \((x^6 - x^4 - 8x^3 + x + 2) \div (x + 3)\)

答： (a) 商 \(5x^2 + 15x + 41\)，余 \(100x - 39\)；(b) 商 \(x^3 + 2x - 3\)，余 \(0\)；(c) 商 \(\dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{4}x + \dfrac{27}{8}\)，余 \(\dfrac{79}{8}\)；(d) 商 \(x^5 - 3x^4 + 8x^3 - 32x^2 + 96x - 287\)，余 \(863\)

14.31. 已知 \(f(x) = x^4 + 2x^3 + 6x^2 + 8x + 8\)，求 (a) \(f(-3)\)；(b) \(f(2i)\)；(c) \(f(3-i)\)；(d) \(f(-1+i)\)。

答： (a) \(65\)；(b) \(0\)；(c) \(144 - 192i\)；(d) \(0\)

14.32. 求最低次整系数多项式，使 \(\dfrac{3}{5}\) 和 \(-3 - 2i\) 是零点。

答： \(P(x) = a(5x^3 + 27x^2 + 47x - 39)\)，\(a\) 为任意整数

14.37. 将 \(f(x) = 6x^3 + 32x^2 + 41x + 12\) 的零点定位在相邻整数之间。

答： 零点分别在 \((-4, -3)\)，\((-2, -1)\)，\((-1, 0)\) 中。

14.38. 精确求以下多项式的所有零点：

1. \(2x^3 - 5x^2 - 2x + 2\)；(b) \(x^4 + 2x^3 - 2x^2 - 6x - 3\)；(c) \(x^4 - x^3 - 3x^2 + 17x - 30\)；(d) \(x^5 + 5x^3 + 6x\)；(e) \(3x^5 - 2x^4 - 9x^3 + 6x^2 - 12x + 8\)

答： (a) \(\left\{\dfrac{1}{2}, 1 \pm \sqrt{3}\right\}\)；(b) \(\{-1(\text{二重}), \pm\sqrt{3}\}\)；(c) \(\{2, -3, 1 \pm 2i\}\)；(d) \(\{0, \pm i\sqrt{2}, \pm i\sqrt{3}\}\)；(e) \(\left\{\pm 2, \dfrac{2}{3}, \pm i\right\}\)

14.39. 求解多项式方程：

1. \(x^3 - 19x - 30 = 0\)；(b) \(4x^3 + 40x = 22x^2 + 25\)；(c) \(x^5 - 5x^4 - 4x^3 + 36x^2 + 27x - 135 = 0\)；(d) \(-12x^4 - 8x^3 + 49x^2 + 39x - 18 = 0\)

答： (a) \(\{-3, -2, 5\}\)；(b) \(\left\{\dfrac{5}{2}, \dfrac{3 \pm i}{2}\right\}\)；(c) \(\{3, -2 \pm i\}\)；(d) \(\left\{2, \dfrac{1}{3}, -\dfrac{3}{2}\right\}\)

14.41. 一块正方形纸板边长 \(20\) 英寸，从四角剪去边长为 \(x\) 的正方形，折起侧面做成开口盒，若盒子体积为 \(576\) 立方英寸，求 \(x\) 的可能值。

答： \(4\) 英寸，或 \(8 - \sqrt{28} \approx 2.7\) 英寸。

14.42. 一个圆柱形（带半球形顶盖）粮仓总高 \(30\) 英尺，总体积 \(1008\pi\) 立方英尺，求圆柱半径。

答： \(6\) 英尺。