第24章 和差倍半角公式

第24章 和差倍半角公式

24.1 引言

本章我们将学习三角函数的和差倍半角公式。这些公式是三角恒等式中最有用的公式之一，可以将一个三角函数表示为其他三角函数的组合。它们在积分学中特别有价值，因为它们允许我们将复杂的被积表达式简化为更简单的形式。

24.2 和角公式与差角公式

余弦的和角公式与差角公式

\[\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\]

\[\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta\]

正弦的和角公式与差角公式

\[\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\]

\[\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta\]

正切的和角公式与差角公式

\[\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}\]

\[\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}\]

24.3 倍角公式

正弦的倍角公式

\[\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\]

余弦的倍角公式

\[\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\]

\[\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\]

\[\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\]

正切的倍角公式

\[\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}\]

24.4 半角公式

余弦的半角公式

\[\cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}\]

正弦的半角公式

\[\sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}\]

正切的半角公式

\[\tan\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}}\]

\[\tan\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}\]

\[\tan\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}\]

注意：半角公式中的符号取决于角\(\frac{\alpha}{2}\)所在的象限。

24.5 已解决的问题

问题24.1 如果\(\cos\alpha = \frac{3}{5}\)且\(\alpha\)在第一象限，求\(\sin 2\alpha\)和\(\cos 2\alpha\)。

解：由\(\cos\alpha = \frac{3}{5}\)且\(\alpha\)在第一象限，\(\sin\alpha = \frac{4}{5}\)。

\[\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25}\]

\[\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{7}{25}\]

问题24.2 求\(\cos 15^{\circ}\)的精确值。

解：\(\cos 15^{\circ} = \cos(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \cos 45^{\circ}\cos 30^{\circ} + \sin 45^{\circ}\sin 30^{\circ}\)

\(= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)

问题24.3 求\(\sin\frac{\pi}{8}\)的精确值。

解：\(\sin\frac{\pi}{8} = \sin 22.5^{\circ} = \sqrt{\frac{1 - \cos 45^{\circ}}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}\)

\(= \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\)

问题24.4 如果\(\tan\alpha = \frac{4}{3}\)且\(\alpha\)在第一象限，求\(\tan\frac{\alpha}{2}\)。

解：\(\tan\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}\)

由\(\tan\alpha = \frac{4}{3}\)，设直角三角形对边为4，邻边为3，则斜边为5。

\(\sin\alpha = \frac{4}{5}\)，\(\cos\alpha = \frac{3}{5}\)

\(\tan\frac{\alpha}{2} = \frac{\frac{4}{5}}{1 + \frac{3}{5}} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{8}{5}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)

问题24.5 证明：\(\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]\)

解：由和差公式：

\(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\)

\(\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta\)

两边相加：\(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2\sin\alpha\cos\beta\)

因此：\(\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]\)

问题24.6 证明：\(\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]\)

解：由和差公式：

\(\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\)

\(\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta\)

两边相加：\(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2\cos\alpha\cos\beta\)

因此：\(\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]\)

问题24.7 求\(\sin 22.5^{\circ} \cdot \cos 22.5^{\circ}\)的值。

解：\(\sin 22.5^{\circ} \cdot \cos 22.5^{\circ} = \frac{1}{2}\sin 45^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}\)

问题24.8 如果\(\tan\alpha = 2\)，求\(\tan 2\alpha\)。

解：\(\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha} = \frac{2 \cdot 2}{1 - 4} = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3}\)

问题24.9 求\(\cos 105^{\circ}\)的精确值。

解：\(\cos 105^{\circ} = \cos(60^{\circ} + 45^{\circ}) = \cos 60^{\circ}\cos 45^{\circ} - \sin 60^{\circ}\sin 45^{\circ}\)

\(= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}\)

问题24.10 证明：\(\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}\)

解：\(\tan(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} = \frac{\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta}\)

分子分母同时除以\(\cos\alpha\cos\beta\)：

\(= \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta}}{1 - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\sin\beta}{\cos\beta}} = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}\)

问题24.11 求\(\sin 67.5^{\circ}\)的精确值。

解：\(\sin 67.5^{\circ} = \sin(45^{\circ} + 22.5^{\circ})\)

\(= \sin 45^{\circ}\cos 22.5^{\circ} + \cos 45^{\circ}\sin 22.5^{\circ}\)

\(= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\)

\(= \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{4}\)

问题24.12 如果\(\sin\alpha = \frac{5}{13}\)且\(\alpha\)在第一象限，求\(\sin\frac{\alpha}{2}\)。

