第32章 部分分式分解

部分分式分解

真分式与假分式

有理式是形如 \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\) 的商，其中 \(f\) 和 \(g\) 是实系数多项式。若 \(f\) 的次数小于 \(g\) 的次数，则称为真分式；否则称为假分式。假分式总可以通过多项式长除法（参见第14章）写成一个多项式加一个真分式的形式。

部分分式分解

任何多项式 \(g(x)\) 理论上都可以分解为若干一次因式和不可约二次因式的乘积（不可约二次因式无实数零点）。由此，任何以 \(g(x)\) 为分母的真分式都可以写成若干真分式之和，每个分式的分母是次数不超过 2 的多项式的幂次，称为该有理式的部分分式分解。

例 32.1 \(\dfrac{x^2}{x+1}\) 是假分式，可改写为：\(\dfrac{x^2}{x+1} = x - 1 + \dfrac{1}{x+1}\)。

例 32.2 \(\dfrac{2x+1}{x^2+x}\) 是真分式，分母分解为 \(x(x+1)\)，部分分式分解为 \(\dfrac{2x+1}{x^2+x} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+1}\)。

例 32.3 \(\dfrac{x}{x^2+1}\) 已是部分分式分解形式，因分母为不可约二次式。

部分分式分解的求解步骤

  1. 若为假分式，先用长除法写成多项式加真分式 \(f(x)/g(x)\) 的形式，再对真分式部分进行以下步骤；
  2. 将分母写成一次因式幂 \((ax+b)^m\) 和不可约二次因式幂 \((ax^2+bx+c)^n\) 的乘积；
  3. 对每个因式 \((ax+b)^m\)，写出如下形式的部分分式之和：

\[\frac{A_1}{ax+b} + \frac{A_2}{(ax+b)^2} + \cdots + \frac{A_m}{(ax+b)^m}\]

  1. 对每个因式 \((ax^2+bx+c)^n\)，写出如下形式的部分分式之和：

\[\frac{B_1 x + C_1}{ax^2+bx+c} + \frac{B_2 x + C_2}{(ax^2+bx+c)^2} + \cdots + \frac{B_n x + C_n}{(ax^2+bx+c)^n}\]

  1. 令 \(f(x)/g(x)\) 等于步骤 3、4 中各部分分式之和，两边乘以 \(g(x)\) 消去分母，得到关于未知系数的基本方程；
  2. 求解基本方程中的未知系数 \(A_i\)，\(B_j\)，\(C_j\)。

求解基本方程的一般方法

  1. 展开两边；
  2. 对 \(x\) 的各次幂合并同类项；
  3. 比较两边各次幂的系数；
  4. 求解由此得到的关于 \(A_i\)，\(B_i\)，\(C_i\) 的线性方程组。

例 32.4 求 \(\dfrac{4}{x^2-1}\) 的部分分式分解。

分母分解为 \((x-1)(x+1)\)，设

\[\frac{4}{x^2-1} = \frac{A_1}{x-1} + \frac{A_2}{x+1}\]

乘以 \(x^2 - 1\)，得基本方程 \(4 = A_1(x+1) + A_2(x-1)\)。比较各次幂系数：

\[A_1 + A_2 = 0, \qquad A_1 - A_2 = 4\]

解得 \(A_1 = 2\)，\(A_2 = -2\)。部分分式分解为

\[\frac{4}{x^2-1} = \frac{2}{x-1} + \frac{-2}{x+1}\]

求解基本方程的替代方法

若所有部分分式均有不同的一次分母，可直接将各分母的零点代入基本方程，立即求出对应的 \(A_i\)。

例 32.5 对上例，基本方程为 \(4 = A_1(x+1) + A_2(x-1)\)：

  • 代入 \(x = 1\)：\(4 = 2A_1\)，\(A_1 = 2\)；
  • 代入 \(x = -1\)：\(4 = -2A_2\)，\(A_2 = -2\)。

解题示例

32.1. 求 \(\dfrac{x^2 + 7x - 2}{x^3 - x}\) 的部分分式分解。

分母分解为 \(x(x-1)(x+1)\)，设

\[\frac{x^2+7x-2}{x^3-x} = \frac{A_1}{x} + \frac{A_2}{x-1} + \frac{A_3}{x+1}\]

