第19章 指数方程与对数方程

指数方程与对数方程

指数方程

指数方程是指变量出现在指数位置的方程。求解指数方程的关键步骤通常是对方程两边取以适当底数（常用以10或\(e\)为底）的对数。

例 19.1 求解 \(e^{x} = 2\)。

对两边取对数：

\[\ln(e^{x}) = \ln(2)\]

应用函数-反函数关系：

\[x = \ln 2\]

对数方程

对数方程是指含有变量的对数表达式的方程。求解对数方程的关键步骤通常是将对数形式改写为指数形式。若方程中出现多个对数表达式，可利用对数的性质将其合并为一个表达式。

例 19.2 求解 \(\log_{2}(x-3)=4\)

\[\begin{aligned}\log_{2}(x-3)&=4\\2^{4}&=x-3\\x&=2^{4}+3\\x&=19\end{aligned}\]

改写为指数形式，然后求解变量。

换底公式

对数表达式可利用换底公式改写为其他底数的形式：

\[\log_{a}x=\frac{\log_{b}x}{\log_{b}a}\]

例 19.3 用以\(e\)为底的对数表示 \(\log_{5}10\)，并给出近似值。

由换底公式：\(\log_{5}10=\dfrac{\ln10}{\ln5}\approx1.43\)

对数尺度

当处理范围极广的数值时（例如从 \(0.000\,000\,000\,001\) 到 \(10\,000\,000\,000\)），直接计算非常繁琐。这时利用数值的对数来处理效率更高（本例中常用对数的范围仅为 \(-12\) 到 \(+10\)）。

对数尺度的应用示例

1. 声音强度：分贝（decibel）尺度定义如下：

\[D=10\log\frac{I}{I_{0}}\]

其中 \(D\) 为声音的分贝值，\(I\) 为声音的强度（单位：瓦特/平方米），\(I_{0}\) 为人耳刚能听到的最小声音强度。

2. 地震强度：有多种称为里氏震级的对数尺度用于衡量地震的破坏力。常用的里氏震级定义如下：

\[R=\frac{2}{3}\log\frac{E}{E_{0}}\]

其中 \(R\) 称为地震的（里氏）震级，\(E\) 为地震释放的能量（单位：焦耳），\(E_{0}\) 为参考小地震释放的能量。

解题示例

解题 19.1 证明换底公式。

设 \(y = \log_{a} x\)，改写为指数形式：\(x = a^{y}\)。对两边取以 \(b\) 为底的对数：

\[\begin{aligned}\log_{b}x&=\log_{b}a^{y}\\&=y\log_{b}a\quad\text{（利用对数性质）}\end{aligned}\]

故

\[y=\frac{\log_{b}x}{\log_{b}a},\quad \text{即}\quad \log_{a}x=\frac{\log_{b}x}{\log_{b}a}\]

解题 19.2 求解 \(2^{x} = 6\)。

对两边取以\(e\)为底的对数（也可用以10为底，但在多数微积分情形下以\(e\)为底更标准）：

\[\begin{aligned}\ln2^{x}&=\ln6\\x\ln2&=\ln6\\x&=\frac{\ln6}{\ln2}\quad&\text{（精确解）}\\x&\approx2.58\quad&\text{（近似解）}\end{aligned}\]

也可对两边取以2为底的对数，并应用换底公式：

\[\begin{aligned}\log_{2}2^{x}&=\log_{2}6\\x&=\log_{2}6\\x&=\frac{\ln6}{\ln2}\end{aligned}\]

解题 19.3 求解 \(2^{3x-4}=15\)

\[\begin{aligned}\ln2^{3x-4}&=\ln15\\(3x-4)\ln2&=\ln15\\3x\ln2-4\ln2&=\ln15\\3x\ln2&=\ln15+4\ln2\\x&=\frac{\ln15+4\ln2}{3\ln2}\quad\text{（精确解）}\\x&\approx2.64\quad\text{（近似解）}\end{aligned}\]

解题 19.4 求解 \(5^{4-x} = 7^{3x+1}\)

\[\begin{aligned}\ln5^{4-x}&=\ln7^{3x+1}\\(4-x)\ln5&=(3x+1)\ln7\\4\ln5-x\ln5&=3x\ln7+\ln7\\4\ln5-\ln7&=x\ln5+3x\ln7\\x&=\frac{4\ln5-\ln7}{\ln5+3\ln7}\quad\text{（精确解）}\\x&\approx0.60\quad\text{（近似解）}\end{aligned}\]

解题 19.5 求解 \(2^{x} - 2^{-x} = 1\)。

在取对数之前，关键是先将指数形式孤立出来：

\[2^{x}-\frac{1}{2^{x}}=1\]

