第33章 非线性方程组
非线性方程组
非线性方程组的定义
若方程组中至少有一个方程不是线性方程，则该方程组称为非线性方程组。非线性方程组可能无解、有无穷多解，或有任意数量的实数解或复数解。
二元非线性方程组的解法
二元非线性方程组的解可用以下三种方法求得：
图解法。分别作出各方程的图像，从图中读出各交点坐标。将坐标代入每个方程验证后，这些坐标即为方程组的实数解。通常此法只能求近似实数解，但当下述代数方法失效时，仍可使用图解法。
代入法。将一个方程中的某个变量用另一变量的表达式表示，代入其他方程求出第一个变量的值（若可能），再代入求另一变量的值。
消元法。对方程施行等价变换，消去某方程中的一个变量，解出该变量后，再代入求另一变量的值。
例 33.1 用图解法解方程组 \(\begin{cases} y = e^{-x} \\ y = 1 + x \end{cases}\)
\(y = e^{-x}\) 的图像是指数衰减曲线；\(y = 1 + x\) 的图像是一条直线。
在同一坐标系中画出两个图像，图像似乎交于 \((0,1)\)。将 \(x=0,\, y=1\) 代入 \(y=e^{-x}\) 得 \(1=e^{0}=1\)，代入 \(y=1+x\) 得 \(1=1+0\)，均成立。因此 \((0,1)\) 是该方程组的一个解。此法不能排除其他解（包括非实复数解）的存在。
例 33.2 用代入法解方程组 \(\begin{cases} y = x^{2} - 2 & (1) \\ x + 2y = 11 & (2) \end{cases}\)
将方程 (1) 的 \(x^{2}-2\) 代入方程 (2) 中的 \(y\)，得
\[x + 2(x^{2}-2) = 11\]
整理得二次方程
\[2x^{2} + x - 15 = 0\]
\[\Rightarrow (2x-5)(x+3) = 0\]
\[x = \frac{5}{2} \quad \text{或} \quad x = -3\]
代入方程 (1)：
\[x = \frac{5}{2}:\; y = \left(\frac{5}{2}\right)^{2} - 2 = \frac{17}{4}\]
\[x = -3:\; y = (-3)^{2} - 2 = 7\]
因此解为 \(\left(\dfrac{5}{2},\, \dfrac{17}{4}\right)\) 和 \((-3,\, 7)\)。
例 33.3 用消元法解方程组 \(\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 1 & (1) \\ x^{2} - y^{2} = 7 & (2) \end{cases}\)
将方程 (2) 替换为 (2)+(1)，得等价方程组：
\[\begin{cases} x^{2}+y^{2}=1 \\ 2x^{2}=8 \end{cases}\]
由 \(2x^{2}=8\) 得 \(x^{2}=4\)，即 \(x=2\) 或 \(x=-2\)。
代入方程 (1)：\(y^{2} = 1-4 = -3\)，故 \(y = \pm i\sqrt{3}\)。
四个解为 \((2,\, i\sqrt{3})\)、\((2,\, -i\sqrt{3})\)、\((-2,\, i\sqrt{3})\)、\((-2,\, -i\sqrt{3})\)。
无通用求解方法
非线性方程组没有通用的代数求解方法。有时上述方法的组合是有效的；若代数方法均失败，可用图解法求近似实数解，再借助数值方法精化。
例题解析
例 33.1 解方程组 \(\begin{cases} y = x^{2} \\ x + y = 2 \end{cases}\) 并作图说明。
解 用代入法：将 \(y = x^{2}\) 代入 \(x+y=2\)，得
\[x + x^{2} = 2 \implies x^{2}+x-2=0 \implies (x-1)(x+2)=0\]
故 \(x=1\) 或 \(x=-2\)，相应地 \(y=1\) 或 \(y=4\)。
解为 \((1,\,1)\) 和 \((-2,\,4)\)。
例 33.2 解方程组 \(\begin{cases} y = x^{2}+2 \\ y = 2x-4 \end{cases}\) 并作图说明。
解 代入法：\(x^{2}+2 = 2x-4\)，整理得 \(x^{2}-2x+6=0\)，判别式 \(\Delta = 4-24 < 0\)，故
\[x = 1 \pm i\sqrt{5}\]
对应的 \(y\) 值为复数，两图像不相交，方程组无实数解。
解为 \((1+i\sqrt{5},\; -2+2i\sqrt{5})\) 和 \((1-i\sqrt{5},\; -2-2i\sqrt{5})\)。
例 33.3 解方程组 \(\begin{cases} y^{2}-4x^{2}=4 \\ 9y^{2}+16x^{2}=140 \end{cases}\)
解 将方程 (1) 的四倍加到方程 (2)：
\[4(y^{2}-4x^{2}) + (9y^{2}+16x^{2}) = 16+140 \implies 13y^{2} = 156 \implies y^{2}=12 \implies y=\pm 2\sqrt{3}\]
代入方程 (1)：\(x^{2}=2\)，故 \(x=\pm\sqrt{2}\)。
