对数函数

对数函数

对数函数的定义

对数函数 \(f(x) = \log_{a} x\)，其中 \(a > 0\)，\(a \neq 1\)，是指数函数 \(F(x) = a^{x}\) 的反函数。因此，如果 \(y = \log_{a} x\)，则 \(x = a^{y}\)。也就是说，x 以 a 为底的对数是 a 必须被提升到的指数以获得 x。反之，如果 \(x = a^{y}\)，则 \(y = \log_{a} x\)。

例 18.1 函数 \(f(x) = \log_{2} x\) 定义为如果 \(2^{y} = x\)，则 \(y = \log_{2} x\)。由于 \(2^{4} = 16\)，4是2必须被提升到的指数以获得16，因此 \(\log_{2} 16 = 4\)。

例 18.2 语句 \(10^{3} = 1000\) 可以用以10为底的对数来重写。由于3是10必须被提升到的指数以获得1000，\(\log_{10} 1000 = 3\)。

对数函数与指数函数的关系

\[\log_{a}a^{x}=x\quad a^{\log_{a}x}=x\]

例 18.3 \(\log_{5}5^{3}=3\)；\(5^{\log_{5}25}=25\)

对数的性质

（M, N 为正实数）

\[\log_{a}1=0\]

\[\log_{a}(MN)=\log_{a}M+\log_{a}N\]

\[\log_{a}a=1\]

\[\log_{a}\left(M^{p}\right)=p\log_{a}M\]

\[\log_{a}\left(\frac{M}{N}\right)=\log_{a}M-\log_{a}N\]

例 18.4 (a) \(\log_{5}1=0\)（因为 \(5^{0}=1\)）(b) \(\log_{4}4=1\)（因为 \(4^{1}=4\)）

\[\begin{aligned}(c)\log_{6}6x&=\log_{6}6+\log_{6}x=1+\log_{6}x\quad(d)\log_{6}x^{6}=6\log_{6}x\end{aligned}\]

\[\left(\mathrm{e}\right)\log_{1/2}(2x)=\log_{1/2}\frac{x}{1/2}=\log_{1/2}x-\log_{1/2}\left(\frac{1}{2}\right)=\log_{1/2}x-1\]

特殊对数函数

\(\log_{10} x\) 简写为 \(\log x\)（常用对数）。\(\log_{e} x\) 简写为 \(\ln x\)（自然对数）。

已解问题

18.1 将以下写成指数形式：

  1. \(\log_{2}8 = 3\)；(b) \(\log_{25}5 = \frac{1}{2}\)；(c) \(\log_{10}\frac{1}{100} = -2\)；

  2. \(\log_{8}\frac{1}{4}=-\frac{2}{3}\)；(e) \(\log_{b}c=d\)；(f) \(\log_{e}\left(x^{2}+5x-6\right)=y-C\)

  3. 如果 \(y = \log_{a} x\)，则 \(x = a^{y}\)。因此，如果 \(3 = \log_{2} 8\)，则 \(8 = 2^{3}\)

  4. 如果 \(y = \log_{a} x\)，则 \(x = a^{y}\)。因此，如果 \(\frac{1}{2} = \log_{25} 5\)，则 \(5 = 25^{1/2}\)

  5. 如果 \(-2 = \log_{10}\frac{1}{100}\)，则 \(\frac{1}{100} = 10^{-2}\)

  6. 如果 \(-\frac{2}{3} = \log_{8}\frac{1}{4}\)，则 \(8^{-2/3} = \frac{1}{4}\)

  7. 如果 \(d = \log_{b} c\)，则 \(b^{d} = c\)

  8. 如果 \(y - C = \log_{e}(x^{2} + 5x - 6)\)，则 \(e^{y - C} = x^{2} + 5x - 6\)

18.2 将以下写成对数形式：

  1. \(3^{5} = 243\)；(b) \(6^{-3} = \frac{1}{216}\)；(c) \(256^{3/4} = 64\)；

  2. \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-5}=32\)；(e) \(u^{m}=p\)；(f) \(e^{at+b}=y-C\)

