第27章 向量

第27章 向量

27.1 引言

向量是数学和物理学中非常重要的概念。与只有大小（标量）不同，向量既有大小又有方向。本章我们将学习向量的基本概念、向量运算（加法、减法、数乘、点积、叉积）、向量的坐标表示，以及向量在实际问题中的应用。

27.2 向量的基本概念

定义

向量是一个有大小和方向的量。向量可以用有向线段表示，起点称为始点，终点称为终点。

表示：\(\vec{AB}\)或\(\mathbf{v}\)

向量的模

向量\(\vec{AB}\)的模（大小、长度）表示为\(|\vec{AB}|\)或\(|\mathbf{v}|\)

零向量

零向量是大小为零的向量，记作\(\mathbf{0}\)，方向任意。

单位向量

单位向量是模为1的向量。

向量相等

两个向量如果大小相等且方向相同，则它们相等。平行移动不改变向量。

27.3 向量的坐标表示

二维向量

在二维坐标系中，向量\(\mathbf{v} = \langle v_1, v_2 \rangle\)

模：\(|\mathbf{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}\)

方向：\(\theta = \arctan\frac{v_2}{v_1}\)

三维向量

在三维坐标系中，向量\(\mathbf{v} = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle\)

模：\(|\mathbf{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}\)

27.4 向量运算

向量加法

\[\mathbf{u} + \mathbf{v} = \langle u_1 + v_1, u_2 + v_2 \rangle\]

几何意义：平行四边形法则或首尾相连法则。

向量减法

\[\mathbf{u} - \mathbf{v} = \langle u_1 - v_1, u_2 - v_2 \rangle\]

几何意义：向量\(\mathbf{v}\)的终点到向量\(\mathbf{u}\)的终点的向量。

数乘向量

\[k\mathbf{v} = \langle kv_1, kv_2\rangle\]

• \(k > 0\)：方向相同，模变为\(|k|\)倍
• \(k < 0\)：方向相反，模变为\(|k|\)倍
• \(k = 0\)：零向量

向量的点积（数量积、内积）

\[\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 = |\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos\theta\]

其中\(\theta\)是两向量的夹角。

向量的叉积（向量积、外积）

仅定义于三维向量：

\[\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \langle u_2v_3 - u_3v_2, u_3v_1 - u_1v_3, u_1v_2 - u_2v_1 \rangle\]

\(|\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = |\mathbf{u}||\mathbf{v}|\sin\theta\)

叉积所得向量垂直于原来的两个向量。

27.5 向量的性质

点积的性质

1. \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{u}\)（交换律）
2. \(\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u} \cdot \mathbf{w}\)（分配律）
3. \((k\mathbf{u}) \cdot \mathbf{v} = k(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})\)
4. \(\mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{v}|^2\)
5. \(\mathbf{0} \cdot \mathbf{v} = 0\)

叉积的性质

1. \(\mathbf{u} \times \mathbf{v} = -(\mathbf{v} \times \mathbf{u})\)（反交换律）
2. \(\mathbf{u} \times (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \times \mathbf{v} + \mathbf{u} \times \mathbf{w}\)（分配律）
3. \((k\mathbf{u}) \times \mathbf{v} = k(\mathbf{u} \times \mathbf{v})\)
4. \(\mathbf{u} \times \mathbf{0} = \mathbf{0}\)
5. \(\mathbf{u} \times \mathbf{u} = \mathbf{0}\)

27.6 向量的应用

力的分解与合成

力是向量。多个力可以用向量加法合成一个合力。

功

\(W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} = |\mathbf{F}||\mathbf{d}|\cos\theta\)

距离与方向

向量用于确定位置、方向和距离。

速度与加速度

速度和加速度都是向量。

27.7 已解决的问题

问题27.1 如果\(\mathbf{u} = \langle 3, 4\rangle\)，\(\mathbf{v} = \langle 1, -2\rangle\)，求\(\mathbf{u} + \mathbf{v}\)和\(\mathbf{u} - 2\mathbf{v}\)。

解：\(\mathbf{u} + \mathbf{v} = \langle 3+1, 4+(-2)\rangle = \langle 4, 2\rangle\)

\(2\mathbf{v} = \langle 2, -4\rangle\)

\(\mathbf{u} - 2\mathbf{v} = \langle 3-2, 4-(-4)\rangle = \langle 1, 8\rangle\)

问题27.2 求向量\(\mathbf{v} = \langle 3, -4\rangle\)的模和方向角。

解：\(|\mathbf{v}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\)

\(\theta = \arctan\frac{-4}{3} = -53.13^{\circ}\)（或\(306.87^{\circ}\)）

问题27.3 如果\(\mathbf{u} = \langle 2, 3\rangle\)，\(\mathbf{v} = \langle 4, 1\rangle\)，求\(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}\)和两向量夹角。

解：\(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 2(4) + 3(1) = 8 + 3 = 11\)

\(|\mathbf{u}| = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}\)，\(|\mathbf{v}| = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}\)

