指数函数

指数函数

指数函数的定义

指数函数是指规则中自变量出现在指数位置的任何函数。基本的指数函数形式为 \(F(x) = a^{x}\)，其中 \(a > 0\)，\(a \neq 1\)。基本指数函数的定义域被认为是所有实数，除非另有说明。

例 17.1 以下是指数函数的例子：

\[\left(\mathrm{a}\right)f(x)=2^{x};\left(\mathrm{b}\right)f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x};\left(\mathrm{c}\right)f(x)=4^{-x};\left(\mathrm{d}\right)f(x)=2^{-x^{2}}\]

指数的性质

指数的性质可以方便地用变量指数来重述。假设 a、b > 0，则对所有实数 x 和 y：

\[a^{x}a^{y}=a^{x+y}\quad(ab)^{x}=a^{x}b^{x}\]

\[\frac{a^{x}}{a^{y}}=a^{x-y}\qquad\left(\frac{a}{b}\right)^{x}=\frac{a^{x}}{b^{x}}\]

\[(a^{p})^{x}=a^{px}\]

自然指数底数 e

数 e 称为自然指数底数，定义为 \(\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\)。e 是一个无理数，其值约为 2.718 281 828 459 045。

指数增长与衰减

应用通常区分指数增长和指数衰减。基本的指数增长函数是递增的指数函数；指数衰减函数是递减的指数函数。

复利

若本金 P 美元以年利率 r 投资，利息每年复利 n 次，则时刻 t 的金额 \(A(t)\) 由以下公式给出：

\[A(t)=P\bigg(1+\frac{r}{n}\bigg)^{nt}\]

连续复利

若本金 P 美元以年利率 r 投资，利息连续复利，则任意后续时刻 t 的金额 \(A(t)\) 由以下公式给出：

\[A(t)=Pe^{rt}\]

无限制人口增长

若一个最初有 \(N_{0}\) 个个体的种群也被建模为无限增长，则任意后续时刻 t 的种群 \(N(t)\) 由以下公式给出（k 是待确定的常数）：

\[N(t)=N_{0}e^{k t}\]

或者，可以使用不同的底数。

逻辑斯蒂人口增长

若一个最初有 \(N_{0}\) 个个体的种群被建模为有限人口增长（由于资源有限）极限为 P 个体，则任意后续时刻 t 的种群 \(N(t)\) 由以下公式给出（k 是待确定的常数）：

\[N(t)=\frac{N_{0}P}{N_{0}+(P-N_{0})e^{-kt}}\]

放射性衰变

若在 t = 0 时存在 \(Q_{0}\) 量的放射性物质，则任意后续时刻 t 存在的物质量 \(Q(t)\) 由以下公式给出（k 是待确定的常数）：

\[Q(t)=Q_{0}e^{-kt}\]

或者，可以使用不同的底数。

已解问题

17.1 解释为什么基本指数函数的定义域被认为是 R。函数的值域是什么？

以函数 \(f(x) = 2^{x}\) 为例。量 \(2^{x}\) 对所有整数 x 都有定义；例如，\(2^{3} = 8\)、\(2^{-3} = \frac{1}{8}\)、\(2^{0} = 1\) 等等。而且，量 \(2^{x}\) 对所有非整数有理数 x 都有定义；例如，\(2^{1/2} = \sqrt{2}\)、\(2^{5/3} = \sqrt[3]{2^{5}}\)、\(2^{-3/4} = 1/\sqrt[4]{2^{3}}\) 等等。

要定义 x 为无理数时量 \(2^{x}\) 的值，例如 \(2^{\sqrt{2}}\)，使用 \(\sqrt{2}\) 的无穷小数表示 1.4142…，并考虑有理指数 \(2^{1}\)、\(2^{1.4}\)、\(2^{1.41}\)、\(2^{1.414}\)、\(2^{1.4142}\) 等等。可以在微积分中证明，每个连续的幂都接近一个实数，这个数被定义为 \(2^{\sqrt{2}}\)。这个过程可以应用于定义 x 为任意无理数时的量 \(2^{x}\)，因此 \(2^{x}\) 对所有实数 x 都有定义。\(f(x) = 2^{x}\) 的定义域被认为是 R，同样对于任意指数函数 \(f(x) = a^{x}\)，\(a > 0\)，\(a \neq 1\)。

由于 \(2^{x}\) 对所有实数 x 都是正的，函数的值域是正数，\((0, \infty)\)。

17.2 分析并绘制形式为 \(f(x) = a^{x}\)，\(a > 1\) 的基本指数函数的图像。

图像没有明显的对称性。由于 \(a^{0}=1\)，图像经过点 \((0,1)\)。由于 \(a^{1}=a\)，图像经过点 \((1,a)\)。

可以证明，若 \(x_{1} < x_{2}\)，则 \(a^{x_{1}} < a^{x_{2}}\)，即函数在 R 上递增；因此称为指数增长函数。因此，基本指数函数是一一对应的。

