第28章 极坐标；参数方程

极坐标；参数方程

极坐标系

极坐标系通过两个量来确定平面上的点：从一个固定点（称为极点）出发的有向距离 \(r\)，以及从固定射线（以极点为起始点，称为极轴）量起的角度 \(\theta\)。极轴是一条数轴的正半轴，向右绘制。见图 28-1。

对于任意点 \(P\)，\(\theta\) 是由极轴与连接极点到 \(P\) 的射线所形成的角，\(r\) 是沿该射线从极点到 \(P\) 量出的距离。对于任意有序对 \((r, \theta)\)：

  • 若 \(r > 0\)，以极点为顶点、极轴为始边作角 \(\theta\)，沿 \(\theta\) 的终边量出 \(r\) 个单位；
  • 若 \(r < 0\)，沿 \(\theta\) 的终边反向量出 \(|r|\) 个单位；
  • \(r = 0\) 的任意对均表示极点。

如此，每个有序对 \((r, \theta)\) 唯一对应一个点。

例 28.1 描绘 \((3, \pi/3)\) 和 \((-3, \pi/3)\) 所表示的点。

极坐标的不唯一性

一个点的极坐标并不唯一。给定点 \(P\)，存在无穷多组极坐标与之对应，因为终边经过 \(P\) 的角有无穷多个。

例 28.2 列出点 \(P(3, \pi/3)\) 的四组不同极坐标。

将任意 \(2\pi\) 的整数倍加到角上，可得到与原角共终边的角；因此 \((3, 7\pi/3)\) 和 \((3, 13\pi/3)\) 是两组可能的替代极坐标。由于 \(\pi + \pi/3 = 4\pi/3\) 的终边与 \(\pi/3\) 的终边方向相反，坐标 \((-3, 4\pi/3)\) 和 \((-3, 10\pi/3)\) 是 \(P\) 的另外两组极坐标。

极坐标与直角坐标的转换

若将极坐标系叠加到直角坐标系上（见图 28-3），则两组坐标之间满足以下变换关系。

若点 \(P\) 的极坐标为 \((r, \theta)\)，直角坐标为 \((x, y)\)，则

\[x = r\cos\theta \qquad y = r\sin\theta\]

\[r^2 = x^2 + y^2 \qquad \tan\theta = \frac{y}{x} \quad (x \neq 0)\]

例 28.3 将 \((6, 2\pi/3)\) 转换为直角坐标。

由于 \(r = 6\)，\(\theta = 2\pi/3\)，代入变换关系得

\[x = r\cos\theta = 6\cos(2\pi/3) = -3 \qquad y = r\sin\theta = 6\sin(2\pi/3) = 3\sqrt{3}\]

因此直角坐标为 \((-3, 3\sqrt{3})\)。

例 28.4 将 \((-5, -5)\) 转换为极坐标，要求 \(r > 0\)，\(0 \leq \theta \leq 2\pi\)。

由 \(x = -5\)，\(y = -5\)，代入变换关系得

\[r^2 = x^2 + y^2 = (-5)^2 + (-5)^2 = 50 \qquad \tan\theta = \frac{y}{x} = \frac{-5}{-5} = 1\]

由于 \(r\) 要求为正，\(r = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)。由于点 \((-5, -5)\) 在第三象限，\(\theta = 5\pi/4\)。满足条件的极坐标为 \((5\sqrt{2}, 5\pi/4)\)。

极坐标方程

任何关于 \(r\) 和 \(\theta\) 的方程都可以解释为极坐标方程，通常 \(r\) 被表示为 \(\theta\) 的函数。

例 28.5 \(r\theta = 1\) 和 \(r^2 = 2\cos 2\theta\) 是极坐标方程的例子。\(r = 2\sin\theta\) 和 \(r = 3 - 3\cos 2\theta\) 是 \(r\) 表示为 \(\theta\) 的函数的极坐标方程示例。

参数方程

曲线方程可以通过将 \(x\) 和 \(y\) 分别表示为第三个变量（通常称为参数，记为 \(t\)）的函数来给出。这些函数称为曲线的参数方程。可以通过代入 \(t\) 的允许值来找到曲线上的点。通常可以代数消去 \(t\)，但对 \(t\) 的任何限制都需要用来确定参数方程所指定的曲线部分。

例 28.6 描绘参数方程 \(x = 1 - t\)，\(y = 2t + 2\) 所确定的曲线。

首先，将 \(x\) 的方程解出 \(t\)，得 \(t = 1 - x\)，代入 \(y\) 的方程，得 \(y = 2(1-x) + 2 = 4 - 2x\)。因此对每个 \(t\) 值，点 \((x, y)\) 均在直线 \(y = 4 - 2x\) 上。由于对 \(t\) 无限制，且 \(x(t)\) 和 \(y(t)\) 均为单射函数，\(x\) 和 \(y\) 可取任何值，图形是整条直线 \(y = 4 - 2x\)。