解：\(\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}\)

由\(\sin\alpha = \frac{5}{13}\)，得\(\cos\alpha = \frac{12}{13}\)

\(\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \frac{12}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{1}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{26}} = \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{\sqrt{26}}{26}\)

问题24.13 证明恒等式：\(\sin 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 + \tan^2\alpha}\)

解：由\(\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)，得\(\sin\alpha = \tan\alpha\cos\alpha\)

\(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\tan\alpha\cos^2\alpha\)

由\(1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}\)，得\(\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \tan^2\alpha}\)

因此：\(\sin 2\alpha = 2\tan\alpha \cdot \frac{1}{1 + \tan^2\alpha} = \frac{2\tan\alpha}{1 + \tan^2\alpha}\)

问题24.14 化简：\(\frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha}\)

解：\(\frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{1 + 2\cos^2\alpha - 1} = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha\)

问题24.15 求\(\tan 15^{\circ}\)的精确值。

解：\(\tan 15^{\circ} = \tan(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \frac{\tan 45^{\circ} - \tan 30^{\circ}}{1 + \tan 45^{\circ}\tan 30^{\circ}} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}\)

\(= \frac{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}\)

问题24.16 证明：\(\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha\)

解：\(\cos 3\alpha = \cos(2\alpha + \alpha) = \cos 2\alpha\cos\alpha - \sin 2\alpha\sin\alpha\)

\(= (2\cos^2\alpha - 1)\cos\alpha - (2\sin\alpha\cos\alpha)\sin\alpha\)

\(= 2\cos^3\alpha - \cos\alpha - 2\sin^2\alpha\cos\alpha\)

\(= 2\cos^3\alpha - \cos\alpha - 2(1 - \cos^2\alpha)\cos\alpha\)

\(= 2\cos^3\alpha - \cos\alpha - 2\cos\alpha + 2\cos^3\alpha\)

\(= 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha\)

问题24.17 如果\(\cos\alpha = -\frac{1}{3}\)且\(\alpha\)在第二象限，求\(\cos\frac{\alpha}{2}\)。

解：\(\cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} = \pm\sqrt{\frac{1 - \frac{1}{3}}{2}} = \pm\sqrt{\frac{\frac{2}{3}}{2}} = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}\)

由于\(\alpha\)在第二象限（\(90^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}\)），则\(45^{\circ} < \frac{\alpha}{2} < 90^{\circ}\)，所以\(\frac{\alpha}{2}\)在第一象限。

因此\(\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)（取正号）

问题24.18 求\(\sin 15^{\circ} \cdot \sin 75^{\circ}\)的值。

解：\(\sin 15^{\circ} \cdot \sin 75^{\circ} = \sin 15^{\circ} \cdot \cos 15^{\circ} = \frac{1}{2}\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)

24.6 补充问题

问题24.19 如果\(\sin\alpha = \frac{3}{5}\)且\(\alpha\)在第一象限，求\(\cos 2\alpha\)。

答案：\(\cos 2\alpha = \frac{7}{25}\)

问题24.20 求\(\sin 75^{\circ}\)的精确值。

答案：\(\sin 75^{\circ} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)

问题24.21 如果\(\tan\alpha = \frac{1}{2}\)，求\(\tan 2\alpha\)。

答案：\(\tan 2\alpha = \frac{4}{3}\)

问题24.22 求\(\sin 22.5^{\circ}\)的精确值。

答案：\(\sin 22.5^{\circ} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\)

问题24.23 证明：\(\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]\)

问题24.24 证明：\(\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)]\)

问题24.25 如果\(\cos\alpha = \frac{1}{3}\)且\(\alpha\)在第四象限，求\(\sin\frac{\alpha}{2}\)。

答案：\(\sin\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{1}{3}}{2}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}\)

问题24.26 化简：\(\frac{1 + \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}\)

答案：\(\cot\alpha\)

问题24.27 求\(\tan 22.5^{\circ}\)的精确值。

答案：\(\tan 22.5^{\circ} = \sqrt{2} - 1\)

问题24.28 证明恒等式：\(\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha\)

问题24.29 如果\(\tan\alpha = 3\)，求\(\tan\frac{\alpha}{2}\)。

答案：\(\tan\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{10} - 3}{1}\)（或化简后的形式）

问题24.30 求\(\cos 20^{\circ} \cdot \cos 40^{\circ} \cdot \cos 80^{\circ}\)的值。

答案：\(\frac{1}{8}\)