第26章 三角形

第26章 三角形

26.1 引言

本章我们将学习与三角形相关的几何和三角知识。这包括直角三角形的应用、任意三角形的性质（正弦定理和余弦定理）、三角形的面积公式，以及解三角形的实际问题。

26.2 直角三角形

在直角三角形中，我们使用以下基本定义：

• 正弦：\(\sin A = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} = \frac{a}{c}\)
• 余弦：\(\cos A = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} = \frac{b}{c}\)
• 正切：\(\tan A = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} = \frac{a}{b}\)

其中\(c\)是斜边，\(a\)是对边，\(b\)是邻边（相对于角\(A\)）。

勾股定理

\[a^2 + b^2 = c^2\]

26.3 任意三角形

余弦定理

对于任意三角形\(AABC\)（边长为\(a, b, c\)，对应的角为\(A, B, C\)）：

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\]

\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B\]

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\]

余弦定理适用于SAS（边角边）和SSS（边边边）情况。

正弦定理

对于任意三角形\(AABC\)：

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\]

其中\(R\)是三角形外接圆的半径。

正弦定理适用于ASA（角边角）和AAS（角角边）情况。

26.4 三角形的面积

基本面积公式

\[K = \frac{1}{2}bh\]

其中\(b\)是底边，\(h\)是该底边上的高。

用两边及其夹角表示的面积

\[K = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}bc\sin A\]

用三边表示的面积（海伦公式）

\[K = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\]

其中\(s = \frac{a+b+c}{2}\)是半周长。

26.5 解三角形的应用

解三角形的实际问题包括：

• 测量高度（仰角、俯角）
• 测量距离
• 航海问题
• 力学问题

26.6 已解决的问题

问题26.1 在直角三角形中，如果\(A = 35^{\circ}\)，\(a = 12\)，求\(b\)。

解：\(\tan A = \frac{a}{b}\)，所以\(b = \frac{a}{\tan A} = \frac{12}{\tan 35^{\circ}} = \frac{12}{0.7002} \approx 17.14\)

问题26.2 在三角形中，\(a = 8\)，\(b = 6\)，\(C = 60^{\circ}\)，求\(c\)。

解：由余弦定理：

\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C = 64 + 36 - 2(8)(6)\cos 60^{\circ}\)

\(= 100 - 96 \cdot \frac{1}{2} = 100 - 48 = 52\)

\(c = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 7.21\)

问题26.3 在三角形中，\(a = 7\)，\(A = 30^{\circ}\)，\(B = 45^{\circ}\)，求\(b\)。

解：由正弦定理：

\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}\)

\(b = \frac{a\sin B}{\sin A} = \frac{7 \cdot \sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 7\sqrt{2} \approx 9.90\)

问题26.4 在三角形中，\(a = 5\)，\(b = 8\)，\(c = 7\)，求\(A\)。

解：由余弦定理：

\(\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{64 + 49 - 25}{2 \cdot 8 \cdot 7} = \frac{88}{112} = \frac{11}{14}\)

\(A = \arccos\frac{11}{14} \approx 38.2^{\circ}\)

问题26.5 求三角形\(a = 6\)，\(b = 7\)，\(c = 10\)的面积。

解：先计算半周长\(s = \frac{6+7+10}{2} = \frac{23}{2} = 11.5\)

由海伦公式：

\(K = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{11.5(11.5-6)(11.5-7)(11.5-10)}\)

\(= \sqrt{11.5 \cdot 5.5 \cdot 4.5 \cdot 1.5} = \sqrt{381.9375} \approx 19.54\)

问题26.6 测量员站在点\(A\)，测得塔顶的仰角为\(30^{\circ}\)。他向塔走近50米到达点\(B\)，测得仰角为\(45^{\circ}\)。求塔的高度。

解：设塔高为\(h\)，\(A\)点到塔的距离为\(d\)。

在\(A\)点：\(\tan 30^{\circ} = \frac{h}{d}\)，所以\(d = \frac{h}{\tan 30^{\circ}} = h\sqrt{3}\)

