第34章 矩阵代数导论

矩阵代数导论

矩阵的定义

矩阵是将数排列成行和列的矩形阵列，用方括号括起来，例如：

\[\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{bmatrix}\]

矩阵中的数称为矩阵的元素。上述矩阵有 3 行（第一行：\(a_{11},a_{12},a_{13},a_{14}\)，依此类推）和 4 列，称为 \(3\times4\) 矩阵。元素用两个下标表示，\(a_{ij}\) 表示第 \(i\) 行、第 \(j\) 列的元素。一般矩阵称为 \(m\times n\) 矩阵，即 \(m\) 行 \(n\) 列。

矩阵记号

矩阵用大写字母表示，如 \(A\)；也用带双下标的小写字母（加圆括号）表示，如 \((a_{ij})\)。必要时，矩阵的维数作为下标标出，如 \(A_{m\times n}\)。

特殊矩阵

  • 行矩阵：只有一行的矩阵。
  • 列矩阵：只有一列的矩阵。
  • 方阵：行数与列数相等的矩阵。\(n\times n\) 方阵中，元素 \(a_{11},a_{22},\ldots,a_{nn}\) 称为主对角元素。
  • 零矩阵：所有元素均为零的矩阵，\(m\times n\) 零矩阵记作 \(0_{m\times n}\) 或简记为 \(0\)。

例 34.1 \(\begin{bmatrix} 5 & -2 & 0 & 9 \end{bmatrix}\) 是行矩阵（\(1\times4\)）。\(\begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}\) 是列矩阵（\(2\times1\)）。

\([4]\)、\(\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)、\(\begin{bmatrix} -3 & 5 & -4 \\ 2 & 2 & -4 \\ 0 & 9 & -4 \end{bmatrix}\) 均为方阵。\(\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\) 也是 \(2\times2\) 零矩阵。

矩阵相等

两个矩阵相等当且仅当它们的维数相同，且对应元素相等：若 \(A=(a_{ij})\)，\(B=(b_{ij})\)，则 \(A=B\) 当且仅当维数相同且对所有 \(i,j\) 有 \(a_{ij}=b_{ij}\)。

矩阵加法

对相同维数 \(m\times n\) 的矩阵 \(A=(a_{ij})\) 和 \(B=(b_{ij})\)，矩阵和 \(A+B\) 定义为

\[A+B=(a_{ij}+b_{ij})\]

即 \(A+B\) 是 \(m\times n\) 矩阵，各元素为 \(A\) 与 \(B\) 对应元素之和。不同维数的矩阵之和无定义。

加法逆元与矩阵减法

矩阵 \(A=(a_{ij})\) 的加法逆元（相反矩阵）为 \(-A=(-a_{ij})\)。

相同维数矩阵的减法定义为

\[A-B=(a_{ij}-b_{ij})\]

矩阵加法的性质

对 \(m\times n\) 矩阵 \(A,B,C\) 和零矩阵 \(O\)，以下定律成立：

  1. 交换律：\(A+B=B+A\)
  2. 结合律：\(A+(B+C)=(A+B)+C\)
  3. 单位元律：\(A+O=A\)
  4. 加法逆元律：\(A+(-A)=O\)

矩阵与标量的乘积

给定 \(m\times n\) 矩阵 \(A=(a_{ij})\) 和标量（实数）\(c\)，则

\[cA=(ca_{ij})\]

即 \(cA\) 是将 \(A\) 的每个元素乘以 \(c\) 所得的 \(m\times n\) 矩阵。以下性质成立（\(A,B\) 均为 \(m\times n\)）：

\[c(A+B)=cA+cB\]

\[(c+d)A=cA+dA\]

\[(cd)A=c(dA)\]

例题解析

例 34.1 指出下列矩阵的维数：\(A=\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}\)；\(B=\begin{bmatrix}4&3\\5&-2\\6&4\end{bmatrix}\)；\(C=\begin{bmatrix}0&0&-3\\4&2&2\end{bmatrix}\)

  • \(A\)：\(2\times1\) 矩阵。
  • \(B\)：\(3\times2\) 矩阵。
  • \(C\)：\(2\times3\) 矩阵。

例 34.2 给定 \(A=\begin{bmatrix}5&0\\2&-3\end{bmatrix}\)，\(B=\begin{bmatrix}3&-2\\-4&8\end{bmatrix}\)，\(C=\begin{bmatrix}-3&-2&-3\\4&0&2\end{bmatrix}\)，求： (a) \(A+B\)；(b) \(-C\)；(c) \(B+C\)；(d) \(B-A\)

\[\text{(a) } A+B = \begin{bmatrix}8&-2\\-2&5\end{bmatrix}\]

\[\text{(b) } -C = \begin{bmatrix}3&2&3\\-4&0&-2\end{bmatrix}\]