利用替代法：

  • \(x = 0\)：\(-2 = -A_1\)，\(A_1 = 2\)
  • \(x = 1\)：\(6 = 2A_2\)，\(A_2 = 3\)
  • \(x = -1\)：\(-8 = 2A_3\)，\(A_3 = -4\)

\[\frac{x^2+7x-2}{x^3-x} = \frac{2}{x} + \frac{3}{x-1} + \frac{-4}{x+1}\]

32.2. 求 \(\dfrac{6x^3 + 5x^2 + 2x - 10}{6x^2 - x - 2}\) 的部分分式分解。

这是假分式，长除后得 \(x + 1 + \dfrac{5x - 8}{6x^2 - x - 2}\)。

分母分解为 \((3x-2)(2x+1)\)，用一般方法解出 \(A_1 = -2\)，\(A_2 = 3\)：

\[\frac{6x^3+5x^2+2x-10}{6x^2-x-2} = x + 1 + \frac{-2}{3x-2} + \frac{3}{2x+1}\]

32.3. 求 \(\dfrac{-x^5 - x^4 + 3x^3 + 5x^2 + 6x + 6}{x^4 + x^3}\) 的部分分式分解。

长除后得 \(-x + \dfrac{3x^3+5x^2+6x+6}{x^4+x^3}\)，分母分解为 \(x^3(x+1)\)（重复线性因式），设

\[\frac{3x^3+5x^2+6x+6}{x^4+x^3} = \frac{A_1}{x} + \frac{A_2}{x^2} + \frac{A_3}{x^3} + \frac{A_4}{x+1}\]

比较系数，解得 \(A_1 = 5\)，\(A_2 = 0\)，\(A_3 = 6\)，\(A_4 = -2\)：

\[\frac{-x^5-x^4+3x^3+5x^2+6x+6}{x^4+x^3} = -x + \frac{5}{x} + \frac{6}{x^3} + \frac{-2}{x+1}\]

32.4. 求 \(\dfrac{x^3 - x^2 + 9x - 1}{x^4 - 1}\) 的部分分式分解。

分母分解为 \((x-1)(x+1)(x^2+1)\)，对不可约二次因式用线性分子，设

\[\frac{x^3-x^2+9x-1}{x^4-1} = \frac{A_1}{x-1} + \frac{A_2}{x+1} + \frac{B_1 x + C_1}{x^2+1}\]

比较系数，解得 \(A_1 = 2\)，\(A_2 = 3\)，\(B_1 = -4\)，\(C_1 = 0\)：

\[\frac{x^3-x^2+9x-1}{x^4-1} = \frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+1} + \frac{-4x}{x^2+1}\]

32.5. 求 \(\dfrac{5x^3-4x^2+21x-28}{x^4+10x^2+9}\) 的部分分式分解。

分母分解为 \((x^2+1)(x^2+9)\)，设

\[\frac{5x^3-4x^2+21x-28}{x^4+10x^2+9} = \frac{B_1 x+C_1}{x^2+1} + \frac{B_2 x+C_2}{x^2+9}\]

比较系数，解得 \(B_1 = 2\)，\(B_2 = 3\)，\(C_1 = -3\)，\(C_2 = -1\)：

\[\frac{5x^3-4x^2+21x-28}{x^4+10x^2+9} = \frac{2x-3}{x^2+1} + \frac{3x-1}{x^2+9}\]

32.6. 若对不可约二次分母错误地使用常数分子（而非线性分子），会出现什么问题？

设错误分解 \(\dfrac{5x^3-4x^2+21x-28}{x^4+10x^2+9} = \dfrac{A_1}{x^2+1} + \dfrac{A_2}{x^2+9}\)，比较 \(x^3\) 的系数，左边为 5，右边为 0，矛盾，问题设置不正确。

32.7. 求 \(\dfrac{3x^3+14x-3}{x^4+8x^2+16}\) 的部分分式分解。

分母分解为 \((x^2+4)^2\)（重复二次因式），设

\[\frac{3x^3+14x-3}{x^4+8x^2+16} = \frac{B_1 x+C_1}{x^2+4} + \frac{B_2 x+C_2}{(x^2+4)^2}\]

