代数函数与变分

代数函数与变分

代数函数的定义

代数函数是指规则为多项式或可由多项式通过加、减、乘、除以及整数或有理指数运算推导出的任何函数。

例 16.1 代数函数的例子包括：

  1. 多项式函数，如 \(f(x) = 5x^{2} - 3x\)

  2. 有理函数，如 \(f(x) = 12/x^{2}\)

  3. 绝对值函数，如 \(f(x) = |x - 3|\)，因为 \(|x - 3| = \sqrt{(x - 3)^{2}}\)

  4. 其他涉及有理指数的函数，如 \(f(x) = \sqrt{x}\)、\(f(x) = \sqrt[3]{x}\)、\(f(x) = 1/\sqrt{x}\)、\(f(x) = \sqrt{1 - x^{2}}\)，等等

变分

“变分”一词用于描述多种简单函数依赖关系的形式。其一般模式是：一个变量（称为因变量）随着一个或多个其他变量（称为自变量）的变化而变化。变分表述始终包含一个非零常数因子，称为变分常数或比例常数，通常记为k。

正变分

对于形如 \(y = kx\) 的关系，使用以下表述：

  1. y 与 x 成正变分（有时也称 y 与 x 成正比）
  2. y 与 x 成正比例

例 16.2 已知 p 与 q 成正变分，当 p = 300 时 q = 12，求 p 关于 q 的表达式。

  1. 由于 p 与 q 成正变分，写出 p = kq
  2. 由于当 p = 300 时 q = 12，代入得到 \(300 = k(12)\)，即 k = 25
  3. 因此 \(p = 25q\) 为所求表达式

反变分

对于形如 xy = k 或 y = k/x 的关系，使用以下表述：

  1. y 与 x 成反变分
  2. y 与 x 成反比例

例 16.3 已知 s 与 t 成反变分，当 s = 5 时 t = 8，求 s 关于 t 的表达式。

  1. 由于 s 与 t 成反变分，写出 s = k/t
  2. 由于当 s = 5 时 t = 8，代入得到 5 = k/8，即 k = 40
  3. 因此 \(s = 40/t\) 为所求表达式

联合变分

对于形如 z = kxy 的关系，使用以下表述：

  1. z 与 x 和 y 联合变分
  2. z 与 x 和 y 的乘积成正变分

例 16.4 已知 z 与 x 和 y 联合变分，且当 x = 4、y = 5 时 z = 3，求 z 关于 x 和 y 的表达式。

  1. 由于 z 与 x 和 y 联合变分，写出 z = kxy
  2. 由于当 x = 4、y = 5、z = 3，代入得到 \(3 = k \cdot 4 \cdot 5\)，即 \(k = \frac{3}{20}\)
  3. 因此 \(z = \frac{3}{20}xy\)

综合变分

这些类型的变分也可以组合使用。

例 16.5 已知 z 与 x 的平方成正变分并与 y 成反变分，且当 x = 3、y = 12 时 z = 5，求 z 关于 x 和 y 的表达式。

  1. 写出 \(z = \frac{kx^{2}}{y}\)
  2. 由于 z = 5 时 x = 3、y = 12，代入得到 \(5 = k \cdot \frac{3^{2}}{12}\) 或 k = 20/3
  3. 因此 \(z = \frac{20x^{2}}{3y}\)

已解问题

16.1 写出定义域和值域，并绘制以下函数的图像：

  1. 定义域 \([0, \infty)\)，值域 \([0, \infty)\)，如图16-1所示

  2. 定义域：R，值域：R，如图16-2所示

  3. 定义域 \([0, \infty)\)，值域 \([0, \infty)\)，如图16-3所示

  4. 定义域：R，值域：R，如图16-4所示

16.2 写出定义域和值域，并绘制以下函数的图像：

  1. \(f(x) = 1/\sqrt{x}\) (b) \(f(x) = 1/\sqrt[3]{x}\)

  2. 定义域 \((0, \infty)\)，值域 \((0, \infty)\)，如图16-5所示

  3. 定义域 \(\{x \in R | x \neq 0\}\)，值域 \(\{y \in R | y \neq 0\}\)，如图16-6所示

16.3 分析并绘制以下函数的图像：(a) \(f(x)=\sqrt{9-x^{2}}\)；(b) \(f(x)=-\sqrt{9-x^{2}}\)

