第29章 复数的三角形式

复数的三角形式

复平面

每个标准形式的复数 \(z = x + yi\) 对应实数有序对 \((x, y)\)，从而对应直角坐标系中的一个点，该坐标系称为复平面。其中 \(x\) 轴称为实轴，\(y\) 轴称为虚轴。

例 29.1 在复平面中表示 \(4 + 2i\)，\(-2i\) 和 \(-3 - i\)。

这些点分别由几何点 \((4, 2)\)，\((0, -2)\)，\((-3, -1)\) 表示。

复数的三角形式

若将极坐标系叠加在直角坐标系上，则关系式 \(x = r\cos\theta\)，\(y = r\sin\theta\) 成立。因此，每个复数 \(z\) 都可以写成三角形式：

\[z = r\cos\theta + ir\sin\theta = r(\cos\theta + i\sin\theta)\]

该形式有时缩写为 \(z = r\operatorname{cis}\theta\)。标准形式 \(z = x + yi\) 称为直角形式。由于点的极坐标不唯一，复数的三角形式有无穷多个等价表示。

例 29.2 将 \(5\left(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\right)\) 写成直角形式。

\[5\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right) = 5(0 + 1 \cdot i) = 5i\]

复数的模与辐角

将复数写成三角形式时，通常选取 \(r > 0\)。由于 \(r^2 = x^2 + y^2\)，\(r\) 表示复数到原点的距离，称为复数的模（有时也称绝对值）：

\[|z| = r = \sqrt{x^2 + y^2}\]

\(\theta\) 称为复数的辐角。除非另有说明，通常选取 \(0 \leq \theta < 2\pi\)。

例 29.3 将 \(z = -6 + 6i\) 写成三角形式，并给出模和辐角（取 \(0 \leq \theta < 2\pi\)）。

\(-6 + 6i\) 对应几何点 \((-6, 6)\)，其中 \(x = -6\)，\(y = 6\)，故

\[r = |z| = \sqrt{(-6)^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}, \qquad \tan\theta = \frac{6}{-6} = -1\]

由于 \((-6, 6)\) 在第二象限，\(\theta = \dfrac{3\pi}{4}\)。因此三角形式为

\[z = 6\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}\right)\]

模为 \(6\sqrt{2}\)，辐角为 \(\dfrac{3\pi}{4}\)。

复数的乘积与商

设 \(z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)\)，\(z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)\) 为三角形式的复数（\(z_2 \neq 0\)），则

\[z_1 z_2 = r_1 r_2[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)]\]

\[\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)]\]

棣莫弗定理

棣莫弗定理（复数幂次定理）：设 \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) 为三角形式的复数，则对任意非负整数 \(n\)，

\[z^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)\]

复数 \(n\) 次方根定理

若 \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) 为任意非零复数，\(n\) 为任意正整数，则 \(z\) 恰有 \(n\) 个不同的 \(n\) 次方根 \(w_0, w_1, \ldots, w_{n-1}\)，由下式给出：

\[w_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\theta + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right), \quad k = 0, 1, \ldots, n-1\]

这些方根对称地等间距分布在复平面中半径为 \(\sqrt[n]{r}\)、圆心为原点的圆上。

例 29.4 (a) 将 \(i\) 写成三角形式；(b) 求 \(i\) 的两个平方根。

1. \(i = 0 + 1 \cdot i\) 对应有序对 \((0, 1)\)，故 \(r = 1\)，\(\theta = \pi/2\)，即

\[i = 1\left[\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right]\]

2. \(n = 2\)，\(r = 1\)，\(\theta = \pi/2\)，两个平方根为

\[w_k = \sqrt{1}\left(\cos\frac{\pi/2 + 2\pi k}{2} + i\sin\frac{\pi/2 + 2\pi k}{2}\right), \quad k = 0, 1\]

\[w_0 = \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\]

\[w_1 = \cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}\]

复数的极坐标形式

在高等课程中可以证明

\[e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\]

因此任意复数可以写成

\[z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}\]

此处通常选取 \(\theta \in (-\pi, \pi]\)。利用指数的标准性质，对 \(z_1 = r_1 e^{i\theta_1}\)，\(z_2 = r_2 e^{i\theta_2}\)，有：

\[z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}, \qquad \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}\]

\[z^n = r^n e^{in\theta} \quad \text{（棣莫弗定理）}\]

