第21章 三角函数的图像

三角函数的图像

基本正弦和余弦函数的图像

\(f(t)=\sin t\) 和 \(f(t)=\cos t\) 的定义域相同，均为所有实数 \(\mathbb{R}\)；值域也相同，均为 \([-1,1]\)。

\(u=\sin t\) 的图像称为基本正弦曲线（见图 21-1）。

\(u=\cos t\) 的图像称为基本余弦曲线（见图 21-2）。

基本图像的性质

\(f(t)=\sin t\) 是以 \(2\pi\) 为周期的周期函数。其振幅（最大值与最小值之差的一半）为 1。

\(f(t)=\cos t\) 也以 \(2\pi\) 为周期，其图像可以看作振幅为 1 的正弦曲线向左平移 \(\pi/2\) 个单位。

其他正弦和余弦函数的图像

1. \(u=A\sin t\) 与 \(u=A\cos t\) 的图像

• 当 \(A>0\) 时，图像为标准正弦曲线，振幅为 \(A\)。
• 当 \(A<0\) 时，图像为振幅 \(|A|\) 的倒置正弦曲线（关于 \(x\) 轴翻转）。
• 余弦情形类似。

2. \(u=\sin bt\) 与 \(u=\cos bt\) 的图像（\(b>0\)）

图像为沿 \(x\) 轴压缩了 \(b\) 倍的标准正弦/余弦曲线，周期为 \(2\pi/b\)。

3. \(u=\sin(t-c)\) 与 \(u=\cos(t-c)\) 的图像

• \(c>0\) 时，图像向右平移 \(|c|\) 个单位；
• \(c<0\) 时，图像向左平移 \(|c|\) 个单位。

\(c\) 称为相移（注：各教材对相移的定义不尽统一）。

4. \(u=\sin t+d\) 与 \(u=\cos t+d\) 的图像

• \(d>0\) 时，图像向上平移 \(|d|\) 个单位；
• \(d<0\) 时，图像向下平移 \(|d|\) 个单位。

5. \(u=A\sin(bt-c)+d\) 与 \(u=A\cos(bt-c)+d\) 的图像

综合上述特征。设 \(A,b,c,d>0\)，则图像为：

• 振幅 \(A\)
• 周期 \(2\pi/b\)
• 相移 \(c/b\)（向右平移）
• 向上平移 \(d\) 个单位

例 21.1 画 \(u=3\cos t\) 的图像。

图像（图 21-3）为振幅为 3、周期为 \(2\pi\) 的标准余弦曲线。

例 21.2 画 \(u=-2\sin2t\) 的图像。

图像（图 21-4）为振幅 \(|-2|=2\)、周期 \(2\pi/2=\pi\) 的倒置正弦曲线。

其他三角函数的图像

1. 正切函数：定义域 \(\{t\in\mathbb{R}\mid t\neq\pi/2+2\pi n,\,3\pi/2+2\pi n\}\)，值域 \(\mathbb{R}\)（见图 21-5）。

2. 正割函数：定义域同正切函数，值域 \((-\infty,-1]\cup[1,+\infty)\)（见图 21-6）。

3. 余切函数：定义域 \(\{t\in\mathbb{R}\mid t\neq n\pi\}\)，值域 \(\mathbb{R}\)（见图 21-7）。

4. 余割函数：定义域同余切函数，值域 \((-\infty,-1]\cup[1,+\infty)\)（见图 21-8）。

解题示例

解题 21.1 解释正弦函数图像的性质。

\(\sin t\) 是单位圆上点 \(P(t)\) 的 \(y\) 坐标。

• \(t\) 从 \(0\) 增到 \(\pi/2\)：\(y\) 从 \(0\) 增到 \(1\)
• \(t\) 从 \(\pi/2\) 增到 \(3\pi/2\)：\(y\) 从 \(1\) 减到 \(-1\)
• \(t\) 从 \(3\pi/2\) 增到 \(2\pi\)：\(y\) 从 \(-1\) 增到 \(0\)

这构成一个完整周期。由于正弦函数以 \(2\pi\) 为周期，此循环无限重复。

解题 21.2 如何画 \(u=A\sin(bt-c)+d\) 的图像。

1. 确定振幅和形状：振幅 \(=|A|\)；\(A>0\) 时为标准正弦曲线，\(A<0\) 时为倒置正弦曲线。最大高度为 \(d+|A|\)，最小高度为 \(d-|A|\)。

2. 确定周期和相移：由于 \(\sin T\) 在 \(0\leq T\leq2\pi\) 完成一个周期，\(\sin(bt-c)\) 在 \(c/b\leq t\leq(c+2\pi)/b\) 完成一个周期，故周期为 \(2\pi/b\)，相移为 \(c/b\)。