在\(B\)点：\(\tan 45^{\circ} = \frac{h}{d-50}\)，所以\(d - 50 = h\)

将\(d = h\sqrt{3}\)代入：\(h\sqrt{3} - 50 = h\)

\(h(\sqrt{3} - 1) = 50\)

\(h = \frac{50}{\sqrt{3} - 1} = \frac{50(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = 25(\sqrt{3} + 1) \approx 68.30\)米

问题26.7 在三角形中，\(A = 50^{\circ}\)，\(B = 60^{\circ}\)，\(a = 6\)，求\(c\)。

解：\(C = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 60^{\circ} = 70^{\circ}\)

由正弦定理：\(\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A}\)

\(c = \frac{a\sin C}{\sin A} = \frac{6 \cdot \sin 70^{\circ}}{\sin 50^{\circ}} = \frac{6 \cdot 0.9397}{0.7660} \approx 7.36\)

问题26.8 证明正弦定理。

解：在三角形\(AABC\)中，作边\(c\)上的高\(h\)。

由直角三角形的定义：

\(h = b\sin A = a\sin B\)

因此：\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}\)

同理可得：\(\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\)

所以：\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\)

问题26.9 飞机从\(A\)点向\(B\)点飞行，距离为500公里，航向为北\(30^{\circ}\)东。然后转向北\(50^{\circ}\)西，飞行300公里到达\(C\)点。求\(C\)点相对于\(A\)点的方向和距离。

解：建立坐标系，以\(A\)点为原点。

从\(A\)到\(B\)：向北偏移\(500\cos 30^{\circ} = 433\)，向东偏移\(500\sin 30^{\circ} = 250\)

从\(B\)到\(C\)：向北偏移\(300\cos 50^{\circ} = 192.8\)，向西偏移\(300\sin 50^{\circ} = 229.8\)

\(C\)点坐标：\((433 + 192.8, 250 - 229.8) = (625.8, 20.2)\)

距离\(AC = \sqrt{625.8^2 + 20.2^2} \approx 626.1\)公里

方向：\(\theta = \arctan\frac{20.2}{625.8} \approx 1.85^{\circ}\)北偏东

问题26.10 在三角形中，如果\(a = 3\)，\(b = 4\)，\(\sin C = \frac{1}{2}\)，求面积。

解：\(K = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 3\)

问题26.11 求证：\(K = \frac{abc}{4R}\)，其中\(R\)是外接圆半径。

解：由正弦定理：\(a = 2R\sin A\)，\(b = 2R\sin B\)，\(c = 2R\sin C\)

\(K = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}(2R\sin A)(2R\sin B)\sin C = 2R^2\sin A\sin B\sin C\)

但这不是最简形式。实际上：

\(K = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}(2R\sin B)(2R\sin C)\sin A = 2R^2\sin A\sin B\sin C\)

同时，由正弦定理：\(\frac{a}{\sin A} = 2R\)，所以\(\sin A = \frac{a}{2R}\)

因此：\(K = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}bc \cdot \frac{a}{2R} = \frac{abc}{4R}\)

问题26.12 如果三角形的两边分别为5和8，夹角为\(60^{\circ}\)，求第三边。

解：由余弦定理：

\(c^2 = 5^2 + 8^2 - 2(5)(8)\cos 60^{\circ} = 25 + 64 - 80 \cdot \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49\)

\(c = 7\)

问题26.13 在三角形中，\(a = 10\)，\(b = 7\)，\(A = 120^{\circ}\)，求\(B\)。

解：由正弦定理：\(\sin B = \frac{b\sin A}{a} = \frac{7 \cdot \sin 120^{\circ}}{10} = \frac{7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{10} = \frac{7\sqrt{3}}{20}\)

由于\(a > b\)且\(A = 120^{\circ}\)为钝角，\(B\)必须是锐角。

\(\sin B = \frac{7\sqrt{3}}{20} \approx 0.606\)

\(B = \arcsin 0.606 \approx 37.4^{\circ}\)

