第20章 三角函数

三角函数

单位圆

单位圆 \(U\) 是以 \((0,0)\) 为圆心、半径为 1 的圆，其方程为 \(x^{2}+y^{2}=1\)，周长为 \(2\pi\)。

例 20.1 画出单位圆并标出其截距（见图 20-1）。

单位圆上的点

对于任意实数 \(t\)，可以按如下方式在单位圆 \(U\) 上确定唯一一点 \(P\)：

1. 对应 \(t=0\) 的点是 \((1,0)\)。
2. 对应任意正实数 \(t\) 的点 \(P(x,y)\)：从点 \((1,0)\) 出发，沿逆时针方向移动距离 \(|t|\) 到达该点（见图 20-2）。
3. 对应任意负实数 \(t\) 的点 \(P(x,y)\)：从点 \((1,0)\) 出发，沿顺时针方向移动距离 \(|t|\) 到达该点（见图 20-3）。

三角函数的定义

若 \(t\) 是实数，\(P(x,y)\)（记作 \(P(t)\)）是单位圆 \(U\) 上对应 \(t\) 的点，则 \(t\) 的六个三角函数——正弦、余弦、正切、余割、正割、余切，分别缩写为 \(\sin, \cos, \tan, \csc, \sec, \cot\)——定义如下：

\[\sin t=y\]

\[\csc t=\frac{1}{y}\quad(y\neq0)\]

\[\cos t=x\]

\[\sec t=\frac{1}{x}\quad(x\neq0)\]

\[\tan t=\frac{y}{x}\quad(x\neq0)\]

\[\cot t=\frac{x}{y}\quad(y\neq0)\]

例 20.2 若实数 \(t\) 对应单位圆上的点 \(P\!\left(\dfrac{3}{5},-\dfrac{4}{5}\right)\)，求 \(t\) 的六个三角函数值。

由于 \(P\) 的 \(x\) 坐标为 \(\dfrac{3}{5}\)，\(y\) 坐标为 \(-\dfrac{4}{5}\)：

\[\sin t=-\frac{4}{5},\quad\cos t=\frac{3}{5},\quad\tan t=-\frac{4}{3}\]

\[\csc t=-\frac{5}{4},\quad\sec t=\frac{5}{3},\quad\cot t=-\frac{3}{4}\]

单位圆上点的对称性

对任意实数 \(t\)，以下关系成立：

1. \(P(t+2\pi)=P(t)\)
2. 若 \(P(t)=(x,y)\)，则 \(P(-t)=(x,-y)\)
3. 若 \(P(t)=(x,y)\)，则 \(P(t+\pi)=(-x,-y)\)

周期函数

若存在实数 \(p\) 使得对定义域中每个 \(t\) 都有 \(f(t+p)=f(t)\)，则函数 \(f\) 称为周期函数。满足条件的最小正数 \(p\) 称为该函数的周期。

三角函数的周期性

所有三角函数都是周期函数，以下关系成立：

\[\sin(t+2\pi)=\sin t,\qquad\cos(t+2\pi)=\cos t\]

\[\csc(t+2\pi)=\csc t,\qquad\tan(t+\pi)=\tan t\]

\[\sec(t+2\pi)=\sec t,\qquad\cot(t+\pi)=\cot t\]

记号约定

指数记号：\((\sin t)^{2}\) 通常记作 \(\sin^{2}t\)，\((\cos t)^{2}\) 记作 \(\cos^{2}t\)，以此类推。

恒等式

恒等式是对所有使两边均有意义的变量值都成立的等式。

三角恒等式

1. 勾股恒等式（毕达哥拉斯恒等式）：对两边均有意义的所有 \(t\)：

\[\cos^{2}t+\sin^{2}t=1\]

\[1+\tan^{2}t=\sec^{2}t\]

\[\cot^{2}t+1=\csc^{2}t\]

2. 倒数恒等式：对两边均有意义的所有 \(t\)：

\[\sin t=\frac{1}{\csc t},\quad\cos t=\frac{1}{\sec t},\quad\tan t=\frac{1}{\cot t}\]

\[\csc t=\frac{1}{\sin t},\quad\sec t=\frac{1}{\cos t},\quad\cot t=\frac{1}{\tan t}\]

3. 商式恒等式：对两边均有意义的所有 \(t\)：

\[\tan t=\frac{\sin t}{\cos t},\qquad\cot t=\frac{\cos t}{\sin t}\]

4. 负角恒等式：对两边均有意义的所有 \(t\)：

\[\sin(-t)=-\sin t,\quad\cos(-t)=\cos t\]

\[\csc(-t)=-\csc t,\quad\sec(-t)=\sec t\]

\[\tan(-t)=-\tan t,\quad\cot(-t)=-\cot t\]

