第30章 线性方程组

线性方程组

方程组

方程组由两个或多个方程构成，对多个变量同时施加条件。方程组的解是一组变量赋值，代入后使每个方程成为真命题。求所有解的过程称为求解方程组。全部解的集合称为方程组的解集。具有相同解集的方程组称为等价方程组。

例 30.1 验证 \((x, y) = (-4, 2)\) 是以下方程组的解：

\[y^2 + x = 0 \tag{1}\]

\[2x + 3y = -2 \tag{2}\]

代入 \(x = -4\)，\(y = 2\)：方程 (1) 变为 \(4 + (-4) = 0\)，方程 (2) 变为 \(-8 + 6 = -2\)，均成立。

线性方程组

若干变量 \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) 的线性方程可写成 \(a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = b\) 的形式（\(a_i\) 为常数），称为标准形式。若方程组的所有方程均为线性方程，则称为线性方程组；若所有方程均为标准形式，则方程组也被视为标准形式。

例 30.2 将以下方程组化为标准形式：

\[2x + 4y = 5x - 6y \tag{1}\]

\[y + 5 = 3x + 5y \tag{2}\]

方程 (1) 加 \(-5x + 6y\) 得 \(-3x + 10y = 0\)；方程 (2) 加 \(-3x - 5y - 5\) 得 \(-3x - 4y = -5\)。标准形式为：

\[-3x + 10y = 0, \qquad -3x - 4y = -5\]

等价方程组的操作

以下对方程的操作可产生等价的线性方程组：

1. 互换两个方程的位置。
2. 用某方程的非零倍数替换该方程。
3. 用某方程加上另一方程的倍数的结果替换该方程。

例 30.3 对上例的方程组，求含一个不含 \(x\) 的方程的等价方程组。

将方程 (4) 乘以 \(-1\) 后与方程 (3) 相加，得：

\[14y = 5, \qquad -3x - 4y = -5\]

线性方程组的分类

线性方程组属于以下三类之一：

1. 相容且独立：恰好有一个解。
2. 不相容：无解。
3. 相关：有无穷多个解。

二元线性方程组的求解方法

1. 图解法：将每个方程的图像（均为直线）画在同一坐标系中。若两直线相交于一点，则该点坐标为解；若两直线平行，则方程组不相容；若两直线重合，则方程组相关。

2. 代入法：从一个方程中解出一个变量，代入另一个方程，依次求解。

3. 消元法：通过等价操作消去一个变量，求解得到该变量的值，再回代求另一个变量。

在方法 2 和 3 中，若出现 \(a = b\)（\(a \neq b\) 为常数）形式的方程，则方程组不相容；若所有方程均化为 \(0 = 0\)，则方程组相关。

多元线性方程组的求解方法

1. 代入法：从一个方程中解出一个变量，代入其他方程，将变量个数减少一个，递归求解。
2. 消元法：通过等价操作从除一个方程以外的所有方程中消去一个变量，递归求解。

解题示例

30.1. 求解方程组

\[2x + 3y = 6 \tag{1}\]

\[-3x - y = 5 \tag{2}\]

分别用 (a) 图解法；(b) 代入法；(c) 消元法。

(a) 图解法： 两直线的交点约为 \((-3, 4)\)。代入验证：\(2(-3) + 12 = 6\) ✓，\(9 - 4 = 5\) ✓。唯一解为 \((-3, 4)\)。

(b) 代入法： 由方程 (2) 解出 \(y = -3x - 5\)，代入方程 (1)：

\[2x + 3(-3x - 5) = 6 \Rightarrow -7x - 15 = 6 \Rightarrow x = -3\]

代入方程 (2) 得 \(y = 4\)。解为 \((-3, 4)\)。

(c) 消元法： 将方程 (2) 乘以 3，与方程 (1) 相加，消去 \(y\)：

\[-7x = 21 \Rightarrow x = -3\]

代入方程 (2) 得 \(y = 4\)。

30.2. 求解方程组 \(y = 2x + 2\)，\(4x - 2y = 8\)。

(a) 图解法： 两直线斜率均为 2 但截距不同，故平行，无交点。方程组不相容，无解。

(b) 代入法： 将 \(y = 2x + 2\) 代入第二方程：\(4x - 2(2x+2) = 8 \Rightarrow -4 = 8\)，矛盾，方程组无解。

30.3. 求解方程组 \(4x + 2y = 6\)，\(6x + 3y = 9\)。

(a) 图解法： 两直线斜率和截距相同（均为 \(y = -2x + 3\)），两线重合。

(b) 代入法： 令 \(y = c\)（\(c\) 为任意实数），代入方程 (1) 解出 \(x = \dfrac{3-c}{2}\)。所有解为 \(\left(\dfrac{3-c}{2}, c\right)\)，\(c\) 为任意实数。

30.4. 以列表形式给出二元线性方程组类型的代数解释与几何解释：

方程组类型	解的个数	图形表现
相容且独立	1 个	两直线相交于一点
不相容	无	两直线平行
相关	无穷多个	两直线重合

30.5. 求解方程组：

\[x - 3y + 2z = 14 \tag{1}\]

\[2x + 5y - z = -9 \tag{2}\]

\[-3x - y + 2z = 2 \tag{3}\]