  1. \(B\) 为 \(2\times2\)，\(C\) 为 \(2\times3\)，\(B+C\) 无定义。

\[\text{(d) } B-A = \begin{bmatrix}-2&-2\\-6&11\end{bmatrix}\]

例 34.3 验证矩阵加法的交换律：对任意 \(m\times n\) 矩阵 \(A,B\)，\(A+B=B+A\)。

设 \(A=(a_{ij})\)，\(B=(b_{ij})\)。由实数加法交换律，\(a_{ij}+b_{ij}=b_{ij}+a_{ij}\)，故 \(A+B=B+A\)。

例 34.4 验证矩阵加法的单位元律：对任意 \(m\times n\) 矩阵 \(A\)，\(A+0_{m\times n}=A\)。

\(A+0_{m\times n}=(a_{ij}+0)=(a_{ij})=A\)。

例 34.5 给定 \(A=\begin{bmatrix}-2&6&2\\0&-3&4\end{bmatrix}\)，\(B=\begin{bmatrix}3&-2\\-4&8\end{bmatrix}\)，\(C=\begin{bmatrix}-3&-2&-3\\4&0&2\end{bmatrix}\)，求： (a) \(-2A\)；(b) \(0B\)；(c) \(5B+3A\)；(d) \(-3C+4A\)

\[\text{(a) } -2A = \begin{bmatrix}4&-12&-4\\0&6&-8\end{bmatrix}\]

\[\text{(b) } 0B = \begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}\]

  1. \(5B\) 为 \(2\times2\)，\(3A\) 为 \(2\times3\)，\(5B+3A\) 无定义。

\[\text{(d) } -3C+4A = \begin{bmatrix}1&30&17\\-12&-12&10\end{bmatrix}\]

例 34.6 验证：对 \(m\times n\) 矩阵 \(A,B\) 及任意标量 \(c\)，\(c(A+B)=cA+cB\)。

\[c(A+B) = c((a_{ij}+b_{ij})) = (c(a_{ij}+b_{ij}))\]

\[cA+cB = (ca_{ij}+cb_{ij})\]

由实数分配律 \(c(a_{ij}+b_{ij})=ca_{ij}+cb_{ij}\)，故 \(c(A+B)=cA+cB\)。

补充练习

34.7. 给定

\[A=\begin{bmatrix}3&4&-2\\8&0&2\\1&1&-2\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}4&2\\4&2\\-4&-2\end{bmatrix},\quad C=\begin{bmatrix}0&2&0\\-3&-4&2\\7&2&-1\end{bmatrix}\]

求：(a) \(A+B\)（无定义）；(b) \(A+C\)；(c) \(B-B\)；(d) \(2C\)

\[\text{(b) } A+C=\begin{bmatrix}3&6&-2\\5&-4&4\\8&3&-3\end{bmatrix};\quad\text{(c) }B-B=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\\0&0\end{bmatrix};\quad\text{(d) }2C=\begin{bmatrix}0&4&0\\-6&-8&4\\14&4&-2\end{bmatrix}\]

34.8. 给定同上 \(A,B,C\)，求：(a) \(3A+2C\)；(b) \(\dfrac{1}{4}B\)；(c) \(-A-2C\)

\[\text{(a)}\begin{bmatrix}9&16&-6\\18&-8&10\\17&7&-8\end{bmatrix};\quad\text{(b)}\begin{bmatrix}1&1/2\\1&1/2\\-1&-1/2\end{bmatrix};\quad\text{(c)}\begin{bmatrix}-3&-8&2\\-2&8&-6\\-15&-5&4\end{bmatrix}\]

34.9. 验证矩阵加法的结合律：\(A+(B+C)=(A+B)+C\)。

34.10. 验证加法逆元律：\(A+(-A)=O_{m\times n}\)。

34.11. 验证：\((c+d)A=cA+dA\)。

34.12. 验证：\((cd)A=c(dA)\)。

34.13. \(m\times n\) 矩阵 \(A\) 的转置矩阵 \(A^{T}\) 是通过交换 \(A\) 的行与列得到的 \(n\times m\) 矩阵，即第 \(j\) 行、第 \(i\) 列的元素为 \(a_{ij}\)。求以下矩阵的转置：

\[\text{(a) } A=\begin{bmatrix}3&4&-2\\8&0&2\\1&1&-2\end{bmatrix};\quad\text{(b) } B=\begin{bmatrix}4&2\\4&2\\-4&-2\end{bmatrix}\]

\[\text{答：(a) } A^{T}=\begin{bmatrix}3&8&1\\4&0&1\\-2&2&-2\end{bmatrix};\quad\text{(b) } B^{T}=\begin{bmatrix}4&4&-4\\2&2&-2\end{bmatrix}\]

34.14. 验证：(a) \((A^{T})^{T}=A\)；(b) \((A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}\)；(c) \((cA)^{T}=cA^{T}\)