  3. 如果 \(x = a^{y}\)，则 \(y = \log_{a} x\)。因此如果 \(243 = 3^{5}\)，则 \(5 = \log_{3} 243\)

  4. 如果 \(x = a^{y}\)，则 \(y = \log_{a} x\)。因此如果 \(\frac{1}{216} = 6^{-3}\)，则 \(-3 = \log_{6} \frac{1}{216}\)

  5. 如果 \(64 = 256^{3/4}\)，则 \(\log_{256} 64 = \frac{3}{4}\)

  6. 如果 \(32 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-5}\)，则 \(\log_{1/2} 32 = -5\)

  7. 如果 \(p = u^{m}\)，则 \(\log_{u} p = m\)

  8. 如果 \(y - C = e^{at + b}\)，则 \(\log_{e}(y - C) = at + b\)

18.3 求以下对数的值：

  1. \(\log_{7}49\)；(b) \(\log_{4}256\)；(c) \(\log_{10}0.000001\)；(d) \(\log_{27}\frac{1}{9}\)；(e) \(\log_{1/5}125\)

  2. 以7为底49的对数是7必须被提升到的指数以获得49。这个指数是2；因此 \(\log_{7}49=2\)

  3. 以4为底256的对数是4必须被提升到的指数以获得256。这个指数是4；因此 \(\log_{4}256=4\)

  4. 设 \(\log_{10}0.000001 = x\)。则 \(\log_{10}10^{-6} = x\)。重写为指数形式，\(10^{x} = 10^{-6}\)。由于指数函数是一一对应的，\(x = -6\)；因此 \(\log_{10}0.000001 = -6\)

  5. 设 \(\log_{27}\frac{1}{9}=x\)。重写为指数形式，\(27^{x}=\frac{1}{9}\)，即 \((3^{3})^{x}=3^{3x}=3^{-2}\)。由于指数函数是一一对应的，\(3x=-2\)，\(x=-\frac{2}{3}\)，因此 \(\log_{27}\frac{1}{9}=-\frac{2}{3}\)

  6. 设 \(\log_{1/5}125 = x\)。重写为指数形式，\(\left(\frac{1}{5}\right)^{x} = 125\)，即 \((5^{-1})^{x} = 5^{-x} = 5^{3}\)。由于指数函数是一一对应的，-x = 3，x = -3；因此 \(\log_{1/5}125 = -3\)

18.4 (a) 确定以 a 为底的对数函数的定义域和值域

  1. 求 \(\log_{5}(-25)\) 的值

  2. 由于对数函数是以 a 为底的指数函数的反函数，且指数函数的定义域为 R，值域为 \((0,\infty)\)，对数函数的定义域必须为 \((0,\infty)\)，值域为 R

  3. 由于-25不在对数函数的定义域中，\(\log_{5}(-25)\) 无定义

18.5 在同一笛卡尔坐标系中绘制 \(f(x) = a^{x}\)，\(a > 1\)，\(f^{-1}(x) = \log_{a} x\) 和直线 y = x 的图像

注意：图像如图18-1所示

f 的定义域为 R，f 的值域为 \((0,\infty)\)

点 \((0,1)\) 和 \((1,a)\) 在 f 的图像上

负 x 轴是一条渐近线

\(f^{-1}\) 的定义域为 \((0,\infty)\)，\(f^{-1}\) 的值域为 R

点 \((1,0)\) 和 \((a,1)\) 在 \(f^{-1}\) 的图像上

负 y 轴是一条渐近线

18.6 绘制以下函数的图像：

  1. \(f(x) = \log_{5} x\)

  2. 列出数值表

x y
\(\frac{1}{5}\) -1
1 0
5 1
25 2

定义域：\((0,\infty)\)，值域：R，渐近线：负 y 轴（如图18-2所示）

  1. \(g(x) = \log_{1/4} x\)