(a) 代入法： 由方程 (1) 解出 \(x = 3y - 2z + 14\)，代入方程 (2) 和 (3)，化简得：

\[11y - 5z = -37 \tag{5}\]

\[-10y + 8z = 44 \tag{6}\]

由方程 (5) 解出 \(y = \dfrac{5z - 37}{11}\)，代入方程 (6) 解出 \(z = 3\)，再得 \(y = -2\)，\(x = 2\)。解为 \((2, -2, 3)\)。

(b) 消元法： 利用方程 (1) 消去方程 (2) 和 (3) 中的 \(x\)，得相同结果。

30.6. 求解方程组：

\[x - 4y - 5z = 8 \tag{1}\]

\[4x - 2z = 10 \tag{2}\]

\[5x - 4y - 7z = 3 \tag{3}\]

消元后，方程 (4) 和 (5) 的差为 \(0 = -15\)，矛盾，方程组不相容，无解。

30.7. 求解方程组：

\[x + y + z = 1 \tag{1}\]

\[2x - 2y - 10z = -6 \tag{2}\]

\[-x + 3y + 11z = 7 \tag{3}\]

消元后得 \(0 = 0\)，方程组相关，有无穷多解。令 \(z = c\)，则 \(y = 2 - 3c\)，\(x = 2c - 1\)。所有解为 \((2c-1, 2-3c, c)\)，\(c\) 为任意实数。

30.8. 8000 美元分成两部分，分别以 6% 和 11% 的年利率投资。若希望总回报率为 9%，各部分应分别投入多少？

设 \(x\) 为投入 6% 的金额，\(y\) 为投入 11% 的金额：

\[x + y = 8000 \tag{1}\]

\[0.06x + 0.11y = 0.09(8000) \tag{2}\]

解方程组得 \(y = 4800\)，\(x = 3200\)。应以 6% 投入 3200 美元，以 11% 投入 4800 美元。

30.9. 求 \(a\)，\(b\)，\(c\)，使圆 \(x^2 + y^2 + ax + by + c = 0\) 过点 \((1,5)\)，\((4,4)\)，\((3,1)\)。

代入三个点，得方程组：

\[a + 5b + c = -26 \tag{1}\]

\[4a + 4b + c = -32 \tag{2}\]

\[3a + b + c = -10 \tag{3}\]

解得 \(a = -4\)，\(b = -6\)，\(c = 8\)。圆方程为 \(x^2 + y^2 - 4x - 6y + 8 = 0\)。

补充习题

30.10. 求解方程组：

1. \(2x - 3y = 4\)，\(3x + 2y = 19\)；(b) \(6x - 4y = 8\)，\(9x - 6y = 12\)；(c) \(2y = 3x + 4\)，\(9x - 6y = 4\)。

答： (a) \((5, 2)\)；(b) \(\left(\dfrac{2c+4}{3}, c\right)\)，\(c\) 为任意实数；(c) 无解

30.11. 求解方程组：

1. \(3x - 2y = 0\)，\(x + 3y = 0\)，\(2x - y = 0\)；(b) \(x - 3y = 0\)，\(2x + 3y = 2\)，\(-x + y = 1\)；(c) \(x + 2y = 2\)，\(2x - y = 3\)，\(3x + y = 5\)。

答： (a) \((0, 0)\)；(b) 无解；(c) \(\left(\dfrac{8}{5}, \dfrac{1}{5}\right)\)

30.12. 求解方程组：

1. \(x+y+z=5\)，\(x-4y-3z=11\)，\(-2x+2y+5z=-30\)；

2. \(x+y-2z=4\)，\(2x-5y+z=7\)，\(x+8y-7z=2\)；

3. \(-x+2y+2z=-13\)，\(5x+y-8z=0\)，\(3x-y=12\)。

答： (a) \((7,2,-4)\)；(b) 无解；(c) \(\left(2,-6,\dfrac{1}{2}\right)\)

30.13. 求解方程组：

1. \(2x-y-z=0\)，\(x-y+z=0\)，\(3x+2y+z=0\)；

2. \(x+y-z=5\)，\(3x-y+z=3\)，\(y-z=3\)；

3. \(3x-3y-6z=-15\)，\(-2x+2y+4z=10\)。

答： (a) \((0,0,0)\)；(b) \((2, 3+c, c)\)，\(c\) 为任意实数；(c) \((c+2d-5, c, d)\)，\(c\)，\(d\) 为任意实数

30.14. 16500 美元分别以 5%，8%，10% 的年利率投资于三个账户。以 5% 投资的金额等于以 8% 和 10% 投资金额之和的两倍，总回报为 1085 美元，各账户各投入多少？

答： 5% 投入 9500 美元，8% 投入 4500 美元，10% 投入 2500 美元

30.15. 求 \(a\)，\(b\)，\(c\)，使抛物线 \(y = ax^2 + bx + c\) 过 \((1,4)\)，\((-1,6)\)，\((2,12)\)。

答： \(a = 3\)，\(b = -1\)，\(c = 2\)