两边乘以 \(2^{x}\)：

\[\begin{aligned}(2^{x})^{2}-1&=2^{x}\\(2^{x})^{2}-2^{x}-1&=0\end{aligned}\]

这是一个关于 \(2^x\) 的二次型方程。令 \(u = 2^{x}\)，方程变为：

\[u^{2}-u-1=0\]

用求根公式（\(a=1, b=-1, c=-1\)）：

\[u=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\]

还原 \(2^{x} = u\) 并取对数：

\[x=\ln\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)/\ln2\]

注意，由于 \(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\) 为负数，不在对数函数的定义域内，故唯一解为 \(x=\ln\!\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)/\ln2\approx0.69\)。

解题 19.6 对 \(\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}=y\)，用 \(x\) 关于 \(y\) 的表达式求解。

化简复合分数（注意 \(e^{-x}=1/e^{x}\)）：

\[\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=y\]

孤立指数形式 \(e^{2x}\)：

\[e^{2x}(1-y)=1+y \implies e^{2x}=\frac{1+y}{1-y}\]

两边取对数：

\[x=\frac{1}{2}\ln\frac{1+y}{1-y}\]

该解在 \(-1 < y < 1\) 范围内有效。

解题 19.7 求解 \(\log_{2}(3x-4)=5\)

\[\begin{aligned}2^{5}&=3x-4\\32&=3x-4\\x&=12\end{aligned}\]

解题 19.8 求解 \(\log x + \log(x + 3) = 1\)

利用对数性质合并：

\[\begin{aligned}\log\left[x(x+3)\right]&=1\\10^{1}&=x(x+3)\\x^{2}+3x&=10\end{aligned}\]

因式分解：

\[\begin{aligned}(x+5)(x-2)&=0\\x=-5\quad\text{或}\quad x&=2\end{aligned}\]

由于 \(-5\) 不在对数函数的定义域内，唯一解为 \(x=2\)。

解题 19.9 求 \(y\) 关于 \(x\) 和 \(C\) 的表达式：\(\ln(y+2)=x+\ln C\)

\[\begin{aligned}\ln(y+2)-\ln C&=x\\\ln\left(\frac{y+2}{C}\right)&=x\\\frac{y+2}{C}&=e^{x}\\y&=Ce^{x}-2\end{aligned}\]

解题 19.10 某笔资金以年利率 4.5% 按季复利计息，问需要多少年（精确到十分之一年）才能使本金翻倍？

用公式 \(A(t)=P\!\left(1+\dfrac{r}{n}\right)^{nt}\)，其中 \(n=4\)，\(r=0.045\)，令 \(A(t)=2P\)：

\[\begin{aligned}2&=\left(1+\frac{0.045}{4}\right)^{4t}\\\ln2&=4t\ln\left(1+\frac{0.045}{4}\right)\\t&=\frac{\ln2}{4\ln\!\left(1+\frac{0.045}{4}\right)}\approx15.5\text{ 年}\end{aligned}\]

解题 19.11 若按连续复利计息，同一笔资金需要多少年翻倍？

用公式 \(A(t)=Pe^{rt}\)，\(r=0.045\)，令 \(A(t)=2P\)：

\[\begin{aligned}2&=e^{0.045t}\\\ln2&=0.045t\\t&=\frac{\ln2}{0.045}\approx15.4\text{ 年}\end{aligned}\]

解题 19.12 某放射性同位素的半衰期为 35.2 年。问从初始 1 克衰变到 0.01 克需要多少年（精确到十分之一年）？

用公式 \(Q(t)=Q_{0}e^{-kt}\)。首先用 \(t=35.2\)，\(Q_{0}=1\)，\(Q(35.2)=1/2\) 确定 \(k\)：

\[k=\frac{\ln2}{35.2}\]

则

\[Q(t)=Q_{0}e^{\frac{-t\ln2}{35.2}}\]

令 \(Q(t)=0.01\)，\(Q_{0}=1\)，求 \(t\)：

\[\begin{aligned}\ln0.01&=\frac{-t\ln2}{35.2}\\t&=\frac{-35.2\ln0.01}{\ln2}\approx233.9\text{ 年}\end{aligned}\]

解题 19.13 利用分贝公式 \(D=10\log\dfrac{I}{I_{0}}\)：

(a) 令 \(I=I_{0}=10^{-12}\)：\(D=10\log\dfrac{I_{0}}{I_{0}}=10\log1=0\) 分贝。

(b) 令 \(I=10^{-1}\)，\(I_{0}=10^{-12}\)：\(D=10\log10^{11}=110\) 分贝。

(c) 令 \(D=85\)，\(I_{0}=10^{-12}\)：

\[\begin{aligned}8.5&=\log\frac{I}{10^{-12}}\\I&=10^{-12}\cdot10^{8.5}=10^{-3.5}\approx3.2\times10^{-4}\text{ 瓦/平方米}\end{aligned}\]

