第25章 反三角函数
第25章 反三角函数
25.1 引言
在前面的章节中，我们学习了如何根据角求其三角函数值。现在我们来学习反三角函数，即已知三角函数值，如何求对应的角。
反三角函数是三角函数的反函数。由于三角函数不是单射的（在实数范围内不是一一对应的），我们需要限制它们的定义域，使其成为单调函数，然后才能讨论反函数。
25.2 反正弦函数
定义：反正弦函数\(\arcsin x\)（或\(\sin^{-1}x\)）是正弦函数的反函数，定义域为\([-1, 1]\)，值域为\([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\)。
\[\sin(\arcsin x) = x \quad \text{其中} \quad x \in [-1, 1]\]
\[\arcsin(\sin\theta) = \theta \quad \text{其中} \quad \theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\]
反正弦函数的基本恒等式
\[\sin(\arcsin x) = x\]
\[\arcsin(\sin\theta) = \theta \quad \text{当} \quad -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\]
\[\arcsin(-x) = -\arcsin x \quad \text{（奇函数）}\]
25.3 反余弦函数
定义：反余弦函数\(\arccos x\)（或\(\cos^{-1}x\)）是余弦函数的反函数，定义域为\([-1, 1]\)，值域为\([0, \pi]\)。
\[\cos(\arccos x) = x \quad \text{其中} \quad x \in [-1, 1]\]
\[\arccos(\cos\theta) = \theta \quad \text{当} \quad 0 \leq \theta \leq \pi\]
反余弦函数的基本恒等式
\[\cos(\arccos x) = x\]
\[\arccos(\cos\theta) = \theta \quad \text{当} \quad 0 \leq \theta \leq \pi\]
\[\arccos(-x) = \pi - \arccos x\]
余弦与反正弦的关系
\[\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x\]
25.4 反正切函数
定义：反正切函数\(\arctan x\)（或\(\tan^{-1}x\)）是正切函数的反函数，定义域为\((-\infty, +\infty)\)，值域为\((-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\)。
\[\tan(\arctan x) = x \quad \text{其中} \quad x \in (-\infty, +\infty)\]
\[\arctan(\tan\theta) = \theta \quad \text{当} \quad -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}\]
反正切函数的基本恒等式
\[\tan(\arctan x) = x\]
\[\arctan(\tan\theta) = \theta \quad \text{当} \quad -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}\]
\[\arctan(-x) = -\arctan x \quad \text{（奇函数）}\]
\[\arctan x + \arctan\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} \quad (x > 0)\]
25.5 反余切、反割、反余割函数
反余切函数\(\operatorname{arccot} x\)
定义域：\((-\infty, +\infty)\) 值域：\((0, \pi)\)
\[\operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} - \arctan x\]
反割函数\(\operatorname{arcsec} x\)
定义域：\((-\infty, -1] \cup [1, +\infty)\) 值域：\([0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi]\)
\[\operatorname{arcsec} x = \arccos\frac{1}{x}\]
反余割函数\(\operatorname{arccsc} x\)
定义域：\((-\infty, -1] \cup [1, +\infty)\) 值域：\([-\frac{\pi}{2}, 0) \cup (0, \frac{\pi}{2}]\)
\[\operatorname{arccsc} x = \arcsin\frac{1}{x}\]
25.6 反三角函数的图像
反正弦函数的图像关于原点对称，是正弦函数在\([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\)上的反函数图像。
反余弦函数的图像可由反正弦函数的图像平移得到。
反正切函数的图像关于原点对称，以水平渐近线\(y = \pm\frac{\pi}{2}\)为界。
25.7 已解决的问题
问题25.1 求\(\arcsin\frac{1}{2}\)的值。
解：\(\sin\theta = \frac{1}{2}\)，在\([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\)范围内，\(\theta = \frac{\pi}{6}\)
因此\(\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}\)
问题25.2 求\(\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})\)的值。
解：\(\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)，在\([0, \pi]\)范围内，\(\theta = \frac{5\pi}{6}\)
因此\(\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6}\)
问题25.3 求\(\arctan(-1)\)的值。
解：\(\tan\theta = -1\)，在\((-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\)范围内，\(\theta = -\frac{\pi}{4}\)
因此\(\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}\)
问题25.4 求\(\sin(\arcsin\frac{1}{3})\)的值。
解：由\(\sin(\arcsin x) = x\)，得\(\sin(\arcsin\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}\)
问题25.5 求\(\cos(\arctan 2)\)的值。
解：设\(\theta = \arctan 2\)，则\(\tan\theta = 2 = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)
构建直角三角形：对边为2，邻边为1，斜边为\(\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}\)
\(\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}\)
因此\(\cos(\arctan 2) = \frac{\sqrt{5}}{5}\)
问题25.6 证明：\(\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}\)，其中\(-1 \leq x \leq 1\)
解：设\(\theta = \arcsin x\)，则\(\sin\theta = x\)，且\(-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\)
\(\cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \sqrt{1 - x^2}\)（因为\(\theta\)在第一或第四象限）
因此：\(\arccos x = \arccos(\sin\theta) = \frac{\pi}{2} - \theta = \frac{\pi}{2} - \arcsin x\)
移项得：\(\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}\)
问题25.7 求\(\arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3}\)的值。
解：设\(\alpha = \arctan\frac{1}{2}\)，\(\beta = \arctan\frac{1}{3}\)，则\(\tan\alpha = \frac{1}{2}\)，\(\tan\beta = \frac{1}{3}\)
\(\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1\)
