第23章 三角恒等式与三角方程

三角恒等式与三角方程

恒等式的定义

恒等式是对所有使等式两边均有意义的变量值都成立的等式。

例 23.1 以下哪些是恒等式？

(a) \(x+3=3+x\)；(b) \(x+3=5\)；(c) \(x\cdot\dfrac{1}{x}=1\)

(a) 是恒等式，因为总成立；(b) 不是恒等式，仅当 \(x=2\) 时成立；(c) 是恒等式，除了 \(x=0\) 时无意义。

基本三角恒等式

以下基本三角恒等式供参考：

1. 勾股恒等式（对两边有意义的所有 \(t\)）：

\[\cos^{2}t+\sin^{2}t=1\]

\[1+\tan^{2}t=\sec^{2}t,\qquad\cot^{2}t+1=\csc^{2}t\]

2. 倒数恒等式：

\[\sin t=\frac{1}{\csc t},\quad\cos t=\frac{1}{\sec t},\quad\tan t=\frac{1}{\cot t}\]

3. 商式恒等式：

\[\tan t=\frac{\sin t}{\cos t},\qquad\cot t=\frac{\cos t}{\sin t}\]

4. 负角恒等式：

\[\sin(-t)=-\sin t,\quad\cos(-t)=\cos t,\quad\tan(-t)=-\tan t\]

化简三角表达式

利用基本三角恒等式可将三角表达式化简：

例 23.2 化简 \(\dfrac{1-\cos^{2}\alpha}{\sin\alpha}\)

由勾股恒等式，\(1-\cos^{2}\alpha=\sin^{2}\alpha\)，故：

\[\frac{1-\cos^{2}\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin^{2}\alpha}{\sin\alpha}=\sin\alpha\]

验证三角恒等式

验证某一等式是否为恒等式，需证明一侧可通过代数技术（包括化简和代入）及三角技术（常将其他函数化为正弦和余弦）变换为另一侧。

例 23.3 验证 \((1-\cos\theta)(1+\cos\theta)=\sin^{2}\theta\) 是恒等式。

\[\begin{aligned}(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)&=1-\cos^{2}\theta\quad\text{（代数）}\\&=\sin^{2}\theta\quad\text{（勾股恒等式）}\end{aligned}\]

例 23.4 验证 \(\dfrac{\sin t\cos t}{\tan t}=\cos^{2}t\) 是恒等式。

\[\begin{aligned}\frac{\sin t\cos t}{\tan t}&=\frac{\sin t\cos t}{\sin t/\cos t}\quad\text{（商式恒等式）}\\&=\sin t\cos t\cdot\frac{\cos t}{\sin t}\quad\text{（代数）}\\&=\cos^{2}t\quad\text{（代数）}\end{aligned}\]

非恒等式的判断

若某等式在某一变量值时不成立，则它不是恒等式。只需找到一个反例即可。

例 23.5 证明 \(\sin t+\cos t=1\) 不是恒等式。

取 \(t=\pi/4\)：\(\sin\dfrac{\pi}{4}+\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\neq1\)

三角函数的反函数

三角函数具有周期性，在整个定义域上不是一一对应的。在第一象限，正弦和正切递增，余弦递减，各自都是一一对应的，因此有反函数。目前使用如下记号：

\[t=\sin^{-1}a\;\text{（读作：$a$ 的反正弦）}\quad\text{若}\;0\leq t\leq\pi/2\;\text{且}\;\sin t=a\]

\[t=\cos^{-1}a\quad\text{若}\;0\leq t\leq\pi/2\;\text{且}\;\cos t=a\]

\[t=\tan^{-1}a\quad\text{若}\;0\leq t<\pi/2\;\text{且}\;\tan t=a\]

（第25章对反三角函数有完整的论述。）

例 23.6 求：(a) \(\sin^{-1}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)；(b) \(\cos^{-1}0\)；(c) \(\tan^{-1}1\)

1. \(\sin^{-1}\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\pi}{3}\)

2. \(\cos^{-1}0=\dfrac{\pi}{2}\)

3. \(\tan^{-1}1=\dfrac{\pi}{4}\)

三角方程

三角方程可利用代数和三角技术求解，包括将函数化为正弦和余弦、由已知恒等式代换、代数化简等。

1. 基本三角方程：形如 \(\sin t=a\)、\(\cos t=b\)、\(\tan t=c\) 的方程，利用三角函数的反函数求 \([0,2\pi)\) 内的所有解，然后延伸到全部实数。

2. 其他三角方程：通过代数和三角技术化为基本方程求解。

例 23.7 求 \(\cos t=\dfrac{1}{2}\) 的所有解。

\(t=\cos^{-1}\dfrac{1}{2}=\dfrac{\pi}{3}\)（余弦在第四象限也为正，另一解为 \(2\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{3}\)）。