  2. 列出数值表

x y
\(\frac{1}{4}\) 1
1 0
4 -1
16 -2

定义域：\((0,\infty)\)，值域：R，渐近线：正 y 轴（如图18-3所示）

18.7 证明对数-指数函数关系

  1. 如果 \(y = \log_{a} x\)，则 \(x = a^{y}\)。因此 \(x = a^{y} = a^{\log_{a} x}\)

  2. 同样地，交换字母，如果 \(x = \log_{a} y\)，则 \(y = a^{x}\)。因此 \(x = \log_{a} y = \log_{a} a^{x}\)

18.8 证明如果 \(\log_{a} u = \log_{a} v\)，则 u = v

由于指数函数 \(f(x) = a^{x}\) 是一一对应的，其反函数 \(f^{-1}(x) = \log_{a} x\) 也是一一对应的，且 \((f \circ f^{-1})(x) = f(f^{-1}(x)) = f(\log_{a} x) = a^{\log_{a} x} = x\)

因此，如果 \(\log_{a}u = \log_{a}v\)，则 \(a^{\log_{a}u} = a^{\log_{a}v}\)，且 u = v

18.9 使用对数-指数函数关系求值：

  1. \(\log_{3}3^{5}\)；(b) \(\log_{2}256\)；(c) \(\log_{a}\sqrt[3]{a^{2}}\)；(d) \(\log0.00001\)；

  2. \(5^{\log_{5}3}\)；(f) \(e^{\ln\pi}\)；(g) \(a^{\log_{a}(x^{2}-5x+6)}\)；(h) \(36^{\log_{6}7}\)

答案：(a) \(\log_{3}3^{5}=5\)；(b) \(\log_{2}256=\log_{2}2^{8}=8\)；

  1. \(\log_{a}\sqrt[3]{a^{2}}=\log_{a}a^{2/3}=\frac{2}{3}\)；(d) \(\log0.00001=\log_{10}10^{-5}=-5\)；

  2. \(5^{\log_{5}3} = 3\)；(f) \(e^{\ln\pi} = e^{\log_{e}\pi} = \pi\)；

\[a^{\log_{a}\left(x^{2}-5x+6\right)}=x^{2}-5x+6;\]

\[\left(\mathrm{h}\right)36^{\log_{6}7}=\left(6^{2}\right)^{\log_{6}7}=6^{2\log_{6}7}=\left(6^{\log_{6}7}\right)^{2}=7^{2}=49\]

18.10 证明对数的性质

性质 \(\log_{a}1=0\) 和 \(\log_{a}a=1\) 可以直接从对数-指数关系得出，因为 \(\log_{a}1=\log_{a}a^{0}=0\) 和 \(\log_{a}a=\log_{a}a^{1}=1\)

为了证明其他性质，设 \(u = \log_{a} M\) 和 \(v = \log_{a} N\)。则 \(M = a^{u}\) 和 \(N = a^{v}\)

因此 \(MN = a^{u}a^{v}\)；从而 \(MN = a^{u+v}\)。重写为对数形式，\(\log_{a}MN = u + v\)

因此 \(\log_{a}MN = \log_{a}M + \log_{a}N\)

同样地，\(\frac{M}{N} = \frac{a^{u}}{a^{v}}\)，从而 \(\frac{M}{N} = a^{u-v}\)。重写为对数形式，\(\log_{a}\frac{M}{N} = u - v\)

因此 \(\log_{a}\left(\frac{M}{N}\right)=\log_{a}M-\log_{a}N\)

最后 \(M^{p}=(a^{u})^{p}=a^{up}\)；从而 \(M^{p}=a^{pu}\)。重写为对数形式，\(\log_{a}M^{p}=pu\)。因此 \(\log_{a}M^{p}=p\log_{a}M\)

18.11 使用对数的性质将以下用较简单表达式的对数重写：

  1. \(\log_{a}\frac{xy}{z}\)；(b) \(\log_{a}(x^{2}-1)\)；(c) \(\log_{a}\frac{x^{3}(x+5)}{(x-4)^{2}}\)；(d) \(\log_{a}\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}}\)；(e) \(\ln(C e^{5x+1})\)