解题 19.14 利用里氏震级公式 \(R=\dfrac{2}{3}\log\dfrac{E}{E_{0}}\)：

(a) 令 \(E=1000E_{0}\)：\(R=\dfrac{2}{3}\log1000=\dfrac{2}{3}\times3=2\)。

(b) 令 \(R=5\)，\(E_{0}=10^{4.40}\) 焦耳：

\[E=E_{0}\cdot10^{7.5}=10^{4.40}\cdot10^{7.5}\approx7.94\times10^{11}\text{ 焦耳}\]

(c) 令 \(R_{1}=8.1\)，\(R_{2}=5.4\)：

\[\frac{E_{1}}{E_{2}}=10^{4.05}\approx11200\]

该地震释放的能量超过余震释放能量的 11000 倍。

补充习题

19.15. 证明 \(a^{b}=e^{b\ln a}\)

19.16. 求解：(a) \(e^{5x-3}=10\)；(b) \(5^{3+x}=20^{x-3}\)；(c) \(4^{x^{2}-2x}=12\)

答：(a) \(x=\dfrac{3+\ln10}{5}\approx1.06\)；(b) \(x=\dfrac{3\ln5+3\ln20}{\ln20-\ln5}\approx9.97\)；(c) \(x=1\pm\sqrt{1+\dfrac{\ln12}{\ln4}}\)，\(x\approx2.67\) 或 \(-0.67\)

19.17. 用以10为底的对数表示解：(a) \(2^{x}-6(2^{-x})=6\)；(b) \(\dfrac{10^{x}-10^{-x}}{10^{x}+10^{-x}}=\dfrac{1}{2}\)

答：(a) \(x=\log(3+\sqrt{15})/\log2\)；(b) \(x=(\log3)/2\)

19.18. 求解：(a) \(\log_{3}(x-2)+\log_{3}(x-4)=2\)；(b) \(2\ln x-\ln(x+1)=3\)

答：(a) \(x=3+\sqrt{10}\approx6.16\)；(b) \(x=\dfrac{e^{3}+\sqrt{e^{6}+4e^{3}}}{2}\approx21.04\)

19.19. 用自然对数求解 \(t\)：(a) \(Q=Q_0e^{kt}\)；(b) \(A=P\!\left(1+\dfrac{r}{n}\right)^{nt}\)

答：(a) \(t=\dfrac{1}{k}\ln\dfrac{Q}{Q_{0}}\)；(b) \(t=\dfrac{\ln(A/P)}{n\ln(1+r/n)}\)

19.20. 用自然对数求解 \(t\)：(a) \(I=\dfrac{V}{R}\!\left(1-e^{-Rt/L}\right)\)；(b) \(N=\dfrac{N_{0}P}{N_{0}+(P-N_{0})e^{-kt}}\)

答：(a) \(t=\dfrac{L}{R}\ln\dfrac{V}{V-RI}\)；(b) \(t=\dfrac{1}{k}\ln\dfrac{N(P-N_{0})}{N_{0}(P-N)}\)

19.21. 用 \(y\) 的表达式求解 \(x\)：(a) \(\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}=y\)；(b) \(\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}=y\)

答：(a) \(x=\ln(y\pm\sqrt{y^{2}-1})\)；(b) \(x=\ln(y+\sqrt{y^{2}+1})\)

19.22. 若一笔投资以6%年利率按季复利计息，需要多少年才能增至三倍？

答：18.4 年

19.23. 若投资在八年内连续复利翻倍，年利率是多少？

答：8.66%

19.24. 若某放射性同位素样品在 5.3 天内从 400 克衰减到 300 克，求其半衰期。

答：12.8 天

19.25. 若一种声音的强度是另一种的 1000 倍，两者的分贝级差是多少？

答：30 分贝

19.26. 牛顿冷却定律指出，初始温度为 \(T_{0}\) 的物体放置在温度较低的 \(T_{m}\) 环境中，其温度 \(T\) 随时间的变化公式为 \(T=T_{m}+(T_{0}-T_{m})e^{-kt}\)。若早上 7 时一杯温度为 \(160°\) 的咖啡被带到温度为 \(40°\) 的室外，到 7:05 时冷却到 \(140°\)，求：(a) 7:10 时的温度；(b) 温度何时降至 \(100°\)？

答：(a) \(123°\)；(b) 7:19