例 28.7 描绘参数方程 \(x = \cos^2 t\)，\(y = \sin^2 t\) 所确定的曲线。

将 \(x\) 和 \(y\) 的方程相加，得 \(x + y = 1\)。但两个变量都被限制在区间 \([0, 1]\) 内。实际上，由于 \(x\) 和 \(y\) 都以 \(\pi\) 为周期，图形是直线 \(x + y = 1\) 在 \(0 \leq x \leq 1\) 上的部分，随着 \(t\) 遍历所有实数值，该部分被反复描绘。

\(t\) \(0\) \(\pi/4\) \(\pi/2\) \(3\pi/4\) \(\pi\)
\(x\) \(1\) \(1/2\) \(0\) \(1/2\) \(1\)
\(y\) \(0\) \(1/2\) \(1\) \(1/2\) \(0\)

极坐标与参数方程的关系

根据变换关系，点的直角坐标由极坐标通过 \(x = r\cos\theta\)，\(y = r\sin\theta\) 给出。因此，任何指定 \(r = f(\theta)\) 的极坐标方程都可以视为以 \(\theta\) 为参数的 \(x\) 和 \(y\) 的参数方程：

\[x = f(\theta)\cos\theta, \qquad y = f(\theta)\sin\theta\]

例 28.8 写出 \(r = 1 + \sin\theta\) 所确定的 \(x\) 和 \(y\) 的参数方程。

\[x = (1 + \sin\theta)\cos\theta \qquad y = (1 + \sin\theta)\sin\theta\]

解题示例

28.1. 描绘以下极坐标对应的点：

\[(a)\; A(4, \pi/6),\; B(6, -\pi/4);\quad (b)\; C(-2, 5\pi/3),\; D(-5, \pi)\]

  1. \((4, \pi/6)\) 位于与极轴成 \(\pi/6\) 角的射线上，距极点 4 个单位。\((6, -\pi/4)\) 位于与极轴成 \(-\pi/4\) 角的射线上，距极点 6 个单位。

  2. \((-2, 5\pi/3)\) 位于 \(5\pi/3\) 方向的反向射线上，距极点 \(|-2| = 2\) 个单位。\((-5, \pi)\) 位于 \(\pi\) 方向的反向射线上，距极点 \(|-5| = 5\) 个单位。

28.2. 给出所有可能描述点 \(P(r, \theta)\) 的极坐标。

由于任何 \(\theta + 2\pi n\)（\(n\) 为整数）的角与 \(\theta\) 共终边，坐标 \((r, \theta + 2\pi n)\) 与 \((r, \theta)\) 表示同一点。又因为 \(\theta + \pi\) 方向的射线与 \(\theta\) 方向相反，\((r, \theta)\) 与 \((-r, \theta + \pi)\) 表示同一点。综上，坐标 \((r, \theta + 2\pi n)\) 和 \((-r, \theta + (2n+1)\pi)\) 与 \((r, \theta)\) 表示同一点。

28.3. 建立极坐标与直角坐标的变换关系。

设点 \(P\) 的直角坐标为 \((x, y)\)，极坐标为 \((r, \theta)\)。由于 \(P(x, y)\) 在角 \(\theta\) 的终边上，\(r\) 为 \(P\) 到原点的距离，故

\[\tan\theta = \frac{y}{x} \;(x \neq 0), \quad \cos\theta = \frac{x}{r}, \quad \sin\theta = \frac{y}{r}\]

因此 \(x = r\cos\theta\)，\(y = r\sin\theta\)。由此得

\[x^2 + y^2 = r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta = r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = r^2\]

28.4. 转换为直角坐标：(a) \(\left(4\sqrt{3}, \frac{4\pi}{3}\right)\)；(b) \(\left(-5, -\frac{\pi}{2}\right)\)。

  1. \(r = 4\sqrt{3}\)，\(\theta = 4\pi/3\)，代入变换关系：

\[x = 4\sqrt{3}\cos(4\pi/3) = 4\sqrt{3}\cdot(-1/2) = -2\sqrt{3}\]

\[y = 4\sqrt{3}\sin(4\pi/3) = 4\sqrt{3}\cdot(-\sqrt{3}/2) = -6\]