由于\(\alpha\)和\(\beta\)都很小，\(\alpha + \beta\)在\((0, \frac{\pi}{2})\)范围内，所以\(\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}\)
因此：\(\arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3} = \frac{\pi}{4}\)
问题25.8 求\(\sin(\arccos\frac{3}{5})\)的值。
解：设\(\theta = \arccos\frac{3}{5}\)，则\(\cos\theta = \frac{3}{5}\)
\(\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}\)（取正值因为\(\theta\)在\([0, \pi]\)的第一象限）
因此\(\sin(\arccos\frac{3}{5}) = \frac{4}{5}\)
问题25.9 求\(\arcsin(\sin\frac{5\pi}{6})\)的值。
解：\(\frac{5\pi}{6}\)不在\([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\)范围内，需要化简。
\(\sin\frac{5\pi}{6} = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\)
\(\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}\)
因此\(\arcsin(\sin\frac{5\pi}{6}) = \frac{\pi}{6}\)
问题25.10 证明：\(\arctan x = \arcsin\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\)
解：设\(\theta = \arctan x\)，则\(\tan\theta = x\)，且\(-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}\)
\(\sin\theta = \frac{\tan\theta}{\sqrt{1+\tan^2\theta}} = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\)
因此\(\theta = \arcsin\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\)，即\(\arctan x = \arcsin\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\)
问题25.11 求\(\tan(\arcsin\frac{2}{3})\)的值。
解：设\(\theta = \arcsin\frac{2}{3}\)，则\(\sin\theta = \frac{2}{3}\)，\(\theta\)在\([0, \frac{\pi}{2}]\)
\(\cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}\)
\(\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}\)
问题25.12 求\(\sec(\arctan\frac{3}{4})\)的值。
解：设\(\theta = \arctan\frac{3}{4}\)，则\(\tan\theta = \frac{3}{4}\)
构建直角三角形：对边为3，邻边为4，斜边为5
\(\sec\theta = \frac{5}{4}\)
因此\(\sec(\arctan\frac{3}{4}) = \frac{5}{4}\)
问题25.13 化简：\(\sin(\arccos x)\)
解：设\(\theta = \arccos x\)，则\(\cos\theta = x\)，且\(0 \leq \theta \leq \pi\)
当\(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\)时，\(\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \sqrt{1 - x^2}\)
当\(\frac{\pi}{2} < \theta \leq \pi\)时，\(\sin\theta = -\sqrt{1 - \cos^2\theta} = -\sqrt{1 - x^2}\)
因此：\(\sin(\arccos x) = \pm\sqrt{1 - x^2}\)（符号取决于\(x\)的值）
问题25.14 证明：\(\operatorname{arccot} x + \arctan x = \frac{\pi}{2}\)
解：设\(\theta = \operatorname{arccot} x\)，则\(\cot\theta = x\)，且\(0 < \theta < \pi\)
\(\tan\theta = \frac{1}{x}\)（当\(x \neq 0\)时）
\(\arctan\frac{1}{x} = \theta\)（因为\(\theta\)在\((0, \pi)\)内，且\(\tan\theta > 0\)当\(\theta \in (0, \frac{\pi}{2})\)）
实际上，更直接的方法是：
由于\(\operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} - \arctan x\)（对于所有实数\(x\)成立）
因此：\(\operatorname{arccot} x + \arctan x = \frac{\pi}{2}\)
问题25.15 求\(\arcsin\frac{3}{5} + \arccos\frac{4}{5}\)的值。
解：设\(\alpha = \arcsin\frac{3}{5}\)，\(\beta = \arccos\frac{4}{5}\)
\(\sin\alpha = \frac{3}{5}\)，\(\cos\beta = \frac{4}{5}\)
由\(\cos\beta = \frac{4}{5}\)，得\(\sin\beta = \sqrt{1 - \cos^2\beta} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}\)
因此\(\sin\alpha = \sin\beta = \frac{3}{5}\)
由于\(\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\)，\(\beta \in [0, \pi]\)，且\(\sin\alpha = \sin\beta\)，所以\(\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}\)
25.8 补充问题
问题25.16 求\(\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})\)的值。
答案：\(-\frac{\pi}{4}\)
问题25.17 求\(\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}\)的值。
答案：\(\frac{\pi}{4}\)
问题25.18 求\(\arctan\sqrt{3}\)的值。
答案：\(\frac{\pi}{3}\)
问题25.19 求\(\sin(\arctan\frac{4}{3})\)的值。
答案：\(\frac{4}{5}\)
问题25.20 求\(\cos(\arcsin(-\frac{1}{2}))\)的值。
答案：\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
问题25.21 证明：\(\arccos x = \arctan\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\)（对于\(0 < x \leq 1\)）
问题25.22 求\(\tan(\arccos\frac{1}{2})\)的值。
答案：\(\sqrt{3}\)
问题25.23 求\(\sin(\frac{1}{2}\arccos\frac{1}{2})\)的值。
答案：\(\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\)
问题25.24 化简：\(\cos(2\arcsin x)\)
答案：\(1 - 2x^2\)
问题25.25 求\(\arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3\)的值。
答案：\(\pi\)
问题25.26 求\(\csc(\arctan 3)\)的值。
答案：\(\frac{\sqrt{10}}{3}\)
问题25.27 证明：\(\arcsin x = \arctan\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)（对于\(-1 < x < 1\)）
问题25.28 化简：\(\sin(\frac{\pi}{2} - \arccos x)\)
答案：\(x\)
问题25.29 求\(\cos(2\arctan 2)\)的值。
答案：\(-\frac{3}{5}\)
问题25.30 证明：\(\tan(\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)（对于\(-1 < x < 1\)）