第十五章 有理函数

有理函数

有理函数的定义

有理函数是可以写成 \(f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}\) 形式的函数，其中 \(P(x)\) 和 \(Q(x)\) 均为多项式。有理函数的定义域是所有使 \(Q(x) \neq 0\) 的实数集合。通常假设 \(P(x)/Q(x)\) 已是最简分式（\(P(x)\) 和 \(Q(x)\) 无公因子）。

例 15.1 以下是有理函数示例及其定义域：

  • \(f(x) = \dfrac{12}{x}\)，定义域 \(\{x \neq 0\}\)
  • \(g(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 9}\)，定义域 \(\{x \neq \pm 3\}\)
  • \(h(x) = \dfrac{(x+1)(x-4)}{x(x-2)(x+3)}\)，定义域 \(\{x \neq 0, 2, -3\}\)
  • \(k(x) = \dfrac{3x}{x^2 + 4}\)，定义域 \(\mathbb{R}\)（分母永不为零）

有理函数的图形分析

有理函数图形的分析通过对称性、截距、渐近线和符号行为来进行。

  1. 若 \(Q(x)\) 无实零点，则 \(P(x)/Q(x)\) 的图形在所有实数 \(x\) 处光滑。
  2. 若 \(Q(x)\) 有实零点，则图形在不包含零点的每个开区间上由光滑曲线组成，在 \(Q(x)\) 的每个零点处有竖直渐近线。

竖直渐近线

直线 \(x = a\) 是函数 \(f\) 的图形的竖直渐近线，若当 \(x\) 从左侧或右侧趋向 \(a\) 时，函数值趋向正无穷或负无穷：

记号 含义
\(\lim_{x \to a^-} f(x) = \infty\) \(x\) 从左趋向 \(a\) 时，\(f(x)\) 正无穷大
\(\lim_{x \to a^-} f(x) = -\infty\) \(x\) 从左趋向 \(a\) 时，\(f(x)\) 负无穷大
\(\lim_{x \to a^+} f(x) = \infty\) \(x\) 从右趋向 \(a\) 时，\(f(x)\) 正无穷大
\(\lim_{x \to a^+} f(x) = -\infty\) \(x\) 从右趋向 \(a\) 时，\(f(x)\) 负无穷大

例 15.2 说明 \(x = 2\) 是 \(f(x) = \dfrac{3}{x-2}\) 的竖直渐近线。

当 \(x\) 从左趋向 \(2\) 时 \(f(x) \to -\infty\)，从右趋向 \(2\) 时 \(f(x) \to +\infty\)，故 \(x = 2\) 是竖直渐近线。

水平渐近线

直线 \(y = a\) 是函数 \(f\) 的水平渐近线，若当 \(x \to +\infty\) 或 \(x \to -\infty\) 时，\(f(x) \to a\)。

寻找水平渐近线

设 \(f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)} = \dfrac{a_n x^n + \cdots}{b_m x^m + \cdots}\)（\(a_n \neq 0, b_m \neq 0\)），则：

  1. 若 \(n < m\)：\(x\) 轴（\(y = 0\)）是水平渐近线；
  2. 若 \(n = m\)：\(y = a_n / b_m\) 是水平渐近线；
  3. 若 \(n > m\)：无水平渐近线（\(f(x) \to \pm\infty\)）。

例 15.3 求 \(f(x) = \dfrac{2x+1}{x-5}\) 的水平渐近线。

分子分母次数均为 \(1\)，\(f(x) \to 2\)（首项系数之比），故 \(y = 2\) 是水平渐近线。

斜渐近线

若 \(n = m + 1\)，用长除法将 \(f(x)\) 写成：

\[f(x) = ax + b + \frac{R(x)}{Q(x)}\]

当 \(x \to \pm\infty\) 时，\(f(x) \to ax + b\)，直线 \(y = ax + b\) 是斜渐近线。

例 15.4 求 \(f(x) = \dfrac{x^3 + 1}{x^2 + x - 2}\) 的斜渐近线。

长除法得 \(f(x) = x - 1 + \dfrac{3x-1}{x^2+x-2}\)，故 \(y = x - 1\) 是斜渐近线。

有理函数作图步骤

  1. 求 \(x\) 轴截距（\(P(x)\) 的实零点）和 \(y\) 轴截距（\(f(0)\)），分析对称性；
  2. 求 \(Q(x)\) 的实零点，画出竖直渐近线；
  3. 求水平或斜渐近线，画在图上；
  4. 确定图形是否与水平/斜渐近线相交；
  5. 用符号分析确定函数正负区间及渐近线处的行为；
  6. 在各区域画出函数图形。