直角坐标为 \((-2\sqrt{3}, -6)\)。

  1. \(r = -5\)，\(\theta = -\pi/2\)，代入变换关系：

\[x = -5\cos(-\pi/2) = 0, \qquad y = -5\sin(-\pi/2) = 5\]

直角坐标为 \((0, 5)\)。

28.5. 将 \((-8\sqrt{2}, 8\sqrt{2})\) 转换为极坐标，要求 \(r > 0\)，\(0 \leq \theta \leq 2\pi\)。

\[r^2 = (-8\sqrt{2})^2 + (8\sqrt{2})^2 = 256, \qquad \tan\theta = \frac{8\sqrt{2}}{-8\sqrt{2}} = -1\]

\(r = 16\)。由于点在第二象限，\(\theta = 3\pi/4\)。极坐标为 \((16, 3\pi/4)\)。

28.6. 将以下极坐标方程转换为直角坐标：

  1. \(r = 4\)；(b) \(r = 4\cos\theta\)；(c) \(r^2\sin 2\theta = 4\)。

  2. 方程表示距极点距离为 4 的所有点，即圆方程 \(x^2 + y^2 = 16\)。

  3. 两边乘以 \(r\)，得 \(r^2 = 4r\cos\theta\)，即 \(x^2 + y^2 = 4x\)，可改写为 \((x-2)^2 + y^2 = 4\)，这是圆心 \((2, 0)\)、半径 2 的圆。

  4. 变换过程如下：

\[r^2(2\sin\theta\cos\theta) = 4 \quad\Rightarrow\quad 2r\cos\theta \cdot r\sin\theta = 4 \quad\Rightarrow\quad 2xy = 4 \quad\Rightarrow\quad xy = 2\]

28.7. 将以下直角坐标方程转换为极坐标：

  1. \(x + y = 3\)；(b) \(x^2 + y^2 = 3y\)；(c) \(y^2 = 4x\)。

  2. 代入 \(x = r\cos\theta\)，\(y = r\sin\theta\)，得 \(r\cos\theta + r\sin\theta = 3\)。

  3. 代入 \(x^2 + y^2 = r^2\)，\(y = r\sin\theta\)，得 \(r^2 = 3r\sin\theta\)，化简得 \(r = 3\sin\theta\)。

  4. 代入变换公式，得 \(r^2\sin^2\theta = 4r\cos\theta\)，化简得 \(r\sin^2\theta = 4\cos\theta\)，即

\[r = 4\cot\theta\csc\theta\]

28.8. 描绘 \(r = 1 + \cos\theta\) 的图形。

分析 \(r(\theta) = 1 + \cos\theta\) 的变化规律：

当 \(\theta\) 从…增加 \(\cos\theta\) \(1 + \cos\theta\)
\(0\) 到 \(\pi/2\) 从 1 减至 0 从 2 减至 1
\(\pi/2\) 到 \(\pi\) 从 0 减至 \(-1\) 从 1 减至 0
\(\pi\) 到 \(3\pi/2\) 从 \(-1\) 增至 0 从 0 增至 1
\(3\pi/2\) 到 \(2\pi\) 从 0 增至 1 从 1 增至 2
\(\theta\) \(0\) \(\pi/4\) \(\pi/2\) \(3\pi/4\) \(\pi\) \(5\pi/4\) \(3\pi/2\) \(7\pi/4\) \(2\pi\)
\(r\) \(2\) \(1.7\) \(1\) \(0.3\) \(0\) \(0.3\) \(1\) \(1.7\) \(2\)

该曲线因形如心形而称为心形线（cardioid）。

28.9. 描绘 \(r = \cos 2\theta\) 的图形。

分析 \(r(\theta) = \cos 2\theta\) 的变化规律（参见分析表），可列出值表并绘图。该曲线有四片花瓣，称为四叶玫瑰线。

28.10. 描绘参数方程 \(x = t^2\)，\(y = t^2 + 2\) 所确定的曲线。

消去参数，以 \(x\) 替换 \(t^2\)，得 \(y = x + 2\)。但 \(x \geq 0\)（因此 \(y \geq 2\)），图形是直线 \(y = x + 2\) 在第一象限的部分，由于 \(t\) 取负值和正值各对应同样的 \(x\)，该部分被描绘两次。

\(t\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\)
\(x\) \(4\) \(1\) \(0\) \(1\) \(4\)
\(y\) \(6\) \(3\) \(2\) \(3\) \(6\)

28.11. 描绘参数方程 \(x = 2\cos t\)，\(y = 2\sin t\) 所确定的曲线。

将两式平方相加，得 \(x^2 + y^2 = 4\)。图形为圆心在原点、半径为 2 的圆，\(t\) 每增加 \(2\pi\) 完整描绘一次。

28.12. 当半径为 \(a\) 的轮子在水平面上纯滚动时，轮缘上某点所描绘的曲线称为摆线（cycloid）。

  1. 证明摆线的参数方程为

\[x = a(\phi - \sin\phi)\]

\[y = a(1 - \cos\phi)\]