3. 将区间四等分，画出一个周期：\(A>0\) 时曲线先升后降再升；\(A<0\) 时曲线先降后升再降。

4. 补充后续周期。

解题 21.3 解释余弦函数图像的性质。

\(\cos t\) 是单位圆上点 \(P(t)\) 的 \(x\) 坐标。

• \(t\) 从 \(0\) 增到 \(\pi\)：\(x\) 从 \(1\) 减到 \(-1\)
• \(t\) 从 \(\pi\) 增到 \(2\pi\)：\(x\) 从 \(-1\) 增到 \(1\)

由于余弦函数以 \(2\pi\) 为周期，此循环无限重复。

解题 21.4 如何画 \(u=A\cos(bt-c)+d\) 的图像。

步骤与解题 21.2 类似，但换成余弦曲线的特征（\(A>0\) 时先降到最小再升回最大）。

解题 21.5 画 \(u=6\sin\dfrac{1}{2}t\) 的图像。

振幅 \(=6\)，标准正弦曲线，周期 \(=2\pi\div\dfrac{1}{2}=4\pi\)，相移 \(=0\)，\(d=0\)。

将 \([0,4\pi]\) 四等分，画出最大高度为 6、最小高度为 \(-6\) 的正弦曲线（图 21-13）。

解题 21.6 画 \(u=3\cos\pi t+2\) 的图像。

振幅 \(=3\)，标准余弦曲线，周期 \(=2\pi\div\pi=2\)，相移 \(=0\)，\(d=2\)。

最大高度为 5，最小高度为 \(-1\)（图 21-14）。

解题 21.7 画 \(u=2\sin(5t-\pi)\) 的图像。

振幅 \(=2\)，标准正弦曲线，周期 \(=2\pi/5\)，相移 \(=\pi/5\)，\(d=0\)。

将 \([\pi/5,\,3\pi/5]\) 四等分画图（图 21-15）。

解题 21.8 画 \(u=-\dfrac{1}{2}\cos\!\left(3t+\dfrac{\pi}{4}\right)+\dfrac{3}{2}\) 的图像。

振幅 \(=\dfrac{1}{2}\)，倒置余弦曲线，周期 \(=\dfrac{2\pi}{3}\)，相移 \(=-\dfrac{\pi}{12}\)，\(d=\dfrac{3}{2}\)。

最大高度为 2，最小高度为 1（图 21-16）。

解题 21.9 画 \(u=|\sin t|\) 的图像。

在 \(\sin t>0\) 的区间，图像与 \(u=\sin t\) 相同；在 \(\sin t<0\) 的区间，由于 \(|\sin t|=-\sin t\)，图像是 \(u=\sin t\) 关于 \(t\) 轴的翻转（图 21-17）。

解题 21.10 解释正切函数图像的性质。

\(\tan t=y/x\)。当 \(t\) 从 \(0\) 增至 \(\pi/2\) 时，\(\tan t\) 从 \(0\) 增至 \(+\infty\)，故 \(t=\pi/2\) 是垂直渐近线。由于正切为奇函数，\(t=-\pi/2\) 也是垂直渐近线。正切函数的周期为 \(\pi\)。

解题 21.11 画 \(u=\tan(t-\pi/3)\) 的图像。

图像是 \(u=\tan t\) 向右平移 \(\pi/3\)，周期为 \(\pi\)。一个完整周期在 \(-\pi/6<t<5\pi/6\) 内完成（图 21-20）。

解题 21.12 解释正割函数的性质并画其图像。

正割函数是余弦函数的倒数。在余弦函数的零点处有垂直渐近线（\(t=\pi/2+2\pi n\) 或 \(3\pi/2+2\pi n\)）。正割函数是偶函数，周期为 \(2\pi\)（图 21-21）。

解题 21.13 画 \(u=t\sin t\) 的图像。

由于 \(|\sin t|\leq1\)，有 \(-|t|\leq t\sin t\leq|t|\)，故图像夹在直线 \(u=t\) 和 \(u=-t\) 之间。在 \(t=n\pi\) 时取零，在 \(t=n\pi+\pi/2\) 时触及边界线（图 21-22）。该函数是偶函数。

补充习题

21.14. 指出以下函数的振幅和周期：(a) \(u=\sin\pi t\)；(b) \(u=2\cos t-4\)

答：(a) 振幅 \(=1\)，周期 \(=2\)；(b) 振幅 \(=2\)，周期 \(=2\pi\)

21.16. 指出以下函数的振幅、周期和相移：(a) \(u=\dfrac{1}{3}\cos2t\)；(b) \(u=-2\sin\!\left(\dfrac{1}{3}t-\pi\right)+4\)

答：(a) 振幅 \(=\dfrac{1}{3}\)，周期 \(=\pi\)，相移 \(=0\)；(b) 振幅 \(=2\)，周期 \(=6\pi\)，相移 \(=3\pi\)

21.18. 指出以下函数的周期：(a) \(u=\tan\dfrac{1}{2}t\)；(b) \(u=-\sec2t\)

答：(a) \(2\pi\)；(b) \(\pi\)

21.21. 解释余切函数和余割函数图像的性质。