\(z = re^{i\theta}\) 的 \(n\) 个 \(n\) 次方根为 \(w_k = \sqrt[n]{r}\, e^{i(\theta + 2\pi k)/n}\)，\(k = 0, 1, \ldots, n-1\)。

解题示例

29.1. 写成直角（标准）形式：

1. \(4(\cos 0 + i\sin 0) = 4(1 + 0i) = 4\)

2. \(3\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right) = 3\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{i}{2}\right) = \dfrac{3\sqrt{3} + 3i}{2}\)

3. 设 \(u = \tan^{-1}\dfrac{3}{4}\)，则 \(\cos u = \dfrac{4}{5}\)，\(\sin u = \dfrac{3}{5}\)，故

\[20\left[\cos\left(\tan^{-1}\frac{3}{4}\right) + i\sin\left(\tan^{-1}\frac{3}{4}\right)\right] = 20\left[\frac{4}{5} + i\frac{3}{5}\right] = 16 + 12i\]

29.2. 写成三角形式：(a) \(-8\)；(b) \(3i\)；(c) \(4 + 4i\sqrt{3}\)；(d) \(-3\sqrt{2} - 3i\sqrt{2}\)；(e) \(6 - 8i\)。

1. \(-8 = -8 + 0i\)，\(r = 8\)，点在负实轴上故 \(\theta = \pi\)：\(-8 = 8(\cos\pi + i\sin\pi)\)

2. \(3i = 0 + 3i\)，\(r = 3\)，点在正虚轴上故 \(\theta = \pi/2\)：\(3i = 3\left(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\right)\)

3. \(r = 8\)，\(\tan\theta = \sqrt{3}\)，第一象限故 \(\theta = \pi/3\)：\(4 + 4i\sqrt{3} = 8\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\)

4. \(r = 6\)，\(\tan\theta = 1\)，第三象限故 \(\theta = 5\pi/4\)：\(-3\sqrt{2} - 3i\sqrt{2} = 6\left(\cos\dfrac{5\pi}{4} + i\sin\dfrac{5\pi}{4}\right)\)

5. \(r = 10\)，\(\tan\theta = -4/3\)，第四象限故 \(\theta = 2\pi + \tan^{-1}(-4/3)\)：\(6 - 8i = 10(\cos\theta + i\sin\theta)\)

29.3. 证明乘积和商的三角形式公式。

1. 乘积：

\[z_1 z_2 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1) \cdot r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)\]

展开并利用 \(i^2 = -1\) 及和角公式，得

\[z_1 z_2 = r_1 r_2[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)]\]

2. 商： 分子分母同乘共轭 \(\cos\theta_2 - i\sin\theta_2\)，利用差角公式及勾股恒等式，得

\[\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)]\]

29.4. 设 \(z_1 = 40\left(\cos\dfrac{4\pi}{5} + i\sin\dfrac{4\pi}{5}\right)\)，\(z_2 = 5\left(\cos\dfrac{3\pi}{5} + i\sin\dfrac{3\pi}{5}\right)\)，求 \(z_1 z_2\) 和 \(\dfrac{z_1}{z_2}\)。

\[z_1 z_2 = 200\left(\cos\frac{7\pi}{5} + i\sin\frac{7\pi}{5}\right)\]

\[\frac{z_1}{z_2} = 8\left(\cos\frac{\pi}{5} + i\sin\frac{\pi}{5}\right)\]

29.5. 设 \(z_1 = 24i\)，\(z_2 = 4\sqrt{3} - 4i\)，转换为三角形式后求乘积和商。

三角形式：\(z_1 = 24\left(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\right)\)，\(z_2 = 8\left(\cos\dfrac{11\pi}{6} + i\sin\dfrac{11\pi}{6}\right)\)

\[z_1 z_2 = 192\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) = 96 + 96i\sqrt{3}\]

\[\frac{z_1}{z_2} = 3\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{3}{2} + i\frac{3\sqrt{3}}{2}\]