四个解为 \((\sqrt{2},\,2\sqrt{3})\)、\((\sqrt{2},\,-2\sqrt{3})\)、\((-\sqrt{2},\,2\sqrt{3})\)、\((-\sqrt{2},\,-2\sqrt{3})\)。
例 33.4 解方程组 \(\begin{cases} x^{2}+xy-3y^{2}=3 & (1) \\ x^{2}+4xy+3y^{2}=0 & (2) \end{cases}\)
解 对方程 (2) 因式分解：\((x+y)(x+3y)=0\)，故 \(x=-y\) 或 \(x=-3y\)。
- 若 \(x=-y\)：代入 (1) 得 \(-3y^{2}=3\)，故 \(y=\pm i\)，\(x=\mp i\)。
- 若 \(x=-3y\)：代入 (1) 得 \(3y^{2}=3\)，故 \(y=\pm 1\)，\(x=\mp 3\)。
四个解为 \((i,\,-i)\)、\((-i,\,i)\)、\((-3,\,1)\)、\((3,\,-1)\)。
例 33.5 解方程组 \(\begin{cases} x^{2}+xy-y^{2}=-1 & (1) \\ x^{2}+2xy-y^{2}=1 & (2) \end{cases}\)
解 用 (2)\(-\)(1) 消元：\(xy=2\)，故 \(y=\dfrac{2}{x}\)。代入 (1)：
\[x^{2}+2-\frac{4}{x^{2}}=-1 \implies x^{4}+3x^{2}-4=0 \implies (x^{2}-1)(x^{2}+4)=0\]
故 \(x=\pm 1\) 或 \(x=\pm 2i\)，对应 \(y=2,\,-2,\,-i,\,i\)。
四个解为 \((1,\,2)\)、\((-1,\,-2)\)、\((2i,\,-i)\)、\((-2i,\,i)\)。
例 33.6 一名工程师需要设计一块面积为 220 平方英寸、对角线长为 21 英寸的矩形电视屏幕，应采用什么尺寸？
解 设宽为 \(x\)，长为 \(y\)，则
\[xy = 220 \quad (1)\] \[x^{2}+y^{2} = 441 \quad (2)\]
由 (1) 得 \(y=\dfrac{220}{x}\)，代入 (2)：
\[x^{4} - 441x^{2} + 48400 = 0\]
用求根公式：
\[x^{2} = \frac{441 \pm \sqrt{441^{2}-4(48400)}}{2} = \frac{441 \pm \sqrt{881}}{2}\]
取正值：\(x \approx 15.34\) 或 \(x \approx 14.34\)（因 \(y=220/x\)，两者互换）。
屏幕尺寸约为 \(14.34 \times 15.34\) 英寸。
补充练习
33.7. 解方程组： (a) \(2y = x^{2}\)，\(x^{2}-y^{2}=2\)； (b) \(x^{2}-y^{2}=2\)，\(x-y=2\)
答：(a) \((0,0)\)，\((2,2)\)；(b) \((2,\sqrt{2})\)，\((2,-\sqrt{2})\)，\((-1,i)\)，\((-1,-i)\)
33.8. 解方程组： (a) \(x^{2}+y^{2}=16\)，\(y^{2}=4-x\)； (b) \(x^{2}+y^{2}=8\)，\(y-x=4\)
答：(a) \((4,0)\)，\((-3,\sqrt{7})\)，\((-3,-\sqrt{7})\)；(b) \((-2,2)\)
33.9. 解方程组： (a) \(x^{2}+4y^{2}=24\)，\(x^{2}-4y=0\)； (b) \(x^{2}-8y^{2}=1\)，\(x^{2}+4y^{2}=25\)
答：(a) \((\sqrt{8},2)\)，\((-\sqrt{8},2)\)，\((2i\sqrt{3},-3)\)，\((-2i\sqrt{3},-3)\)； (b) \((\sqrt{17},\sqrt{2})\)，\((\sqrt{17},-\sqrt{2})\)，\((-\sqrt{17},\sqrt{2})\)，\((-\sqrt{17},-\sqrt{2})\)
33.10. 解方程组并用图形说明： (a) \(y=x^{2}-1\)，\(y=2x+2\)； (b) \(y=x^{2}-2\)，\(y=x+1\)
答：(a) 解：\((-1,0)\)，\((3,8)\)；(b) 解：\((-2,2)\)，\((1,-1)\)
33.11. 解方程组： (a) \(2x+3y+xy=16\)，\(xy-5=0\)； (b) \(2x^{2}-5xy+2y^{2}=0\)，\(3x^{2}+2xy-y^{2}=15\)
答：(a) \(\left(\dfrac{5}{2},2\right)\)，\(\left(3,\dfrac{5}{3}\right)\)； (b) \((2,1)\)，\((-2,-1)\)，\((\sqrt{5},2\sqrt{5})\)，\((-\sqrt{5},-2\sqrt{5})\)
33.12. 要建造一个周长为 100 米、面积为 100 平方米的矩形，需要什么尺寸？
答： \((25+\sqrt{525})\) 米 \(\times\) \((25-\sqrt{525})\) 米，约为 \(47.91 \times 2.09\) 米