第22章 角

角

三角学中的角

三角学中的角由射线绕其端点（称为顶点）旋转确定。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边（见图 22-1）。

若射线从始边逆时针旋转，角为正角；顺时针旋转，角为负角。零角对应零位移，始边与终边重合。

标准位置的角

若角的顶点在笛卡儿坐标系原点，始边在 \(x\) 轴正半轴，则称该角处于标准位置。

• 终边落在坐标轴上的角称为象限角；
• 终边在第 \(n\) 象限的角称为第 \(n\) 象限角（见图 22-2 至 22-5）。

弧度制

在微积分中，角通常用弧度来度量。1 弧度定义为：若圆心角的两条半径所截取的弧长等于圆的半径，则该角的度数为 1 弧度（见图 22-6）。

因为半径为 \(r\) 的圆的周长为 \(2\pi r\)，所以一圈（完整旋转）对应弧度 \(2\pi\)。

例 22.1 画出 \(\pi\)、\(\dfrac{\pi}{2}\)、\(\dfrac{3\pi}{2}\) 弧度的角（见图 22-7）。

弧长与弧度

在半径为 \(r\) 的圆中，弧度为 \(\theta\) 的圆心角所对应的弧长为：

\[s=r\theta\]

例 22.2 在某圆中，3 弧度的圆心角对应弧长 30 厘米，求该圆的半径。

由 \(30=3r\)，得 \(r=10\) 厘米。

角度制

在应用中，角通常用度（\(°\)）表示。一圈为 \(360°\)，故：

\[180°=\pi\text{ 弧度}\]

• 弧度 → 度：弧度值乘以 \(180°/\pi\)
• 度 → 弧度：度数乘以 \(\pi/180°\)

常用角度换算表：

度数	\(0°\)	\(30°\)	\(45°\)	\(60°\)	\(90°\)	\(120°\)	\(135°\)	\(150°\)	\(180°\)	\(270°\)	\(360°\)
弧度	\(0\)	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)	\(\frac{2\pi}{3}\)	\(\frac{3\pi}{4}\)	\(\frac{5\pi}{6}\)	\(\pi\)	\(\frac{3\pi}{2}\)	\(2\pi\)

例 22.3 (a) 将 \(210°\) 换算为弧度；(b) 将 \(6\pi\) 弧度换算为度。

1. \(210°=210°\cdot\dfrac{\pi}{180°}=\dfrac{7\pi}{6}\) 弧度；

2. \(6\pi\text{ 弧度}=6\pi\cdot\dfrac{180°}{\pi}=1080°\)

度、分、秒

一度可细分为分（‘）和秒（’’）：\(1°=60'\)，\(1'=60''\)，故 \(1°=3600''\)。

例 22.4 将 \(35°24'36''\) 换算为十进制度数。

\[35°24'36''=\left(35+\frac{24}{60}+\frac{36}{3600}\right)°=35.41°\]

特殊角的名称

• 锐角：\(0\) 到 \(\pi/2\) 弧度（\(0°\) 到 \(90°\)）之间的角
• 直角：\(\pi/2\) 弧度（\(90°\)）
• 钝角：\(\pi/2\) 到 \(\pi\) 弧度（\(90°\) 到 \(180°\)）之间的角
• 平角：\(\pi\) 弧度（\(180°\)）

互余角与互补角

• 若 \(\alpha+\beta=\pi/2\)，则 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 互为余角（互余）。
• 若 \(\alpha+\beta=\pi\)，则 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 互为补角（互补）。

例 22.5 求与 \(\theta\) 互余的角：(a) \(\theta=\pi/3\)；(b) \(\theta=37°15'\)

1. 余角 \(=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{6}\)

2. 余角 \(=90°-37°15'=52°45'\)

同终边角（共终边角）

处于标准位置的两个角若终边相同，则称为同终边角。给定角加减 \(2\pi\)（弧度制）或 \(360°\)（度制）的整数倍，可得无穷多个同终边角。

例 22.6 求与以下角同终边的两个角：(a) 2 弧度；(b) \(-60°\)

1. \(2+2\pi\) 和 \(2-2\pi\) 弧度（以及其他同终边角）

2. \(-60°+360°=300°\) 和 \(-60°-360°=-420°\)（以及其他同终边角）

角的三角函数

若角 \(\theta\) 的弧度制度量为 \(t\)，则 \(\theta\) 的每个三角函数值等于实数 \(t\) 的对应三角函数值。

例 22.7 求 (a) \(\cos90°\)；(b) \(\tan135°\)