还可以进一步证明，当 \(x \to \infty\) 时，\(a^{x} \to \infty\)，当 \(x \to -\infty\) 时，\(a^{x} \to 0\)。因此，负 x 轴是图像的水平渐近线。

由于 \(a^{x}\) 对所有实数 x 都是正的（见上一题），函数的值域是 \((0,\infty)\)。

图像如图17-1所示。

17.3 分析并绘制形式为 \(f(x) = a^{x}\)，\(a < 1\) 的基本指数函数的图像。

图像没有明显的对称性。由于 \(a^{0}=1\)，图像经过点 \((0,1)\)。由于 \(a^{1}=a\)，图像经过点 \((1,a)\)。

可以证明，若 \(x_{1} < x_{2}\)，则 \(a^{x_{1}} > a^{x_{2}}\)，即函数在 R 上递减；因此称为指数衰减函数。

可以进一步证明，当 \(x \to \infty\) 时，\(a^{x} \to 0\)，当 \(x \to -\infty\) 时，\(a^{x} \to \infty\)。因此，正 x 轴是图像的水平渐近线。

由于 \(a^{x}\) 对所有实数 x 都是正的，函数的值域是 \((0,\infty)\)。

图像如图17-2所示。

17.4 证明 \(f(x) = a^{-x}\)，\(a > 1\) 的图像是指数衰减曲线。

设 \(b = 1/a\)。则由于 \(a > 1\)，可得 \(b < 1\)。而且 \(a^{-x} = (1/b)^{-x} = b^{x}\)。由于 \(f(x) = b^{x}\)，\(b < 1\) 的图像是指数衰减曲线，因此 \(f(x) = a^{-x}\)，\(a > 1\) 的图像也是指数衰减曲线。

17.5 绘制以下函数的图像：(a) \(f(x) = 2^{x}\) (b) \(f(x) = 2^{-x}\)

  1. 列出数值表
x y
-2 \(\frac{1}{4}\)
-1 \(\frac{1}{2}\)
0 1
1 2
2 4
3 8

定义域：R，值域：\((0,\infty)\)，渐近线：负 x 轴（如图17-3所示）

  1. 列出数值表
x y
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 \(\frac{1}{2}\)
2 \(\frac{1}{4}\)

定义域：R，值域：\((0,\infty)\)，渐近线：正 x 轴（如图17-4所示）

17.6 解释自然指数底数 e 的定义。

考虑量 \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}\) 的数值表

n 1 10 100 1000 10,000 100,000 1,000,000
\(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\) 2 2.59374246 2.70481383 2.71692393 2.71814593 2.71826824 2.71828047

当 \(n \to \infty\) 时，量 \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}\) 不会无限增大，而是似乎趋近于一个值。

在微积分中已经证明这个值是一个无理数，称为 e，其十进制近似值为 2.718 281 828 459 045…。在微积分中，这个数和指数函数 \(f(x) = e^{x}\)、\(f(x) = e^{-x}\) 等被证明具有特殊性质。

17.7 推导将本金 P 以年利率 r 投资 t 年、每年复利 n 次的金额公式 \(A(t) = P(1 + r/n)^{nt}\)。

首先假设金额 P 以简单利率 r 投资一年。则一年后的利息为 \(I = Prt = Pr(1) = Pr\)。一年后的金额为

\[A=P+I=P+Pr=P(1+r)\]

如果这个金额再以简单利率 r 投资第二年，则第二年后的利息为 \(P(1 + r)r(1) = P(1 + r)r\)。两年后的金额为

\[A=P(1+r)+P(1+r)r=P(1+r)(1+r)=P(1+r)^{2}\]

因此，每年年底的金额在次年乘以 \(1 + r\) 的因子。推广，假设每年复利一次，则时刻 t 的金额为

\[A(t)=P(1+r)^{t}\]

现在假设每年复利 n 次。则一个复利期后的利息为 I = Pr/n。一个复利期后的金额为

\[A=P+I=P+Pr/n=P(1+r/n)\]

因此，每个复利期结束时，金额在下一期乘以 \(1 + r/n\) 的因子。因此，一年后（n 个复利期）的金额为

\[A=P(1+r/n)^{n}\]

时刻 t 的金额为

\[A(t)=P((1+r/n)^{n})^{t}=P(1+r/n)^{nt}\]