答案：(a) \(\log_{a}\frac{xy}{z}=\log_{a}xy-\log_{a}z=\log_{a}x+\log_{a}y-\log_{a}z\)

  1. \(\log_{a}(x^{2}-1)=\log_{a}[(x-1)(x+1)]=\log_{a}(x-1)+\log_{a}(x+1)\)。注意：对数的性质可用于变换涉及积、商和幂的对数表达式，但不能简化和或差的对数

  2. \(\log_{a}\frac{x^{3}(x+5)}{(x-4)^{2}}=\log_{a}x^{3}+\log_{a}(x+5)-\log_{a}(x-4)^{2}=3\log_{a}x+\log_{a}(x+5)-2\log_{a}(x-4)\)

\[\left(\mathrm{d}\right)\log_{a}\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}}=\frac{1}{2}\left[\log_{a}\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}\right]=\frac{1}{2}\left[\log_{a}(x^{2}+y^{2})-\log_{a}(xy)\right]=\frac{1}{2}\left[\log_{a}(x^{2}+y^{2})-\log_{a}x-\log_{a}y\right]\]

\[\mathrm{(e)}\ln(Ce^{5x+1})=\ln C+\ln e^{5x+1}=\ln C+5x+1\]

18.12 写成一个对数：

  1. \(3\log_{a} u - \log_{a} v\)；(b) \(\frac{1}{3}\log_{a} 5 - 3\log_{a} x - 4\log_{a} y\)；(c) \(\frac{1}{3}\log_{a} (x - 3) + 3\log_{a} x + 2\log_{a} (1 + x)\)；

  2. \(\frac{1}{2}[\log_{a}x+3\log_{a}y-5\log_{a}(z-2)]\)；(e) \(\frac{1}{2}\ln(x+1)-\frac{1}{2}\ln\left(x-1\right)+\ln C\)

答案：(a) \(3\log_{a} u - \log_{a} v = \log_{a} u^{3} - \log_{a} v = \log_{a} \frac{u^{3}}{v}\)

\[\left(\mathrm{b}\right)\frac{1}{3}\log_{a}5-3\log_{a}x-4\log_{a}y=\log_{a}\bigvee^{3}\sqrt{5}-\log_{a}\left(x^{3}y^{4}\right)=\log_{a}\frac{\bigvee^{3}\sqrt{5}}{x^{3}y^{4}}\]

\[\begin{aligned}(c)\ \frac{1}{3}\log_{a}{(x-3)}+3\log_{a}{x+2\log_{a}{(1+x)}}&=\log_{a}{(x-3)^{1/3}}+\log_{a}{x^{3}}+\log_{a}{(1+x)^{2}}\\&=\log_{a}{\sqrt[3]{x-3}}+\log_{a}{x^{3}(1+x)^{2}}\\&=\log_{a}{[x^{3}(1+x)^{2}\sqrt[3]{x-3}]}\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}(d)\frac{1}{2}\left[\log_{a}x+3\log_{a}y-5\log_{a}(z-2)\right]=\frac{1}{2}\left[\log_{a}xy^{3}-\log_{a}(z-2)^{5}\right]=\log_{a}\sqrt{\frac{xy^{3}}{(z-2)^{5}}}\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}(e)\ \frac{1}{2}\ln(x+1)-\frac{1}{2}\ln(x-1)+\ln C&=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)+\ln C\\&=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\ln C=\ln C\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\end{aligned}\]

补充问题

18.13 写成指数形式：

\(\log_{1000}10=\frac{1}{3}\)；(b) \(\log_{7}\frac{1}{49}=-2\)；(c) \(\log_{u}\frac{1}{\sqrt{u}}=-\frac{1}{2}\)

答案：(a) \(1000^{1/3} = 10\)；(b) \(7^{-2} = \frac{1}{49}\)；(c) \(u^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{u}}\)