1. \(\cos90°=\cos\dfrac{\pi}{2}=0\)

2. \(\tan135°=\tan\dfrac{3\pi}{4}=-1\)

三角函数的比值定义

设 \(\theta\) 是标准位置的角，\(P(x,y)\) 是终边上任意一点（不含原点），\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) 为 \(P\) 到原点的距离，则：

\[\sin\theta=\frac{y}{r},\quad\cos\theta=\frac{x}{r},\quad\tan\theta=\frac{y}{x}\;(x\neq0)\]

\[\csc\theta=\frac{r}{y}\;(y\neq0),\quad\sec\theta=\frac{r}{x}\;(x\neq0),\quad\cot\theta=\frac{x}{y}\;(y\neq0)\]

例 22.8 设 \(\theta\) 处于标准位置，终边上有点 \(P(-3,4)\)（见图 22-8）。

\(r=\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}}=5\)，故：

\[\sin\theta=\frac{4}{5},\quad\cos\theta=-\frac{3}{5},\quad\tan\theta=-\frac{4}{3}\]

\[\csc\theta=\frac{5}{4},\quad\sec\theta=-\frac{5}{3},\quad\cot\theta=-\frac{3}{4}\]

锐角的三角函数

若 \(\theta\) 是锐角，将其视为直角三角形的内角。以斜边（hyp）、对边（opp）、邻边（adj）表示：

\[\sin\theta=\frac{\text{对边}}{\text{斜边}},\quad\cos\theta=\frac{\text{邻边}}{\text{斜边}},\quad\tan\theta=\frac{\text{对边}}{\text{邻边}}\]

\[\csc\theta=\frac{\text{斜边}}{\text{对边}},\quad\sec\theta=\frac{\text{斜边}}{\text{邻边}},\quad\cot\theta=\frac{\text{邻边}}{\text{对边}}\]

例 22.9 在图 22-10 中，\(\text{对边}=5\)，\(\text{邻边}=12\)，\(\text{斜边}=13\)，故：

\[\sin\theta=\frac{5}{13},\quad\cos\theta=\frac{12}{13},\quad\tan\theta=\frac{5}{12}\]

\[\csc\theta=\frac{13}{5},\quad\sec\theta=\frac{13}{12},\quad\cot\theta=\frac{12}{5}\]

参考角

对标准位置的非象限角 \(\theta\)，其参考角 \(\theta_R\) 是 \(x\) 轴与终边之间的锐角（见图 22-11）。

象限	参考角
第一象限	\(\theta_R=\theta\)
第二象限	\(\theta_R=\pi-\theta\)
第三象限	\(\theta_R=\theta-\pi\)
第四象限	\(\theta_R=2\pi-\theta\)

利用参考角求三角函数值

任意非象限角 \(\theta\) 的每个三角函数的绝对值等于其参考角 \(\theta_R\) 的对应三角函数值。确定函数值后，根据 \(\theta\) 所在象限选择正确的符号。

例 22.10 求 \(\cos\dfrac{3\pi}{4}\)。

\(\dfrac{3\pi}{4}\) 是第二象限角，参考角为 \(\pi-\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}\)。第二象限余弦为负，故：

\[\cos\frac{3\pi}{4}=-\cos\frac{\pi}{4}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\]

解题示例

解题 22.1 列出与以下角同终边的所有角：(a) \(40°\)；(b) \(\dfrac{2\pi}{3}\) 弧度

1. \(40°+n\cdot360°\)，\(n\) 为任意整数

2. \(\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n\)，\(n\) 为任意整数

解题 22.11 求 \(30°\)、\(45°\)、\(60°\) 的三角函数值。

利用 30-60° 直角三角形（对边:邻边:斜边 \(=1:\sqrt{3}:2\)）：

\[\sin30°=\frac{1}{2},\quad\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad\tan30°=\frac{1}{\sqrt{3}}\]

\[\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad\cos60°=\frac{1}{2},\quad\tan60°=\sqrt{3}\]

利用等腰直角三角形（边长比 \(1:1:\sqrt{2}\)）：

\[\sin45°=\cos45°=\frac{1}{\sqrt{2}},\quad\tan45°=1\]