  1. 若 \(y = \sqrt{9 - x^{2}}\)，则 \(x^{2} + y^{2} = 9\)，\(y \geq 0\)。因此函数的图像是 \(x^{2} + y^{2} = 9\) 的上半圆（半圆）

定义域为 \(\{x \in R \mid -3 \leq x \leq 3\}\)，值域为 \(\{y \in R \mid 0 \leq y \leq 3\}\)，如图16-7所示

  1. 若 \(y = -\sqrt{9 - x^{2}}\)，则 \(x^{2} + y^{2} = 9\)，\(y \leq 0\)。因此函数的图像是 \(x^{2} + y^{2} = 9\) 的下半圆（半圆）

定义域为 \(\{x \in R \mid -3 \leq x \leq 3\}\)，值域为 \(\{y \in R \mid -3 \leq y \leq 0\}\)，如图16-8所示

16.4 若 s 与 x 的平方成正变分，当 x = 4 时 s = 5，求当 x = 20 时的 s 值。

  1. 由于 s 与 x 的平方成正变分，写出 \(s = kx^{2}\)
  2. 由于当 x = 4 时 s = 5，代入得到 \(5 = k \cdot 4^{2}\)，即 \(k = \frac{5}{16}\)
  3. 因此 \(s = 5x^{2}/16\)。当 x = 20 时，\(s = 5(20)^{2}/16 = 125\)

16.5 若 y 与 x 的立方根成正比例，当 x = 64 时 y = 12，求当 \(x = \frac{1}{8}\) 时的 y 值。

  1. 由于 y 与 x 的立方根成正比例，写出 \(y = k\sqrt[3]{x}\)
  2. 由于当 x = 64 时 y = 12，代入得到 \(12 = k\sqrt[3]{64} = 4k\)，即 k = 3
  3. 因此 \(y = 3\sqrt[3]{x}\)。当 \(x = \frac{1}{8}\) 时，\(y = 3\sqrt[3]{1/8} = \frac{3}{2}\)

16.6 若 I 与 t 的平方成反比例，当 t = 15 时 I = 100，求当 t = 12 时的 I 值。

  1. 由于 I 与 t 的平方成反比例，写出 \(I = \frac{k}{t^{2}}\)
  2. 由于当 t = 15 时 I = 100，代入得到 \(100 = \frac{k}{15^{2}}\)，即 k = 22,500
  3. 因此 \(I = \frac{22,500}{t^{2}}\)。当 t = 12 时，\(I = \frac{22,500}{12^{2}} = 156.25\)

16.7 若 u 与 x 的立方根成反变分，当 x = -8 时 u = 56，求当 x = 1000 时的 u 值。

  1. 由于 u 与 x 的立方根成反变分，写出 \(u = \frac{k}{\sqrt[3]{x}}\)
  2. 由于当 x = -8 时 u = 56，代入得到 \(56 = \frac{k}{\sqrt[3]{-8}}\)，即 k = -112
  3. 因此 \(u = \frac{-112}{\sqrt[3]{x}}\)。当 x = 1000 时，\(u = \frac{-112}{\sqrt[3]{1000}} = -11.2\)

16.8 若 z 与 x 和 y 联合变分，当 x = 4、y = 6 时 z = 3，求当 x = 20、y = 9 时的 z 值。

  1. 由于 z 与 x 和 y 联合变分，写出 z = kxy
  2. 由于当 x = 4、y = 6、z = 3，代入得到 \(3 = k \cdot 4 \cdot 6\) 或 \(k = \frac{1}{8}\)
  3. 因此 \(z = xy/8\)。当 x = 20、y = 9 时，\(z = (20 \cdot 9)/8 = 22.5\)

16.9 若 P 与 x 的平方和 y 的四次方根联合变分，当 x = 12、y = 81 时 P = 24，求当 x = 1200、\(y = \frac{1}{16}\) 时的 P 值。

  1. 由于 P 与 x 的平方和 y 的四次方根联合变分，写出 \(P = kx^{2}\sqrt[4]{y}\)
  2. 由于当 x = 12、y = 81 时 P = 24，代入得到 \(24 = k \cdot 12^{2} \sqrt[4]{81}\) 或 \(k = \frac{1}{18}\)
  3. 因此 \(P = \frac{x^{2}\sqrt[4]{y}}{18}\)。当 x = 1200、\(y = \frac{1}{16}\) 时，\(P = \frac{(1200)^{2}\sqrt[4]{1/16}}{18} = 40,000\)