例 15.5 画出 \(f(x) = -12/x\) 的图形。

  1. 无截距，函数为奇函数，有原点对称性；
  2. \(y\) 轴（\(x = 0\)）是唯一竖直渐近线；
  3. \(x\) 轴（\(y = 0\)）是水平渐近线；
  4. \(f(x) = 0\) 无解，图形不与水平渐近线相交；
  5. \(x < 0\) 时 \(f(x) > 0\)，\(x > 0\) 时 \(f(x) < 0\)，故 \(\lim_{x \to 0^-} f(x) = +\infty\)，\(\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty\)；
  6. 图形如图 15-9。

已解例题

15.1. 求以下函数的竖直渐近线：

  1. \(f(x) = \dfrac{x}{x^2-4}\)：零点为 \(\pm 2\)，竖直渐近线 \(x = \pm 2\)。

  2. \(f(x) = \dfrac{2x}{x^2+4}\)：分母无实零点，无竖直渐近线。

  3. \(f(x) = \dfrac{2x-1}{x^2-x-2}\)：零点为 \(2\) 和 \(-1\)，竖直渐近线 \(x = 2\) 和 \(x = -1\)。

  4. \(f(x) = \dfrac{3}{x^3+8}\)：唯一实零点为 \(-2\)，竖直渐近线 \(x = -2\)。

15.2. 分析 \(f(x) = \dfrac{x^2-x}{x^2-1}\) 的竖直渐近线。

化简：\(f(x) = \dfrac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \dfrac{x}{x+1}\)（\(x \neq 1\)）。\(x = 1\) 附近函数值不趋于无穷，故 \(x = 1\) 不是竖直渐近线，唯一竖直渐近线为 \(x = -1\)。

15.3. 求以下函数的水平渐近线：

  1. \(f(x) = \dfrac{4x^2}{x^2+4}\)：\(y = 4\)；(b) \(f(x) = \dfrac{x^2}{x+4}\)：无水平渐近线；(c) \(f(x) = \dfrac{2x}{x^2-4}\)：\(y = 0\)；(d) \(f(x) = \dfrac{3x^2+5x+2}{4x^2+1}\)：\(y = \dfrac{3}{4}\)。

15.4. 求以下函数的斜渐近线：

  1. \(f(x) = \dfrac{x^2}{x+4}\)：\(y = x - 4\)；(b) \(f(x) = \dfrac{x^3}{x+4}\)：无斜渐近线（图形趋向抛物线）；(c) \(f(x) = \dfrac{x^2-5x+3}{2x-5}\)：\(y = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{5}{4}\)；(d) \(f(x) = \dfrac{2x^3-x}{x^2+2x+1}\)：\(y = 2x - 4\)。

15.5—15.13. 各类有理函数图形分析（略，各例见图 15-10 至 15-18）。

具体步骤：

15.5. \(f(x) = \dfrac{4}{x+2}\)：\(y\) 轴截距 \(2\)，无 \(x\) 轴截距，竖直渐近线 \(x = -2\)，水平渐近线 \(y = 0\)（图 15-10）。

15.6. \(f(x) = -\dfrac{3}{x^2}\)：无截距，\(y\) 轴对称，竖直渐近线 \(x = 0\)，水平渐近线 \(y = 0\)（图 15-11）。

15.7. \(f(x) = \dfrac{x+3}{x-2}\)：\(y\) 轴截距 \(-\dfrac{3}{2}\)，\(x\) 轴截距 \(-3\)，竖直渐近线 \(x = 2\)，水平渐近线 \(y = 1\)（图 15-12）。

15.8. \(f(x) = \dfrac{2x}{x^2-4}\)：过原点，奇函数，竖直渐近线 \(x = \pm 2\)，水平渐近线 \(y = 0\)（图 15-13）。

15.9. \(f(x) = \dfrac{-2x^2}{x^2-4}\)：过原点，偶函数，竖直渐近线 \(x = \pm 2\)，水平渐近线 \(y = -2\)（图 15-14）。

15.10. \(f(x) = \dfrac{x^3}{x^2-4}\)：过原点，奇函数，竖直渐近线 \(x = \pm 2\)，斜渐近线 \(y = x\)（图 15-15）。