\(\cos\theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|} = \frac{11}{\sqrt{13}\sqrt{17}} = \frac{11}{\sqrt{221}}\)

\(\theta = \arccos\frac{11}{\sqrt{221}} \approx 42.5^{\circ}\)

问题27.4 判断\(\mathbf{u} = \langle 2, -1\rangle\)和\(\mathbf{v} = \langle -4, 2\rangle\)是否平行或垂直。

解：\(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 2(-4) + (-1)(2) = -8 - 2 = -10 \neq 0\)，不垂直。

\(\mathbf{v} = -2\langle 2, -1\rangle = -2\mathbf{u}\)，所以\(\mathbf{u}\)和\(\mathbf{v}\)平行（方向相反）。

问题27.5 如果\(\mathbf{u} = \langle 1, 2, 3\rangle\)，\(\mathbf{v} = \langle 4, 5, 6\rangle\)，求\(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\)。

解：\(\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \langle 2(6) - 3(5), 3(4) - 1(6), 1(5) - 2(4)\rangle\)

\(= \langle 12-15, 12-6, 5-8\rangle = \langle -3, 6, -3\rangle\)

验证：\(\mathbf{u} \cdot (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) = 1(-3) + 2(6) + 3(-3) = -3 + 12 - 9 = 0\)

问题27.6 求与\(\mathbf{v} = \langle 3, 4\rangle\)方向相同的单位向量。

解：\(|\mathbf{v}| = 5\)

单位向量：\(\mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} = \langle \frac{3}{5}, \frac{4}{5}\rangle\)

问题27.7 将力\(\mathbf{F} = \langle 100, 200\rangle\)牛沿\(\mathbf{d} = \langle 3, 4\rangle\)米所做的功。

解：\(W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} = 100(3) + 200(4) = 300 + 800 = 1100\)焦耳

问题27.8 如果\(\mathbf{u} = \langle 1, 0\rangle\)，\(\mathbf{v} = \langle 3, -3\rangle\)，求\(\mathbf{v}\)在\(\mathbf{u}\)方向上的投影。

解：\(\operatorname{proj}_{\mathbf{u}} \mathbf{v} = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}|^2} \mathbf{u} = \frac{1(3) + 0(-3)}{1} \langle 1, 0\rangle = 3\langle 1, 0\rangle = \langle 3, 0\rangle\)

投影的模：\(|\operatorname{proj}_{\mathbf{u}} \mathbf{v}| = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}|} = 3\)

问题27.9 求三维向量\(\mathbf{v} = \langle 2, -1, 3\rangle\)的模。

解：\(|\mathbf{v}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14}\)

问题27.10 证明：\((\mathbf{u} + \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w} = \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{w}\)

解：设\(\mathbf{u} = \langle u_1, u_2\rangle\)，\(\mathbf{v} = \langle v_1, v_2\rangle\)，\(\mathbf{w} = \langle w_1, w_2\rangle\)

\((\mathbf{u} + \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w} = \langle u_1+v_1, u_2+v_2\rangle \cdot \langle w_1, w_2\rangle\)

\(= (u_1+v_1)w_1 + (u_2+v_2)w_2 = u_1w_1 + v_1w_1 + u_2w_2 + v_2w_2\)

\(= (u_1w_1 + u_2w_2) + (v_1w_1 + v_2w_2) = \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{w}\)

问题27.11 如果飞机以速度\(\mathbf{v} = \langle 300, 0\rangle\) km/h飞行，风速为\(\mathbf{w} = \langle 0, 50\rangle\) km/h（从南吹向北），求飞机的实际速度。

解：实际速度\(\mathbf{v}_a = \mathbf{v} + \mathbf{w} = \langle 300, 50\rangle\) km/h

\(|\mathbf{v}_a| = \sqrt{300^2 + 50^2} = \sqrt{90000 + 2500} = \sqrt{92500} \approx 304.14\) km/h

方向：\(\theta = \arctan\frac{50}{300} \approx 9.5^{\circ}\)北偏东

问题27.12 求与\(\mathbf{v} = \langle 1, 2, -1\rangle\)垂直的单位向量。

解：先求一个与\(\mathbf{v}\)垂直的向量。设\(\mathbf{w} = \langle w_1, w_2, w_3\rangle\)，满足\(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = 0\)。

取\(w_1 = 1, w_2 = 0\)，则\(1(1) + 2(0) + (-1)w_3 = 0\)，得\(w_3 = 1\)。

\(\mathbf{w} = \langle 1, 0, 1\rangle\)

\(|\mathbf{w}| = \sqrt{2}\)

单位向量：\(\mathbf{u} = \pm\frac{\langle 1, 0, 1\rangle}{\sqrt{2}} = \langle \frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\rangle\)或\(\langle -\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, -\frac{\sqrt{2}}{2}\rangle\)

问题27.13 计算平行四边形的面积，已知两边向量为\(\mathbf{u} = \langle 2, 1\rangle\)和\(\mathbf{v} = \langle 1, 3\rangle\)。

解：面积\(= |\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = |u_1v_2 - u_2v_1| = |2(3) - 1(1)| = |6 - 1| = 5\)