16.10 胡克定律指出，将弹簧从其自然长度拉伸 x 单位所需的力 F 与 x 成正比。若某弹簧被拉伸0.5英寸需要6磅的力，求将弹簧拉伸2.25英寸所需的力。

  1. 由于 F 与 x 成正比，写出 F = kx
  2. 由于当 F = 6 时 x = 0.5，代入得到 6 = k(0.5) 或 k = 12
  3. 因此 F = 12x。当 x = 2.25 时，F = 12(2.25) = 27 磅

16.11 欧姆定律指出，稳恒电路中的电流 I 与电阻 R 成反变分。若12欧姆的电阻产生3.5安培的电流，求电阻为2.4欧姆时的电流。

  1. 由于 I 与 R 成反变分，写出 I = k/R
  2. 由于当 I = 3.5 时 R = 12，代入得到 3.5 = k/12 或 k = 42
  3. 因此 I = 42/R。当 R = 2.4 时，I = 42/2.4 = 17.5 安培

16.12 风对墙的压力 P 与墙的面积 A 和风速 v 的平方联合变分。若当 A = 80平方英尺、v = 40英里/小时时 P = 100磅，求当 A = 120平方英尺、v = 50英里/小时时的 P 值。

  1. 由于 P 与 A 和 v 联合变分，写出 \(P = kAv^{2}\)
  2. 由于当 P = 100 时 A = 80、v = 40，代入得到 \(100 = k \cdot 80 \cdot 40^{2}\) 或 k = 1/1280
  3. 因此 \(P = Av^{2}/1280\)。当 A = 120、v = 50 时，\(P = 120 \cdot 50^{2}/1280 = 234.375\) 磅

16.13 物体在地球表面或上方的重量 w 与物体到地球中心距离 d 的平方成反变分。若宇航员在地球表面重120磅，她在离表面400英里的人造卫星中体重（精确到磅）是多少？（地球半径取4000英里）

  1. 由于 w 与 d 的平方成反变分，写出 \(w = k/d^{2}\)
  2. 由于 w = 120 在地球表面，即 d = 4000，代入得到 \(120 = k/4000^{2}\)，即 \(k = 1.92 \times 10^{9}\)
  3. 因此 \(w = 1.92 \times 10^{9}/d^{2}\)。当 \(d = 4000 + 400 = 4400\) 时，\(w = 1.92 \times 10^{9}/4400^{2}\)，约为99磅

16.14 一定质量气体的体积 V 与温度 T 成正变分并与压力 P 成反变分。若当温度为 \(320^{\circ}\)K、压力为300磅/平方英寸时气体体积为16立方英寸，求当温度为 \(350^{\circ}\)K、压力为280磅/平方英寸时的体积。

  1. 由于 V 与 T 成正变分并与 P 成反变分，写出 \(V = kT/P\)
  2. 由于当 T = 320、P = 300 时 V = 16，代入得到 \(16 = k \cdot 320/300\) 或 k = 15
  3. 因此 V = 15T/P。当 T = 350、P = 280 时，\(V = 15 \cdot 350/280 = 18.75\) 立方英寸

16.15 若 y 与 x 的平方成正变分，x 加倍对 y 有什么影响？

  1. 由于 \(y = kx^{2}\)，写出 \(k = y/x^{2}\)
  2. 当 x 和 y 变化时，k 保持不变；因此对于不同的 x 和 y 值，\(y_{1}/x_{1}^{2} = y_{2}/x_{2}^{2}\)，或 \(y_{2} = y_{1}x_{2}^{2}/x_{1}^{2}\)
  3. 因此，若 \(x_{2}=2x_{1}\)，\(y_{2}=y_{1}(2x_{1})^{2}/x_{1}^{2}=4y_{1}\)。即 x 加倍时，y 乘以4