29.6. 对 \(n = 2\) 和 \(n = 3\) 证明棣莫弗定理。

取 \(z_1 = z_2 = z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)，由乘积公式：

\[z^2 = r^2(\cos 2\theta + i\sin 2\theta), \qquad z^3 = r^3(\cos 3\theta + i\sin 3\theta)\]

29.7. 应用棣莫弗定理求：

1. \(\left[2\left(\cos\dfrac{\pi}{9} + i\sin\dfrac{\pi}{9}\right)\right]^5 = 32\left(\cos\dfrac{5\pi}{9} + i\sin\dfrac{5\pi}{9}\right)\)

2. \((-1+i)^6\)：先写成 \(\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{3\pi}{4} + i\sin\dfrac{3\pi}{4}\right)\)，再用棣莫弗定理：

\[(-1+i)^6 = (\sqrt{2})^6\left(\cos\frac{9\pi}{2} + i\sin\frac{9\pi}{2}\right) = 8(0 + i) = 8i\]

29.8. 证明 \(w_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos\dfrac{\theta+2\pi k}{n} + i\sin\dfrac{\theta+2\pi k}{n}\right)\) 是 \(z = r(\cos\theta+i\sin\theta)\) 的 \(n\) 次方根。

应用棣莫弗定理：

\[w_k^n = (\sqrt[n]{r})^n[\cos(\theta + 2\pi k) + i\sin(\theta + 2\pi k)] = r(\cos\theta + i\sin\theta) = z\]

29.9. 求 \(5(\cos 3 + i\sin 3)\) 的四个四次方根。

\(n = 4\)，\(r = 5\)，\(\theta = 3\)，四个四次方根为

\[w_k = \sqrt[4]{5}\left(\cos\frac{3 + 2\pi k}{4} + i\sin\frac{3 + 2\pi k}{4}\right), \quad k = 0, 1, 2, 3\]

29.10. (a) 求 \(-27i\) 的三个立方根；(b) 在复平面中描绘这些数。

1. \(-27i = 27\left(\cos\dfrac{3\pi}{2} + i\sin\dfrac{3\pi}{2}\right)\)，\(n = 3\)，\(r = 27\)，\(\theta = 3\pi/2\)：

\[w_0 = 3\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right) = 3i\]

\[w_1 = 3\left(\cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2}i\]

\[w_2 = 3\left(\cos\frac{11\pi}{6} + i\sin\frac{11\pi}{6}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2}i\]

2. 三个立方根均在半径为 3 的圆上，各辐角相差 \(2\pi/3\)，对称分布。

29.11. 求 \(x^6 + 64 = 0\) 的所有复数解。

方程等价于 \(x^6 = -64\)，解即 \(-64\) 的六个六次方根。

\(-64 = 64(\cos\pi + i\sin\pi)\)，\(n = 6\)，\(r = 64\)，\(\theta = \pi\)：

\[w_k = 2\left(\cos\frac{\pi + 2\pi k}{6} + i\sin\frac{\pi + 2\pi k}{6}\right), \quad k = 0, 1, 2, 3, 4, 5\]

\[w_0 = \sqrt{3} + i, \quad w_1 = 2i, \quad w_2 = -\sqrt{3} + i\]

\[w_3 = -\sqrt{3} - i, \quad w_4 = -2i, \quad w_5 = \sqrt{3} - i\]

29.12. (a) 将 \(3e^{i\pi/3}\) 写成直角形式；(b) 将 \(6 - 6i\) 写成极坐标形式。

1. \(3e^{i\pi/3} = 3\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right) = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}i\)

2. \(r = 6\sqrt{2}\)，\(\theta = -\pi/4\)，故 \(6 - 6i = 6\sqrt{2}e^{-i\pi/4}\)

29.13. 对 \(z_1 = 12e^{i5\pi/6}\)，\(z_2 = 3e^{i\pi/3}\)，求 (a) \(z_1 z_2\)；(b) \(z_1/z_2\)。

1. \(z_1 z_2 = 36e^{i7\pi/6} = 36e^{-i5\pi/6}\)

2. \(z_1/z_2 = 4e^{i\pi/2}\)

29.14. 对 \(z = -1 + i\sqrt{3}\)，求 \(z^3\) 的 (a) 极坐标形式；(b) 直角形式。

1. \(-1 + i\sqrt{3} = 2e^{i2\pi/3}\)，故 \(z^3 = 8e^{2\pi i}\)