解题 22.12 常用角度的三角函数值表（U 表示无意义）：

\(\theta\)（弧度）	\(\theta\)（度）	\(\sin\theta\)	\(\cos\theta\)	\(\tan\theta\)	\(\cot\theta\)	\(\sec\theta\)	\(\csc\theta\)
\(0\)	\(0°\)	\(0\)	\(1\)	\(0\)	U	\(1\)	U
\(\pi/6\)	\(30°\)	\(1/2\)	\(\sqrt{3}/2\)	\(1/\sqrt{3}\)	\(\sqrt{3}\)	\(2/\sqrt{3}\)	\(2\)
\(\pi/4\)	\(45°\)	\(1/\sqrt{2}\)	\(1/\sqrt{2}\)	\(1\)	\(1\)	\(\sqrt{2}\)	\(\sqrt{2}\)
\(\pi/3\)	\(60°\)	\(\sqrt{3}/2\)	\(1/2\)	\(\sqrt{3}\)	\(1/\sqrt{3}\)	\(2\)	\(2/\sqrt{3}\)
\(\pi/2\)	\(90°\)	\(1\)	\(0\)	U	\(0\)	U	\(1\)

解题 22.16 求满足 \(0\leq\theta<2\pi\) 的所有角，使得：(a) \(\sin\theta=\dfrac{1}{2}\)；(b) \(\sin\theta=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

1. \(\sin^{-1}\dfrac{1}{2}=\dfrac{\pi}{6}\)，正弦在第一、二象限为正，故两角为 \(\dfrac{\pi}{6}\) 和 \(\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}\)

2. \(\sin^{-1}\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\pi}{3}\)，正弦在第三、四象限为负，故两角为 \(\pi+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{4\pi}{3}\) 和 \(2\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{3}\)

解题 22.19 用计算器求近似值：(a) \(\sin42°\)；(b) \(\cos238°\)；(c) \(\tan(-61.5°)\)；(d) \(\sec341°25'\)

1. \(\sin42°\approx0.6691\)；(b) \(\cos238°\approx-0.5299\)；(c) \(\tan(-61.5°)\approx-1.8418\)；

2. \(\sec341°25'=\dfrac{1}{\cos341°25'}\approx1.055\)

补充习题

22.23. 列出与以下角同终边的所有角：(a) \(\theta\) 弧度；(b) \(\theta\) 度

答：(a) \(\theta+2\pi n\)，\(n\) 为任意整数；(b) \(\theta+n\cdot360°\)，\(n\) 为任意整数

22.24. 求 \(270°\) 的六个三角函数值。

答：\(\sin270°=-1\)，\(\cos270°=0\)，\(\tan270°\) 无意义，\(\cot270°=0\)，\(\sec270°\) 无意义，\(\csc270°=-1\)

22.26. 求：(a) \(\sin120°\)；(b) \(\cos\dfrac{5\pi}{6}\)；(c) \(\tan(-45°)\)；(d) \(\cot\dfrac{7\pi}{6}\)；(e) \(\sec240°\)；(f) \(\csc\dfrac{2\pi}{3}\)

答：(a) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)；(b) \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)；(c) \(-1\)；(d) \(\sqrt{3}\)；(e) \(-2\)；(f) \(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\)

22.27. 求：(a) \(\sin\dfrac{7\pi}{4}\)；(b) \(\cos450°\)；(c) \(\tan\dfrac{8\pi}{3}\)；(d) \(\cot(-720°)\)；(e) \(\sec\dfrac{17\pi}{6}\)；(f) \(\csc(-510°)\)

答：(a) \(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)；(b) \(0\)；(c) \(-\sqrt{3}\)；(d) 无意义；(e) \(-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\)；(f) \(-2\)

22.33. 角速度 \(\omega\) 定义为点在圆上运动时的角度 \(\theta\) 与时间 \(t\) 之商。

(a) 若点在 6 秒内移过 4 弧度，求其角速度。

(b) 求以 60 转/分（rpm）旋转的轮缘上点的角速度。

(c) 证明圆周运动中线速度 \(v\) 与角速度的关系为 \(v=r\omega\)。

(d) 汽车以 60 英里/小时行驶，车轮直径为 2.5 英尺，求车轮的角速度。

答：(a) \(\dfrac{2}{3}\) 弧度/秒；(b) \(120\pi\) 弧度/分；(d) 4224 弧度/分