18.14 写成对数形式：

  1. \(\left(\frac{1}{4}\right)^{-3}=64\)；(b) \(e^{2/5}=\sqrt[5]{e^{2}}\)；(c) \(m^{-p}=T\)

答案：(a) \(\log_{1/4}64 = -3\)；(b) \(\ln\sqrt[5]{e^{2}} = \frac{2}{5}\)；(c) \(\log_{m}T = -p\)

18.15 求值：

  1. \(\ln Ce^{-at}\)；(b) \(\log_{4}\frac{1}{8}\)；(c) \(\log_{10}(-100)\)；(d) \(\log_{1/256}\frac{1}{2}\)

答案：(a) \(\ln C - at\)；(b) \(-\frac{3}{2}\)；(c) 无定义；(d) \(\frac{1}{8}\)

18.16 (a) 求 \(\log_{3}81\) 的值；(b) 求 \(\log_{3}\frac{1}{81}\) 的值；(c) 证明 \(\log_{a}\frac{1}{N} = -\log_{a}N\)

答案：(a) 4；(b) -4

18.17 (a) 求 \(\log_{5}125\) 的值；(b) 求 \(\log_{125}5\) 的值；(c) 证明 \(\log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a}\)

答案：(a) 3；(b) \(\frac{1}{3}\)

18.18 用较简单表达式的对数表示：

  1. \(\log_{a}a(x-r)(x-s)\)；(b) \(\log_{a}\frac{a^{2}}{x^{3}y^{4}}\)；(c) \(\ln\frac{a+\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{a-\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\)；(d) \(\ln\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\)

答案：(a) \(1 + \log_{a}(x - r) + \log_{a}(x - s)\)；(b) \(2 - 3\log_{a}x - 4\log_{a}y\)

  1. \(\ln\left(a+\sqrt{a^{2}-x^{2}}\right)-\ln\left(a-\sqrt{a^{2}-x^{2}}\right)\)，或者（有理化分母后）

\[2\ln (a + \sqrt{a^2 - x^2}) - 2\ln x;\]

  1. \(\ln(e^{x}-e^{-x})-\ln2\)

18.19 求值：(a) \(10^{(1/2)\log3}\)；(b) \(5^{3\log_{5}7}\)；(c) \(2^{-3\log_{2}5}\)

答案：(a) \(\sqrt{3}\)；(b) 343；(c) \(\frac{1}{125}\)

18.20 写成一个对数：

  1. \(2\ln x - 8\ln y + 4\ln z\)；(b) \(\log(1 - x) + \log(x - 3)\)；

  2. \(\frac{\ln\left(x+h\right)-\ln x}{h}\)；(d) \(x\ln x-\left(x-1\right)\ln(x-1)\)；

答案：(a) \(\ln \frac{x^{2}z^{4}}{y^{8}}\)；(b) 无定义（没有 x 的值能使两个对数同时有定义）

\[\left(\mathrm{c}\right)\ln\left(\frac{x+h}{x}\right)^{1/h};\left(\mathrm{d}\right)\ln\frac{x^{x}}{(x-1)^{x-1}};\left(\mathrm{e}\right)1-\log_{c}a\]

18.21 已知 \(\log a = 0.69\)，\(\log b = 1.10\)，\(\log a = 1.61\)，使用对数的性质求以下的值：

  1. \(\log_{a}30\)；(b) \(\log_{a}\frac{6}{5}\)；(c) \(\log_{a}\frac{1}{\sqrt{15}}\)；(d) \(\log_{a}\left(-\frac{5}{6}\right)\)

答案：(a) 3.40；(b) 0.18；(c) -1.36；(d) 无定义

18.22 绘制以下函数的图像：

  1. \(f(x)=\log_{3}(x+2)\)；(b) \(F(x)=3-\log_{2}x\)；(c) \(g(x)=\ln\left|x\right|\)；(d) \(G(x)=-\ln{(-x)}\)

答案：(a) 图18-4；(b) 图18-5；(c) 图18-6；(d) 图18-7