问题26.14 证明余弦定理。

解：在三角形\(AABC\)中，建立坐标系，使\(C\)点在原点，\(B\)点在\(x\)轴正方向。

则\(B = (a, 0)\)，\(C = (0, 0)\)，\(A = (b\cos C, b\sin C)\)

由距离公式：

\(c^2 = (b\cos C - a)^2 + (b\sin C)^2 = b^2\cos^2 C - 2ab\cos C + a^2 + b^2\sin^2 C\)

\(= a^2 + b^2(\cos^2 C + \sin^2 C) - 2ab\cos C = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\)

问题26.15 在三角形中，如果\(\sin A = \frac{3}{4}\)，\(\sin B = \frac{1}{3}\)，\(a = 6\)，求\(b\)。

解：由正弦定理：\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}\)

\(b = \frac{a\sin B}{\sin A} = \frac{6 \cdot \frac{1}{3}}{\frac{3}{4}} = \frac{2}{\frac{3}{4}} = \frac{8}{3}\)

26.7 补充问题

问题26.16 在直角三角形中，如果\(A = 40^{\circ}\)，\(c = 20\)，求\(a\)。

答案：\(a = 20\sin 40^{\circ} \approx 12.86\)

问题26.17 在三角形中，\(a = 10\)，\(b = 12\)，\(C = 45^{\circ}\)，求\(c\)。

答案：\(c = \sqrt{244 - 24\sqrt{2}} \approx 13.09\)

问题26.18 在三角形中，\(A = 35^{\circ}\)，\(B = 65^{\circ}\)，\(a = 8\)，求\(b\)。

答案：\(b \approx 13.33\)

问题26.19 在三角形中，\(a = 5\)，\(b = 6\)，\(c = 7\)，求\(A\)。

答案：\(A \approx 44.4^{\circ}\)

问题26.20 求三角形边长为\(a = 9\)，\(b = 10\)，\(c = 11\)的面积。

答案：\(K \approx 42.43\)

问题26.21 飞机以\(200\) km/h的速度向北飞行，风以\(50\) km/h的速度从西向东吹。求飞机的实际速度和方向。

答案：实际速度\(\approx 206.1\) km/h，方向北偏东约\(14^{\circ}\)

问题26.22 在三角形中，如果\(c = 15\)，\(A = 50^{\circ}\)，\(B = 60^{\circ}\)，求\(a\)和\(b\)。

答案：\(a \approx 13.15\)，\(b \approx 14.31\)

问题26.23 证明：\(K = \frac{1}{2}R^2(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C)\)

问题26.24 从地面一点看一座山顶的仰角为\(15^{\circ}\)。向山走近\(500\)米后，仰角变为\(25^{\circ}\)。求山的高度。

答案：\(h \approx 330.6\)米

问题26.25 在三角形中，\(a = 20\)，\(b = 15\)，\(\sin A = \frac{2}{3}\)，求可能的\(B\)值。

答案：\(B \approx 41.8^{\circ}\)或\(B \approx 180^{\circ} - 41.8^{\circ} = 138.2^{\circ}\)

问题26.26 求三角形外接圆半径为\(R = 10\)，边长为\(a = 12\)，\(b = 16\)，\(c = 20\)的面积。

答案：\(K = \frac{abc}{4R} = \frac{12 \cdot 16 \cdot 20}{40} = 96\)

问题26.27 在三角形中，\(A = 30^{\circ}\)，\(a = 5\)，\(b = 8\)，这样的三角形存在吗？

答案：存在。因为\(b\sin A = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 < a = 5 < b = 8\)，满足正弦定理的条件。

问题26.28 一艘船从\(A\)点以\(30^{\circ}\)方向航行\(100\)公里，然后以\(150^{\circ}\)方向航行\(80\)公里到达\(C\)点。求\(A\)点到\(C\)点的距离和方向。

答案：距离约为\(152.4\)公里，方向需计算确定。

问题26.29 证明：在任意三角形中，\(a = b\cos C + c\cos B\)

问题26.30 在三角形中，如果\(C = 90^{\circ}\)，证明勾股定理\(c^2 = a^2 + b^2\)。

答案：由余弦定理直接得出。