17.8 推导将本金 P 以年利率 r 投资 t 年、连续复利的金额公式 \(A(t) = Pe^{rt}\)。

连续复利被理解为每年复利 n 次当 \(n \to \infty\) 时的极限情况。从上一题可知，如果每年复利 n 次，时刻 t 的金额为 \(A(t) = P(1 + r/n)^{nt}\)。如果 n 允许无限增大，则

\[\begin{aligned}A(t)&=\lim_{n\to\infty}P(1+r/n)^{nt}\\&=\lim_{n\to\infty}P(1+r/n)^{(n/r)rt}\\&=\lim_{n\to\infty}P[(1+r/n)^{n/r}]^{rt}\\&=\lim_{n/r\to\infty}P[(1+r/n)^{n/r}]^{rt}\\&=P[\lim_{n/r\to\infty}(1+r/n)^{n/r}]^{rt}\\&=Pe^{rt}\\\end{aligned}\]

17.9 计算如果将1000美元以5%利率投资七年，按以下方式复利，存在的金额：

  1. 每年；(b) 每季度；(c) 每月；(d) 每日；(e) 连续复利

  2. 使用 \(A(t) = P(1 + r/n)^{nt}\)，其中 P = 1000，r = 0.05，t = 7，n = 1

\[A(7)=1000(1+0.05/1)^{1\cdot7}=\$1407.10\]

  1. 使用 \(A(t) = P(1 + r/n)^{nt}\)，其中 P = 1000，r = 0.05，t = 7，n = 4

\[A(7)=1000(1+0.05/4)^{4\cdot7}=\$1415.99\]

  1. 使用 \(A(t) = P(1 + r/n)^{nt}\)，其中 P = 1000，r = 0.05，t = 7，n = 12

\[A(7)=1000(1+0.05/12)^{12\cdot7}=\$1418.04\]

  1. 使用 \(A(t) = P(1 + r/n)^{nt}\)，其中 P = 1000，r = 0.05，t = 7，n = 365

\[A(7)=1000(1+0.05/365)^{365\cdot7}=\$1419.03\]

  1. 使用 \(A(t) = Pe^{rt}\)，其中 P = 1000，r = 0.05，t = 7

\[A(7)=1000\cdot e^{0.05\cdot7}=\$1419.07\]

注意，从每日复利增加到连续复利所产生的利息差异很小。

17.10 化简以下表达式：

  1. \(\left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right)^{2}\)

  2. \(\frac{(e^{x}+e^{-x})(e^{x}+e^{-x})-(e^{x}-e^{-x})(e^{x}-e^{-x})}{(e^{x}+e^{-x})^{2}}\)

\[\begin{aligned}\left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right)^{2}&=\frac{(e^{x})^{2}+2e^{x}e^{-x}+(e^{-x})^{2}}{4}-\frac{(e^{x})^{2}-2e^{x}e^{-x}+(e^{-x})^{2}}{4}\\&=\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}-e^{2x}+2-e^{-2x}}{4}\\&=\frac{4}{4}=1\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}(b)\frac{(e^{x}+e^{-x})(e^{x}+e^{-x})-(e^{x}-e^{-x})(e^{x}-e^{-x})}{(e^{x}+e^{-x})^{2}}&=\frac{e^{2x}+2e^{x}e^{-x}+e^{-2x}-e^{2x}+2e^{x}e^{-x}-e^{-2x}}{(e^{x}+e^{-x})^{2}}\\&=\frac{4}{(e^{x}+e^{-x})^{2}}\end{aligned}\]

对于另一种形式，将最后一个表达式视为一个繁分数，并乘以分子和分母 \(e^{2x}\) 得到

\[\frac{4}{(e^{x}+e^{-x})^{2}}=\frac{4e^{2x}}{e^{2x}(e^{x}+e^{-x})^{2}}=\frac{4e^{2x}}{(e^{2x}+1)^{2}}\]

17.11 求函数 \(f(x) = xe^{-x} - e^{-x}\) 的零点

通过因式分解求解 \(xe^{-x} - e^{-x} = 0\)

\[\begin{aligned}e^{-x}(x-1)&=0\\e^{-x}=0 & or \quad x-1=0\\x&=1\end{aligned}\]

由于 \(e^{-x}\) 永远不为0，函数的唯一零点是1。

17.12 实验开始时培养皿中的细菌数量为400。如果细菌数量每3小时翻倍，人数可以表示为公式 \(N(t) = 400(2)^{t/3}\)。求24小时后培养皿中存在的细菌数量。

\[N(24)=400(2)^{24/3}=400\cdot2^{8}=102,400\ individuals\]

17.13 人类种群可以在短期内用无限指数增长函数建模。如果一个国家2000年人口为2200万，并保持每年1%的人口增长率，则以2000年 t = 0 时，后续时间的人口（以百万为单位）可以建模为 \(N(t) = 22 e^{0.01 t}\)。估计2010年的人口。