所有解：\(\dfrac{\pi}{3}+2\pi n\)，\(\dfrac{5\pi}{3}+2\pi n\)（\(n\) 为整数）。

例 23.8 求 \(5\tan t=3\tan t-2\) 在 \([0,2\pi)\) 内的所有解。

化简：\(\tan t=-1\)。\(\tan^{-1}1=\pi/4\)，正切在第二、四象限为负，故解为 \(\pi-\pi/4=3\pi/4\) 和 \(2\pi-\pi/4=7\pi/4\)。

解题示例

解题 23.1 验证 \(\csc t-\sin t=\cot t\cos t\) 是恒等式。

\[\begin{aligned}\csc t-\sin t&=\frac{1}{\sin t}-\sin t\quad\text{（倒数恒等式）}\\&=\frac{1-\sin^{2}t}{\sin t}\quad\text{（代数）}\\&=\frac{\cos^{2}t}{\sin t}\quad\text{（勾股恒等式）}\\&=\frac{\cos t}{\sin t}\cdot\cos t\quad\text{（代数）}\\&=\cot t\cos t\quad\text{（商式恒等式）}\end{aligned}\]

解题 23.2 验证 \(\sin^{4}\theta-\cos^{4}\theta=\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta\) 是恒等式。

\[\begin{aligned}\sin^{4}\theta-\cos^{4}\theta&=(\sin^{2}\theta)^{2}-(\cos^{2}\theta)^{2}\\&=(\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta)(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)\\&=(\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta)(1)\\&=\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta\end{aligned}\]

解题 23.3 验证 \(\dfrac{1}{1-\cos x}+\dfrac{1}{1+\cos x}=2\csc^{2}x\) 是恒等式。

\[\begin{aligned}\frac{1}{1-\cos x}+\frac{1}{1+\cos x}&=\frac{2}{1-\cos^{2}x}=\frac{2}{\sin^{2}x}=2\csc^{2}x\end{aligned}\]

解题 23.4 验证 \(\dfrac{1-\cos\theta}{\sin\theta}=\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\) 是恒等式。

从右侧出发，分子分母乘以 \((1-\cos\theta)\)：

\[\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}=\frac{\sin\theta(1-\cos\theta)}{1-\cos^{2}\theta}=\frac{\sin\theta(1-\cos\theta)}{\sin^{2}\theta}=\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}\]

解题 23.8 令 \(x=5\sin u\)（\(-\dfrac{\pi}{2}\leq u\leq\dfrac{\pi}{2}\)），化简 \(\sqrt{25-x^{2}}\)。

\[\sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{25-25\sin^{2}u}=5|\cos u|=5\cos u\]

（因为 \(u\) 在第一、四象限，\(\cos u\geq0\)）

解题 23.9 令 \(x=4\tan u\)（\(-\dfrac{\pi}{2}<u<\dfrac{\pi}{2}\)），化简 \(\dfrac{1}{\sqrt{16+x^{2}}}\)。

\[\frac{1}{\sqrt{16+x^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{16\sec^{2}u}}=\frac{1}{4|\sec u|}=\frac{\cos u}{4}\]

解题 23.10 求 \(\sin t=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) 的所有解。

\(t=\sin^{-1}\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\pi}{3}\)，正弦在第一、二象限为正，另一解为 \(\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}\)。

所有解：\(\dfrac{\pi}{3}+2\pi n\)，\(\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n\)（\(n\) 为整数）。

解题 23.11 求 \(3-4\cos^{2}\theta=0\) 的所有解。

\[\cos^{2}\theta=\frac{3}{4}\implies\cos\theta=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\]

由 \(\cos^{-1}\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\pi}{6}\)，在 \([0,2\pi)\) 内有四个解：\(\dfrac{\pi}{6}\)，\(\dfrac{5\pi}{6}\)，\(\dfrac{7\pi}{6}\)，\(\dfrac{11\pi}{6}\)。

所有解：\(\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\)，\(\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n\)，\(\dfrac{7\pi}{6}+2\pi n\)，\(\dfrac{11\pi}{6}+2\pi n\)。

解题 23.12 求 \(2\cos2x-1=0\) 的所有解。

\(\cos2x=\dfrac{1}{2}\)，故 \(2x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n\) 或 \(2x=\dfrac{5\pi}{3}+2\pi n\)，即 \(x=\dfrac{\pi}{6}+\pi n\) 或 \(x=\dfrac{5\pi}{6}+\pi n\)。