解题示例

解题 20.1 求正弦函数和余弦函数的定义域与值域。

对任意实数 \(t\)，单位圆 \(x^{2}+y^{2}=1\) 上都有唯一的点 \(P(t)=(x,y)\) 与之对应。由于 \(\sin t=y\) 和 \(\cos t=x\) 对所有 \(t\) 均有定义，故其定义域均为 \(\mathbb{R}\)。由于 \(-1\leq y\leq1\) 且 \(-1\leq x\leq1\)，故值域均为 \([-1,1]\)。

解题 20.2 \(P(t)\) 的 \(y\) 坐标何时等于零？

\(P(0)=(1,0)\)，故 \(y=0\)。由单位圆周长为 \(2\pi\)，当 \(t\) 为 \(\pi\) 的整数倍时，\(P(t)\) 的 \(y\) 坐标为零，即 \(t=n\pi\)（\(n\) 为整数）。

解题 20.3 \(P(t)\) 的 \(x\) 坐标何时等于零？

\(P(\pi/2)=(0,1)\) 且 \(P(3\pi/2)=(0,-1)\)，故 \(x=0\) 的情况发生在 \(t=\pi/2+2\pi n\) 或 \(t=3\pi/2+2\pi n\)（\(n\) 为整数）。

解题 20.4 求正切函数和正割函数的定义域。

\(\tan t=y/x\) 和 \(\sec t=1/x\) 在 \(x=0\) 时无意义，故其定义域为 \(\{t\in\mathbb{R}\mid t\neq\pi/2+2\pi n,\,3\pi/2+2\pi n\}\)（\(n\) 为整数）。

解题 20.5 求余切函数和余割函数的定义域。

\(\cot t=x/y\) 和 \(\csc t=1/y\) 在 \(y=0\) 时无意义，故其定义域为 \(\{t\in\mathbb{R}\mid t\neq n\pi\}\)（\(n\) 为整数）。

解题 20.6 求正切、余切、正割、余割函数的值域。

正切和余切的值域均为 \(\mathbb{R}\)；正割和余割的值域均为 \((-\infty,-1]\cup[1,+\infty)\)。

解题 20.7 求 \(t=0\) 时的六个三角函数值。

\(P(0)=(1,0)\)，故：

\[\sin0=0,\quad\cos0=1,\quad\tan0=0\]

\[\csc0\text{ 无意义},\quad\sec0=1,\quad\cot0\text{ 无意义}\]

解题 20.8 求 \(t=\pi/2\) 时的六个三角函数值。

\(P(\pi/2)=(0,1)\)，故：

\[\sin\frac{\pi}{2}=1,\quad\cos\frac{\pi}{2}=0,\quad\tan\frac{\pi}{2}\text{ 无意义}\]

\[\csc\frac{\pi}{2}=1,\quad\sec\frac{\pi}{2}\text{ 无意义},\quad\cot\frac{\pi}{2}=0\]

解题 20.9 各象限中六个三角函数的符号表：

	第一象限	第二象限	第三象限	第四象限
\(\sin t\)	\(+\)	\(+\)	\(-\)	\(-\)
\(\cos t\)	\(+\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)
\(\tan t\)	\(+\)	\(-\)	\(+\)	\(-\)
\(\csc t\)	\(+\)	\(+\)	\(-\)	\(-\)
\(\sec t\)	\(+\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)
\(\cot t\)	\(+\)	\(-\)	\(+\)	\(-\)

解题 20.10 求 \(t=\pi/4\) 时的六个三角函数值。

由于 \(P(\pi/4)=(x,y)\) 满足 \(y=x\) 且 \(x^{2}+y^{2}=1\)，得 \(x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)，故：

\[\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}},\quad\cos\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}},\quad\tan\frac{\pi}{4}=1\]

\[\csc\frac{\pi}{4}=\sqrt{2},\quad\sec\frac{\pi}{4}=\sqrt{2},\quad\cot\frac{\pi}{4}=1\]

解题 20.11 证明单位圆上点的对称性。

(a) \(P(t+2\pi)=P(t)\)：因为单位圆的周长恰好为 \(2\pi\)，从 \(P(t)\) 出发绕圆一圈后回到原点，坐标不变。

(b) 若 \(P(t)=(x,y)\)，则 \(P(-t)=(x,-y)\)：两点是关于 \(x\) 轴的对称点，\(x\) 坐标相同，\(y\) 坐标互为相反数。

(c) 若 \(P(t)=(x,y)\)，则 \(P(t+\pi)=(-x,-y)\)：两点关于原点对称，即为同一直径的两端。

解题 20.12 求 \(t=5\pi/4\) 时的六个三角函数值。

由于 \(\dfrac{5\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}+\pi\)，利用对称性得 \(P\!\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)=\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}},-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\)，故：

\[\sin\frac{5\pi}{4}=-\frac{1}{\sqrt{2}},\quad\cos\frac{5\pi}{4}=-\frac{1}{\sqrt{2}},\quad\tan\frac{5\pi}{4}=1\]

\[\csc\frac{5\pi}{4}=-\sqrt{2},\quad\sec\frac{5\pi}{4}=-\sqrt{2},\quad\cot\frac{5\pi}{4}=1\]