（在二维情况下，叉积的模等于平行四边形的面积）

问题27.14 如果\(\mathbf{u} = \langle 1, -1, 2\rangle\)，求\(3\mathbf{u}\)的模。

解：\(3\mathbf{u} = \langle 3, -3, 6\rangle\)

\(|3\mathbf{u}| = \sqrt{9+9+36} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}\)

验证：\(|\mathbf{u}| = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}\)，所以\(|3\mathbf{u}| = 3|\mathbf{u}| = 3\sqrt{6}\)

问题27.15 证明：\(\mathbf{u}\)和\(\mathbf{v}\)平行的充要条件是\(\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{0}\)

解：如果\(\mathbf{u}\)和\(\mathbf{v}\)平行，则存在\(k\)使\(\mathbf{v} = k\mathbf{u}\)

\(\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{u} \times (k\mathbf{u}) = k(\mathbf{u} \times \mathbf{u}) = k\mathbf{0} = \mathbf{0}\)

反之，如果\(\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{0}\)，则\(|\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = |\mathbf{u}||\mathbf{v}|\sin\theta = 0\)

由于\(|\mathbf{u}| \neq 0\)且\(|\mathbf{v}| \neq 0\)，所以\(\sin\theta = 0\)，即\(\theta = 0\)或\(\pi\)，两向量平行。

问题27.16 求\(\mathbf{v} = \langle -2, 5, 1\rangle\)与\(\mathbf{w} = \langle 3, 1, -2\rangle\)的夹角。

解：\(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = (-2)(3) + 5(1) + 1(-2) = -6 + 5 - 2 = -3\)

\(|\mathbf{v}| = \sqrt{4+25+1} = \sqrt{30}\)，\(|\mathbf{w}| = \sqrt{9+1+4} = \sqrt{14}\)

\(\cos\theta = \frac{-3}{\sqrt{30}\sqrt{14}} = \frac{-3}{\sqrt{420}}\)

\(\theta = \arccos\frac{-3}{\sqrt{420}} \approx 98.4^{\circ}\)

27.8 补充问题

问题27.17 如果\(\mathbf{u} = \langle 1, 2\rangle\)，\(\mathbf{v} = \langle -1, 3\rangle\)，求\(2\mathbf{u} - 3\mathbf{v}\)。

答案：\(\langle 5, -5\rangle\)

问题27.18 求\(\mathbf{v} = \langle -6, 8\rangle\)的模和方向角。

答案：\(|\mathbf{v}| = 10\)，\(\theta = 126.87^{\circ}\)（或\(-53.13^{\circ}\)）

问题27.19 如果\(\mathbf{u} = \langle 3, 1\rangle\)，\(\mathbf{v} = \langle 2, 4\rangle\)，求\(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}\)。

答案：\(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 10\)

问题27.20 判断\(\mathbf{u} = \langle 1, 2\rangle\)和\(\mathbf{v} = \langle -2, 4\rangle\)是否平行。

答案：平行（\(\mathbf{v} = -2\mathbf{u}\)）

问题27.21 如果\(\mathbf{u} = \langle 1, 0, 1\rangle\)，\(\mathbf{v} = \langle 2, 1, -1\rangle\)，求\(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\)。

答案：\(\langle -1, 3, -1\rangle\)

问题27.22 求\(\mathbf{v} = \langle 1, -2, 2\rangle\)的单位向量。

答案：\(\langle \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\rangle\)

问题27.23 如果力\(\mathbf{F} = \langle 10, 20\rangle\)使物体移动\(\mathbf{d} = \langle 5, 15\rangle\)米，求所做的功。

答案：\(W = 350\)焦耳

问题27.24 求\(\mathbf{v} = \langle 2, 1, -3\rangle\)在\(\mathbf{u} = \langle 1, 0, 1\rangle\)方向上的投影。

答案：\(\langle -\frac{1}{2}, 0, -\frac{1}{2}\rangle\)

问题27.25 在三维空间中，求点\(P(1, 2, 3)\)到点\(Q(4, 0, 1)\)的距离。

答案：\(\sqrt{22}\)

问题27.26 如果\(\mathbf{u} = \langle 2, -1\rangle\)，\(\mathbf{v} = \langle 1, 3\rangle\)，求两向量夹角的余弦。

答案：\(\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{50}}\)

问题27.27 证明：\(|\mathbf{u} + \mathbf{v}|^2 = |\mathbf{u}|^2 + 2\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + |\mathbf{v}|^2\)

问题27.28 如果飞机速度为\(\langle 400, 0\rangle\) km/h，风速为\(\langle 0, -80\rangle\) km/h，求实际速度的大小。

答案：\(\sqrt{166400} \approx 407.9\) km/h

问题27.29 求同时垂直于\(\mathbf{u} = \langle 1, 1, 0\rangle\)和\(\mathbf{v} = \langle 0, 1, 1\rangle\)的单位向量。

答案：\(\langle \frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\rangle\)或相反

问题27.30 证明：\((\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w} = \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w})\)（混合积的性质）