解题 23.13 求 \(2\sin^{2}u+\sin u=0\) 在 \([0,2\pi)\) 内的所有解。

因式分解：\(\sin u(2\sin u+1)=0\)，故 \(\sin u=0\) 或 \(\sin u=-\dfrac{1}{2}\)。

• \(\sin u=0\)：解为 \(0\)，\(\pi\)
• \(\sin u=-\dfrac{1}{2}\)：解为 \(\dfrac{7\pi}{6}\)，\(\dfrac{11\pi}{6}\)

解：\(0,\,\pi,\,\dfrac{7\pi}{6},\,\dfrac{11\pi}{6}\)

解题 23.14 求满足 \(2\sin^{2}\theta=1-\cos\theta\) 的所有 \(\theta\in[0°,360°)\)。

\[\begin{aligned}2(1-\cos^{2}\theta)&=1-\cos\theta\\2\cos^{2}\theta-\cos\theta-1&=0\\(2\cos\theta+1)(\cos\theta-1)&=0\end{aligned}\]

\(\cos\theta=-\dfrac{1}{2}\)：\(\theta=120°,\,240°\)；\(\cos\theta=1\)：\(\theta=0°\)

解：\(0°,\,120°,\,240°\)

解题 23.15 求 \(\sin x+\cos x=1\) 在 \([0,2\pi)\) 内的所有解。

两边 \((\sin x=1-\cos x)\) 平方：

\[1-\cos^{2}x=1-2\cos x+\cos^{2}x\implies2\cos x(\cos x-1)=0\]

\(\cos x=0\)（解 \(\pi/2\)，\(3\pi/2\)）或 \(\cos x=1\)（解 \(0\)）。

验证：\(x=3\pi/2\) 时 \(\sin(3\pi/2)+\cos(3\pi/2)=-1\neq1\)，不满足。

解：\(0,\,\dfrac{\pi}{2}\)

补充习题

23.19. 化简：

1. \(\sin^{2}x\cot^{2}x\)；(b) \(\cos t(1+\tan^{2}t)\)；(c) \((\cot\theta+\csc\theta)(\cot\theta-\csc\theta)\)；(d) \(\dfrac{\cos\theta}{1-\sin\theta}-\dfrac{\cos\theta}{1+\sin\theta}\)

答：(a) \(\cos^{2}x\)；(b) \(\sec t\)；(c) \(-1\)；(d) \(2\tan\theta\)

23.20. 化简：

1. \(\csc x\tan x\)；(b) \(1-\dfrac{\sin^{2}x}{1+\cos x}\)；(c) \(\dfrac{\sin^{4}u-\cos^{4}u}{\sin u+\cos u}\)；(d) \(\dfrac{\sec x}{\csc x}+\dfrac{\sin x}{\cos x}\)

答：(a) \(\sec x\)；(b) \(\cos x\)；(c) \(\sin u-\cos u\)；(d) \(2\tan x\)

23.27. 求所有解：

1. \(4\sin x+2\sqrt{3}=0\)；(b) \(\tan3t=1\)；(c) \(2\cos^{2}u=\cos u\)；(d) \(4-\sin^{2}\theta=1\)；(e) \(\ln\sin x=0\)

答：(a) \(x=\dfrac{4\pi}{3}+2\pi n\)，\(\dfrac{5\pi}{3}+2\pi n\)；(b) \(t=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{n\pi}{3}\)；(c) \(u=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n\)，\(\dfrac{3\pi}{2}+2\pi n\)，\(\dfrac{\pi}{3}+2\pi n\)，\(\dfrac{5\pi}{3}+2\pi n\)；(d) 无解；(e) \(x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n\)

23.28. 求 \([0,2\pi)\) 内的所有解：

1. \(2\cos^{2}4\theta=1\)；(b) \(\dfrac{1+\sin x}{\cos x}+\dfrac{\cos x}{1+\sin x}=4\)；(c) \(2\cos^{2}x+3\sin x=3\)；(d) \(\tan x-\sec x=1\)

答：(a) \(\theta=\dfrac{\pi}{16},\dfrac{3\pi}{16},\dfrac{5\pi}{16},\dfrac{7\pi}{16},\dfrac{9\pi}{16},\dfrac{11\pi}{16},\dfrac{13\pi}{16},\dfrac{15\pi}{16}\)；(b) \(x=\dfrac{\pi}{3},\dfrac{5\pi}{3}\)；(c) \(x=\dfrac{\pi}{6},\dfrac{5\pi}{6},\dfrac{\pi}{2}\)；(d) \(x=\pi\)

23.29. 求 \([0°,360°)\) 内的近似解：

1. \(4\sin^{2}A-4\sin A-1=0\)；(b) \(2\cos^{2}2A+3\cos2A-1=0\)

答：(a) \(191.95°,\,348.05°\)；(b) \(36.85°,\,143.15°,\,216.85°,\,323.15°\)