2. \(8e^{2\pi i} = 8(\cos 2\pi + i\sin 2\pi) = 8\)

29.15. 求 \(64e^{i5\pi/4}\) 的三个立方根。

\(w_k = 4e^{i(5\pi/4 + 2\pi k)/3}\)，\(k = 0, 1, 2\)：

\[w_0 = 4e^{i5\pi/12}, \quad w_1 = 4e^{i13\pi/12}, \quad w_2 = 4e^{i7\pi/4}\]

29.16. 证明 \(e^{i\pi} + 1 = 0\)。

\[e^{i\pi} + 1 = \cos\pi + i\sin\pi + 1 = -1 + 0 + 1 = 0\]

补充习题

29.17. 设 \(z_1 = 8\left(\cos\dfrac{4\pi}{9} + i\sin\dfrac{4\pi}{9}\right)\)，\(z_2 = \cos\dfrac{2\pi}{9} + i\sin\dfrac{2\pi}{9}\)，求 \(z_1 z_2\) 和 \(\dfrac{z_1}{z_2}\)。

答： \(z_1 z_2 = -4 + 4i\sqrt{3}\)，\(\dfrac{z_1}{z_2} = 8\left(\cos\dfrac{2\pi}{9} + i\sin\dfrac{2\pi}{9}\right)\)

29.18. 将 \(-12\)，\(-8i\)，\(2-2i\)，\(-\sqrt{3}+i\) 写成三角形式。

29.19. 利用上题结果求：(a) \((-8i)(2-2i)\)；(b) \(\dfrac{-8i}{-\sqrt{3}+i}\)；(c) \((2-2i)^3\)。

答： (a) \(-16 - 16i\)；(b) \(-2 + 2i\sqrt{3}\)；(c) \(-16 - 16i\)

29.20. 对 \(n = 0\)，\(n = 1\)，\(n = 4\) 证明棣莫弗定理。

29.21. 证明每个复数 \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) 恰有 \(n\) 个不同的复数 \(n\) 次方根（\(n\) 为大于 1 的整数）。

29.22. 求 \(-1 + i\sqrt{3}\) 的两个平方根。

答： \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + i\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)，\(-\dfrac{\sqrt{2}}{2} - i\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)

29.23. (a) 求 1 的三个复数立方根；(b) 求 \(-1\) 的四个复数四次方根。

答： (a) \(1\)，\(-\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)，\(-\dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)；(b) \(\dfrac{1+i}{\sqrt{2}}\)，\(\dfrac{-1+i}{\sqrt{2}}\)，\(\dfrac{-1-i}{\sqrt{2}}\)，\(\dfrac{1-i}{\sqrt{2}}\)

29.24. (a) 将 \(12e^{i3\pi/4}\) 写成直角形式；(b) 将 \(5i\) 写成极坐标形式。

答： (a) \(-6\sqrt{2} + 6i\sqrt{2}\)；(b) \(5e^{i\pi/2}\)

29.25. 对 \(z_1 = 20e^{i4\pi/3}\)，\(z_2 = 2e^{i\pi/2}\)，求 (a) \(z_1 z_2\)；(b) \(\dfrac{z_1}{z_2}\)。

答： (a) \(40e^{i11\pi/6}\) 或 \(40e^{-i\pi/6}\)；(b) \(10e^{i5\pi/6}\)

29.26. 对 \(z = 1 - i\)，求 \(z^5\) 的 (a) 极坐标形式；(b) 直角形式。

答： (a) \(4\sqrt{2}e^{i3\pi/4}\)；(b) \(-4 + 4i\)

29.27. 求 \(81e^{i2\pi/3}\) 的四个四次方根。

答： \(3e^{i\pi/6} = \dfrac{3\sqrt{3}+3i}{2}\)，\(3e^{i2\pi/3} = \dfrac{-3+3i\sqrt{3}}{2}\)，\(3e^{i7\pi/6} = \dfrac{-3\sqrt{3}-3i}{2}\)，\(3e^{i5\pi/3} = \dfrac{3-3i\sqrt{3}}{2}\)