15.11. \(f(x) = \dfrac{x^2+x}{x^2-3x+2}\)：\(y\) 轴截距 \(0\)，\(x\) 轴截距 \(0\) 和 \(-1\)，竖直渐近线 \(x = 1, 2\)，水平渐近线 \(y = 1\)（图 15-16）。

15.12. \(f(x) = \dfrac{x^2-9}{x^2+4}\)：\(y\) 轴截距 \(-\dfrac{9}{4}\)，\(x\) 轴截距 \(\pm 3\)，偶函数，无竖直渐近线，水平渐近线 \(y = 1\)（图 15-17）。

15.13. \(f(x) = \dfrac{x^2-4}{x^2-3x+2}\)：化简得 \(g(x) = \dfrac{x+2}{x-1}\)（\(x \neq 2\)），竖直渐近线 \(x = 1\)，水平渐近线 \(y = 1\)（图 15-18）。

补充习题

15.14. 求以下有理函数图形的所有截距：

答： (a) \(x\) 轴截距 \(0\)，\(y\) 轴截距 \(0\)；(b) \(x\) 轴截距 \(\pm\dfrac{1}{2}\)，\(y\) 轴截距 \(-\dfrac{1}{4}\)；(c) \(x\) 轴截距 \(1\)，无 \(y\) 轴截距；(d) \(x\) 轴截距 \(-3\)，\(y\) 轴截距 \(\dfrac{27}{4}\)

15.15. 求上题各函数的水平和竖直渐近线：

答： (a) 水平 \(y = 2\)，竖直 \(x = -4\)；(b) 水平 \(y = 4\)，无竖直；(c) 水平 \(y = 0\)，竖直 \(x = 0, 4\)；(d) 水平 \(y = 0\)，竖直 \(x = \pm 1, \pm 2\)

15.16. (a) 说明 \(f(x) = \dfrac{2x}{x-2}\) 的截距和渐近线，画图。(b) 证明 \(f\) 在其定义域上是一一对应函数且 \(f(x) = f^{-1}(x)\)。

答： (a) 截距为原点，渐近线 \(x = 2, y = 2\)（图 15-19）。

15.17. \(f(x) = \dfrac{2x^2}{x-2}\) 的截距和渐近线。

答： 截距为原点，渐近线 \(x = 2\)，斜渐近线 \(y = 2x + 4\)（图 15-20）。

15.18. \(f(x) = \dfrac{2}{(x-2)^2}\) 的截距和渐近线。

答： 截距 \((0, \dfrac{1}{2})\)，渐近线 \(x = 2, y = 0\)（图 15-21）。

15.19. \(f(x) = \dfrac{2}{x^2-1}\) 的截距和渐近线。

答： 截距 \((0, -2)\)，渐近线 \(x = \pm 1, y = 0\)（图 15-22）。

15.20. 求以下有理函数的竖直渐近线和斜渐近线：

  1. \(f(x) = \dfrac{x^2}{x+2}\)：竖直 \(x = -2\)，斜 \(y = x - 2\)；(b) \(f(x) = \dfrac{x^2-4x}{x-1}\)：竖直 \(x = 1\)，斜 \(y = x - 3\)；(c) \(f(x) = \dfrac{8x^3-1}{x^2+4}\)：无竖直，斜 \(y = 8x\)；(d) \(f(x) = \dfrac{x^4-5x^2+6}{x^3+x^2}\)：竖直 \(x = 0, -1\)，斜 \(y = x - 1\)；(e) \(f(x) = \dfrac{x^3-2x}{x+6}\)：竖直 \(x = -6\)，无斜渐近线（趋向抛物线 \(y = x^2 - 6x + 34\)）

15.21. \(f(x) = \dfrac{x^3}{x^2-1}\)：截距为原点，渐近线 \(x = \pm 1\)，斜渐近线 \(y = x\)（图 15-23）。

15.22. \(f(x) = \dfrac{3x}{x^2+1}\)：截距为原点，水平渐近线 \(y = 0\)（图 15-24）。

15.23. \(f(x) = \dfrac{x^3-x^2-x+1}{x^2+1}\)：截距 \((0,1), (1,0), (-1,0)\)，斜渐近线 \(y = x - 1\)（图 15-25）。

15.24. 面积为 \(144\) 平方英尺的矩形田地：

  1. 将周长 \(P\) 表示为长度 \(x\) 的函数：\(P(x) = 2x + \dfrac{288}{x}\)。

  2. 由图估计使周长最小的尺寸：\(12 \times 12\) 英尺（图 15-26）。