16.16 若 y 与 x 的立方成反变分，x 加倍对 y 有什么影响？

  1. 由于 \(y = k/x^{3}\)，写出 \(k = x^{3}y\)
  2. 当 x 和 y 变化时，k 保持不变；因此对于不同的 x 和 y 值，\(x_{1}^{3}y_{1} = x_{2}^{3}y_{2}\)，或 \(y_{2} = y_{1}x_{1}^{3}/x_{2}^{3}\)
  3. 因此，若 \(x_{2}=2x_{1}\)，\(y_{2}=y_{1}x_{1}^{3}/(2x_{1})^{3}=y_{1}/8\)。即 x 加倍时，y 除以8

16.17 矩形木梁的强度 W 与宽度 w 和深度 d 的平方联合变分，并与梁的长度 L 成反变分。将 w 和 d 加倍同时将 L 减少20%对 W 有什么影响？

  1. 由于 \(W = kwd^{2}/L\)，写出 \(k = WL/(wd^{2})\)
  2. 对于变量的不同值，k 保持不变，因此 \(W_{1}L_{1}/(w_{1}d_{1}^{2}) = W_{2}L_{2}/(w_{2}d_{2}^{2})\)
  3. 因此，若 \(w_{2}=2w_{1}\)、\(d_{2}=2d_{1}\)、\(L_{2}=L_{1}-0.2L_{1}=0.8L_{1}\)，写出：

\(\frac{W_{1}L_{1}}{w_{1}d_{1}^{2}}=\frac{W_{2}(0.8L_{1})}{(2w_{1})(2d_{1})^{2}}\)，解得 \(W_{2}=\frac{W_{1}L_{1}}{w_{1}d_{1}^{2}}\cdot\frac{(2w_{1})(2d_{1})^{2}}{0.8L_{1}}=10W_{1}\)。即 W 将乘以10

补充问题

16.18 写出以下函数的定义域和值域，并绘制函数图像：

  1. \(f(x)=\sqrt[3]{x-2}\)，定义域：R，值域：R（如图16-9所示）

  2. \(f(x)=-1/\sqrt{x+3}\)，定义域：\(\{x \in R \mid x > -3\}\)，值域：\(\{y \in R \mid y < 0\}\)（如图16-10所示）

  3. \(f(x)=\sqrt{4-(x+2)^{2}}\)，定义域：\(\{x \in R \mid -4 \leq x \leq 0\}\)，值域：\(\{y \in R \mid 0 \leq y \leq 2\}\)（如图16-11所示）

16.19 若 y 与 x 的四次方成正变分，当 \(x = \frac{1}{2}\) 时 y = 2，求当 x = 2 时的 y 值。

答案：512

16.20 若 y 与 x 的平方根成反变分，当 \(x = \frac{1}{2}\) 时 y = 2，求当 x = 2 时的 y 值。

答案：\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

16.21 若一根自然长度为5厘米的弹簧被6磅的重量拉伸0.3厘米，使用胡克定律（第16-10题）求将弹簧拉伸1厘米所需的重量。

答案：20磅

16.22 牛顿冷却定律指出物体冷却的速率 r 与物体温度 T 和周围温度 \(T_{0}\) 之差成正比。若一杯140°的咖啡在68°的房间中以每分钟9°的速率冷却，当温度降到116°时冷却速率是多少？

答案：\(6^{\circ}\) 每分钟

16.23 开普勒第三定律指出行星完成绕太阳一周所需时间 T（周期，即一个行星年的长度）的平方与行星到太阳的平均距离 d 的立方成正比。对于地球，假设 \(d = 93 \times 10^{6}\) 英里，T = 365天。求：(a) 火星的周期，已知火星到太阳的距离约为地球的1.5倍；(b) 金星到太阳的平均距离，已知金星的周期约为223地球天。

答案：(a) 671地球天；(b) \(67 \times 10^{6}\) 英里

16.24 导线的电阻 R 与长度 L 成正比并与直径 d 的平方成反比。一根直径6毫米、长4米的导线电阻为600欧姆。若要一根5米长的导线电阻为1000欧姆，直径应为多少？

答案：\(\sqrt{27} \approx 5.2\) 毫米

16.25 库仑定律指出两个带相反电荷粒子之间的吸引力 F 与它们电荷量 \(q_{1}\) 和 \(q_{2}\) 的乘积联合变分并与粒子间距离 d 的平方成反变分。若电荷量加倍且距离减半，对 F 有什么影响？

答案：力乘以16