  1. 参数 \(\phi\) 是车轮转过的角度。由于车轮纯滚动，弧长 \(\widehat{PC}\) 等于线段 \(\overline{OC}\)，因此

\[x = \overline{OC} - \overline{PB} = a\phi - a\sin\phi, \qquad y = \overline{CB} = a - a\cos\phi\]

  1. 当 \(a = 1\) 时，\(x = \phi - \sin\phi\)，\(y = 1 - \cos\phi\)。曲线在 \(0 \leq \phi \leq 2\pi\) 内形成一段拱形，由于 \(y\) 是 \(\phi\) 的周期函数，拱形形状重复出现。
\(\phi\) \(0\) \(\pi/4\) \(\pi/2\) \(3\pi/4\) \(\pi\) \(5\pi/4\) \(3\pi/2\) \(7\pi/4\) \(2\pi\)
\(x\) \(0\) \(0.08\) \(0.57\) \(1.65\) \(\pi\) \(4.63\) \(5.71\) \(6.20\) \(2\pi\)
\(y\) \(0\) \(0.29\) \(1\) \(1.71\) \(2\) \(1.71\) \(1\) \(0.29\) \(0\)

补充习题

28.13. 转换为直角坐标：\((5, 0)\)，\((5, \pi)\)，\((6, -\pi/3)\)，\((-2\sqrt{2}, 3\pi/4)\)，\((-20, -5\pi/2)\)。

答： \((5, 0)\)，\((-5, 0)\)，\((3, -3\sqrt{3})\)，\((2, -2)\)，\((0, 20)\)

28.14. 转换为极坐标（\(r > 0\)，\(0 \leq \theta \leq 2\pi\)）：\((0, 2)\)，\((0, -3)\)，\((-4, 4)\)，\((6, -6\sqrt{3})\)。

答： \((2, \pi/2)\)，\((3, 3\pi/2)\)，\((4\sqrt{2}, 3\pi/4)\)，\((12, 5\pi/3)\)

28.15. 将以下极坐标方程转换为直角坐标：

  1. \(r = 3\sin\theta\)；(b) \(\theta = \pi/4\)；(c) \(r = 2\tan\theta\)；(d) \(r = 1 + \cos\theta\)。

答： \(x^2 + y^2 = 3y\)；\(y = x\)；\(x^4 + x^2 y^2 = 4y^2\)；\(x^4 + y^4 - 2x^3 - 2xy^2 + 2x^2y^2 - y^2 = 0\)

28.16. 将以下直角坐标方程转换为极坐标：

  1. \(y = 5\)；(b) \(xy = 4\)；(c) \(x^2 + y^2 = 16\)；(d) \(x^2 - y^2 = 16\)。

答： (a) \(r = 5\csc\theta\)；(b) \(r^2\sin\theta\cos\theta = 4\)；(c) \(r = 4\)；(d) \(r^2\cos 2\theta = 16\)

28.17. 描绘以下极坐标方程的图形：

  1. \(r = \theta\)（\(0 \leq \theta \leq 4\pi\)）；(b) \(r = 1 + 2\sin\theta\)

28.18. 消去参数 \(t\) 并说明所得方程中变量的限制：

  1. \(x = 3t\)，\(y = 2t - 5\)；(b) \(x = \sqrt{t-1}\)，\(y = t - 2\)；(c) \(x = e^t\)，\(y = e^{-t}\)。

答： (a) \(2x - 3y = 15\)；(b) \(y = x^2 - 1\)，\(x \geq 0\)；(c) \(xy = 1\)，\(x, y > 0\)

28.19. 一个抛射体以初速度 \(v_0\) 和仰角 \(\alpha\)（\(0 < \alpha < \pi/2\)）发射，路径的参数方程为 \(x = v_0 t\cos\alpha\)，\(y = v_0 t\sin\alpha - (gt^2)/2\)（\(t\) 为时间）。

  1. 消去参数 \(t\) 并求抛射体落地时的 \(t\) 值。

  2. 描绘 \(\alpha = \pi/6\)，\(v_0 = 32\) 英尺/秒，\(g = 32\) 英尺/秒² 时的路径。

答： (a) \(y = x\tan\alpha - \frac{gx^2\sec^2\alpha}{2v_0^2}\)；\(y = 0\) 时 \(t = \frac{2v_0\sin\alpha}{g}\)