在2010年，t = 10。因此 \(N(10) = 22e^{0.01(10)} = 24.3\)。因此估计人口为2430万。

17.14 一群鹿被引入一个岛屿。初始种群为500只，估计长期可持续种群为2000只。如果种群大小由逻辑斯蒂增长函数给出

\[N(t)=\frac{2000}{1+3e^{-0.05t}}\]

估计（精确到两位有效数字）(a) 1年后；(b) 20年后；(c) 50年后的鹿的数量。使用给定公式和给定的 t 值计算。

  1. \(t=1:N(1)=\frac{2000}{1+3e^{-0.05(1)}}\approx520individuals\)

  2. \(t=20:N(20)=\frac{2000}{1+3e^{-0.05(20)}}\approx950individuals\)

  3. \(t=50:N(50)=\frac{2000}{1+3e^{-0.05(50)}}\approx1600individuals\)

17.15 绘制上一题函数 \(N(t)\) 的图像。

使用计算出的值。还要注意 \(N(0)\) 给定为500，当 \(t \to \infty\) 时，由于 \(e^{-0.05t} \to 0\)，函数值渐近趋近于2000。图像如图17-5所示。

17.16 某放射性同位素根据公式 \(Q(t) = Q_{0}e^{-0.034t}\) 衰变，其中 t 以年为单位，\(Q_{0}\) 是最初存在的克数。如果最初存在20克，求10年后存在的克数（精确到十分之一克）。

使用给定公式，其中 \(Q_{0}=20\)，t=10：\(Q(10)=20\cdot e^{-0.034(10)}=14.2\) 克。

17.17 如果放射性同位素根据公式 \(Q(t) = Q_{0} \cdot 2^{-t/T}\) 衰变，其中 t 以年为单位，\(Q_{0}\) 是最初存在的克数，证明当 t = T 时存在的量为 \(Q_{0}/2\)。（T 称为同位素的半衰期。）

使用 t = T 的给定公式。则 \(Q(T) = Q_{0} \cdot 2^{-T/T} = Q_{0} \cdot 2^{-1} = Q_{0}/2\)。

补充问题

17.18 绘制以下函数的图像：(a) \(f(x) = 1 - e^{-x}\) 和 (b) \(f(x) = 2^{-x^{2}/2}\)

答案：(a) 图17-6；(b) 图17-7

17.19 化简表达式 \(\left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right)^{2}\)

答案：\(\frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2}\) 或 \(\frac{e^{4x} + 1}{2e^{2x}}\)

17.20 证明 \(f(x) = e^{x}\) 的差商（见第9章）可以写成

\[\frac{e^{h}-1}{h}e^{x}\]

17.21 求函数 \(f(x) = -x^{2}e^{-x} + 2xe^{-x}\) 的零点。

答案：0, 2

17.22 8000美元投资于年利率5.5%的账户。如果一年后利息复利：(a) 每季度；(b) 每日；(c) 连续复利，账户中的金额是多少？

答案：(a) $8449.16；(b) $8452.29；(c) $8452.32

17.23 在上一题中，求账户的年化百分比利率（这是等效的无复利利率，产生相同的利息金额）。

答案：(a) 5.61%；(b) 5.65%；(c) 5.65%

17.24 要在10年后获得5000美元，需要以5.5%连续复利投资多少？

答案：2884.75

17.25 一个家庭刚刚有了新生儿。要在17年后为她准备60000美元的大学教育费用，需要以6%每日复利投资多少？

答案：21,637.50

17.26 如果培养皿中的细菌数量由公式 \(Q(t) = 250 \cdot 3^{t/4}\) 给出，其中 t 以天为单位，估计：(a) 初始种群；(b) 4天后的种群；(c) 14天后的种群。

答案：(a) 250；(b) 750；(c) 11,700

17.27 如果湖中的鳟鱼种群由公式 \(N(t) = \frac{8000}{2 + 3e^{-0.037t}}\) 给出，其中 t 以年为单位，估计：(a) 初始种群；(b) 10年后的种群；(c) 长期的极限值。

答案：(a) 1600；(b) 1960；(c) 4000

17.28 如果放射性同位素根据公式 \(Q(t) = Q_{0} \cdot 2^{-t/12}\) 衰变，其中 t 以年为单位，求初始量在 (a) 1年后；(b) 12年后；(c) 100年后剩余的比例。

答案：(a) \(0.94Q_{0}\)；(b) \(0.5Q_{0}\)；(c) \(0.003Q_{0}\)

17.29 碳-14的半衰期（见第17.17题）为5730年。

  1. 如果最初存在100克碳-14，3000年后还剩多少？

  2. 如果一个样本含有38克碳-14，4500年前存在多少？

答案：(a) 69.6克；(b) 65.5克