解题 20.22 已知 \(\sin t=\dfrac{1}{2}\)，\(t\) 在第二象限，求其他五个三角函数值。

• \(\cos t=-\sqrt{1-\sin^{2}t}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)（第二象限余弦为负）
• \(\tan t=\dfrac{\sin t}{\cos t}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
• \(\cot t=-\sqrt{3}\)
• \(\sec t=-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\)
• \(\csc t=2\)

解题 20.23 已知 \(\tan t=-2\)，\(t\) 在第四象限，求其他五个三角函数值。

• \(\sec t=\sqrt{1+\tan^{2}t}=\sqrt{5}\)（第四象限正割为正）
• \(\cos t=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)
• \(\sin t=\tan t\cdot\cos t=-\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)
• \(\cot t=-\dfrac{1}{2}\)
• \(\csc t=-\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)

补充习题

20.25. 若单位圆上一点的坐标为 \(\left(-\dfrac{5}{13},-\dfrac{12}{13}\right)\)，求六个三角函数值。

答：\(\sin t=-\dfrac{12}{13}\)，\(\cos t=-\dfrac{5}{13}\)，\(\tan t=\dfrac{12}{5}\)，\(\cot t=\dfrac{5}{12}\)，\(\sec t=-\dfrac{13}{5}\)，\(\csc t=-\dfrac{13}{12}\)

20.26. 若单位圆上一点的坐标为 \(\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}},-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)\)，求六个三角函数值。

答：\(\sin t=-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)，\(\cos t=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)，\(\tan t=-\dfrac{1}{2}\)，\(\cot t=-2\)，\(\sec t=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)，\(\csc t=-\sqrt{5}\)

20.27. 求 \(t=\pi\) 时的六个三角函数值。

答：\(\sin\pi=0\)，\(\cos\pi=-1\)，\(\tan\pi=0\)，\(\cot\pi\) 无意义，\(\sec\pi=-1\)，\(\csc\pi\) 无意义。

20.28. 求 \(t=-\pi/2\) 时的六个三角函数值。

答：\(\sin(-\pi/2)=-1\)，\(\cos(-\pi/2)=0\)，\(\tan(-\pi/2)\) 无意义，\(\cot(-\pi/2)=0\)，\(\sec(-\pi/2)\) 无意义，\(\csc(-\pi/2)=-1\)

20.29. 求 \(t=7\pi/4\) 时的六个三角函数值。

\[\sin\frac{7\pi}{4}=-\frac{1}{\sqrt{2}},\quad\cos\frac{7\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}},\quad\tan\frac{7\pi}{4}=-1\] \[\cot\frac{7\pi}{4}=-1,\quad\sec\frac{7\pi}{4}=\sqrt{2},\quad\csc\frac{7\pi}{4}=-\sqrt{2}\]

20.30. 证明对任意整数 \(n\)，\(\sin(t+2\pi n)=\sin t\)。

20.31. 证明勾股恒等式 \(\cot^{2}t+1=\csc^{2}t\)。

20.32. 已知 \(\cos t=2/5\)，\(t\) 在第一象限，求其他五个三角函数值。

答：\(\sin t=\sqrt{21}/5\)，\(\tan t=\sqrt{21}/2\)，\(\cot t=2/\sqrt{21}\)，\(\sec t=5/2\)，\(\csc t=5/\sqrt{21}\)

20.33. 已知 \(\tan t=-2/3\)，\(t\) 在第四象限，求其他五个三角函数值。

答：\(\sin t=-2/\sqrt{13}\)，\(\cos t=3/\sqrt{13}\)，\(\cot t=-3/2\)，\(\sec t=\sqrt{13}/3\)，\(\csc t=-\sqrt{13}/2\)

20.34. 已知 \(\cot t=\sqrt{5}\)，\(t\) 在第三象限，求其他五个三角函数值。

答：\(\sin t=-1/\sqrt{6}\)，\(\cos t=-\sqrt{5}/\sqrt{6}\)，\(\tan t=1/\sqrt{5}\)，\(\sec t=-\sqrt{6}/\sqrt{5}\)，\(\csc t=-\sqrt{6}\)

20.35. 已知 \(\sec t=-\dfrac{13}{5}\)，\(t\) 在第二象限，求其他五个三角函数值。

答：\(\sin t=\dfrac{12}{13}\)，\(\cos t=-\dfrac{5}{13}\)，\(\tan t=-\dfrac{12}{5}\)，\(\cot t=-\dfrac{5}{12}\)，\(\csc t=\dfrac{13}{12}\)

20.41. 证明余弦函数和正割函数是偶函数。

20.42. 证明正弦、正切、余切和余割函数是奇函数。