比较系数，解得 \(B_1 = 3\)，\(B_2 = 2\)，\(C_1 = 0\)，\(C_2 = -3\)：

\[\frac{3x^3+14x-3}{x^4+8x^2+16} = \frac{3x}{x^2+4} + \frac{2x-3}{(x^2+4)^2}\]

补充习题

32.8. 求 \(\dfrac{11x-10}{x^2-2x}\) 的部分分式分解。答： \(\dfrac{5}{x} + \dfrac{6}{x-2}\)

32.9. 求 \(\dfrac{2x+22}{x^2+x-12}\) 的部分分式分解。答： \(\dfrac{4}{x-3} + \dfrac{-2}{x+4}\)

32.10. 求 \(\dfrac{x^4+3x^3-2x^2-2x-4}{x^2-1}\) 的部分分式分解。答： \(x^2+3x-1+\dfrac{-2}{x-1}+\dfrac{3}{x+1}\)

32.11. 求 \(\dfrac{4x^2-15x-125}{x^3-25x}\) 的部分分式分解。答： \(\dfrac{5}{x}+\dfrac{-2}{x-5}+\dfrac{1}{x+5}\)

32.12. 求 \(\dfrac{-2x^2+46x-3}{30x^3+39x^2-9x}\) 的部分分式分解。答： \(\dfrac{1}{3x}+\dfrac{3}{5x-1}+\dfrac{-2}{2x+3}\)

32.13. 求 \(\dfrac{x^2-4}{x^3-3x^2+3x-1}\) 的部分分式分解。答： \(\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{(x-1)^2}+\dfrac{-3}{(x-1)^3}\)

32.14. 求 \(\dfrac{x^6-x^5-3x^3+x^2+3x-3}{x^4-x^3}\) 的部分分式分解。答： \(x^2+\dfrac{-1}{x}+\dfrac{3}{x^3}+\dfrac{-2}{x-1}\)

32.15. 求 \(\dfrac{x^4+3x^2-x-8}{x^3+4x}\) 的部分分式分解。答： \(x+\dfrac{-2}{x}+\dfrac{x-1}{x^2+4}\)

32.16. 求 \(\dfrac{2x^3-4x}{x^4+2x^3+2x^2+2x+1}\) 的部分分式分解。答： \(\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{1}{(x+1)^2}+\dfrac{-3}{x^2+1}\)

32.17. 求 \(\dfrac{2x^5+42x^3+x^2+124x+16}{x^4+20x^2+64}\) 的部分分式分解。答： \(2x+\dfrac{1-x}{x^2+4}+\dfrac{3x}{x^2+16}\)

32.18. 求 \(\dfrac{x^5+x^4+2x^3+2x^2+4x-1}{(x^2+1)^3}\) 的部分分式分解。答： \(\dfrac{x+1}{x^2+1}+\dfrac{3x-2}{(x^2+1)^3}\)

32.19. 求 \(\dfrac{x^6-x^5+2x^4-x^3-x^2+3x-3}{x^4+2x^2+1}\) 的部分分式分解。答： \(x^2-x+\dfrac{x-2}{x^2+1}+\dfrac{3x-1}{(x^2+1)^2}\)

32.20. 求 \(\dfrac{5x^6-x^5+33x^4-14x^3+51x^2-31x+23}{(x^2+1)^2(x^2+4)^2}\) 的部分分式分解。答： \(\dfrac{5}{x^2+4}+\dfrac{x+3}{(x^2+4)^2}+\dfrac{-2x}{(x^2+1)^2}\)

32.21. 求 \(\dfrac{3x^2-6x+6}{x^3+1}\) 的部分分式分解。答： \(\dfrac{5}{x+1}+\dfrac{1-2x}{x^2-x+1}\)

32.22. 证明 \(\dfrac{c}{x^2-a^2}\) 的部分分式分解为 \(\dfrac{c}{2a(x-a)} + \dfrac{-c}{2a(x+a)}\)。